Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.. Tìm tọa ñộ ñỉnh A và viết phương trình cạnh AC.. Tìm tâm và bán kính của ñường tròn T.. Tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung của d và d’.
Trang 1ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG THÁNG 4 – LẦN 1
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 ñiểm)
Câu 1 ( 2 ñiểm) Cho hàm số 2 ( )
3
x
x
+
=
− a) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C)
b) Tìm trên ñồ thị ( C) ñiểm M sao cho khoảng cách từ ñiểm M ñến ñường tiệm cận ñứng bằng 1
5 khoảng cách từ ñiểm M ñến ñường tiệm cận ngang
Câu 2 ( 1 ñiểm) Giải phương trình :2 sin3x−cos 2x+cosx= 0
Câu 3 (1 ñiểm) Giải bất phương trình: x2− − +x 2 3 x≤ 5x2−4x−6
Câu 4 (1 ñiểm) Tính tích phân
1
2 0
ln(1 )
Câu 5 (1 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông tại B , AB = a, AC = 2a, SA = a và
SA vuông góc mặt ñáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K Tính thể tích
khối chóp S.AHK theo a
Câu 6 (1 ñiểm) Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 12 2 12
PHẦN RIÊNG ( 3 ñiểm)
Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần ( Phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a ( 1 ñiểm) Cho tam giác ABC có B(3; 5), ñường cao AH và trung tuyến CM lần lượt có
phương trình d: 2x - 5y + 3 = 0 và d’: x + y - 5 = 0 Tìm tọa ñộ ñỉnh A và viết phương trình cạnh AC
Câu 8.a (1 ñiểm) Cho mặt cầu (S) : (x−3)2+(y+2)2+(z−1)2=100 và mặt phẳng
( ) : 2α x−2y− + = Chứng minh rằng (S) và ( )z 9 0 α cắt nhau theo giao tuyến là ñường tròn (T) Tìm
tâm và bán kính của ñường tròn (T)
Câu 9.a( 1 ñiểm) Tìm số phức z, nếu z2+ z =0
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1 ñiểm) Cho ñường tròn ( C) x2+y2−2x−4y− = và ñiểm A (-2; 3) các tiếp tuyến qua A 4 0
của ( C) tiếp xúc với ( C) tại M, N Tính diện tích tam giác AMN
Câu 8.b (1 ñiểm) Cho hai ñường thẳng d:
2
1 1
1 1
=
−
−
=
x
và d’:
=
−
=
+
=
t z
t y
t x
2 4
Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau Tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung của d và d’
Câu 9.b ( 1 ñiểm) Cho hàm số
2
y
x
= (C) Tìm trên ñường thẳng x = 1 những ñiểm mà từ ñó
kẻ ñược 2 tiếp tuyến ñến ñồ thị ( C)
*********************Hết********************
Trang 2ðÁP ÁN ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG Tháng 4 – lần 1 Môn thi : TOÁN
Nội dung
Cau 2 +)pt ⇔2 sin3x− −(1 2 sin2x) cos+ x= 0
⇔2 sin2x(1 s inx) (1 cos )+ − − x = 0
⇔ −(1 cos ) 2(1 cos )(1 s inx) 1x [ + x + − =] 0
(1 cos ) 2(s inxx cos ) 2 sin cosx x x 1 0
1 cos 0 (1)
2(s inx cos ) 2 sin cos 1 0 (2)
x
Giải (1) ta ñược x=2kπ (k∈Z)
Giải (2) : ðặt s inx cos 2 sin( ) , 2; 2
4
Ta ñược phương trình t2+2t=0 0
2 (loai)
t t
=
⇔ = −
4
4
Cau 3 Bình phương hai vế ta ñược 6 x x( +1)(x−2)≤4x2−12x− 4
3 x x( 1)(x 2) 2 (x x 2) 2(x 1)
1
x x
t
x
−
+ ta ñược bpt
2
2t − − ≥ 3t 2 0
1
2 2
2
t
t t
−
≤
≥
(
dot ≥ ) 0
1
x x
x
−
+
3 13
3 13
3 13
x
x x
≤ −
≥ +
