Phương pháp giải phương trình bất phương trình chứa logarit và các bài toán liên quan Lý Văn Đức.

Mð ¦uPh÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh l mët trong nhúng nëi dung cì b£n v quan trång cõa ch÷ìng tr¼nh to¡n bªc trung håc phê thæng... Ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh v h» ph÷ìng tr¼nh chùal

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

LÞ V‹N ÙC

PH×ÌNG PHP GIƒI PH×ÌNG TRœNH B‡T PH×ÌNG TRœNH CHÙA LOGARIT

V€ CC B€I TON LI–N QUAN

LUŠN V‹N TH„C Sß TON HÅC

THI NGUY–N - N‹M 2014

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

LÞ V‹N ÙC

PH×ÌNG PHP GIƒI PH×ÌNG TRœNH B‡T PH×ÌNG TRœNH CHÙA LOGARIT

V€ CC B€I TON LI–N QUAN

Möc löc

1 T½nh ch§t cõa h m sè logarit v  c¡c ki¸n thùc li¶n quan 5

1.1 T½nh ch§t cõa h m sè logarit 5

1.2 C¡c ành lþ bê trñ 7

1.3 Lîp h m tu¦n ho n v  ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh 10

1.3.1 Lîp h m tu¦n ho n nh¥n t½nh 10

1.3.2 Lîp h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh 11

2 Ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh chùa logarit 13 2.1 Ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh chùa logarit 13

2.1.1 Ph÷ìng ph¡p mô hâa v  ÷a v· còng cì sè 13

2.1.2 Ph÷ìng ph¡p °t ©n phö 15

2.1.3 Ph÷ìng ph¡p h¬ng sè bi¸n thi¶n 22

2.1.4 Ph÷ìng ph¡p h m sè 25

2.1.5 Ùng döng ành lþ Lagrange, ành lþ Rolle 29

2.1.6 Ph÷ìng ph¡p i·u ki»n c¦n v  õ 33

2.1.7 Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ 35

2.2 Ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh chùa logarit 36

2.2.1 Ph÷ìng ph¡p mô hâa v  ÷a v· còng cì sè 36

2.2.2 Ph÷ìng ph¡p °t ©n phö 38

2.2.3 Ph÷ìng ph¡p h m sè 42

2.2.4 Ph÷ìng ph¡p i·u ki»n c¦n v  õ 44

2.2.5 Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ 45

2.3 Ph÷ìng ph¡p gi£i mët sè h» chùa logarit 46

2.3.1 Ph÷ìng ph¡p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng 46

2.3.2 Ph÷ìng ph¡p °t ©n phö 48

2.3.3 Ph÷ìng ph¡p h m sè 49

2.3.4 Ph÷ìng ph¡p i·u ki»n c¦n v  õ 51

2.3.5 Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ 53

3 C¡c b i to¡n li¶n quan ¸n h m sè logarit 56 3.1 Ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m trong lîp h m logarit 56

3.1.1 Ph÷ìng tr¼nh h m trong lîp h m logarit 56

3.1.2 B§t ph÷ìng tr¼nh h m trong lîp h m logarit 64

3.2 C¡c b i to¡n v· d¢y sè v  giîi h¤n d¢y sè sinh bði h m logarit 67

K¸t luªn 75 T i li»u tham kh£o 76

Mð ¦u

Ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh l  mët trong nhúng nëi dung cì b£n

v  quan trång cõa ch÷ìng tr¼nh to¡n bªc trung håc phê thæng

°c bi»t l  c¡c ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh chùa logarit l  nhúngnëi dung hay v  khâ èi vîi håc sinh v  chóng th÷íng xu§t hi»n trongc¡c · thi tuyºn sinh ¤i håc, cao ¯ng v  · thi håc sinh giäi Vi»cgi£ng d¤y h m sè logarit ¢ ÷ñc ÷a v o ch÷ìng tr¼nh lîp 12 trong âph¦n ki¸n thùc v· ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh chùa logarit chi¸mvai trá trång t¥m

