Thuật Toán Nhanh Và Chính Xác Cao Để Tính Trở kháng Quay Về Đất Của Dây Dẫn Ngầm Tóm tắt trở kháng quay về đất của dây dẫn ngầm, được đưa ra lần đầu tiên bởi Pollaczek, thuật ngữ này đặc biệt quan trọng cho việc nghiên cứu các vấn đề về tương thích điện từ trong hệ thống dây dẫn ngầm. Trong bài báo này, một thuật toán nhanh và chính xác cao được trình bày để tính toán dùng Pollaczek.
Trang 1MỤC LỤC
Trang 2Thuật Toán Nhanh Và Chính Xác Cao Để Tính Trở kháng Quay Về
Đất Của Dây Dẫn Ngầm
Jun Zou, JunJie Li, J B Lee, and S H Chang
Tóm tắt - trở kháng quay về đất của dây dẫn ngầm, được đưa ra lần đầu tiên bởi Pollaczek, thuật ngữ này đặc biệt quan trọng cho việc nghiên cứu các vấn đề về tương thích điện từ trong hệ thống dây dẫn ngầm Trong bài báo này, một thuật toán nhanh và chính xác cao được trình bày để tính toán dùng Pollaczek Độ chính xác cao có được bởi thực tế của tích phân cắt Pollaczek là xấp xỉ của một tổng các tích phân theo cấp số nhân, về bản chất có nghĩa là không có tích phân cắt Pollaczek Việc so sánh rộng rãi với các dữ liệu được công bố chỉ ra rằng các thuật toán đề xuất chính xác cao và thời gian tính toán là hợp lý.
Giới hạn chỉ mục hóa – trở kháng quay về đất, tích phân Pollaczek, tích phân cắt.
I. Giới thiệu
Các tần số phụ thuộc trở kháng quay về đất của dây dẫn ngầm là cần thiết trong nhiều nghiên cứu, ví dụ, mô phỏng điện áp của dây điện ngầm, và các khớp nối điện giữa các hệ thống điện ngầm và hệ thống thông tin liên lạc Sự đóng góp của trở kháng quay về đất của dây dẫn điện ngầm đóng một vai trò quan trọng Cụ thể, theo [7], cho tự trở kháng của dây cáp ngầm, khoảng 90% trở kháng là do sự đóng góp của trở kháng quay về đất, còn lại là trở kháng của dây dẫn trên mặt đất bao gồm các thành phần của không khí và đất.
Trở kháng quay về đất của dây dẫn điện ngầm, ban đầu được phát hiện bởi Pollaczek [1] vào năm 1926 và đã được nghiên cứu trong nhiều thập kỷ Biểu thức tính trở kháng quay về đất của Pollaczek có chứa tích phân vô hạn số phức được biết đến với hội tụ kém Trong quá khứ, nhiều nỗ lực đã được thực hiện đơn giản hóa các tích phân của Pollaczek với một giả định nào đó để có được một biểu thức dạng đóng Biểu thức [2] và [9], một biểu thức dạng đóng của trở kháng trở lại đất của dây cáp ngầm đã được đề xuất bởi Saad, Gaba, và Giroux
Trang 3[SGG], và so sánh với các công thức có sẵn khác để đơn giản hóa công thức, chẳng hạn như Ωedepohl [3], Ametani [4], và xấp xỉ Semlyen [5] Như đã nêu trong [2] và [9], công thức SGG hóa ra lại là một xấp xỉ tốt hơn so với các công thức [3] và [5] trong một dải tần số cho các mô phỏng của hệ thống dây cáp ngầm Giới hạn của xấp xỉ SGG, đã chỉ ra trong [2], là sự tách biệt giữa hai dây dẫn ngầm nên nhỏ hơn tổng chiều sâu của hai dây dẫn
Mặc dù sự tồn tại của các công thức đơn giản, chính xác đủ cho các ứng dụng
kỹ thuật, đánh giá trở kháng quay về đất của dây dẫn ngầm bằng cách sử dụng tích phân thu hút nhiều sự chú ý Lý do là phương pháp tích phân có thể có một loạt các tham số được áp dụng rộng hơn, và cung cấp một tiêu chuẩn để đánh giá tính hợp lệ của các công thức xấp xỉ khác [2], [6], [7], [12], [14], [15] Trở ngại hiện tồn tại trong việc tính tích phân trực tiếp để đánh giá công thức Pollaczek là thời gian tính toán và thực thi mã phức tạp Đối với phương pháp tích phân số trực tiếp, tích phân cắt Pollaczek là cần thiết để tích phân số khả thi Để đạt được điều này, một tập hợp các khoảng con có thể được hình thành bằng cách chia các khoảng thời gian cắt ngắn tích phân, và các thủ tục vuông góc được thực hiện trong mỗi khoảng con để xử lý các dao động số.
