Giáo trình môn các hệ thống không gian thời gian

Học phần giới thiệu các kiến thức về lĩnh vực xử lý tín hiệu kết hợp của miền thời gian và không gian bao gồm: Các vấn đề về tính chất kênh truyền ở miền không gian và thời gian, mô hình hệ thống đa ăng ten phát và thu MIMO, mô hình hệ thống kênh MIMO, các phương pháp mã hóa không gian và thời gian cơ bản (sơ đồ mã hóa và giải mã STBC của Alamouti). Sự kết hợp của công nghệ MIMO với các kỹ thuật anten thông minh, kỹ thuật điều chề trựcgiao OFDM. Các ứng dụng của kỹ thuật xử lý tín hiệu không gian và thời gian trong các hệ thống thông tin tiên tiến.

Giáo trình môn các hệ thống không gian thời gian

Dành cho sinh viên đại học và cao học

Học phần giới thiệu các kiến thức về lĩnh vực xử lý tín hiệu kết hợp của miền thời gian và không gian bao gồm: Các vấn đề về tính chất kênh truyền ở miền không gian và thời gian, mô hình hệ thống đa ăng ten phát và thu MIMO, mô hình hệ thống kênh MIMO, các phương pháp mã hóa không gian và thời gian cơ bản (sơ đồ mã hóa và giải mã STBC của Alamouti) Sự kết hợp của công nghệ MIMO với các kỹ thuật anten thông minh, kỹ thuật điều chề trựcgiao OFDM Các ứng dụng của kỹ thuật xử lý tín hiệu không gian và thời gian trong các hệ thống thông tin tiên tiến

The course introduces the knowledge of the space-time signal processing which include: the charateristics of channels in the space and time domain, the MIMO system with multipe transmit and receive antenna, the methods of space and time encoding and decoding(Scheme of Alamouti STBC) The combination of MIMO with OFDM technology to enhance the channel capacity and spectrum efficiency The combination of MIMO technology with smart antenna for avanced communication systems Beamforming technique and antenna array design methods for MIMO sytem

Chương 1: Giới thiệu

1 Những khái niệm cơ bản

- Tín hiệu rời rạc và liên tục

- Tin hieu 1 D,2D PAM-QAM

- Dung lượng của kênh truyền – SISO MIMO

- Outage capacity is probability of correction error transmit with bit rate is higher than shanol limit

- Giới hạn shannol:

- Eb No SNR, hiệu quả sử dụng phổ

- Es of M-PAM , M-QAM

- Tỷ lệ lỗi bit, tỷ lệ lỗi ký hiệu

2 Mô hình hệ thống thông tin

- Mã hóa nguôn – mã hóa kênh – tín hiệu điểu chế - nhiều anten phát thu……

- Các vấn đề đồng bộ và ước lượng kênh truyền

Chương 2: kênh vô tuyến

Khái niệm, đáp ứng thời gian, tần số kênh, các hàm phân bố kênh

Các loại Kênh vô tuyến SISO,… MIMO,

Dung lượng kênh MIMO, SVD, EIG of matrix

Phỏng tạo kênh SISO,MIMO

Chương 1: Các khái niệm cơ bản

1 Một số khái niệm cơ bản

- Đơn vị tính, db, mdb, v,

- Cts, disc

- Orthonormal PAM, 1-D 2-D signal

- Mức năng lượng (Công suất) trung bình trên một tín hiệu

- Es,Eb,SNR, special efficiency

- Shannol theory

- Power limited regime, bandwidth limited regime, ultimated shannol limited

- BER,SER, Q function của kênh AWGN, và RL

2 TDM,FDM,CDM,OFDM

3 Đồng bộ

4 Ước lượng kênh truyền

1 Mức năng lượng (Công suất) trung bình trên một tín hiệu

1.1 Điều chế M-PAM: Với sơ đồ điều chế M mức (M là số chẵn) -(M-1)α …-5α, -3α, -α, α,3α, 1)α E[M-PAM]=(2/M)∑12+32+…+M2) (general formular: Es=2α2(M2-1)/3

5α,…,(M-Ví dụ với M=1 ta có điều chế 2 mức E=2, M=2 điều chế 4 mức E=10,…

1.2 Điều chế QAM: Cách tính mức năng lượng trung bình tương tự như PAM nhưng trên các chòm sao