( do x ≥2) Vậy bpt có nghiệm x ≥ +3 13
2
2 ln(1 )
1
xdx
x
+
2
2
x
Do ñó
2
1 2
0 0
1
x
+
∫
Tính I1: Ta có
2
Trang 3S
C
B
A
K
H
a
2a
a
A
D
E
B
d’
C
d
d1
Vậy ln 2 1
2
Cau 5 +) Theo bài ra ta có SH ⊥(AHK)
Và AK⊥SC nên
+) Áp dụng ñịnh lý Pitago và hệ thức trong tam giác vuông
a
+) Ta có
2
AHK
a
Vậy
3
S AHK AHK
a
Cau 6 +) Theo B ðT Côsi ta có ≤ ⇒ =
2
0<xy t (xy) 0;
2
2 /
+) B¶ng biÕn thiªn :
t 0 1
16
P 289
16
+) Từ bbt ta có min P 289
16
t= ⇔ = = x y
Cau 7a) +) Gọi D= ∩d d'nên tọa ñộ của D là nghiệm của
hệ
22
( ; )
7
x
D
y
=
Trang 4+) Goi d1 là ñường thẳng qua B và song song với d’ nên phương trình d1 là: x + y – 8 = 0
Gọi E= ∩ nên d d1 (33 19; )
7 7
E Vì d’ là ñường trung tuyến qua C nên D là trung ñiểm AE suy ra (1;1)A
+) Ta có cạnh BC ⊥ c với d nên phương trình cạnh BC là 5x + 2y – 25 = 0Suy ra
+) Vậy phương trình cạnh AC là 1 38
1 47
= −
= +
Cau 8a) +) Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính r = 10 Ta có : ( , ( )) 2.3 2( 2) 1 9 6
4 4 1
+ + Vậy ( , ( ))d I α < nên (S) cắt ( )r α theo giao tuyến là ñường tròn (T)
+) Gọi J là tâm của (T) thì J là hình chiếu của I lên ( )α Xét ñường thẳng (d) ñi qua I và vuông góc với ( )α
Lúc ñó (d) có vectơ chỉphương là a= =n (2; 2; 1)− − Phương trình tham số của (d) là :
3 2
1
= +
= −
ℝ
+) Ta có J = ∩d ( )α Xét hệ:
3 2
2 2 1
= +
= − −
= −
Giải hệ này ta ñược : J(-1;2;3)
+) Gọi r’ là bán kính của (T) , ta có : r′ = r2−h2 = 100 36− = Vậy : J(-1;2;3) và r’= 8 8
Cau 9a) +) ðặt z = x + yi, khi ñó z2 + z = ⇔ 0 (x+yi) 2 + x2 +y2 = 0
xy
=
+) ⇔
2
2
0
0
1
0 (do 1 0)
0, 0 (1 ) 0
0
0
x
y
y
y
=
+)Vậy có ba số phức thoả ñiều kiện là z = 0; z = i; z = − i
Trang 5Cau 7b +) Ta cú (C ) cú Tõm I(1; 2) bỏn kớnh R = 3 Và dễ thấy cú một tiếp tuyến vuụng gúc với Ox và qua A
là d:
x = -2
+)Gọi d’ là dường thẳng qua A ( -2; 3) cú hệ số gúc là k ta cú d’ y = k(x + 2) + 3
d’ là tiếp tuyến của ( C ) d( I, d’ ) = R 3 2 1 3 4
3 1
k
k k
+
= ⇔ =
+ ta cú tiếp ủiểm của d và (C ) là M(-2; 0), của d’ và (C ) là ( 7 57; )
+ Ta cú AM = 3, ( , ) 2 7 3
AMN
Cau 8b) +) Ta cú vtcp của d (1; 1; 2) à M(2;1;1) u ư v ∈d vtcp của d’ '(1; 1;1) àu ư v N(4;2;0) ∈d' => MN(2;1; 1)ư
+)Ta cú u u , ' MN= ≠3 0 vậy d và d’ chộo nhau ta cú A∈ ⇒d A(2+k;1ưk;1 2 )+ k ,
' (4 ; 2 ; )
B∈d ⇒B +t ưt t ⇒AB(2+ ưt k;1ư ư ư + ưt k; 1 t 2 )k AB là ủoạn vuụng gúc chung . 0
' 0
AB u
AB u
=
Vậy d(d,d’) = AB = 3 2
2
Chỳ ý : cú thể tớnh theo cỏch
( , ')
2 , '
d d d
u u
Cau 9b +) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng x=1, d là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k d có phương trình là : y= k(x-1)+m ( với M(1,m) )
+) Thay (2) vào (1) ta có
2
( 1)
2
+)Để từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến C thì phương trình (3) có đúng 2 ngiệm phân biệt
(2 ) ( , ) (2 )(2) 0
m
∆ = ư + >
m m
ư >
0 2
m m
<
⇒ ≠ ư
+) Vậy trên đường thẳng x=1 Tập hợp các điểm có tung độ nhỏ hơn 0 (m<0) bỏ đi điểm (1,-2) thì từ đó kẻ được
đúng 2 tiếp tuyến đến C