Công thức chuẩn hóa và không có thứ nguyên được trình bày trong [6] Ưu điểm của phương pháp chuẩn hóa [6] là hai thanh lịch được xác định biến chiều hoàn toàn có thể đại diện cho năm biến vật lý trong tích phân của Pollaczek, trong khi bất lợi là không thấu hiểu vật lý bằng cách sử dụng các biến chiều Gần đây, Monte Carlo là một phương pháp số không tất định, được sử dụng để đánh giá tích phân của Pollaczek trong [7], [8] Biểu thức [14], [15], tương ứng
là thuật toán tích phân trực tiếp sử dụng cho dây dẫn ngầm trong lòng đất đồng nhất và phân tầng
Bài viết này sẽ tập trung vào đánh giá nhanh chóng trở kháng quay về đất của dây dẫn ngầm bằng cách sử dụng công nghệ số vuông góc Trong biểu thức [10], một thuật toán rất đơn giản và hiệu quả, với sự giúp đỡ của công nghệ khai thác tiệm cận, đã được trình bày để đánh giá phối hợp trở kháng giữa các
Trang 4dây dẫn trên mặt đất và dây dẫn ngầm các thuật toán trong biểu thức [10] tích phân cắt tại một điểm cố định, có thể dẫn đến một lỗi ở tần số cao Bài viết này, trên thực tế là việc mở rộng công thức [10] để tính tích phân cắt Pollaczek Tích phân cuối có thể được chuyển đổi để được một tổng tích phân theo cấp số nhân,
đó là sự khác biệt giữ bản gốc và tiệm cận kernel bằng một đa thức
[Bản thảo đã được nhận vào ngày 02 tháng 02 năm 2010; sửa đổi ngày 02 Tháng 05 năm 2010, chấp nhận tháng ngày 02 tháng 07 năm 2010 Ngày công
bố 01 Tháng 11 năm 2010, phiên bản hiện tại ngày 16 tháng 02 năm 2011 Công trình này được hỗ trợ bởi National Natural Science Foundation of China under Grant 50777038.
Jun Zou và Junjie Li với Phòng thí nghiệm chính Nhà nước kiểm soát và mô phỏng hệ thống điện và thiết bị thế hệ, Khoa Điện tử, Đại học Thanh Hoa, Bắc Kinh 100084, Trung Quốc [e-mail: zoujun@tsinghua.edu.cn ].
JB Lee và SH Chang với Tập đoàn Môi trường Điện, Viện nghiên cứu công nghệ điện Hàn Quốc, Changωon 641600, Hàn Quốc.
Đối tượng nhận dạng kỹ thuật số 10.1109/TEMC.2010.2057432.]
II. Phát triển thuật toán
Hệ thống vật lý trong nghiên cứu, trong đó bao gồm hai dây dẫn kim loại và filiform dài vô hạn song song với trục z, được thể hiện trong hình 1 Không khí được đặc trưng bởi độ từ thẩm μ 0 và trái đất được giả định là đồng nhất và đẳng hướng, với các thông số độ dẫn điện σ và độ từ thẩm μ 0
Trở kháng phối hợp quay về đất giữa hai dây dẫn Z[jω] là như sau [1]:
J im ped = (2) Với:
j = , u = , k =
Trang 5là khoảng cách ngang giữa hai dây dẫn.
h 1 và h 2 biểu thị độ sâu của hai dây dẫn chôn tương ứng.