M-QAM là 2(M-1)/3

Ví dụ với QPSK=2, 16-QAM thì là 10, 64-QAM=42

So sánh tỷ lệ lỗi bit Với cùng mức năng lượng Es/N0

Chú ý rằng nếu tính theo Eb/No thì tỷ lệ

lỗi bít BPSK bằng ½ QPSK hay 4-PAM

bằng ½ 16QAM Bởi vì thực chất điều

chế QAM chính là 2 tín hiệu PAM

Es/No (DB)

2 Nhiễu truyền dẫn và lỗi bit

Ví du: Truyền hai số nhi phân 0,1 với xác suất lần lượt là 0,6 và 0,4 Biết xác xuất thu đúng tín hiệu là 0,9.Câu hỏi:

+ Tính xác suất nhận được 0 và 1 ở phía thu tín hiệu

+ Tính xác suất nhận được bit 0 trong trường hợp bên phát phát tín hiệu 0 đi

Giải:

P(y=0)=0.6*0.9+0.4*0.1=0.58

P(y=1)=0.42

P(y=0|x=0)=0.6*0.9/0.58=

Biết tín hiệu truyền đi s(t) ở một trong hai giá trị s1 hoặc s2

Hình dưới đây là sơ đồ khối bộ thu tín hiệu

Variance của n(t) được tính

df f H N df

N f

2

2

|)(

1

|(

2

2 / 2 ) 1 (v S

e s v

và của s2

πσ

σ2)

2

|(

2

2 / 2 ) 2 (v S

e s v

A là mức ngưỡng dùng để xác định, nếu s1 được gửi v>A hoặc s2 được gửi v<A Theo hình vẽ thì xácsuất lỗi cho bởi s1 là

p( | 2) ( | 2)

Tổng xác suất lỗi sẽ là

PE = pP(E|s1) + qP(E|s2)

ở đây p là xác suất s1 được gửi đi và q=1-p là xác suất s2 được gửi đi

Giá trị A tối ưu để nhận được PE min khi hàm đạt cực trị, lấy vi phân PE theo biến A và đặt bằng 0 khi đónhận được giá trị tối ưu của A

2

21ln

12

q

p S S A

2

122

Q S S erfc

0

)2(21)

2()

Trong trường hợp tổng quát khi H(f) được chọn tối ưu với tín hiệu sô nhị phân

Tỷ số tín hiệu /nhiễu được tính

N 0

2 0

2 max 1 [ 2( ) 1( )]

ξ

Thay cho (S1-S2)/σ ở công thức PE ở trên ta có

)2()(2

1

z Q z erfc

ở đây

z=ξ2 max/4

Ta sẽ tính giá trị zcho một số loại tín hiệu

Ví du1: Cho tín hiệu hai mức âm dương s1(t)=-A s2(t)=A Tb là thời gian truyền một bit

 s1-s2=2A thì ta sẽ có z=A2Tb/N0=Eb/N0

Ví dụ 2: Tín hiệu PSK-2P ta có trong khoảng 0<t<Tb - Tương đương với 2PAM [–α,+α]

s1(t)= -Ac cos2ðfct

S2(T)= A C COS(2PI*F C T)

 tính tích phân và ta có z=ac 2tb/2n0=eb/n0

TRONG TRƯỜNG HỢP NÀY A C 2 T B /2=E B VÌ ĐÂY LÀ TÍN HIỆU HÌNH SIN

Ví dụ 3: Tín hiệu ASK 2 mức ta có trong khoảng 0<t<Tb - Tương đương với PAM [0,+α]

s1(t)= 0

S2(T)= A C COS(2PI*F C T)

 Tính tích phân và thu được z=Ac 2Tb/8N0=Eb/2N0

Đây là điểm khác với PSK-2P vì tín hiệu chỉ truyển trong một nửa khoảng thời gian tính với sự xuất hiện trung bình của bit 0 và 1 là bằng nhau

Như vậy nếu so sánh PSK-2P với ASK thì hiệu quả của ASK kém PSK-2P 3dB so sánh về tỉ số SNR

Ví dụ 4: Tín hiệu FSK có trong khoảng 0<t<Tb

0

0)(2)(1

Ta tính được

z=Ac 2Tb/4N0=Eb/2N0Như vậy FSK cũng giống ASK

Chương 2: Kênh VT

-Hình 0-1: Mô hình hệ thống vô tuyến

-M T =M R =1 SISO Hệ thống một đầu vào một đầu ra

-M T =1 và M R >1 SIMO Hệ thống một đầu vào nhiều đầu ra

-M T >1 và M R =1 MISO Hệ thống nhiều đầu vào một đầu ra

-M T >1 và M R >1 MIMO Hệ thống nhiều đầu vào nhiều đầu ra

Hệ thống một anten thu phát - kênh SISO

Đặc điểm phân bố và dung lượng kênh truyền kênh Gaussian

(bps/Hz)

