NGHIÊN CỨU TIẾT DIỆN TÁN XẠ COMPTON CỦA GAMMA LÊN MỘT SỐ LOẠI VẬT LIỆU

NGHIÊN CỨU TIẾT DIỆN TÁN XẠ COMPTON CỦA GAMMA LÊN MỘT SỐ LOẠI VẬT LIỆU Trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật hiện nay, Vật lý Hạt nhân ngày càng có một vị trí hết sức quan trọng vì Vật lý Hạt nhân có liên quan với nhiều ngành khoa học khác như: sinh học, địa chất, hoá học, vật liệu…Lĩnh vực hạt nhân từng bước khẳng định vai trò và vị trí của mình trong đời sống xã hội.Vật lý Hạt nhân được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực : công nghiệp, nông nghiệp, y học… nhằm giúp ích cho đời sống con người.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THẢO NGÂN

NGHIÊN CỨU TIẾT DIỆN TÁN XẠ COMPTON CỦA

GAMMA LÊN MỘT SỐ LOẠI VẬT LIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Tp.HồChíMinh-2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THẢO NGÂN

NGHIÊN CỨU TIẾT DIỆN TÁN XẠ COMPTON CỦA

GAMMA LÊN MỘT SỐ LOẠI VẬT LIỆU

Chuyênngành: VẬT LÝ NGUYÊN TỬ HẠT NHÂN VÀ NĂNG LƯỢNG CAO

Mãsốchuyênngành: 60 44 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS CHÂU VĂN TẠO

Tp HồChí Minh, năm 2014

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình học tập cao học tại bộ môn Vật lý Hạt nhân, Khoa Vật lý,Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, tác giả đã nhận được rất sựgiúp đỡ nhiệt tình, những lời động viên và sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy

cô, bạn bè và gia đình.Với tình cảm chân thành, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắcđến:

 PGS.TS Châu Văn Tạo, người hướng dẫn khoa học, là người thầy đã tận tìnhhướng dẫn, giảng dạy,động viên đóng góp nhiều ý kiến quý báuvà tạo nhiềuđiều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn này

 TS Trần Thiện Thanh – người thầy đầy nhiệt huyết đã truyền đạt rất nhiềukiến thức, kinh nghiệm Thầy đã đưa ra những lời khuyên, ý kiến có tính chấtđịnh hướng và tận tình chỉ dẫn cho tác giả

 Quý Thầy Cô trong hội đồng khoa học đã dành thời gian quý báu của mình

để đọc và cho ý kiến đánh giá giúp luận văn được hoàn thiện hơn

 Quý Thầy Cô trong Bộ môn Vật lý Hạt nhân, Trường Đại học Khoa Học TựNhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã giảng dạy trong hai năm qua Các Thầy

Cô đã truyền đạt kiến thức và đáp ứng các điều kiện cơ sở vật chất, trangthiết bị cần thiết để học viên hoàn thành các yêu cầu của khóa học

 Bạn Nguyễn Thị Ngọc Lan, Phạm Thị Mai và học viên cùng lớp khóa K22

đã giúp đỡ, động viên và đồng hành cùng tác giả trong suốt thời gian học

 Bạn Đoàn Kim Thanh và anh Lê Quang Vương đã nhiệt tình giúp đỡ để luậnvăn được hoàn thiện hơn

 Cha mẹ và các thành viên trong gia đình đã luôn ở bên con, thương yêu conthầm lặng để con có thể hoàn thành luận văn này

Tp Hồ chí Minh, ngày 10 tháng 09 năm 2014

Học viên Nguyễn Thảo Ngân

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG 4DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ 5

MỞ ĐẦU 6

DANH MỤC CÁC BẢNG

DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

MỞ ĐẦU

Trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật hiện nay, Vật lý Hạt nhân ngày càng cómột vị trí hết sức quan trọng vì Vật lý Hạt nhân có liên quan với nhiều ngành khoahọc khác như: sinh học, địa chất, hoá học, vật liệu…Lĩnh vực hạt nhân từng bướckhẳng định vai trò và vị trí của mình trong đời sống xã hội.Vật lý Hạt nhân đượcứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực : công nghiệp, nông nghiệp, y học… nhằmgiúp ích cho đời sống con người

Nghiên cứu về sự truyền gamma qua vật chất là một trong những ứng dụngquan trọng của vật lý hạt nhân vào đời sống Ba hình thức tương tác chủ yếu củagamma lên vật chất là hiệu ứng quang điện ở mức năng lượng thấp, tán xạ Compton

ở mức năng lượng trung bình và hiệu ứng tạo cặp ở mức năng lượng cao

Tán xạ Compton được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học kĩ thuật vàđời sống như kiểm tra khuyết tật và đo bề dày vật liệu; đo mật độ vật chất và nồng