Tuy nhi¶n do thíi gian h¤n hµp cõa ch÷ìng tr¼nh phê thæng n¶n trongs¡ch gi¡o khoa khæng n¶u ÷ñc ¦y õ v  chi ti¸t t§t c£ c¡c d¤ng b ito¡n v· ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh chùa logarit v  c¡c b i to¡n li¶nquan V¼ vªy håc sinh th÷íng g°p nhi·u khâ kh«n khi gi£i c¡c b i to¡nn¥ng cao v· ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh chùa logarit trong c¡c ·thi ¤i håc, cao ¯ng v  · thi håc sinh giäi M°c dò ¢ câ nhi·u t i li»utham kh£o v· logarit vîi nëi dung kh¡c nhau nh÷ng ch÷a câ chuy¶n ·ri¶ng kh£o s¡t v· ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh chùa logarit mët c¡chh» thèng

°c bi»t, nhi·u d¤ng to¡n v· ¤i sè v  logarit câ quan h» ch°t ch³vîi nhau, khæng thº t¡ch ríi ÷ñc Nhi·u b i to¡n chùa logarit c¦n câ

sü trñ gióp cõa ¤i sè, gi£i t½ch v  ng÷ñc l¤i

Do â, º ¡p ùng nhu c¦u v· gi£ng d¤y, håc tªp v  gâp ph¦n nhäb² v o sü nghi»p gi¡o döc, luªn v«n "Ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh,b§t ph÷ìng tr¼nh chùa logarit v  c¡c b i to¡n li¶n quan" nh¬m h» thèngc¡c ki¸n thùc cì b£n v· ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh chùa logarit k¸t

hñp vîi ki¸n thùc ¤i sè, gi£i t½ch º têng hñp, chån låc v  ph¥n lo¤i c¡cph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh chùa logarit v  x¥ydüng mët sè lîp b i to¡n mîi.

Luªn v«n ÷ñc chia l m 3 ch÷ìng

Ch÷ìng 1 T½nh ch§t cõa h m sè logarit v  c¡c ki¸n thùc li¶n quan

- Nh­c l¤i c¡c t½nh ch§t cõa h m sè logarit

- N¶u c¡c ành lþ bê trñ

- Lîp h m tu¦n ho n v  ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh chùalogarit

- Tr¼nh b y c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh chùa logarit

- Tr¼nh b y c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh chùa logarit

- Tr¼nh b y c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i mët sè h» chùa logarit

Ch÷ìng 3 C¡c b i to¡n li¶n quan ¸n h m sè logarit

- N¶u ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m trong lîp h m logarit

- N¶u c¡c b i to¡n v· d¢y sè v  giîi h¤n d¢y sè sinh bði h m logarit.T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c èi vîi Gi¡o s÷, Ti¸n s¾ khoahåc Nguy¹n V«n Mªu, ng÷íi th¦y ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n, cung c§p t ili»u v  truy·n ¤t nhúng kinh nghi»m nghi¶n cùu cho tæi

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o trong khoa To¡n - Tin,pháng  o t¤o tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Tr÷íngTHPT Na R¼ v  b¤n b± çng nghi»p ¢ gióp ï t¤o i·u ki»n cho tæi

ho n th nh b£n luªn v«n n y

Th¡i Nguy¶n 2014

Lþ V«n ùc

Ch֓ng 1

T½nh ch§t cõa h m sè logarit v  c¡c ki¸n thùc li¶n quan

1.1 T½nh ch§t cõa h m sè logarit

H m sè f(x) = logax, 0 < a 6= 1 ÷ñc gåi l  h m sè logarit cì sè a.Nhªn x²t r¬ng tªp x¡c ành D = (0; +∞) v  tªp gi¡ trà I = R

Trong c¡c ph¦n ti¸p theo, ta gi£ sû 0 < a 6= 1

Nhªn x²t r¬ng h m sè f(x) = logax li¶n töc v  câ ¤o h m vîi måi

Vªy, khi a > 1 th¼ f(x) = logax l  h m çng bi¸n tr¶n D

Ta l¤i câ f(1) = 0, f(a) = 1 v  lim

- Tr÷íng hñp 2: 0 < a < 1.

