GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬCCác bài toán về hệ phương trình thường xuất hiện trong các kì thi Đại học, Cao đẳng.. Để giúp các bạn học sinh ôn tập tốt về phần này, bài v
Trang 1GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC
Các bài toán về hệ phương trình thường xuất hiện trong các kì thi Đại học, Cao đẳng Để giúp các bạn học sinh ôn tập tốt về phần này, bài viết này xin nêu ra một phương pháp
hiệu quả để giải quyết một lớp các hệ phương trình đó là phương pháp đồng bậc.
Thí dụ 1: Giải hệ phương trình ( )
( )
Giải: Lấy (1) nhân 5 và (2) nhân 9 ta được phương trình đồng bậc
=
Với x= 5y thay vào (1) ta có 2 2 1 2
2
Với 3
2
y
x= thay vào (1) ta có y2 = ⇔ = ± 4 y 2 tương ứng x= ± 3
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là 5 2; 2 ; 5 2; 2 ; 3; 2 ; 3; 2 ( ) ( )
Thí dụ 2: Giải hệ phương trình ( )
3 3
30 (1)
35 2
x y y x
Phương trình này là phương trình đối xứng loại một tuy nhiên chúng ta cũng có thể giải theo phương pháp đồng bậc
Giải: Lấy (1) nhân 7 và (2) nhân 6 ta được phương trình đồng bậc
2 2 3
= −
=
Với x= −ythay vào (2) suy ra vô nghiệm.
Với 3
2
x= y thay vào (2) ta có y3 = ⇔ = 8 y 2suy ra x= 3
Với 2
3
x= y thay vào (2) ta có y3 = 27 ⇔ =y 3suy ra x= 2
Vậy hệ có nghiệm là ( ) ( )3; 2 , 2;3
Thí dụ 3: Giải hệ phương trình ( )
( )
2 2
3 3
2 1 1
Giải: Từ (1) và (2) ta được phương trình đồng bậc
Trang 2( ) ( ) ( ) ( )
( )
=
Với x= y thay vào (1) ta được y2 = ⇔ = ± 1 y 1
Ta có
2
Rõ ràng x= =y 0 không phải là nghiệm hệ
phương trình Vậy (3) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( ) (1;1 , 1; 1 − − ).
( )
2 1
5 3 2
Giải: Điều kiện của phương trình x y≥ ≥ 0
Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc
2
2 2
2
2 2
2
0
y x
y x
y x
y
− ≥
≥
≥
Với y= 0 thay vào (2) ta suy ra x= 9 (loại)
Với 5y− 4x= 0 thay vào (2) ta có 1 1 4
5
x= ⇔ = ⇒ =x y (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1;4
5
.
Thí dụ 5: Giải hệ phương trình
5 5
3 3
3 31 7
+
Giải: Điều kiện của phương trình x≠ −y
( )
5 5
3 3
3 3 1 31
7
Lấy (2) nhân 3 kết hợp với (1) ta được phương trình đồng bậc
21 x +y = 31 x +xy y+ x +y ⇔ 10x + 31x y+ 31x y + 31xy + 10y = 0 3 .
Rõ ràng x= =y 0 không phải là nghiệm hệ phương trình Đặt x ty= thay vào (3) ta được:
Trang 3( )
1 0
t
+ =
Với t+ = ⇔ = − 1 0 t 1 hay x= − ⇔ + =y x y 0 (loại).
Với 10t4 + 21t3 + 10t2 + 21 10 0 3t+ = ( ) Vì t= 0 không phải là nghiệm của phương trình (3) chia hai vế phương trình cho t2 ta được: 2
2
2
2 5
5 2
u
u
=
= −
Với 5
2
u= − ta có 2
2
2
2
t
= −
= −
Với t= − 2 ta có x= − 2y thế vào (1) ta có 3y2 = ⇔ 3 y2 = ⇔ = ± 1 y 1 tương ứng x= m 2 Với 1
2
t= − ta có y= − 2x thế vào (1) ta có 3x2 = ⇔ 3 x2 = ⇔ = ± 1 x 1 tương ứng y= m 2 Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là (1; 2 , − ) (− 1; 2 , 2; 1 , ) ( − ) (− 2;1 )
Thí dụ 6: Giải hệ phương trình
7
x y y
3 3
7 1
7
x y y
Từ hệ suy ra x.y 0; ≠ x≠ ± y, y 0 > .
Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn Lấy hai phương trình thu được chia cho nhau ta thu được phương trình đồng bậc: ( )
3
4
7 9
y x y
−
= + Đặt x ty=
ta được phương trình:( )
3
8 4
3 9 1
t t
−
= + Từ phương trình này suy ra t>1.
Xét ( ) ( )
( )
3 3
8
1
; t 1
1
t
f t
t
−
+
(loại)
Trang 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
8
f'
0 1 1
t
t t
+
Vậy f(t) đồng biến với mọi t > 1 Nhận thấy t = 2 là nghiệm của (3) Vậy t= 2 là nghiệm duy nhất Với t= 2 ta có x= 2y thế vào (1) ta được y4 = ⇔ = 1 y 1 (vì y> 0) suy ra x= 2 Vậy hệ có nghiệm là ( )2;1
Bài tập tự làm
Giải các hệ phương trình sau
Bài 1:
4 4
1
Bài 4:
3 6 2 9 2 4 3 0
2
Bài 5:
4 4
6 6
1 1
Bài 6:
5 5
1
Bài 7: ( ) ( )
2 2
2 2
13 25
Bài 8:
x xy y 3(x y)
x xy y 7(x y)
Tác giả
Lê Xuân Thắng
GV THPT Triệu Sơn 4, Triệu Sơn, Thanh Hóa