độ dung dịch; xác định kích thước và mạng phân bố các cốt thép trong kết cấu bêtông; tìm bom, mìn và vật nổ trong lòng đất; kiểm tra hành lý tại các cửa khẩuvà sânbay; xác định các đặc trưng chủ yếu của các tầng địa chất trong giếng khoan nhưcấu trúc của các tầng đất đá và xác định cấu trúc địa tầng Trong y học, tán xạCompton cũng góp phần quan trọng trong việc điều trị ung thư, sản xuất các vật liệu

y tế

Vì vậy, số liệu về sự tán xạ và hấp thụ của photon, cụ thể là tiết diện tán xạCompton, đang được yêu cầu ngày càng nhiều từ các ứng dụng thực tế Số lượngvật liệu cần đến tiết diện tán xạ Compton ngày càng tăng và rộng hơn Do đó, tácgiả chọn đề tài “Nghiên cứu tiết diện tán xạ Compton của gamma trên một số loạivật liệu”

Mục đích là tìm ra công thức và viết chương trình tính tiết diện tán xạCompton của gamma trên một số vật liệu, cụ thể là hai hợp kim thép C45 và thépCT3 Luận vănsử dụng chương trình Mathematica để tính tiết diện tán xạ Comptoncủa gamma trên các hợp chất đã biết trước hàm lượng nguyên tố.Tiết diện tán xạCompton góp phần vào việc tìm ra tiết diện tán xạ toàn phần, từ đó xác định hệ số

suy giảm tuyến tính khi biết mật độ khối của vật liệu cần tính Đối với các đồng vịphóng xạ tự nhiên hay nhân tạo, năng lượng tia gamma thường vào cỡ 0,25MeVđến 2,6 MeV, tiết diện tán xạ toàn phần hay hệ số suy giảm tuyến tính chủ yếu dohiệu ứng Compton đóng góp.

Luận văn gồm 3 chương với những nội dung chính như sau

Chương 1: Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và ngoài nước Tìmhiểu về các loại tương tác chính của gamma với vật chất như hiệu ứng quang điện,tán xạ Compton và hiệu ứng tạo cặp Bên cạnh đó nhắc lại sự suy giảm của tiagamma khi đi vào vật chất

Chương 2:Tìm công thức tính tiết diện tán xạ cho hợp chất Chương này tácgiả tìm hiểu, chứng minh lại công thức Klein-Nishina từ giản đồ Feynman, dẫn raphương trình tính tiết diện tán xạ Compton của gamma cho nguyên tửvà hợp chất.Tiết diện tán xạ Compton cho hợp chất này phụ thuộc vào năng lượng của chùmgamma bắn vào vật chất, thành phần và hàm lượng của các nguyên tố có trong hợpchất đó

Chương 3: Kết quả và thảo luận Tính tiết diện tán xạ Compton của sắt, thépC45 và thép CT3 trên công thức lý thuyết dẫn ra ở chương 2 bằng chương trìnhMathematica ở các mức năng lượng gamma khác nhau từ 0,25 MeV đến 2,6 MeV.Kết quả này được so sánh với kết quả từ NIST, từ chương trình mô phỏng MCNP5

và một số kết quả thực nghiệm

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN

1 Tình hình nghiên cứu tán xạ Compton

Cho đến nay, nhiều công trình trên thế giới và trong nướcđã được thực hiệnnghiên cứu về tán xạ Compton của gamma lên một số vật liệu[1], [4],[5],[6],[8],[9].Tùy vào ứng dụng thực tế, các đại lượng tiết diện tán xạ Compton, hệ số suy giảmkhối hoặc hệ số suy giảm tuyến tính được tính toán sẵn bằng cách lập bảng dữ liệuhoặc viết chương trình tính cho một số vật liệu ở các mức năng lượng.Mỗi vật liệuđều có mật độ khối riêng biệt Mật độ khối của vật liệu thay đổi theo điều kiện môitrường nên dữ liệu tính toán thường là tiết diện tán xạ và hệ số suy giảm khốiCompton Hai đại lượng này có quan hệ mật thiết với nhau và dễ dàng tính toánchuyển đổi qua lại

Các công trình nghiên cứu bằng lý thuyết về tiết diện tán xạ Compton đềuxuất phát từ công thức Klein-Nishina Theo đó, các công trình nghiên cứu được mởrộng tính toán tiết diện tán xạ Compton toàn phần cho các phân lớp electron, chomột nguyên tử, cho hợp chất nhiều nguyên tố Các nghiên cứu về thực nghiệm và

mô phỏng chủ yếu tính hệ số suy giảm tuyến tính, từ đó suy ra tiết diện tán xạ hoặc

hệ số suy giảm khối của các vật liệu được quan tâm

1.1.1 Một số công trình nghiên cứu về tiết diện tán xạ Compton trên thế giới

Rao, Seltzer và Bergstrom [6]đã nghiên cứu tiết diện tán xạ Compton sửdụng trong y học Trong công trình này, tác giả đã tiến hành tính toán tiết diện tán

xạ Compton cho các phân lớp electron của một số nguyên tố (H, C, N, O, Na, Mg,

P, S, Cl, K, Ca, Fe) là thành phần chủ yếu của các vật liệu sinh học trong vùng nănglượng từ 5 keV đến 10 MeV Những tiết diện này được tính toán và lập thành bảnggiá trị và được lưu thành dữ liệu Các dữ liệu này sẽ được dùng trong các vấn đề môphỏng gamma truyền qua các vật liệu trong y học và cơ thể người Ngoài ra, tổngcác tiết diện trên từng phân lớp electron là tiết diện tán xạ toàn phần cho mộtnguyên tử của các nguyên tố nói trên cũng được trình bày trong bảng

