NÂNG CAO TOÁN 7 VÀ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ

n n - Đọc kỹ đề bài , từ đú xỏc định cỏc đại lượng trong bài toỏn - Chỉ ra cỏc đại lượng đó biết , đại lượng cần tỡm - Chỉ rừ mối quan hệ giữa cỏc đại lượng tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7

n n n

= n(n+ 1)(n+2) :3

1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)

= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4

Giáo viên : Nguyễn Như Quảng 2

5 11

5 5 , 0 625 , 0

12

3 11

3 3 , 0 375 , 0 25 , 1 3

5 5 , 2

75 , 0 1 5 , 1

−

+ +

− +

− +

− +

1

3

1 3

1 3

1 3

1

+ +

+ + + +

1 12 : 3

10 10

3 1

4

3 46 25

1 230 6

5 10 27

5 2 4

1 13

100 99

4 3 2 1

) 6 , 3 21 2 , 1 63 ( 9

1 7

1 3

1 2

1 ) 100 99

3 2 1 (

− + +

− +

31 93

14 1 3

1 5 12 6

1 6

5 4

19

2 3

1 6 15 7

3 4 31

11 1

1

3

1 3

1 2

4

3 125 505

, 4 3

4 4 : 624 , 81

2

2 2

1 2

1

2

1 2

1

2

1 2

1 2

1

2004 2002

4 2 4 6

( 2012 ) ( 2012 )

+ +

HD: Ta có (a + 2012b)2 = a 2 + 2.2012.ab + 2012 2 b 2 = a 2 + 2.2012.ab + 2012 2 ac

( 2012 ) ( 2012 )

+ +

Giáo viên : Nguyễn Như Quảng 4

Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu

d

c b

a

= th×

d c

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5

−

+

=

− +

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5

−

+

=

− +

a = Chøng minh r»ng:

22 22

d c

b a cd

b a d c

b a

HD : Xuất phát từ

d

c b

a = biến đổi theo các

d c b a b

d c b a a

d c b

TÝnh

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

+

+ + +

+ + +

+ + +

d c b a b

d c b a a

d c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a

M

+

+ + +

+ + +

+ + +

+

Nếu a + b + c + d ≠0 ⇒ a = b = c = d ⇒

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

+

+ + +

+ + +

+ + +

z c

b a

y c

b a

= +

b b

c b a

+

HD : a) Từ

c b a

z c

b a

y c

b a

= +

+ + +

+ + +

Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : y z x+ −x = z x y+ −y = x y z+ −z

Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 x 1 y 1 z

Giáo viên : Nguyễn Như Quảng 6

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

+

+ + +

+ + +

+ + +

z z

x

y y

z

− +

= + +

= +

Bài 7 : T×m x, y, z biÕt

216

3 64

3 8

- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

- Tính chất về giá trị tuyệt đối : A ≥ 0 với mọi A ; , 0

A A A

A A

≥



= − <

- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

A+ B ≥ +A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB ≥0; A B− ≥ A− B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0

- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n ≥ 0 với mọi A ; - A2n ≤0 với mọi A

Am = An ⇔m = n; An = Bn ⇒ A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = ± B ( nếu n chẵn)

0< A < B ⇔ An < Bn ;

2 Bài tập vận dụng

Dạng 1: Các bài toán cơ bản

Giáo viên : Nguyễn Như Quảng 8

Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị

đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)

Kết hợp (*) ⇒ x = 4023:2

b) x− 2010 + −x 2011 2012 = (1)

Nếu x ≤ 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 ⇒x = 2009 :2 (lấy)

Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) Nếu x ≥ 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 ⇒ x = 6033:2(lấy)

Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2

Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối

Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết :x− + − + − + − = 1 x 3 x 5 x 7 8

HD : ta có x− 2006y ≥ 0với mọi x,y và x− 2012 ≥ 0 với mọi x

Suy ra : x− 2006y + −x 2012 ≥ 0 với mọi x,y mà x− 2006y + −x 2012 ≤ 0

Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :

Giáo viên : Nguyễn Như Quảng 10

+ Nếu m – n ≥ 2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà

VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9

x x

HD : ta có x− 2011y ≥ 0 với mọi x,y và (y – 1)2012 ≥ 0 với mọi y

Suy ra : x− 2011y + − (y 1) 2012 ≥ 0 với mọi x,y Mà x− 2011y + − (y 1) 2012 = 0

Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức :

1 Các kiến thức vận dụng:

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương

- Tính chất chia hết của một tổng , một tích

- ƯCLN, BCNN của các số

2 Bài tập vận dụng :

* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức

Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000

y



M + Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:

Giáo viên : Nguyễn Như Quảng 12

5q + y = qy ⇒5q = ( q – 1 ) y Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta có

Bài 5 : T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n sao cho: 2n− 1 chia hÕt cho 7

HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7

Với n ≥ 3 khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( k N∈ *)

Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A M 7

Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 không chia hết cho 7

Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 không chia hết cho 7 Vậy n = 3k với *

+ +

HD : 2012 5

x x

+ + ⇒2009 1006M x+1 ⇒x là số CP

Với x >1 và x là số CP thì 1006 x+ > 1 2012 2009 > suy ra 2009 không chia hết cho 1006 x+ 1

Với x = 1 thay vào không thỏa mãn

Với x = 0 thì 2009 :1006 x+ = 1 2009

Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1.Các kiến thức vận dụng :

* a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2 ≥ 0 với mọi a,b

* a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2 ≥ 0 với mọi a,b

*A 2n ≥ 0 với mọi A, - A 2n ≤ 0 với mọi A

* A ≥ ∀ 0, A , − A ≤ ∀ 0, A

* A + B ≥ +A B, ∀A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B ≥ 0

* A − B ≤ −A B, ∀A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B ≥ 0

2 Bài tập vận dụng:

* Dạng vận dụng đẳng thức : a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2 ≥ 0 với mọi a,b

Và a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2 ≥ 0 với mọi a,b

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

− khi x =

2

b a

Vậy Max B = 1 khi x = 1

Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

2013 2011

a a

+ +

* Dạng vận dụng A 2n ≥ 0 với mọi A, - A 2n ≤ 0 với mọi A

Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :

a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012

Giáo viên : Nguyễn Như Quảng 14

8 7

8 7

A+ B ≥ +A B , ∀A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B ≥ 0

A− B ≤ −A B, ∀A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B ≥ 0

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giỏo viờn : Nguyễn Như Quảng 16

HD : + Nếu m + n chia hết cho p ⇒ p mM ( − 1) do p là số nguyờn tố và m, n ∈ N*

Bài 4: a) Số A= 10 1998 − 4 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?

b) Chứng minh rằng: A= 36 38 + 41 33 chia hết cho 7

a) Chứng minh rằng: 3n+ 2 − 2n+ 4 + 3n + 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên dơng

b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c M 17 nếu a - 11b + 3c M 17 (a, b, c ∈ Z)

Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3a+ 2bM 17 ⇔ 10a+bM 17 (a, b ∈ Z )

b) Cho đa thức f(x) =ax2 +bx+c (a, b, c nguyên)

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3

HD a) ta cú 17a – 34 b M 17 và 3a + 2b M 17 ⇒ 17a− 34b+ 3a+ 2 17bM ⇔ 2(10a− 16 ) 17b M

⇔ 10a− 16 17bM vỡ (2, 7) = 1 ⇔ 10a+ 17b− 16 17bM ⇔ 10a b+ M 17

b) Ta cú f(0) = c do f(0) M 3 ⇒cM 3

f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(-1) chia hết cho 3 ⇒ 2 3bM ⇒bM 3 vỡ ( 2, 3) = 1

b) Cho 2n + 1 là số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n − 1 là hợp số

HD : b) ta cú (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- 1 chia hờt cho 3 và 2n + 1 là

số nguyên tố (n > 2) suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hợp số

