Phương pháp lặp giải bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ Hoàng Thu Hợp.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THU HỢP PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐỘ UỐN CỦA BẢN CÓ GIÁ ĐỠ Chuyên ngàn

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THU HỢP

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN

VỀ ĐỘ UỐN CỦA BẢN CÓ GIÁ ĐỠ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.01.12

Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Trang 2

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự động viên đóng góp nhiệt tình từ các thầy cô giáo của trường ĐHKH – Đại học Thái Nguyên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo Đặc biệt tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Vũ Vinh Quang là người thầy đã đề xuất các hướng nghiên cứu, động viên thường xuyên và tận tâm chỉ bảo nghiêm túc về chuyên môn trong suốt thời gian qua để tôi hoàn thành luận văn này Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và người thân đã động viên khuyến khích

và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2014

Tác giả

Trang 3

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1 Không gian Sobolev 3

1.1.1 Không gian k ( ) C W 3

1.1.2 Không gian p ( ) L W 4

1.1.3 Không gian 1, ( ) W p W 5

1.1.4 Không gian 1( ) 0 H W và khái niệm vết của hàm 7

1.1.5 Công thức Green, bất đẳng thức Poincare 9

1.1.6 Không gian Sobolev với chỉ số âm 1( ) H- W và ( ) 1 2 H- ¶ W 10

1.2 Phương trình elliptic 11

1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình 12

1.2.2 Phát biểu các bài toán biên 13

1.3 Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản 15

1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp 15

Xét bài toán: 15

1.3.2 Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp 16

Chương 2 18

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA 18

2.1 Mô hình bài toán song điều hòa 18

2.1.1 Toán tử song điều hòa 18

2.1.2 Các điều kiện biên của phương trình song điều hòa 19

Trang 4

2.2 Phương pháp xấp xỉ biên giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên

hỗn hợp mạnh 20

2.2.1 Phương pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 20

2.3 Sơ đồ lặp của phương pháp 24

Chương 3 28

CÁC SƠ ĐỒ LẶP GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐỘ UỐN 28

CỦA BẢN CÓ GIÁ ĐỠ 28

3.1 Mô hình các bài toán cơ học 28

3.2 Phương pháp lặp kết hợp giải bài toán có một giá đỡ 30

3.2.1 Mô tả phương pháp 30

3.2.2 Sơ đồ lặp kết hợp 32

3.2.3 Các ví dụ thử nghiệm 34

3.3 Phương pháp kết hợp giải bài toán có hai giá đỡ bên trong 37

3.3.1 Mô tả phương pháp 37

3.3.2 Các ví dụ thử nghiệm 39

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

PHẦN PHỤ LỤC 44

Trang 5

MỞ ĐẦU

Trong thực tế, khi nghiên cứu các bài toán cơ học và vật lý kỹ thuật bằng cách mô hình hóa, bài toán thường dẫn đến các dạng phương trình elliptic cấp 2 hoặc các dạng phương trình song điều hòa với các điều kiện biên khác nhau Khi điều kiện biên của bài toán đang xét không tồn tại các điểm kì dị thì đã có nhiều phương pháp của các tác giả trên thế giới để tìm nghiệm gần đúng của các bài toán tương ứng như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn… Trong trường hợp khi điều kiện biên của bài toán tồn tại các điểm kì dị là các điểm phân cách giữa các loại điều kiện biên hàm và đạo hàm, điều này thường sảy ra với mô hình các bài toán cơ học và vật liệu đàn hồi Khi đó các phương pháp tìm nghiệm thông thường sẽ gặp khó khăn Đối với các bài toán thuộc dạng này, để tìm nghiệm xấp xỉ ta có thể sử dụng phương pháp tích phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dưới dạng khai triển thông qua các hệ hàm cơ

sở Một hướng nghiên cứu khác đó là xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tư tưởng chia miền

Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong, một trong những bài toán điển hình trong cơ học Mô hình toán học của bài toán là bài toán song điều hòa với điều kiện biên kì dị Xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tư tưởng chia miền tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán Đồng thời tiến hành thực nghiệm tính toán để kết luận sự hội tụ của các phương pháp lặp Nội dung của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Trình bày những kết quả lý thuyết quan trọng về các không gian Sobolev, bất đẳng thức Green, bất đẳng thức Poincare, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu và các bài toán biên, lý thuyết về phương pháp lặp toán tử

Trang 6

Chương 2: Trình bày kiến thức về bài toán song điều hòa, cơ sở của phương pháp lặp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

Chương 3: Nghiên cứu mô hình bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ, trên cơ sở của phương pháp chia miền và phương pháp lặp luận văn đưa ra sơ

đồ lặp giải bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong, tiến hành thực nghiệm kiểm tra tính đúng đắn của phương pháp đã đưa ra Trong luận văn, các chương trình thực nghiệm được lập trình trên ngôn ngữ Matlab chạy trên máy tính PC

Mặc dù đã rất cố gắng xong nội dung của luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được những đóng góp của các thầy cô giáo

và các anh chị em bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Trang 7

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này, luận văn trình bày những kết quả lý thuyết quan trọng về các không gian Sobolev, bất đẳng thức Green, bất đẳng thức Poincare, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu và các bài toán biên, lý thuyết về phương pháp lặp toán tử Các kết quả này là nền tảng về mặt lý thuyết được sử dụng trong các chương sau của luận văn

1.1 Không gian Sobolev

1.1.1 Không gian k ( )

C W

Giả sử W là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều ¡ n và

W là bao đóng của W Ta kí hiệu Ck ( ) ( W , k = 0, 1, 2 ) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong W, liên tục trong W Ta đưa vào k ( )

C W với chuẩn đã cho là

không gian Banach

Trang 8

p + p = , p ' đƣợc gọi là số mũ liên hợp

đối với p

Trang 9

Trang 10

x

d d

ii) Không gian 1( )

H W là không gian Hilbert với tích vô hướng:

Trang 11

Trang 12

1.1.4.4 Định nghĩa

Giả sử biên ¶ W là liên tục Lipschitz, không gian ( )

1 2

H ¶ W đƣợc gọi là miền giá trị của ánh xạ vết g, tức là:

( ) ( ( ) )

1

1 2

1

,

H H

Trang 13

1.1.4.6 Bổ đề

Giả sử ¶ W là liên tục Lipschitz, không gian ( )

1 2

H ¶ W có các tính chất sau:

i) Tập { u | ,¶ W u Î C¥ ( ) Rn } là trù mật trong ( )

1 2

H ¶ W

1

2 2

Trang 14

,

W £ Ñ W " Î W

Trong đó hằng số CW phục thuộc vào đường kính của W được gọi là hằng số

Poincare Bất đẳng thức Poincare có ý nghĩa rằng

1.1.6 Không gian Sobolev với chỉ số âm 1( )

H- W và ( )

1 2

( ) ( ) { }

( ) ( ) ( )

1 1 0 1

u

-

Trang 15

n i

H- ¶ W là một không gian Banach đƣợc xác định nhƣ sau:

Trang 16

ii) Với m=2 thì (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp bốn Bài toán tìm nghiệm của (1.1) được gọi là bài toán biên nếu trên biên G

nghiệm u x ( ) thỏa mãn một số điều kiện biên:

( ) , 0,1, , 1

B u = g i = m - Trong đó B ui ( ) , i = 0,1, , m - 1 là các toán tử biên

1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình

Trang 17

C W Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.2) W

1.2.2 Phát biểu các bài toán biên

1.2.2.1 Bài toán Dirichlet

Xét bài toán:

, ,

Trang 18

nghiệm theo nghĩa cổ điển

1.2.2.3 Bài toán Neumann

Xét bài toán :