R là bán kính của dây dẫn 2.
K 0 là hàm biến đổi phức tạp Bessel
Trong hình 1, d được định nghĩa: d = là khoảng cách giữa hai dây dẫn ngầm và D là khoảng cách giữa dây dẫn ngầm và ảnh của các dây dẫn khác: D
=
Nếu h 1 = h 2 và = R tự trở kháng của một dây dẫn ngầm vẫn có thể được đánh giá bởi [1].
Hình 1 Dạng hình học của hai dây dẫn ngầm được nghiên cứu Bằng cách làm theo tính toán trong biểu thức [10] tích phân J im ped có thể được thể hiện như sau:
J im ped = J im ped 0 + J im ped Δ (3)
J im ped 0 = (4)
Với:
Trang 6(6) (7)
(8) (9) (10)
F asy [λ] là hàm tiệm cận của F[λ] khi λ >> |k| b trong [4] là một điểm tùy ý tại trục dương λ, và T trong [4] và [5] là các định nghĩa trước điểm tích phân cắt
J im ped Tích phân theo cấp số nhân [11] có thể được đánh giá bằng cách gọi thông thường hiện có Các độc giả quan tâm có thể tham khảo để đánh giá số hàm toán học đặc biệt "mfun" và tích phân theo cấp số nhân E i [n,Z] để sử dụng với
"mfun" trong MATLAB Các dẫn dòng của tích phân J im ped 0 trong [4] được cố ý bỏ qua và có thể được tìm thấy trong [10].
Do bị cắt ngắn tại một điểm cố định nhất định, ví dụ, T = 10| k |, và bỏ qua sự đóng góp của J im ped Δ không thể thiếu trong [5], tích phân J im ped có thể trở nên kém chính xác khi tần số cao hoặc tách khoảng cách của hai dây dẫn sẽ trở thành lớn Lý do cũng đơn giản như quy định tích phân trong [5] có thể là đáng
kể, mặc dù tầm quan trọng của phương pháp tiếp cận zero ΔF[λ] Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sử dụng tích phân J im ped Δ trong [5].
Bắt đầu từ [9], ta có thể viết lại:
(11) Với:
(12)
Để tìm ra dạng đa thức có thể phù hợp với G[λ], đó là cần thiết để có được những biểu thức tiệm cận cho λ >> |k|.
Sử dụng công thức Taylor mở rộng, ta có:
(13) Với [13], xấp xỉ thu được:
(14)
G [λ] có thể được xấp xỉ bằng cách thay [14] vào [12] và mở rộng các chức năng theo cấp số nhân tại số không, nghĩa là:
(15) Chuyển biến λ = |k|ξ, ta có:
(|k|ξ) (16)
Trang 7Rõ ràng, [16] là một bằng chứng toán học rằng các đa thức của ξ trình
tự tiêu cực có thể phù hợp với G [λ] khi λ >> | k |.Tuy nhiên, nếu λ không phải
là lớn hơn nhiều so với | k |, xấp xỉ bằng số phải được thông qua để tiếp cận G [λ], tức là:
(|k|ξ) (17) Trong đó M là số lượng thời hạn được xác định trước của đa thức α m là hệ
số được xác định như sau:
Trong bài báo này, một phương pháp điểm kết hợp [13] được thông qua
để xác định hệ số α m , tức là:
(18) Trong đó N là số lấy mẫu trong khoảng thời gian và ξn là điểm lấy mẫu thứ
n Phù hợp với [18], phương trình tuyến tính M có thể được thành lập để xác định α m
Đó là giá trị lưu ý hai điểm sau đây để thực hiện các thuật toán đề xuất Một
là về số lượng đa thức thời hạn M trong [18] Để giữ ổn định số, M không nên được thiết lập quá lớn và phạm vi hợp lý của nó là 3 ~ 5 Nếu M là lớn, hệ số ma trận thuận tay trái xấu sẽ được thành lập, mà thường đặt ra một số bất ổn Là khoảng thời gian lấy mẫu của biến ξ Vì tầm quan trọng của G[λ] thực sự phân
rã rất nhanh, để tránh mất đi tính chính xác số của thời hạn bên phải của [18], khoảng thời gian thích hợp của biến ξ nên trong [10, 50], tương ứng với khoảng thời gian các biến λ [10| k |, 50| k |] Ví dụ số sau đây trong mục III cho thấy rằng khoảng thời gian này của biến λ cho phù hợp G[λ] là đủ lớn.