Hubbell và các cộng sự [8] đã lập bảng các giá trị tiết diện tán xạ Compton

và tán xạ Rayleigh toàn phần cho các nguyên tố có số bậc nguyên tử Z từ 1 đến 100

ở các mức năng lượng từ 100eV đến 100MeV Trong công trình này, tác giả cònnghiên cứu về hàm tán xạ là thành phần để hiệu chỉnh sự sai biệt giữa lý thuyết vàthực nghiệm Vì các electron trong nguyên tử nói chung không hoàn toàn liên kếtyếu với nguyên tử nên tiết diện vi phân hay tiết diện toàn phần đối với electron liênkết cần được hiệu chỉnh bằng hệ số tán xạ Compton hay hàm tán xạ Hàm này phụthuộc vào bậc số Z và năng lượng tới của tia gamma

Ngoài ra, trong một công trình khác của Hubbell [9], ông còn tính hệ số suygiảm khối cho tán xạ Rayleigh, hiệu ứng quang điện, tán xạ Compton, hiệu ứng tạocăp cho một số nguyên tố (Hidro đến Uranium) và một số hợp chất (SiO2, NaI,(C8H8O2)n…) ở mức năng lượng từ 10 keV đến 100 GeV

Chương trình XCOM 1.5 (2010) [16] là một chương trình tính toán chứa cơ

sở dữ liệu của NIST (National Institute of Standards and Technology - Viện tiêuchuẩn và công nghệ quốc gia), được sử dụng để tính hệ số hấp thụ khối của tán xạCompton, hiệu ứng quang điện, hiệu ứng tạo cặp và hệ số hấp thụ khối toàn phầncho các nguyên tố, các hợp chất có số bậc nguyên tố Z≤100 ở mức năng lượng từ1keV đến 100GeV

1.1.2 Một số công trình nghiên cứu về tiết diện tán xạ Compton ở trong nước

Nhóm tác giả Trần Đại Nghiệp, Lê văn Minh, Trần Mạnh Toàn, NguyễnThành Công, Nguyễn thị Cẩm Hà, Nguyễn Thị Hà Thu [4] nghiên cứu sự khác biệtcủa tiết diện tán xạ Compton đối với electron liên kết ở năng lượng gamma 662 keVcủa một số kim loại Tiết diện tán xạ Compton được xác định trong phạm vi góc

1100 đến 1300 của các kim loại nhôm, sắt, đồng, chì và Cadimi Các phép đo đượcthực hiện bằng cách sử dụng hai đầu dò NaI (Tl) cùng với kênh phân tích Tiết diệnđược tính toán bằng thực nghiệm này được đem so sánh với giá trị lý thuyết theocông thức Klein – Nishina để tìm được sự sai biệt giữa lý thuyết và thực nghiệm

Ngoài ra, nhóm tác giả Nguyễn Thành Công và Trần Đại Nghiệp [5] có côngtrình nghiên cứukhác về mối tương quan giữa tiết diện tán xạ vi phân của photongamma và góc tán xạ trong tán xạ gamma một lần và nhiều lần cho các nguyên tốcarbon, nhôm, sắt và đồng.

Đinh Thị Minh Hương [1] khảo sát tiết diện tán xạ Compton của gamma cónăng lượng 63,5 keV – 2 MeV bằng phương pháp mô phỏng MCNP Công trìnhnày sử dụng chương trình MCNP để xây dựng mô hình cho hệ đo tán xạ ngượcgamma, đưa ra phương pháp tính tiết diện vi phân của tán xạ Compton ở góc 1200

Từ đó, tác giả đã tính toán bộ số liệu về tiết diện vi phân của tán xạ Compton trongvùng năng lượng 63,5 keV – 2 MeV trên bia nhôm

Những nghiên cứu và tính toán về tiết diện tán xạ Compton trong và ngoàinước ngày càng được mở rộng hơn ở nhiều mức năng lượng trên nhiều loại vật liệu

Do đó, để tiếp nối những nghiên cứu này, tác giả tiến hành tính toán tiết diện tán xạCompton của gamma ở các mức năng lượng 0,25 MeV đến 2,6 MeV cho ba vật liệusắt, thép C45 và thép CT3

1.2 Sự truyền bức xạ gamma qua vật chất

1.2.1 Tương tác của gamma với vật chất

Tia gamma đầu tiên được phát hiện vào năm 1900 bởi Becquerel và Villard,

là một thành phần của bức xạ từ uranium và radium, nó có sự đâm xuyên cao hơnnhiều so với alpha và hạt beta Bức xạ gamma là một bức xạ có năng lượng cao,chúng được giải phóng trong quá trình phân rã của các đồng vị phóng xạ, thườngđược sinh ra khi một hạt nhân trải qua một quá trình chuyển đổi từ một hạt nhânkích thích về một trạng thái năng lượng thấp hơn Trạng thái kích thích có thể là tựnhiên (đồng vị phóng xạ tự nhiên) hoặc có thể được tạo ra trong các lò phản ứng hạtnhân hoặc máy gia tốc