Trong tr÷íng hñp n y f0(x) < 0, ∀x ∈ D

Vªy, khi 0 < a < 1 th¼ f(x) = logax l  h m sè nghàch bi¸n tr¶n D

Ta câ b£ng bi¸n thi¶n sau:

T½nh ch§t 1.2 Vîi måi a > 0, a 6= 1 v  x1, x2 ∈ (0; +∞), ta câ

loga(x1x2) = logax1 + logax2, loga

x1

x2 = logax1 − logax2.T½nh ch§t 1.3 Vîi måi a > 0, a 6= 1 v  x > 0 Vîi α b§t ký, ta câ

logaxα = αlogax

T½nh ch§t 1.4 Vîi måi 0 < a 6= 1, 0 < c 6= 1 v  x > 0, ta câ

logax = logcx

logcx.T½nh ch§t 1.5 H m sè f(x) = logax (0 < a 6= 1) câ ¤o h m t¤i måi

iºm x ∈ (0; +∞) v  (logax)0 = 1

x ln a.N¸u h m sè u = u(x) câ ¤o h mtr¶n kho£ng J ∈ R th¼ h m sè y = logau(x), (0 < a 6= 1) câ ¤o h mtr¶n J v  (logau(x))0 = u

0(x)u(x) ln a.T½nh ch§t 1.6 Vîi måi a > 0, a 6= 1 v  x1, x2 ∈ (0; +∞), ta câ

• Khi a > 1 th¼ logax1 < logax2 ⇔ x1 < x2

• Khi 0 < a < 1 th¼ logax1 < logax2 ⇔ x1 > x2

H» qu£ 1.2 N¸u h m sè f(x) câ ¤o h m tr¶n kho£ng (a; b) v  f(x)

câ n nghi»m (n l  sè nguy¶n d÷ìng lîn hìn 1) tr¶n (a; b) th¼ f0(x) câ ½tnh§t n − 1 nghi»m tr¶n (a; b)

H» qu£ 1.3 N¸u h m sè f(x) câ ¤o h m tr¶n kho£ng (a; b) v  f0(x)

væ nghi»m tr¶n (a; b) th¼ f(x) câ nhi·u nh§t 1 nghi»m tr¶n (a; b)

H» qu£ 1.4 N¸u h m sè f(x) câ ¤o h m tr¶n kho£ng (a; b) v  f0(x)

câ nhi·u nh§t n nghi»m (n l  sè nguy¶n d÷ìng) tr¶n (a; b) th¼ f(x) cânhi·u nh§t n + 1 nghi»m tr¶n (a; b)

ành l½ 1.4 (Lagrange) Cho h m sè f : [a; b] → R thäa m¢n f li¶n töctr¶n o¤n [a; b], kh£ vi tr¶n kho£ng (a; b), khi â ∃c ∈ (a; b) :

f0(c) = f (b) − f (a)

b − a .

ành l½ 1.5 Cho h m sè f(x) câ ¤o h m tr¶n kho£ng (a; b).

- N¸u f0(x) > 0, ∀x ∈ (a; b) th¼ f(x) çng bi¸n tr¶n (a; b)

- N¸u f0(x) < 0, ∀x ∈ (a; b) th¼ f(x) nghàch bi¸n tr¶n (a; b)

ành l½ 1.6 (B§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz) Cho hai c°p d¢y sè b§t

ký a1, a2, , an v  b1, b2, , bn Khi â

(a1b1 + a2b2 + + anbn)2 ≤ (a21 + a22 + + a2n)(b21 + b22 + + b2n)

D§u b¬ng x£y ra khi v  ch¿ khi ∃k º ai = kbi, ∀i ∈ (1, 2, , n)

Chùng minh X²t tam thùc bªc hai

f (x) = (a21+a22+ +a2n)x2−2(a1b1+a2b2+ +anbn)x+(b21+b22+ +b2n)

- N¸u a2

1+ a22+ + a2n = 0 ⇔ a1 = a2 = = an = 0 b§t ¯ng thùc hiºnnhi¶n óng

D§u ¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi





a1x − b1 = 0

a2x − b2 = 0

Chùng minh

- Khi α = 0 ho°c α = 1 th¼ ta thu ÷ñc ¯ng thùc

- Khi α < 0 ho°c α > 1, x²t h m sè f(x) = (1 + x)α − αx − 1, vîi

1.3 Lîp h m tu¦n ho n v  ph£n tu¦n ho n nh¥n

t½nh

1.3.1 Lîp h m tu¦n ho n nh¥n t½nh

ành ngh¾a 1.1 H m sè f(x) ÷ñc gåi l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nhchu ký a (a /∈ {0, 1, −1}) tr¶n M n¸u M ⊂ D(f) v 

V½ dö 1.5 Cho v½ dö h m sè li¶n töc v  ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh chu