Bằng công thức Euler và xấp xỉ trong [17], J có thể được thể hiện như sau:
(19)
Rõ ràng, [19] có thể được viết lại để được:
(20)
Bảng I
So sánh sự tự trở kháng của cáp
Trang 8Bảng II
So sánh phối hợp trở kháng của cáp
Đặt ξ = [T / |k|]t, biểu thức sau sẽ thu được:
(21)
III. Một số ví dụ
Trong phần này, trước khi trình bày của các kết quả và so sánh tương ứng,
nó phải được thể hiện rằng tất cả các kết quả tham khảo để điều chỉnh để tính trở kháng quay về đất với tổng số trở kháng cáp, và các hiệu ứng gần của cáp không được tính vào kết quả.
A. So sánh với các kết quả
Trong [7], tự trở kháng và phối hợp trở kháng của các loại cáp ngầm của
ba giai đoạn được tính toán bằng cách sử dụng Monte Carlo và các phương pháp tích phân các số trong [12] Trong hình 2, tất cả các thông số hình học cần thiết của các loại cáp ngầm trong [7] được đưa ra.
Bảng I và II cho thấy so sánh của tự trở kháng và phối hợp trở kháng giữa cáckết quả trong [7] và những cách sử dụng các thuật toán đề xuất trong bài báo này Các kết quả được tính bằng một máy tính cá nhân với một CPU Pentium 4, 3GHz và bộ nhớ 1 GB Nó có thể được xem là thỏa thuận hoàn hảo đã đạt được sau khi so sánh tất cả các trở kháng với sự kết hợp các tham số khác nhau Trong [7], đã không đề cập đến các máy tính được sử dụng để tính toán
Trang 9kết quả; do đó, nó là không công bằng khi so sánh thời gian giữa phương pháp tính toán trong [7] và trong bài báo này Một thực tế rõ ràng là thời gian tính toán bằng các thuật toán đề xuất là ít hơn 1s, đó là chấp nhận được theo quan điểm của kỹ thuật thực tế.
Hình 2 Cáp ngầm ngang trong ba giai đoạn của hệ thống
B. Đóng góp của các tích phân J im ped Δ
Trở kháng quay về đất lỗi Δ được tính như sau:
(22) Với Z Gauss-Lobatto [j] trình bày các trở kháng được tính bằng cách sử dụng adaptive vuông góc Gauss-Lobatto, và được thực hiện như là một tài liệu tham khảo; Z Approx [j] có thể là một trong ba trở kháng sau: 1 Z J im ped 0 [j], không xem xét sự đóng góp của tích phân J im ped Δ ; 2 Z J im ped Δ [j], trong đó bao gồm sự đóng góp của tích phân J im ped Δ ; và 3 Z SGG [j] là biểu thức dạng đóng.