Các hình thức tương tác chính của tia gamma với vật chất là hiệu ứng quangđiện, tán xạ Compton và hiệu ứng tạo cặp Xét đến một mức độ nhỏ và chi tiết hơn,tán xạ Rayleigh và tán xạ Thomson cũng xảy ra Mỗi quá trình xảy ra theo các cách

khác nhau và trong những điều kiện khác nhau Các hình thức tương tác khác nhaucủa sự tán xạ có thể xảy ra tùy thuộc vào các tính chất cơ học lượng tử của tiagamma tới Hiệu ứng quang điện là hình thức tương tác chủ yếu của bức xạ gammavới vật chất ở năng lượng thấp, sự tán xạ Compton là hình thức tương tác chủ yếutrong phạm vi năng lượng trung bình và quá trình hình thành cặp electron-positronchiếm ưu thế trong vùng năng lượng cao.[2]

1 Hiệu ứng quang điện

Một tia gamma có thể tương tác với một electron liên kết trong nguyên tử, nó

sẽ mất đi tất cả năng lượng Một phần năng lượng của tia gamma được sử dụng đểthắng năng lượng liên kết, bứt electron ra tạo thành electron tự do, năng lượng cònlại được truyền cho electron dưới dạng động năng Một phần rất nhỏ năng lượnggiật lùi vẫn còn với các nguyên tử để bảo toàn động lượng Khi electron thuộc cáctầng trong bị mất tạo ra các lỗ trống Các lỗ trống được lấp đầy bởi các electron từquỹ đạo của tầng cao hơn Quá trình này đi kèm với sự phát xạ tia X hoặc điện tửAuger.[3]

Hình 1.1.Cơ chế hiệu ứng quang điện của gamma

Năng lượng của tia gamma tới thỏa mãn phương trình bảo toàn năng lượngsau

(1.1)Trong đó, Eγ là năng lượng của tia gamma tới, Ee là động năng của electronbay ra ngoài sau khi bị đánh bật ra khỏi lớp vỏ liên kết, Ea là động năng giật lùi củanguyên tử và Elk là năng lượng liên kết của electron đó trong nguyên tử Đối vớielectron ở lớp K thì năng lượng liên kết là

(1.2)Năng lượng giật lùi của nguyên tử rất nhỏ ta có thể bỏ qua, do đó gần đúngcông thức (1.1) trở thành

(1.3)Theo công thức (1.3), năng lượng của tia gamma tới ít nhất phải bằng nănglượng liên kết của các electron thì hiệu ứng quang điện mới xảy ra Nếu Eγ< EK thìhiệu ứng quang điện chỉ xảy ra ở các lớp L, M,… Nếu Eγ< EL thì hiệu ứng quangđiện chỉ xảy ra với các lớp M, N,…

Hiệu ứng quang điện không xảy ra với các electron tự do vì không đảm bảoquy luật bảo toàn năng lượng và động lượng

 Định luật bảo toàn năng lượng, đối với electron tự do, Elk = 0 ta có

(1.4)(1.5)Với me là khối lượng của electron và v là vận tốc của electron

v

β = c

(1.6)

 Định luật bảo toàn động lượng thì

(1.7)Trong đó là động lượng của tia gamma tới, là động lượng của electron bịđánh bật ra ngoài và là động lượng của nguyên tử giật lùi

Từ công thức (1.7), bỏ qua động lượng nguyên tử giật lùi thì pγ = pe

(1.8)

Từ phương trình (1.5) và (1.8) ta có

(1.9)(1.10)Phương trình (1.10) cho hai nghiệm β=0 và β=1 Giá trị β=0 cho nghiệm tầmthường Ee=0 và giá trị β =1 không có ý nghĩa vì electron có khối lượng khác khôngnên v không thể bằng c

Do đó, hiệu ứng quang điện chỉ xảy ra đối với các electron liên kết trongnguyên tử Ngoài ra, năng lượng tia gamma phải lớn hơn năng lượng liên kết củaelectron để thỏa mãn biểu thức (1.3) nhưng không quá lớn vì khi đó nó xemelectron gần như là tự do

Ở miền năng lượng gamma lớn thì tiết diện rất bé vì khi đó gamma xem

electron liên kết yếu Khi giảm năng lượng gamma, tiết diện tăng theo quy luật

Với sự trợ giúp của điện động lực học lượng tử, biểu thức của tiết diện hiệuứng quang điện đối với tất cả các electron ở lớp K được tính như sau [3]

33 photo K

Z1,34 10

E

− γ

cho trường hợp Eγ ≫ EK

(1.13)

( )

7

16 5 photo K

13,611,09 10 Z

Hiệu ứng quang điện đặc biệt quan trọng đối với vật liệu nặng,dù cho nănglượng của tia gamma tới lớn Đối với vật liệu nhẹ, hiệu ứng này chỉ xảy ra với tiagamma tới có năng lượng nhỏ.Xác suất của hiệu ứng quang điện càng lớn đối vớicác electron bị ràng buộc càng chặt, do đó hiệu ứng quang điện chủ yếu xảy ra ở cácelectron lớp vỏ thứ K Như thế, tiết diện của hiệu ứng quang điện đối với lớp L, lớp

M thì nhỏ hơn rất nhiều, 80% hiệu ứng này diễn ra ở lớp thứ K Tỉ số của tiết diệnhiệu ứng quang điện xảy ra trên các electron trên các lớp khác nhau được cho dướiđây [3]

( ) ( )photo Kphoto L

=5σ

(1.15)

1.2.1.1 Tán xạ Compton

Những khảo sát chi tiết tán xạ của sóng điện từ đi kèm với sự thay đổi trongbước sóng đã được thực hiện vào năm 1923 bởi Compton Đây là quá trình phổ biếntrong hầu hết các tương tác của tia gamma với vật chất Cơ chế tán xạ Comptonđược thể hiện trong hình 1.2

Khi năng lượng gamma đạt đến giá trị lớn hơn nhiều so với năng lượng liênkết của electron lớp K trong nguyên tử, vai trò của hiệu ứng quang điện không cònđáng kể và bắt đầu xuất hiện hiệu ứng Compton Khi đó, ta có thể bỏ qua nănglượng liên kết của electron so với năng lượng gamma và tán xạ gamma lên electron

có thể xem như tán xạ với electron tự do Tán xạ này gọi là tán xạ Compton, là tán

xạ đàn hồi của gamma với các electron chủ yếu ở quỹ đạo ngoài cùng của nguyên

tử Sau tán xạ, electron được giải phóng ra khỏi nguyên tử, lượng tử gamma thayđổi phương bay và bị mất một phần năng lượng Hướng của electron bay ra và tiagamma tán xạ phụ thuộc vào phần năng lượng tia gamma truyền cho electron trongquá trình tương tác.[3]

Hình 1.2.Cơ chế tán xạ Compton của gamma

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hệ trước và sau tương tác ta có:

(1.16)Trong đó là năng lượng của electron bay ra,là năng lượng của tia gammatới,là năng lượng của tia gamma sau khi tán xạ đi ra và là năng lượng nghỉ củaelectron

Tia gamma tới có tần số �thì Tia gamma tán xạ có tần số thì

Sau khi tán xạ, giả sử rằng các electron có thể tăng tốc đến một phần đáng kểcủa tốc độ ánh sáng, năng lượng toàn phần của nó được thể hiện bằng cách sử dụng

Do đó phần năng lượng của photon mất đi cho electron được xác định nhưsau:

(1.18)(1.19)Theo định luật bảo toàn động lượng

(1.20)Trong đó là động lượng của electron bay ra sau tán xạ, là động lượng của tiagamma đi vào vàlà động lượng của tia gamma tán xạ Do đó

(1.21)Với θ là góc giữa tia gamma tới và tia gamma tán xạ

Nhân cả hai vế của phương trình (1.21) với c2

(1.26)(1.27)Năng lượng của tia gamma tán xạnhư là một hàm của góc tán xạ θ và nănglượng của tia gamma tới Eγ[10]

(1.28)Với mec2 là năng lượng nghỉ của electron bằng 511keV

Công thức (1.28) có thể được viết dưới dạng

(1.29)Nếu năng lượng của photon tán xạ Compton đo được ở một góc tán xạ xácđịnh được thực hiện từ thực nghiệm, sử dụng phương trình (1.29) ta có thể hoàntoàn đi xác định được năng lượng của tia gamma đi vào cũng như năng lượng nghỉcủa electron mec2[10]

Công thức để tính toán tiết diện tán xạ vi phân của tán xạ Compton củaphoton gamma lên electron được đưa ra bởi Klein-Nishina, và độc lập với Tamm.Phương trình này có dạng như sau

(1.30)Trong đó e 2

m c là bán kính cổ điển của electron

Tiết diện tán xạ Compton toàn phần của một electron nhận được bằng cáchlấy tích phân biểu thức (1.30) theo tất cả góc tán xạ [3]

(1.31)Chúng ta xem xét hai trường hợp sau

 Với β<<1, tức là khi Eγ<<mec2 công thức (1.31) có dạng gần đúng

(1.32)Trong đó

σTh

 Với β>>1, tức là khi Eγ>>mec2công thức (1.31) có dạng gần đúng

(1.33)Công thức (1.33) cho thấy khi năng lượng gamma rất lớn, tiết diện tán xạCompton biến thiên tỉ lệ nghịch với năng lượng Eγ Vì nguyên tử có Z electron nêntiết diện tán xạ Compton đối vớimột nguyên tử sẽ gấp lên Z lần tiết diện tán xạ đốivới một electron

(1.34)

Công thức khi bức xạ gamma có năng lượng tới Eγ tán xạ lên electron chuyểnđộng có thể thu được khi chuyển các công thức từ hệ quy chiếu gắn với electronsang hệ quy chiếu phòng thí nghiệm [10].

(1.35)Trong đó, θ1 là góc giữa chiều chuyển động của electron và hướng củaphoton tới, θ2 là góc giữa chiều chuyển động của electron và hướng của photon tán

xạ, Te là động năng của electron, trong công thức (1.35) thì

Khi θ1 = π, θ= π và θ2 = 0 năng lượng lớn nhất của tia gamma tán xạ có thểđạt được

(1.36)Bên cạnh electron, các hạt mang điện khác, ví dụ như positron, proton cũnggây ra hiện tượng tán xạ Compton Giá trị gần đúng của σC cho proton có thể dựatrên công thức (1.31) bằng việc thay me bằng mp [10]