Ch֓ng 2

Ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh chùa logarit

2.1 Ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh chùa logarit

2.1.1 Ph÷ìng ph¡p mô hâa v  ÷a v· còng cì sè

Ta sû döng ph²p bi¸n êi: 3 = logxx3

V½ dö 2.2 X¡c ành m º ph÷ìng tr¼nh

2log4(2x2 − x + 2m − 4m2) + log 1

2(x2 + mx − 2m2) = 0 (2.3)

câ nghi»m x1, x2 thäa m¢n x2

1 + x22 > 1.Gi£i

Ta sû döng ph²p bi¸n êi:

log4(2x2 − x + 2m − 4m2) = 1

2log2(2x

2 − x + 2m − 4m2)log 1

5 < m <

12

2.1.2 Ph÷ìng ph¡p °t ©n phö

Möc ½ch cõa ph÷ìng ph¡p n y l  chuyºn c¡c b i to¡n ¢ cho v·ph÷ìng tr¼nh ho°c h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè quen bi¸t

2.1.2.1 Dòng ©n phö chuyºn ph÷ìng tr¼nh logarit th nh mëtph÷ìng tr¼nh vîi mët ©n phö

2 C¡c v½ dö

V½ dö 2.3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

(x − 2)log3 [9(x−2)] = 9(x − 2)3 (2.4)Gi£i

i·u ki»n x − 2 > 0 ⇔ x > 2 L§y logarit cì sè 3 hai v¸ ph÷ìng tr¼nh(2.4), ta ÷ñc:

log3[(x − 2)log3 [9(x−2)]

] = log3[9(x − 2)3]

⇔ [log3[9(x − 2)]].log3(x − 2) = 2 + log3(x − 2)3

⇔ [2 + log3(x − 2)].log3(x − 2) = 2 + 3log3(x − 2) (2.5)

°t t = log3(x − 2) Khi â (2.5) câ d¤ng:

Vªy, ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m x = 7

a v  x = 1

a2.2.1.2.2 Dòng ©n phö chuyºn ph÷ìng tr¼nh logarit th nh mëtph÷ìng tr¼nh vîi mët ©n phö nh÷ng h» sè v¨n chùa x

Trong tr÷íng hñp n y ta th÷íng ÷ñc mët ph÷ìng tr¼nh bªc hai theo

©n phö (ho°c v¨n theo ©n x) câ bi»t sè ∆ l  mët sè ch½nh ph÷ìng

2 C¡c v½ dö

V½ dö 2.5 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

lg2x − lg x.log2(4x) + 2log2x = 0 (2.8)Gi£i

V½ dö 2.6 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

lg2(x2 + 1) + (x2 − 5) lg(x2 + 1) − 5x2 = 0 (2.9)Gi£i

°t t = lg(x2+ 1), i·u ki»n t ≥ 0 v¼ x2+ 1 ≥ 1 n¶n lg(x2+ 1) ≥ lg 1 = 0.Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.9) t÷ìng ÷ìng vîi

1 Ph÷ìng ph¡p chung

B¬ng vi»c sû döng tø hai ©n phö trð l¶n (gi£ sû l  u, v), ta câ thºkh²o l²o ÷a vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh v· vi»c x²t mët h», trong â:

• Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t câ ÷ñc tø ph÷ìng tr¼nh ¦u b i

• Ph÷ìng tr¼nh thù hai câ ÷ñc tø vi»c ¡nh gi¡ méi quan h» cõa u,v

Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.10) ÷ñc chuyºn th nh



u = 6 − 2v5v2 − 24v + 28 = 0

v = 145

Khi â ph÷ìng tr¼nh ÷ñc chuyºn th nh

1 Ph÷ìng ph¡p chung

B¶n c¤nh c¡c ph÷ìng ph¡p °t ©n phö tr¶n, ta câ thº sû döng ph÷ìngph¡p "chuyºn ph÷ìng tr¼nh th nh h» gçm hai ©n l  mët ©n phö v  ©nx" b¬ng c¡ch thüc hi»n theo c¡c b÷îc:

Khi â ph÷ìng tr¼nh ÷ñc chuyºn th nh h»

u = 1 +

√52

Trong â u = 1 +

√5

2 khæng thäa m¢n i·u ki»n −1 ≤ u ≤ 1

u = 1 −

√5

2 ⇔ log2x = 1 −

√5

" x = 1

x = 12

Vªy, ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m l  x = 2

1 −√

5

2 , x = 1 v  x = 1

2 V½ dö 2.10 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

Trø theo v¸ hai ph÷ìng tr¼nh cõa (2.12), ta ÷ñc

X²t h m sè f(t) = 7t−1 + 6t l  h m ìn i»u tr¶n R

Khi â (2.13) ÷ñc vi¸t l¤i d÷îi d¤ng f(x) = f(y) ⇔ x = y

Khi â ph÷ìng tr¼nh 7y−1 = 6x − 5 câ d¤ng 7x−1 − 6x + 5 = 0

Vªy, ph÷ìng tr¼nh câ 2 nghi»m x = 1 v  x = 2

Chó þ 2.1 èi vîi ph÷ìng tr¼nh logarit câ mët d¤ng °c bi»t, â l 

Þ t÷ðng chõ ¤o cõa ph÷ìng ph¡p n y bao gçm:

a Sû döng c¡c h¬ng sè l m ©n phö, sau â t¼m l¤i x theo h¬ng sè

b N¸u ph÷ìng tr¼nh câ chùa tham sè m, ta câ thº coi m l  ©n, cán x l tham sè, sau â t¼m l¤i x theo m.

• Vîi t = 1 +

√13

2 ta ֖c lg x = 1 +

√13

2 ta ÷ñc lg x = 1 −

√13

x = 100.

b º ph÷ìng tr¼nh (2.14) câ 4 nghi»m ph¥n bi»t khi v  ch¿ khi ph÷ìngtr¼nh g(t) = t2 + (m + 1)t + 1 = 0 câ 2 nghi»m ph¥n bi»t kh¡c 1 v 

f (Tk−1).f (b) < 0B÷îc 2: K¸t luªn

3

2 < 0, n¶n (2.18) câ 1 nghi»m x0 ∈ (0; 1).Vªy, ph÷ìng tr¼nh (2.17) câ ½t nh§t mët nghi»m

f (0)f (a) = (−1)(a2−1) < 0vîi a > 1, n¶n (2.20) câ 1 nghi»m x0 ∈ (0; a).Vªy, ph÷ìng tr¼nh (2.19) câ nghi»m vîi måi a > 1

2.1.4.2 Sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè gi£i ph÷ìng tr¼nhlogarit

1 Ph÷ìng ph¡p chung

Ta sû döng c¡c t½nh ch§t sau:

T½nh ch§t 2.1 N¸u h m f çng bi¸n (ho°c nghàch bi¸n) trong kho£ng(a; b) th¼ ph÷ìng tr¼nh f(x) = k câ khæng qu¡ mët nghi»m trong kho£ng(a; b)

Ph÷ìng ph¡p ¡p döng

Ta thüc hi»n theo c¡c b÷îc sau:

• Vîi x < x0 ⇔ f (x) < f (x0) ⇔ f (x) < k do â ph÷ìng tr¼nh vænghi»m

B÷îc 4: Vªy x = x0 l  nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh

T½nh ch§t 2.2 N¸u h m f çng bi¸n trong kho£ng (a; b) v  h m g l 

h m h¬ng ho°c l  mët h m nghàch bi¸n trong kho£ng (a; b) th¼ ph÷ìngtr¼nh

f (x) = g(x) câ nhi·u nh§t mët nghi»m thuëc kho£ng (a; b) (do â n¸utçn t¤i x0 ∈ (a; b) : f (x0) = g(x0) th¼ â l  nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìngtr¼nh f(x) = g(x))

T½nh ch§t 2.3 N¸u h m f çng bi¸n (ho°c nghàch bi¸n) trong kho£ng(a; b) th¼

f (u) = f (v) ⇔ u = v vîi måi u, v thuëc (a; b)

i·u ki»n x > 0

V¸ tr¡i cõa ph÷ìng tr¼nh l  mët h m çng bi¸n tr¶n (0; +∞) v  v¸ph£i l  h m h¬ng do â ph÷ìng tr¼nh n¸u câ nghi»m th¼ nghi»m â l duy nh§t

Nhªn x²t r¬ng vîi x = 1 th¼:

log21 +√

2 + 2 = 2 ⇔ 2 = 2 luæn óngVªy, ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t x = 1