2.B ài tập vận dụng

Bài 1: Cho a, b, c > 0 Chøng tá r»ng:

a c

c c b

b b a

a M

+

+ +

+ +

Vậy 1 < M < 2 nên M không là số nguyên

Bài 2 Chứng minh rằng : a b+ ≥ 2 ab (1) , a b c+ + ≥ 3 3 abc (2) với a, b, c ≥ 0

HD : a b+ ≥ 2 ab ⇔ + (a b) 2 ≥ 4ab⇔a2 + 2ab b+ ≥ 2 4ab⇔a2 − 2ab b+ ≥ ⇔ − 2 0 (a b) 2 ≥ 0(*)

Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng

Bài 3 : Với a, b, c là các số dương Chứng minh rằng

Giỏo viờn : Nguyễn Như Quảng 18

Bài 3 Cho đa thức f(x) =ax2 +bx+c với a, b, c là các số thực Biết rằng f(0); f(1); f(2)

có giá trị nguyên Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên

Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:

Chuyờn đề 9 Cỏc bài toỏn thực tế

1 Kiến thức vận dụng

- Tớnh chất đại lượng tỉ lệ thuận :

Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi :

y = k.x ⇔ 1 2 3

n n

- Đọc kỹ đề bài , từ đú xỏc định cỏc đại lượng trong bài toỏn

- Chỉ ra cỏc đại lượng đó biết , đại lượng cần tỡm

- Chỉ rừ mối quan hệ giữa cỏc đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)

- Áp dụng tớnh chất về đại lượng tỉ lệ và tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để giải

Bài 1 : Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng Trờn hai cạnh đầu vật

chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trờn bốn cạnh là 59 giõy

Bài 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A

trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh nhau

Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi đợc nửa quãng

đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút

Tính thời gian ô tô đi từ A đến B

Bài 4 : Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A Vận

tốc An so với Bình là 2: 3 Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4

Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?

Bài 5 : Ba đội cụng nhõn làm 3 cụng việc cú khối lượng như nhau Thời gian hoàn

thành cụng việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày Biờt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ

là 2 người và năng suất của mỗi cụng nhõn là bằng nhau Hỏi mỗi đội cú bao nhiờu cụng nhõn ?

Bài 6 : Ba ụ tụ cựng khởi hành đi từ A về phớa B Vận tốc ụ tụ thứ nhất kộm ụ tụ thứ

hai là 3 Km/h Biết thơi gian ụ tụ thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quóng đường AB lần lượt là : 40 phỳt, 5

8 giờ , 5

9 giờ Tớnh vận tốc mỗi ụ tụ ?

Giáo viên : Nguyễn Như Quảng 20

PHẦN HÌNH HỌC

I Một số phương pháp chứng minh hình hoc

1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó

- Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân

- Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng

- Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng

2.Chứng minh hai góc bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó

- Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân

- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le trong ,đồng vị

- Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác

3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng:

P 2 : - Dựa vào số đo của góc bẹt ( Hai tia đối nhau)

- Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm

- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3

- Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao

4 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

P 2 : - Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo

- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc

- Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao

5 Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm )

P 2 : - Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác

6 So sánh hai đoạn thẳng, hai góc :

P 2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về quan

hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác , BĐT tam giác

- Dựa vào định lí về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, đường xiên

Cú : AB = AD, AC = AE (gt)

⇒ Cần CM : DAC BAEã =ã

Cú : ãBAE= 90 0 +BAC DACã = ã

* Gọi I là giao điểm của AB và CD

Từ bài 1 ta thấy : DC = BE và DC ⊥BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuụng cõn, vậy nếu cú

∆ABD và ∆ ACE vuụng cõn , Từ B kẻ BK ⊥CD tại D thỡ ba điểm E, K, B thẳng hàng

Ta cú bài toỏn 1.2

Bài 1 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Từ B kẻ BK ⊥CD tại K Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng

HD : Từ bài 1 chứng minh được DC ⊥BE mà BK ⊥CD tại K suy ra ba điểm E, K, B thẳng hàng