, ,

f u x u

h x n

íï - = Î W ïï

ì ¶

ïï ¶ î

Trang 19

Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y0bất kì thuộc H , người ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ

1, 2, , k,

y y y của phương trình (1.11) Các xấp xỉ như vậy được biết như là các cặp giá trị lặp với chỉ số lặp

Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu xấp xỉ yk+1 có thể được tính thông qua một hoặc hai giá trị trước đó Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là:

Trang 20

0 2

Trang 21

là phần tử đối xứng của toán tử B

Nhận xét Với

k

B = B cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn giá trị q để lược đồ lặp hội tụ Trong trường hợp B = E , điều kiện hội tụ sẽ được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn:

Trang 22

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA

2.1 Mô hình bài toán song điều hòa

2.1.1 Toán tử song điều hòa

Trong không gian 4( )

C W chứa các hàm số u x x ( 1, 2) liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp 4 trong miền đóng W, xét toán tử song điều hòa:

Trang 23

( ) ( ) ( )

3 2 2

2

1 1

Khi s = 0 thì (2.2) là trường hợp riêng của (2.4)

2.1.2 Các điều kiện biên của phương trình song điều hòa

Xét phương trình song điều hòa:

tr n n

Trang 24

2.2 Phương pháp xấp xỉ biên giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

Để giải các bài toán song điều hòa với điều kiện biên phức tạp, người ta thường kết hợp các phương pháp hạ cấp phương trình cấp bốn xuống hai phương trình cấp hai, phương pháp chia miền và phương pháp lặp hiệu chỉnh đạo hàm để đưa các bài toán cấp bốn với điều kiện biên hỗn hợp hay hỗn hợp mạnh về dãy các bài toán cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp yếu dễ giải Sự hội tụ của các phương pháp đã được các tác giả chứng minh Sau đây luận văn trình bày tư tưởng chính của các phương pháp trên

2.2.1 Phương pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

Xét mô hình bài toán song điều hòa sau:

Trang 25

Hệ điều kiện biên trên đƣợc mô tả trong hình 2.1

C A

V

(2.12)

2 0

, , ,

Trang 26

xác định giá trị của hàm j Điều kiện j cần thỏa mãn là ( )

1

u

g n

( ) ( )

2

, , ,

( )

1 0

, , ,

Cần nghiên cứu sự hội tụ của sơ đồ lặp (2.16)

2.2.1.1 Sự hội tụ của phương pháp

Xét cặp bài toán (2.12) và (2.13)

Đặt u = u1 + u2 và v = v1 + v2, trong đó u v1, 1 thỏa mãn:

Trang 27

1 1 1

0, 0, ,

, 0, 0,

2 2

0, , 0,

1

2 2

, , ,

Trang 28

+-

(2.21) trong đó:

2 1

B

t

< <

2.3 Sơ đồ lặp của phương pháp

Nhận xét: Thông qua phương pháp phân rã, bài toán song điều hòa đã

được đưa về hai bài toán biên cấp hai (2.14) và (2.15) trong miền W Tuy nhiên đây lại là hai bài toán biên với điều kiện biên hỗn hợp mạnh (Trên một đoạn biên trơn gồm cả hai loại điều kiện biên Dirichlet và Neumann) Vì vậy

Trang 29

để có thể giải hai bài toán này, chúng ta cần sử dụng thêm một phương pháp đặc biệt nữa, đó chính là phương pháp chia miền với tư tưởng là chia miền

1 2

W= W È Wvà từ đó chuyển bài toán biên hỗn hợp mạnh về hai bài toán biên hỗn hợp yếu, xây dựng sơ đồ lặp chia miền để xác định nghiệm trên toàn miền Các kết quả này đã được các tác giả đưa ra trong tài liệu [2]

Như vậy với mục đích xác định giá trị hàm j , kết hợp với phương pháp

chia miền, quá trình giải bài toán sẽ được thực hiện như sau: ta tiến hành chia miền W thành hai miền W1 bên trái và W2 bên phải bởi đường thẳng x = 0

và kí hiệu biên phân cách giữa hai miền con là

I

S , | , ( 1, 2 )

i i

u = u W i =

(Hình 2.2) Thực hiện sơ đồ lặp sau đây:

Bước 1: Cho trước j ( )0 = 0 trên SA È SC; x( )0 = 0; h( )0 = 0 trên SI

Bước 2: Với mỗi giá trị j ( )k , x( )k , h( )k , ( k = 0,1, 2 ) tiến hành giải lần lượt :

Các bài toán với u1( )k , v1( )k

1

, , ,

,

k

A k

E k

1 1

, , ,

,

k

A k

ïï ¶

ïï ¶ ïî

(2.23)

Trang 30

, , , ,

k

C k

, 0, , ,

k

C k

ì ¶

ïï ¶ ïï

I k

u

tr n S n

u

g tr n S S i n

S

B S

Trang 31

Như vậy bằng cách kết hợp các phương pháp hạ cấp, phương pháp chia miền và phương pháp lặp hiệu chỉnh toán tử trên biên, ta đã xây dựng được một phương pháp lặp để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán song điều hòa với hệ điều kiện biên rất phức tạp Các kết quả này đã được các tác giả chứng minh chặt chẽ bằng lý thuyết toán tử và kiểm nghiệm tính đúng đắn của các sơ đồ lặp trên máy tính điện tử [1, 2] Các kết quả này sẽ được sử dụng để nghiên cứu giải quyết bài toán về bản với giá đỡ bên trong được trình bày trong chương 3 của luận văn

Trang 32

Chương 3 CÁC SƠ ĐỒ LẶP GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐỘ UỐN

CỦA BẢN CÓ GIÁ ĐỠ

Bài toán về bản có giá đỡ bên trong là một mô hình cơ học quan trọng được rất nhiều các nhà khoa học quan tâm, đã có nhiều tác giả đưa ra các phương pháp giải về bài toán này như phương pháp tích phân của Yang, phương pháp phần tử biên, phương pháp tích phân chập của Wei [3], phương pháp chuỗi cặp sử dụng phương trình tích phân Fredholm của Sompornjaroensuk và Kiattikomol Tuy nhiên các phương pháp trên thường gặp các vấn đề khó khăn về lý thuyết cũng như tính toán xấp xỉ

Trên cơ sở các kết quả đã trình bày trong chương 2, luận văn sẽ phân tích

mô hình bài toán 1 giá đỡ, hai giá đỡ và từ đó đưa ra kết quả xây dựng các sơ

đồ lặp để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán tương ứng Phương pháp này không chỉ áp dụng cho bài toán có một giá đỡ mà còn rất hiệu quả cho bài toán với nhiều giá đỡ tại nhiều vị trí khác nhau Tương ứng với các sơ đồ lặp là kết quả xác định nghiệm số được thực hiện trên máy tính PC với ngôn ngữ lập trình Matlab

3.1 Mô hình các bài toán cơ học

Xét bài toán nghiên cứu về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong, chúng ta xét hai trường hợp khi bản hình chữ nhật có một hoặc hai giá đỡ được mô tả trong Hình 3.1 và 3.2

Trang 33

Giả sử bản có tải trọng phân bố đều, các cạnh trên và dưới của bản là ngàm, các cạnh trái và phải là các gối tự do Khi đó mô hình toán học tương ứng của bài toán là: tìm nghiệm u x y ( , ) của phương trình song điều hòa:

= , D là độ cứng của bản

Vì giá đỡ bên trong đặt ở giữa bản và hàm độ võng đối xứng theo cả hai

chiều nên có thể xét bài toán với điều kiện biên trên 1

u u

u

x

D S

C

3

00

u x u x

Định dạng
Số trang	62
Dung lượng	854,24 KB