Trang 10Hình 3 Không có sai số tương đối với J im ped Δ , x = 0.35m
Hình 4 Không có sai số tương đối với J im ped Δ , x = 500m Tính trở kháng của cáp ngầm [2] và được đưa ra như sau:
Z SGG [j] = (23)
Độ sâu của hai dây dẫn là 1m, và độ dẫn điện nối đất tương ứng là 0,1 và 0,01S/m, hình 3 và 4 cho thấy các sai số tương đối của trở kháng quay về đất đối với tần số khác nhau, khi khoảng cách ngang x là 0,35m và 500m Từ Hình 3
Trang 11và 4, mặc dù sự hiện diện của các dao động xảy ra ở những con số này, người
ta có thể quan sát hai sự kiện nếu tần số dưới 1 MHz Sự kiện đầu tiên, Z J im ped 0 , Z
J im ped Δ [jω], và Z Saad [jω] là chính xác khi sự tách biệt theo chiều ngang của hai dây dẫn không phải là lớn Điều này đơn giản chỉ có nghĩa là không có yêu cầu để tính toán tích phân đuôi của Jim ped và Z Saad [jω] là một công thức rất phù hợp và thuận tiện trong tình huống này Thứ hai, khi hai dây dẫn được tách ra,
sự đóng góp của tích phân J im ped Δ là rõ ràng và cần được chắc chắn Công thức của SGG có thể không được thông qua khi x lớn và sai số tương đối của nó
có thể cao đến 45% Sai số tương đối có thể đạt được khoảng 1% nếu chỉ có bao gồm tích phân của J im ped 0 Tuy nhiên, nếu sự đóng góp của tích phân J im ped Δ được xem là đúng, giá trị trở kháng chính xác cao có thể được tính toán Tỷ lệ phần trăm sai số tương đối có thể sẽ rất thấp cỡ 10 -8 %; giá trị trở kháng này có thể được cho là giống hệt với một trong những "chính xác".
IV. Kết luận
Tích phân pollaczek là cơ sở để đánh giá trở kháng quay về đất của dây dẫn ngẫm Bài viết này trình bày một thuật toán chính xác cao và nhanh chóng để đánh giá tích phân của Pollaczek Với sự hỗ trợ của tích phân theo cấp số nhân, tích phân pollaczek liên quan đến không có giới hạn vô hạn, có thể được tính toán mà không gặp khó khăn, theo phạm vi các thông số của tích phân Pollaczek
có thể được sử dụng, các thuật toán đề xuất đạt hiệu quả cao; thông thường, thời gian cho tính toán trở kháng tại mỗi tần số cụ thể sẽ trong khoảng vài trăm mili giây Phương pháp đề xuất có thể được sử dụng để tính toán các thông số của cấp ngầm.
Trang 12Tài liệu tham khảo
[1] F Pollaczek, “U¨ ber das feld einer unendlich langen ωechsel
stromdurchflossenen Einfachleitung,” Elect Nachr Tech., vol 3, no 9, pp 339– 360,1926.
[2] O Saad, G Baba, and M Giroux, “A closed-form approximation froground
return impedance of underground cables,” IEEE Trans Poωer Del., vol 11, no 3,
pp 1536–1545, Jul 1996.
[3] L.M.Ωedepohl and D J.Ωilcox, “Transit analysis of underground poωer
transmission systems,” Proc IEEE, vol 120, no 2, pp 253–260, Feb.1973.
[4] H Ω Dommel, “Overhead line parameters from handbook formulas and
computer programs,” IEEE Trans Poωer App Syst., vol PAS-104, no 2, pp 366–
372, Feb 1985.
[5] H Ω Dommel, “Electromagnetic transients program,” in EMTP Theory
Book Portland, OR: Bonneville Poωer Administration, 1986.
[6] F A Uribe, J L Naredo, P Moreno, and L Guardado, “Algorithmic
evaluation of underground cable earth impedances,” IEEE Trans Poωer Del., vol.
19, no 1, pp 316–322, Jan 2004.
[7] B Vahidi, B Hemmatian, and S H Hosseinian, “Monte Carlo method
application to evaluate the influence integrals of underground cable earthreturn path impedance,” COMPEL, vol 27, no 6, pp 1438–1450, 2008.
[8] x Legrand, A xemard, G Fleury, P Auriol, and C A Nucci, “A quasimonte
carlo integrationmethod applied to the computation of the Pollaczek integral,” IEEE Trans Poωer Del., vol 23, no 3, pp 1527–1534, Jul 2008.
[9] B Gustavsen, T Noda, J L Naredo, F A Uribe, and J.Martinez-Velasco,
Poωer System Transients: Parameter Determination Boca Raton, FL: CRC Press, 2009.
[10] J Zou, J B Lee, and S H Chang, “An efficient algorithm for calculating
the earth return mutual impedance of conductors ωith asymptotic extraction technology,” IEEE Trans Electromagn Compat., vol 51, no 2, pp 416–419, May 2009.