SNR)(1

log2 +

=

C

Đặc điểm phân bố và dung lượng kênh truyền kênh Rayleigh

Hình 0-2 Minh họa tính chất truyền dẫn đa đường của tín hiệu vô tuyến

Hình 0-3 (a) Đáp ứng xung (b) đáp ứng tần số của kênh truyền

Hàm mật độ xác suất của phân bố Rice

0)

) ( 2

2 2 2

v

v

v I e

p

v

δ

ξ δ

của các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố Gauss, I 0 : là hàm Bessel sửa đổi loại 1 bậc 0.

Phân bố Rice thường được mô tả bởi thông số K được định nghĩa như là tỷ số giữa công suất tín hiệu xác

định thành phần LOS và công suất các thành phần đa đường:

2

dB

v dB

2 2

(bps/Hz)

)(

|

|1log

P SNR=

gọi là tỷ số giữa công suất tín hiệu trên

công suất nhiễu.

Dung lượng các hệ thống đa sóng mang SISO-OFDM

Trong trường hợp các hệ thống đa sóng mang (ví dụ OFDM), dung lượng của toàn bộ hệ thống được tính bẳng tổng dung lượng của tất cả các sóng mang

(bps/Hz)

|

|1log

1

2 2

Thuật toán đổ nước - Dung lượng tối ưu của hệ thống Error: Reference source not found được tính

(bps/Hz)

|

|1log

1

2

* 2

H P C

|

|

1

kH

ở đây dấu biểu thức (.)+ tương đương với định nghĩa x + :=max(x,0) nghĩa là x + được tính bằng giá trị lớn nhất

giữa giá trị của x và giá tri không

Trong đó μ được tính theo công thức

0 1

P H

N

FFT N

Trên Hình 0-6 là kết quả so sánh hiệu quả sử dụng phổ tần của hệ thống trong trường hợp có và không sử

dụng thuật toán “đổ nước” (WF)

Hình 0-6 So sánh dung lượng kênh Rayleigh trong trường hợp có và không áp dụng thuật toán “đổ

nước-Water filling “ trong trường hợp δ =1

Hệ thống nhiều anten thu phát - kênh MIMO

Hình 0-7 Hệ thống nhiều anten thu phát

Ta giả sử rằng mỗi kênh truyền h ij giữa anten phát i và thu j tuân theo phân bố Rayleigh Ma trận kênh truyền có kích thước M R ×M T trong miền tần số có dạng

Ở đây H(ω) có

bậc L c là độ

dài kênh vô

tuyến Độ dài

kênh vô tuyến

L c được tính

bằng số lượng

mẫu đáp ứng xung của kênh truyền (xem Hình 0-3(a)) Khoảng thời gian giữa các mẫu này bằng nhau và bằng thời gian lấy mẫu của tín hiệu OFDM

1 0

, )

0

≤

≤

= ∑−

=

l

jl l

j h e e

Gọi x



là vector tín hiệu phát có kích thước M T ×1,

y 

là vector tín hiệu thu được có kích thước M R ×1 Biểu

thức biểu diễn sự liên hệ giữa tín hiệu phát thu và kênh truyền như sau

n x H

n

là vector nhiễu Gaussian có kích thước M R ×1.

Dung lượng kênh MIMO được tính như sau Error: Reference source not found



















 +

T M

M

C log det R ρ

2

bps/Hz

(0-0)

Ở đây I là ma trận đơn vị kích thước M R ×M R , ρ là tỷ số giữa mức tín hiệu nhận được trên nhiễu (chính là

2

/σ

P

) Q là hiệp phương sai của tín hiệu phát Q=cov(E[xx H ]), H H là chuyển vị và liên hợp phức

của ma trận H.





