1.2.1.2 Hiệu ứng tạo cặp

Đối với lượng tử gamma có năng lượng rất cao, còn tồn tại một hình thứctương tác của lượng tử gamma với vật chất bên cạnh những hiệu ứng quang điện vàtán xạ Compton đó là sự hình thành các cặp electron-positron trong trường hạtnhân Điều này được phát hiện bởi Dirac vào năm 1928 từ một phân tích củaphương trình cơ học lượng tử tương đối tính cho electron

Hình 1.3.Cơ chế hiệu ứng tạo cặp của gamma

Một tia gamma có năng lượng ít nhất 1,022 MeV có thể tạo ra một cặpelectron-positron khi nó chịu ảnh hưởng của trường điện từ mạnh mẽ trong vùng lâncận của hạt nhân Trong sự tương tác này, hạt nhân nhận được một phần nhỏ nănglượng để bảo toàn động lượng và sau đó tia gamma biến mất Sự tương tác này cómột ngưỡng năng lượng là 1,022 MeV bởi vì đó là năng lượng tối thiểu cần thiết đểtạo ra khối lượng các electron và positron Nếu năng lượng tia gamma vượt quá1,022 MeV, năng lượng dư thừa được chia sẻ giữa các electron và positron dướidạng động năng của chúng Quá trình tạo cặp này không thể xảy ra trong chânkhông [10]

Theo định luật bảo toàn năng lượng

(1.37)Trong đó Eγ là năng lượng của tia gamma tới, E e +

là năng lượng của positron,

-e

E

là năng lượng của electron và E alà động năng của hạt nhân giật lùi

Khi hai hạt sinh ra bay theo hướng vuông góc với gamma tới và tạo với nhaumột góc 1800 , theo định luật bảo toàn động lượng thì

(1.38)

Trong đó là động lượng của tia gamma tới và là động lượng của hạt nhângiật lùi.

(1.39)(1.40)Tiết diện của quá trình tạo cặp electron-positron trong trường hạt nhân là kháphức tạp, nó phụ thuộc vào năng lượng của tia gamma tới và điện tích của hạt nhân

Nó có thể được viết cho những khoảng giới hạn của giá trị năng lượng tia gammatới [2]

 Đối với khi không tính đến hiệu ứng màn che chắn

2

γ 2

1.2.2 Sự suy giảm của gamma trong vật chất

Sự suy giảm tia gamma đi qua các môi trường khác với sự suy giảm của cáchạt tích điện Các hạt tích điện có tính chất hạt nên chúng có quãng chạy hữu hạntrong vật chất, nghĩa là chúng có thể bị hấp thụ hoàn toàn Trong khi đó, tia gammachỉ bị suy giảm về cường độ chùm tia khi tăng bề dày vật chất mà không bị hấp thụhoàn toàn Do đó, khái niệm quãng chạy không có đối với lượng tử gamma.[3]

Năng lượng tia gamma suy giảm theo một quy luật hàm mũ e

(1.43)Trong đó, I là cường độ của chùm tia gamma ngay sau bề dày x, I0 là cường

độ chùm tia gamma ban đầu trước khi đi vào lớp vật liệu, μ là hệ số suy giảm tuyếntính

Người ta dựa vào một đại lượng đặc trưng cho xác suất xảy ra của các quátrình đó là tiết diệntoàn phần σtotal Nếu chúng ta giả sử rằng mỗi sự kiện tương tácdẫn đến việc loại bỏ một photon từ chùm tia gamma song song, chúng ta có thể biểuhiện cho sự suy giảm của chùm bởi một lớp vật liệu độ dày x (cm) như sau

(1.44)Trong đó n là số nguyên tử hoặc hạt nhân trong 1cm3 của vật liệu được tínhnhư sau

(1.45)Với ρ là mật độ của vật liệu đơn vị là (g/cm3), M là khối lượng Mol củanguyên tử cấu tạo nên vật liệu và NA là số Avogadro bằng 6,02x1023 hạt/mol

Hệ số suy giảm tuyến tính với đơn vị là (cm-1) cho tia gamma được địnhnghĩa là

(1.46)Các phép đo với những nguồn khác nhau và vật liệu hấp thụ khác nhau chothấy hệ sốsuy giảm tuyến tính μphụ thuộc vào năng lượng của tia gamma tới, sốnguyên tử Z và mật độ ρ của môi trường hấp thụ.

Ngoài hệ số suy giảm tuyến tính, người ta còn sử dụng hệ số suy giảm khối

μm (cm2/g)

(1.47)

Hệ số suy giảm khối không phụ thuộc vào mật độ ρ Do đó hệ số suy giảmkhối có phần thuận lợi hơn hệ số suy giảm tuyến tính Mối liên hệ giữa hệ số suygiảm khối và tiết diện toàn phần của vật liệu đơn chất là

(1.48)Phương trình (1.49) dưới đây được sử dụng cho việc tính toán hệ số suygiảm khối cho một vật liệu nhiều thành phần nguyên tố [3]

(1.49)(1.50)Với, , và lần lượt là hệ số suy giảm khối, tiết diện tán xạ toàn phần, khốilượng mol trung bình và thành phần phần trăm về khối lượng của nguyên tố thứ ibên trong vật liệu

1.2.3 Tổng hợp các hiệu ứng gamma khi tương tác với vật chất

Như đã trình bày ở trên, gamma tương tác với vật chất qua ba hiệu ứng chính

là hiệu ứng quang điện, hiệu ứng Compton và hiệu ứng tạo cặp.Khi xét đến tiết diệntán xạ, ta cần chú ý đến tâm tán xạ của hiệu ứng quang điện và tạo cặp là nguyên tửcòn của hiệu ứng quang điện là electron.[2]

Tiết diện tương tác tổng cộng của các hiệu ứng này cho một nguyên tử là

(1.51)

Do đó, hệ số hấp thụ tuyến tính μ của vật chất là tổng của từng hệ số tạo bởicác hiệu ứng có thể [3]

(1.52)(1.53)Trong đó, quá trình quang điện trội hơn ở năng lượng thấp, hiệu ứngCompton ở năng lượng trung bình, còn sự tạo cặp ở năng lượng cao Do đó, tiếtdiện tương tác toàn phần và hệ số hấp thụ tổng cộng có cực tiểu trong khoảng hiệuứng Compton đạt giá trị cực đại Cực tiểu này đặc biệt khác đối với hạt nhân nặng

vì σphoto, σpair tỉ lệ tương ứng với Z5 và Z2, còn σcom tỉ lệ với Z

Hình 1.4 Biểu diễn tiết diện của các quá trình tương tác gamma trên nhôm [16]

Đối với các hạt nhân nặng, hiệu ứng quang điện đóng vai trò quan trọngtrong miền năng lượng thấp cỡ 0,2 MeV – 2 MeV, hiệu ứng Compton từ 0,5 MeV –

5 MeV còn hiệu ứng tạo cặp từ 5 MeV trở đi Đối với nhôm và các hạt nhân nhẹ, sựhấp thụ quang điện chỉ có tác dụng trong miền năng lượng cỡ 100 keV – 150 keV,hiệu ứng tạo cặp có ảnh hưởng chỉ trong miền năng lượng cỡ 10 MeV như hình 1.4

Do đó, đối với các đồng vị phóng xạ tự nhiên và nhân tạo với năng lượng tiagamma thường và cỡ 0,25 MeV – 2,6 MeV, tiết diện tương tác và hệ số suy giảmtuyến tính chủ yếu do hiệu ứng Compton đóng góp.[3]

Giản đồ Feynman cho phép biểu diễn quá trình tương tác và từ đó cho thấy

rõ được cơ chế của quá trình Quy tắc Feynman giúp ta tìm đỉnh tương tác của cáchạt, đồng thời xác định hàm truyền của các trường lượng tử.Như vậy, chúng ta cóthể vận dụng quy tắc Feynman để nghiên cứu tương tác giữa các hạt vô hướngmang điện Tìm hiểu lý thuyết tán xạ, quy tắc Feynman được vận dụng để tính biên

độ tán xạ cho tán xạ Compton, từ đó tìm ra công thức tiết diện tán xạ theo công thứcKlein-Nishina

2.1 Giản đồ Feynman và quy tắc Feynman trong điện động lực học lượng tử

Trong giản đồ Feynman, các dòng hạt chuyển động được mô hình hóa bằngcác đường, đỉnh là vị trí mà tại đó các hạt tương tác với nhau Các đường nối giữahai đỉnh là đường trong, các đường chỉ nối liền với một đỉnh là đường ngoài Ứngvới mỗi hạt trong trạng thái đầu nhất thiết phải có đường ngoài tận cùng ở một đỉnhgọi là đường vào Ứng với mỗi hạt trong trạng thái cuối nhất thiết phải có mộtđường ngoài xuất phát từ đỉnh gọi là đường ra.[7]

Tại mỗi đỉnh ta viết một hệ số, ví dụ tại đỉnh α ta viết hệ số ieγα (2.1)

Đối với mỗi dòng photon trong, biễu diễn theo xung lượng k, viết thêm một

(2.5)Đối với mỗi đường ngoài cho quá trình hủy positron ta viết thêm hệ số

p

(α) k

(α)

k

(2.6)Đối với mỗi đường ngoài cho quá trình sinh positron ta viết thêm hệ số

(2.7)Đối với mỗi đường ngoài cho quá trình hủy photon ta viết thêm hệ số

(2.8)Đối với mỗi đường ngoài cho quá trình sinh photon ta viết thêm hệ số

(2.9)Nếu là phân cực tuyến tính ta có thể dùng, nói chung trong trường hợp phứctạp như phân cực tròn ta phải thay bởi cho trạng thái sinh photon [14]

Trong đó kvà p là động lượng của các hạt, r (r = 1, 2) dùng để kí hiệu cho

trạng thái spin và phân cực của chúng Đối với phản hạt spinor ngoài, hướng củađường spinor khác với hướng của xung lượng Hướng của xung lượng quyết địnhhạt ở trạng thái nào: đầu hay cuối Các hạt ở trạng thái đầu là các hạt bị huỷ, xunglượng sẽ đi vào, còn các hạt ở trạng thái cuối là quá trình sinh các hạt, xung lượng

, γk là các véc tơ trạng thái của electron, positron và photon.

0 là trạng thái chân không, α =1, 2,3, 4.

Trong giản đồ Feynman, mỗi yếu tố (đường, đỉnh…) đều diễn tả một biểuthức nào đó trong yếu tố ma trận Các hệ số của trường spinor (ma trận γ, các hàm

SF) được đọc theo hướng của mũi tên của dòng fermion Mỗi vòng fermion kín nhânvới (-1), trường hợp có a vòng ta nhân với (-1)a Chia cho hệ số đối xứng S: mỗi

vòng khép kín chứa n boson giống nhau ta có thừa số

1n! Mỗi đường trong phải lấy

tích phân theo xung lượng ( )

4

4

d p2π

∫

Xung lượng đường trong không bị giới hạn bởiđịnh luật bảo toàn năng xung lượng, có nghĩa là nó có thể tiến tới vô cùng Đối vớiđường fermion, để có dạng thuận tiện (nhân các ma trận) ta viết các thành phần từ

2.2 Biên độ Feynman cho sự chuyển dời

Biên độ tán xạ được tính bằng công thức

(2.16)Với Mn là biên độ cho đồ thị thứ n, được vẽ trong không gian xung lượng cócác đỉnh và các đường tuân theo quy tắc Feynman.[7]

Tán xạ Compton có dạng e- + γ → e-+ γ’

Hệ ở trạng thái đầu, electron có khối lượng nghỉ m, tham gia phản ứng đứngyên(động lượng p1= 0) có vectơ spin là sћk với hệ số spin Photon di chuyển tới dọc theo trục x, từ phải sang trái, vectơ xung lượng k 1 = -ki với k >0, động lượng

của photon k1(ω1, k 1), năng lượng ω1=k1, vectơ phân cực ngang với r1=1, 2

, là các trạng thái hủy, sinh electron

ԑ1(k 1) là trạng thái hủy photon, là trạng thái sinh photon

là tích phân xung lượng lấy theo đường trong

Tương tự, hệ ở trạng thái sau là các đại lượng p 2 , k 2, ԑ2(k 2), , , , f2

γα, γβ là ma trận Dirac thỏa mãn γ γ - γ γ = 2gα β β α αβ với gαβ là tenxơ ma trận.Toán tử được sử dụng

Trong tán xạ Compton giữa photon và electron, chúng ta có hai giản đồFeynman như sau

Hình 2.5.Giản đồ Feynman trong tán xạ Compton

Hình 2.1a thể hiện quá trình tương tác của photon tới và electron tại đỉnhβ,một hạt ảo di chuyển từ β đếnα, tại đỉnh α thì hạt ảo phát ra một photon tán xạ có

xung lượng k 2 và một electron có xung lượng p 2 Trong hình 2.1b, electron ban đầu

có xung lượng p 1 phát một photon có xung lượng k 2 trở thành hạt ảo, hạt ảo dichuyển từ β đếnα, tại đỉnhα, hạt ảo nhận một photon mang xung lượng k1 trở thành

electron có xung lượng p 2 Trạng thái của fermion trong giản đồ hình 2.1a và hình2.1b là hoàn toàn giống nhau, không có dấu hiệu nào để phân biệt giữa hai giản đồ

Sử dụng quy tắc Feynman, biên độ tán xạ được suy từ công thức (2.16) làtổng hai biên độ của hai giản đồ hình 2.1a và hình 2.1b bên trên

(2.18)Trong đó Ma là biên độ trong giản đồ hình 2.1a và Mb là biên độ trong giản

f - m+iε %

là hàm truyền của một electron ảo từ β →α

ieγβlà hệ số cho đỉnh β

ԑ1β(k 1) thể hiện cho quá trình hủy photon ở đỉnh β

thể hiện cho quá trình hủy electron

Toán tử của tích phân xung lượng theo đường trong

Khi đó, biên độ Feynman cho giản đồ ở hình 2.1a là tích của các hệ số viếttheo thứ tự đó Ta có

(2.19)khi không phân cực, ta cộng thêm iε là một đại lượng rất nhỏ để khi phâncực diễn ra (trường hợp) lúc này mẫu thức khác 0 Ta sử dụng một phép biến đổisau cho phương trình (2.19)

và

Do đó, công thức (2.19) được biến đổi thành

(2.20)Liên hiệp củalà

(2.21)Trong đó

 Xét hình 2.1b: ta dùng quy tắc Feynman viết cho fermion theo chiều ngược lại

f -m+iε %

là hàm truyền của một electron ảo từ β →α

thể hiện cho quá trình sinh photon ở đỉnh β

ieγβ là hệ số cho đỉnh β

thể hiện cho quá trình hủy electron

Toán tử của tích phân xung lượng theo đường trong

Khi đó, biên độ Feynman cho giản đồ ở hình 2.1b là tích của các hệ số viếttheo thứ tự đó Ta có

(2.22) khi không phân cực, ta cộng thêm iε là một đại lượng rất nhỏ để khi phâncực diễn ra (trường hợp ) lúc này mẫu thức khác 0 Ta sử dụng một phép biến đổisau cho phương trình (2.22)

Do đó, công thức (2.22) được biến đổi thành

(2.23)Liên hiệp của là

(2.24)Trong đó

Ta đi tính biên độ Feynman theo tổng phân cực và tổng spin cho photon [5]

Trong đó, được định nghĩa là toán tử hình chiếu năng lượng dương, là toán

tử hình chiếu năng lượng âm.[7]

Chúng được chứng minh dưới đây

Theo định luật bảo toàn năng lượng p + k = p + k1 1 2 2, ta thu được