V½ dö 2.16 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

log22x + (x − 5)log2x − 2x + 6 = 0 (2.21)Gi£i

2.1.5 Ùng döng ành lþ Lagrange, ành lþ Rolle

2.1.5.1 Sû döng ành lþ Lagrange chùng minh ph÷ìng tr¼nhlogarit câ nghi»m

Vªy, º ¡p döng ÷ñc k¸t qu£ tr¶n v o vi»c chùng minh ph÷ìng tr¼nh

f (x) = 0 câ nghi»m trong (a; b) i·u quan trång nh§t l  nhªn ra ÷ñc

h m F (x)(thüc ch§t nâ ch½nh l  nguy¶n h m cõa h m f(x)) Cö thº tathüc hi»n theo c¡c b÷îc sau:

B÷îc 1: X¡c ành h m sè F (x) kh£ vi v  li¶n töc tr¶n [a; b] v  thäa m¢n

2.1.5.2 Sû döng ành lþ Lagrange gi£i ph÷ìng tr¼nh logarit

1 Ph÷ìng ph¡p chung

Ta thüc hi»n theo c¡c b÷îc sau:

B÷îc 1: Gåi α l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

B÷îc 2: Bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh v· d¤ng th½ch hñp f(a) = f(b), tø â ch¿

i·u ki»n x > 0

°t u = log3x ⇒ x = 3u, khi â ph÷ìng tr¼nh (2.24) câ d¤ng

4u+ 2u = 2.3u ⇔ 4u− 3u = 3u− 2u

Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m α, khi â



x = 1

x = 3 Vªy, ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m x = 1 v  x = 3

V½ dö 2.19 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

2x arctan x = ln(1 + x2)Gi£i

2.1.5.3 Sû döng ành lþ Rolle gi£i ph÷ìng tr¼nh logarit

1 Ph÷ìng ph¡p chung

ành lþ Rolle kh¯ng ành r¬ng n¸u h m sè y = f(x) lçi ho°c lãmtr¶n mi·n D th¼ ph÷ìng tr¼nh f(x) = 0 s³ khæng câ qu¡ hai nghi»mthuëc D

3x+ x = 1 + 2x + log3(1 + 2x) (2.28)X²t h m sè f(t) = t + log3t l  h m çng bi¸n vîi t > 0

Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.28) ÷ñc vi¸t l¤i d÷îi d¤ng

f (3x) = f (1 + 2x) ⇔ 3x = 1 + 2x ⇔ 3x − 1 − 2x = 0

Vªy theo ành lþ Rolle ph÷ìng tr¼nh g(x) = 0 câ khæng qu¡ 2 nghi»mtr¶n D.

1 T¼m i·u ki»n tham sè º ph÷ìng tr¼nh logarit câ nghi»m duy nh§t

2 T¼m i·u ki»n tham sè º ph÷ìng tr¼nh logarit câ nghi»m vîi måigi¡ trà cõa mët tham sè

Khi â ta thüc hi»n theo c¡c b÷îc:

B÷îc 1: °t i·u ki»n º c¡c biºu thùc cõa ph÷ìng tr¼nh câ ngh¾a.B÷îc 2: T¼m i·u ki»n c¦n düa tr¶n vi»c ¡nh gi¡ ho°c t½nh èi xùng.B÷îc 3: Kiºm tra i·u ki»n õ

Vªy a = 1 l  i·u ki»n c¦n º ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t.

i·u ki»n õ: Vîi a = 1, ph÷ìng tr¼nh (2.29) câ d¤ng

⇔



−5 ≤ x ≤ 44x2 + 4x + 1 = 0 ⇔ x = −1

2.Vªy a = 1 ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t

V½ dö 2.22 T¼m x º ph÷ìng tr¼nh sau nghi»m óng vîi måi a

⇔



0 ≤ x ≤ 3

Vªy x = 1 l  i·u ki»n c¦n º ph÷ìng tr¼nh nghi»m óng vîi måi a.

Vªy, ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m duy nh§t x = 1.

2.2 Ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh chùa logarit

2.2.1 Ph÷ìng ph¡p mô hâa v  ÷a v· còng cì sè

1 Ph÷ìng ph¡p chung

º chuyºn ©n sè khäi logarit ta câ thº mô hâa theo còng mët cì sè c£hai v¸ cõa b§t ph÷ìng tr¼nh Chóng ta l÷u þ c¡c ph²p bi¸n êi cì b£nsau:

loga(x2 − 4x + a + 1) > 0 (2.31)Gi£i.