=

) (

) ( ) (

) (

) ( ) ( ) (

) ( )

(

2 1

2 22

12

1 21

11

ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω

ω

R T R

R

T T

M M M

M

M M

H H

H

H H

H

H H

H

Trong đó V là ma trận đường chéo

)0, ,0,, ,

,( 1 2 min(M T,M R)

Diag λ λ λ

kích thước M R ×M T chứa các giá trị kỳ

dị (singular) của H còn hai ma trận U kích thước M R ×M R , ma trận D kích thước M T ×M T là các ma trận đơn

nhất (unitary matrix) chứa lần lượt các vector các giá trị kỳ dị bên trái và bên phải của H Như vậy kênh

MIMO trong trường hợp này đã được phân tích thành min(M T ,M R ) kênh truyền đơn lẻ song song với hệ số kênh truyền chính là các giá trị kỳ dị λi

Tầm quan trọng của giá trị kỳ dị nhỏ nhất

Giá trị kỳ dị nhỏ nhất có một ý nghĩa rất quan trọng trong hệ thống, nó có đặc điểm là các số dương và giảm dần

0 min( , )2

1 >λ > >λ M T M R >

λ

trong đó giá trị nhỏ nhất là

) , min(M T M R

λ

Theo cách tính đại số về ma trận, với một vector x

 bất kỳ ta có Error: Reference source not found:

lỗi bít của hệ thống phụ thuộc vào khoảng cách tối thiểu giữa các thành phần của R Ký hiệu d min là khoảng cách tối thiểu giữa các thành phần tín hiệu thu:

||

)(

R

s s

Do đó

0 ) , min(

) , min(

min || || d

d

R T R

Với d 0 là khoảng cách tối thiểu giữa hai từ mã nằm trong tập {S}.

Từ phương trình (0-0) ta thấy rằng tỷ lệ lỗi bít của hệ thống liên quan mật thiết với giá trị kỳ dị nhỏ nhất của kênh truyền Do vậy việc nghiên cứu đặc tính phân bố của khoàng cách tối thiều giữa hai từ mã là đặc biệt quan trọng trong hệ thống MIMO

Dung lượng hệ thống đóng (Closed loop) - kênh không tương quan

thuật toán Water Filling (WF)

(bps/Hz)

)(log

1 2

Biểu thức (.)+ biểu thị chỉ lấy giá trị dương và với m= min(M T ,M R )

Với việc sử dụng bất kỳ một ma trận thông tin Q là ma trận đơn nhất, bên phát có thể tăng dung lượng của

hệ thống mở MIMO với min(M T ,M R ) lần lớn hơn hệ thống SISO

Hình 0-8 Dung lượng kênh MIMO Hình 0-9 Hàm mật độ phân bố các giá trị kỳ dị (λ i)

của ma trận kênh MIMO

Trường hợp kênh có tương quan (Correlated channel)

Một ma trận kênh MIMO có thể phân tích thành 2 thành phần

g

m H H

Trong đó hg=vec(Hg), R0 là ma trận nửa dương (HPS) Hiệp phương sai R0 thường được giả sử cho đơn giản

với cấu trúc Kronecker Error: Reference source not found Mô hình Kronecker giả sử rằng hiệp phương sai

của kênh vô hướng nhìn từ tất cả M T anten phát tới một anten thu đơn (tương ứng với một hàng của H) là giống nhau cho bất kỳ một anten nhận nào và bằng ma trận Rt kích thước (M T ×M T) Đặt

t i

h

là hàng i của H g

thì Error: Reference source not found

] [ h hH

j j

Cả hai Rt, Rr đều là ma trận nửa dương (HPS) Hiệp phương sai của kênh bây giờ có thể định nghĩa

r

t R R

t w r

m R H R H

Ở đây Hw là ma trận M R ×M T với giá trị trung bình bằng không và phương sai bằng đơn vị với các giá trị phức Gaussian

2 / 1

R1 / 2 1 / 2 =

Điều này tương tự với

2 / 1

r

R

()

(

1)

(

11

2 2

2

2 2

) 3 (

* 3 )

2 (

* 2 )

1 (

* 1

) 3 ( 3

* 32 4

* 31

) 2 ( 2 23

* 21

) 1 ( 1

4 13 12

T t

T

T T

T T

Tt T

M M

M M

M M

M M

M M

M M

t

r r

r

r r

r

r r

r

r r

()

()

(

1)

(

11

2 2

2

2 2 2

) 3 (

* 3 )

2 (

* 2 )

1 (

* 1

) 3 ( 3

* 32 4

* 31

) 2 ( 2 23

* 21

) 1 ( 1

4 13 12

R R

R

R R

R R

R R

M M

M M

M M

M M

M M

M M

r

r r

r

r r

r

r r

r

r r

r

Ở đây (*) là liên hiệp phức Các giá trị r ij thể hiện sự tương quan giữa hai anten i và j, nó có giá trị từ 0 đến

