Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án. Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án.Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án. Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án.Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án. Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án.Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án. Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án.
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2012
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG MÔN THI: TOÁN 1_Thời gian làm bài: 180 phút
ĐỀ THI THỬ 1
Câu 1 (2 điểm) Tính các giới hạn sau:
a lim→
b lim→()
Câu 2 (2 điểm)
a Tính gần đúng A = ln(√1,03 + √0,98− 1)
b Tìm cực trị của hàm hai biến z = f(x,y) = xy với điều kiện x + y = 1
Câu 3 (2 điểm) Giải các phương trình vi phân sau:
a "#+ 2%" = % (
b "##+ 2"#+ " = 6% (
Câu 4 (2 điểm)
a Tính diện tích miền D giới hạn bởi: %+ " = 2%, % + " = 4%, " = %, " = 0
b Tính tích phân đường: I = + (%" − ",)-" + (4"%
Với (L): là phần elip
+
0
= 1, % ≥ 0 lấy từ điểm A(0,-2) đến điểm B(0,2) Câu 5 (2 điểm)
a Xét sự hội tụ của chuỗi số:
∑ 3(4)!,4!
b Tìm miền hội tụ của chuỗi số:
∑ (4)!(4!)(% − 1)4 46
======================Hết=======================
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2012
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG MÔN THI: TOÁN 1_Thời gian làm bài: 180 phút
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ 1
1
lim→
= lim→.
lim→.
.
(do 89:4%~4% <ℎ9 % → 0)
lim→(2 (
+ 8) = 2.1+8=10
0.25
0.25
0.5
lim→() = lim→( )= lim→(1 + )
= lim→{[(1 +2%+14 ) @A] @A}
= ( @A Khi % → ∞ Eℎì → 2
Do đó: lim→() = e2
0.25
0.25
0.25
0.25
2
a Tính gần đúng A = ln(√1,03 + √0,98− 1) 1 điểm Đặt z = ln(√% +G"-1)
x0= 1, ∆% = 0,03
y0=1, ∆" = −0,02 z’x=
A
I
( √ √0 , z’y =
A II
( √ √0
Ta co:
A ≈ ln(√%
+ G"− 1)= ln(√1 + √1− 1)+ A I
( √ √0 ∆% +
A II
( √ √0 ∆"
Thay số x= x0, y = y0, ta được kết quả: A ≈ 0,005
0.25
0.25
0.25
0.25
b Tìm cực trị của z = f(x,y) = xy với điều kiện x + y = 1
Đặt L= xy + λ(x+y-1) Giải hệ:K L
# = 0
L#0 = 0
% + " = 1⇒ N
" + O = 0
% + O = 0
% + " = 1
Ta được: x=y=1/2, λ=-0,5 Tính d2L =L##+2L##0+L##00=2>0
0.25
0.25 0.25
Trang 3Zmax = f(1/2,1/2)=1/4 tại điểm M(1/2,1/2)
3
Đây là phương trình vi phân cấp 1thuần nhất tuyến tính Ta có công thức nghiệm như sau:
y=( {Q + + (+ P %( -%}
y=( {Q + + (
%( -%}
y=( {Q + + %-%}
y=( {Q +}
0.25 0.25
0.25 0.25
b "##+ 2"# + " = 6% ((1) 1 điểm
• Phương trình đặc trưng: k2+2k+1=0 Giải ra được nghiệm kép k0= -1
y0= C1.e-x+C2.x.e-x
• Nghiệm riêng:
Ta có: f(x)= ex.6x λ=1 ≠ k0 => m = 0 P(x)=6x => n=1
Ta có y*= ex(A.x+B)
y*’= ex(A.x+B+A)
y*’’= ex(A.x+B+2A) Thay vào (1) ta có:
Ax+B+2A+2(Ax+B+A)+Ax+B = 6x
S 4T = 6T + U = 0 ⇔ WU = −3/2T = 3/2
=> y*=ex(,
.x−,) Kết luận: Nghiệm của phương trình:
y=y0+y*= C1.e-x+C2.x.e-x+ ex(,
.x−,)
0.25
0.25
0.25
0.25
4
a Tính diện tích miền D giới hạn bởi: %+ " = 2%, %+ " =
4%, " = %, " = 0
1 điểm
Chuyển sang tọa độ cực: Y% = Z[\8]" = Z89:]
Z ≥ 0
0.25
Trang 4Miền D biến thành miền E: Y2[\8] ≤ Z ≤ 4[\8]0 ≤ ] ≤ _
Diện tích miền D:
S=+ -] +a Z-Z= 3(_
+)(đ.v.d.t)
0.25
0.5
b
I = + (%" − ",)-" + (4"% (/) + %,)-%.Với (L): là phần elip + 0
= 1, % ≥ 0 lấy từ điểm A(0,-2) đến điểm B(0,2)
1 điểm
I=∮(c4dec) −+ dc = I1+I2
• Tính I1: AnBOA là đường cong kín thỏa mãn các điều kiện của công thức Green: f0#= 4x2
g#=y2
I1 = ∬ ("i − 4%)dxdy Biến đổi tọa độ cực:
S" = 2Z89:] , dxdy= 2rdrd], ("% = Z[\8] − 4%)=-4r2
.cos2]
(j) N%
1 +"
4 ≤ 1
% ≥ 0 ⇔ N
Z ≤ 1 Z[\8] ≥ 0
−k ≤ ] ≤ k, Z ≥ 0⇔ (l) Y
−k
2 ≤ ] ≤ k2
0 ≤ Z ≤ 1 Thay vào công thức đổi biến tọa độ cực:
I1= -8+ [\8a
a
2]d] + Z ,-Z=0
• Tính I2: Đường BA là đường thẳng x = 0 => dx = 0, với -2≤ " ≤2 Thay vào ta được: I2 = + −" ,-"=0
Vậy I = 0
0.25
0.25
0.25
0.25
5
a méE Eí:ℎ ℎộ9 Eụ [ủs [ℎtỗ9 v44(: + 1)!3:!
46
1 điểm
Ta tính D= lim→w3@A
w3 = lim→3@A,(4)!(4)! ,4!
3 (4)!
= lim→(4)(4)=4>1 Kết luận: Chuỗi đã cho phân kỳ
0.5
0.5
b xìy y9ề: ℎộ9 Eụ [ủs [ℎtỗ9 v (2:)! (% − 1)(:!) 4
46
• Tính bán kính hội tụ:
R = lim→ w3 =lim→(4!)
.(4)!
=lim→(4)(4) =4 0.5
Trang 5R=4
• Xét tại 2 đầu mút:
+với (x-1)= 4: Un(5): phân kỳ (do Un(5) không tiến tới 0 khi n tiến về vô cùng)
Tương tự với điểm (x-1) = -4
• Kết luận: Miền hội tụ: -4≤ % − 1 ≤ 4⇒ −3 ≤ % ≤ 5
0.25
0.25