Phõn tớch tỡm hướng giải

HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC

Để CM MA ⊥BC ⇒ ta cần CM ∆AHC vuụng tại H

⇒Để CM ∆AHC vuụng tại H ta cần tạo ra 1 tam giỏc

Giỏo viờn : Nguyễn Như Quảng 22

Cần CM : ND = AE ( = AC) và BACã = ãADN

⇒ EAD ADNã + ã = 180 0( cặp gúc trong cựng phớa) mà ãEAD BAC+ã = 180 0 ⇒ ãBAC=ãADN

Xột ∆ABC và ∆DNA cú : AB = AD (gt) , AC = DN và ãBAC=ãADN ( chứng minh trờn ) ⇒∆ABC = ∆DNA (c.g.c) ⇒ Nả 1 =ãACB

Xột ∆AHC và ∆DQN cú : AC = DN , ãBAC= ãADN và ả ã

1

N =ACB

⇒ ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ⇒ ∆AHC vuụng tại H hay MA ⊥BC

* Khai thỏc bài toỏn 1.3

+ Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thỡ tia MA⊥BC , ngược lại

nếu AH ⊥BC tại H thỡ tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta cú bài toỏn 1.4

Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE

HD : Từ bài 1.2 ta cú định hướng giải như sau:

Kẻ DQ ⊥ AM tại Q, ER⊥AM tại R

Ta cú : + DAQ HBHã =ã ( Cựng phụ ãBAH )

AD = AB (gt) ⇒ ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn)

⇒ DQ = AH (1)

+ãACH = ãEAR ( cựng phụ ãCAH )

AC = AE (gt) ⇒ ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn)

⇒ER = AH ( 1) Từ (1) và (2) ⇒ ER = DQ

Lại cú Mả 1 =Mả 2 ( hai gúc đối đỉnh )

⇒ ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) ⇒MD = ME hay M là trung

điểm của DE

+ Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thỡ tia MA⊥DE , ngược lại

nếu H là trung điểm của BC thỡ tia KA sẽ vuụng gúc với DE, ta cú bài toỏn 1.4

Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi H trung điểm của

BC

Chứng minh rằng tia HA vuụng gúc với DE

HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toỏn 1.4

Trờn tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’

Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)

⇒ A’B = AC ( = AE) và HAC HA Bã = ã '

⇒ AC // A’B ⇒ ãBAC ABA+ ã ' 180 = 0 ( cặp gúc trong cựng phớa)

Mà DAE BACã + ã = 180 0 ⇒DAEã =ãABA'

Xột ∆DAE và ∆ABA’ cú : AE = A’B , AD = AB (gt)

DAE=ABA ⇒∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)

⇒ ãADE B= ã AA' mà ãADE B+ãAA ' 90 = 0 ⇒ãADE MDA+ã = 90 0

Suy ra HA vuụng gúc với DE

Bài 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia

đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D

và E cắt AB, AC lần lợt ở M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay

BCA CBAã =ã ( ∆ABC cõn tại A)

b) Để Cm Đờng thẳng BC cắt MN tại trung

điểm I của MN ⇒ Cần cm IM = IN

⇑

Giỏo viờn : Nguyễn Như Quảng 24

Từ bài 2 ta thấy BM = CN , vậy ta cú thể phỏt biểu lại bài toỏn như sau:

Bài 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia

AC lấy điểm N sao cho BM = CN Đường thẳng BC cắt MN tại I

Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của MN

b) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi

Bài 3 : Cho ∆ABC vuụng tại A, K là trung điểm của cạnh BC Qua K kẻ đường

thẳng vuụng gúc với AK , đường thẳng này cắt cỏc đường thẳng AB và AC lần lượt ở

D và E Gọi I là trung điểm của DE

a) Chứng minh rằng : AI ⊥ BC

b) Cú thể núi DE nhỏ hơn BC được khụng ? vỡ sao?

*Phõn tớch tỡm lời giải

a) Gọi H là giao điểm của BC và AI