1 Trong trường hợp r ij =0 nghĩa là hoàn toàn không tương quan Trường hợp bằng 1 là tương quan hoàn

t

D D T và D f

Ở đây f D là tần số Doppler, T s là thời gian một ký hiệu OFDM, f s là tần số lấy mẫu của tín hiệu OFDM và

τ max là trễ truyền sóng lớn nhất của kênh truyền

Hình 0-11: Cấu trúc tín hiệu truyền trong hệ thống OFDM Error: Reference source not found

Ước lượng kênh cho hệ thống SISO-OFDM

Ước lượng theo phương pháp bình phương nhỏ nhất (LS)

1 ( 1

) 1 ( 0 ) 1 (

) 1 ( 0 01

FFT FFT

FFT

FFT FFT FFT

FFT

N N N

N N

N N

N N N

N

W W

W

W W

W

Các thành phần của F:

FFT FFT

N nk j FFT

Ước lượng theo phương pháp tối thiểu hóa sai lỗi bình phương nhỏ nhất (MMSE)

ước lượng kênh

MMSE

h

được xây dựng từ ma trận tự tương quan R yy và ma trận tương quan chéo R hy Giả sử

rẳng ma trận tự tương quan của kênh truyền R hh và phương sai nhiễu (noise phương sai) σ2 đã được biết Ta có:

H hh H

H

HH E H H E F h )(F h FR F

H H H

H

hy E h y E h (XF h n R F X

I X

F XFR y

Lấy biến đổi IFFT để ta có đáp ứng tần số Error: Reference source not found:

LS

H HH

HH MMSE

Hình 0-12: So sánh kết quả giữa hai phương pháp ước lượng kênh LS và MMSE

Ước lượng kênh cho hệ thống MIMO-OFDM

Sơ đồ hệ thống MIMO-OFDM như trên Hình 0-13

Hình 0-13 Sơ đồ khối hệ thống MIMO-OFDMvới các hệ thống MIMO 2×2, tín hiệu dẫn đường được bố trí như sau

012

Anten

1Anten

k r

k t

k r t

k

r H X n Y

tín hiệu dẫn đường và nhiễu trắng Gauss M T là số lượng anten phát (xem Hình 0-13)

Để biểu diễn tín hiệu dẫn đường nhận được của tất cả các sóng mang con Y , k=0, ,N r k FFT -1 ta định nghĩa vector tín hiệu dẫn đường nhận được cộng nhiễu ở anten thu r Error: Reference source not found:

H

T FFT r r

r =[Y[0], ,Y[N −1]]

T FFT r r

r =[n[0], , n[N −1]]

Trong phương trình trên, N FFT là số sóng mang con Toán hạng (.)T là toán hạng chuyển vị ma trận Các hệ số

kênh truyền giữa tất cả anten phát và anten thu thứ r là một vector (M T N FFT )×1

T r M r t r

r [H1, , , H, , H T, ]

ở đây

T r t r

t r

t, =[H , , , H , ]

H

là đáp ứng tần số kênh truyền giữa anten phát t và thu r Tín hiệu dẫn đường X

được kết hợp trong ma trận N FFT × (M T N FFT ) biểu diễn dưới dạng

}]

{}, ,{}, ,{

ở đây

T FFT t t

t =[X [0], , X [N −1]]

X

và

}{ t

diag X

là ma trận đường chéo với các thành phần của vector t

X

trên đường chéo của nó

Cuối cùng vector tín hiệu dẫn đường nhận được có thể viết

r r

r H X n

Quan hệ giữa đáp ứng thời gian

T r

t r

t r

r t r

, 1 0

, 1

1 , 1 1

, 1 0

, 1

1 , 0 1

, 0 0

, 0

FFT

FFT FFT

N N N

N

N N

F F

F

F F

F

F F

F

Các thành phần của F: Fp,q =e -j2π(pq/NFFT) Đáp ứng thời gian của kênh có độ dài L c tương ứng với độ dài tối đa

của trễ phát kênh ở dạng rời rạc nhưng phải nhỏ hơn độ dài N FFT Bằng việc diễn tả đáp ứng thời gian của kênh (0-0), vector giải điều chế trong (0-0) có thể viết lại

r r

r Q h n

ở đây

]}{, ,}{[diag X1 FL diag XM T FL

và

T r N r t r

r [h1 , , ,h, , h T, ]

Việc ước lượng vector đáp ứng thời gian của kênh có thể nhận được bằng ước lượng LS theo Error:

Reference source not found

Ở đây (.) H là chuyển đổi Hermitian Việc ước lượng thành công LS phụ thuộc vào sự tồn tại của ma trận

nghịch đảo (Q H Q)-1 Nếu ma trận Q H Q là singular (hoặc gần singular) thì giải pháp LS không tồn tại hay

không tin cậy

Ước lượng kênh ZF được tính theo công thức sau Error: Reference source not found

H 1 H

ZF (H H) H

Và trong trường hợp ước lượng kênh MMSE (Minimum Mean Square Error)

H 1 N T

H MMSE (H H I ) H

Chương 3: hệ thống MIMO

- Kỹ thuật phân tập không gian- sử dụng nhiều anten thu phát -

- KTPT thời gian- xử dụng các kỹ thuật xáo trộn cài xen, lặp bit…

- MRC cho hệ thống 1 anten phát nhiều thu

- Hệ thống nhiều phat một thu – beamforming

- MIMO - MIMO ZF SIC Vblash

1 MRC

- MRC cho hệ thống 1 anten phát nhiều thu

Maximal Ratio Combining (MRC)

5 On each receive antenna, the noise has the Gaussian probability density function with

is the received symbol from all the receive antenna

is the channel on all the receive antenna

is the noise on all the receive antenna

The equalized symbol is,

Effective Eb/No with Maximal Ratio Combining (MRC)

Earlier, we noted that in the presence of channel , the instantaneous bit energy to noise ratio at receive antenna is

Given that we are equalizing the channel with , with the receive antenna case, the effective bit energy to noise ratio is,

Effective bit energy to noise ratio in a N receive antenna case is N times the bit energy to noise ratio for single antenna case Recall, this gain is same as the improvement which we got in Receive diversity for AWGN case

Click here to download Matlab/Octave script for plotting effective SNR with Maximal Ratio Combining in Rayleigh channel

Figure: Effective SNR with Maximal Ratio Combining in Rayleigh fading channel

Error rate with Maximal Ratio Combining (MRC)

From the discussion on chi-square random variable, we know that, if is a Rayleigh distributed random variable, then is a chi-squared random variable with two degrees of freedom The pdf of is

Since the effective bit energy to noise ratio is the sum of such random variables, the pdf of is a

If you recall, in the post on BER computation in AWGN, with bit energy to noise ratio of , the bit error rate for BPSK in AWGN is derived as

.Given that the effective bit energy to noise ratio with maximal ratio combining is , the total bit error rate is the integral of the conditional BER integrated over all possible values of

is the received symbol,

is the channel on the transmit antenna,

is the transmitted symbol and

is the noise on the receive antenna

When transmit beamforming is applied, we multiply the symbol from each transmit antenna with a

complex number corresponding to the inverse of the phase of the channel so as to ensure that the signals

add constructively at the receiver In this scenario, the received signal is,

,where,

and

In this case, the signal at the receiver is,

.For equalization, we need to divide the received symbol with the new effective channel, i.e,

Figure: BER plot for 2 transmit 1 receive beamforming for BPSK in Rayleigh channel

2 MIMO

- MIMO thường

- MIMO khử nhiễu ZF, ZF opt, MMSE,…

MIMO with Zero Forcing equalizer

2×2 MIMO channel

Other Assumptions

5 On the receive antenna, the noise has the Gaussian probability density function with

Zero forcing (ZF) equalizer for 2×2 MIMO channel

Let us now try to understand the math for extracting the two symbols which interfered with each other In the first time slot, the received signal on the first receive antenna is,

.The received signal on the second receive antenna is,

.where

, are the received symbol on the first and second antenna respectively,

Equivalently,

(ZF) linear detector for meeting this constraint is given by,

.This matrix is also known as the pseudo inverse for a general m x n matrix

The term,

MMSE case

BER with ZF equalizer with 2×2 MIMO

zero in Alamouti 2×1 STBC case)

For BPSK modulation in Rayleigh fading channel, the bit error rate is derived as,

Simulation Model

Figure: BER plot for 2×2 MIMO channel with ZF equalizer (BPSK modulation in Rayleigh channel)

MIMO with Zero Forcing Successive Interference

Cancellation equalizer

2×2 MIMO channel

Zero forcing equalizer for 2×2 MIMO channel

Let us now try to understand the math for extracting the two symbols which interfered with each other In the first time slot, the received signal on the first receive antenna is,

.The received signal on the second receive antenna is,

.where

, are the received symbol on the first and second antenna respectively,

For convenience, the above equation can be represented in matrix notation as follows: