Tìm hiểu các ứng dụng của số liệu thống kê theo cuốn sách Discovering Advanced Algebra

Đểthuận tiện cho bạn đọc giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau nhưng đơngiản và hiệu quả, tác giả đã đưa ra những nhiều ví dụ minh họa cho nhữngtrường hợp cụ thể ,với những con số

ĐẠI HỌC HUẾ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN - -

MỤC LỤC

Lời mở đầu 5

CHƯƠNG I: Giới thiệu về tác giả và tóm tắt nội dung sách Discovering Advanced Algebra 7

1 Giới thiệu tác giả 7

2 Tóm tắt nội dung sách Discovering Advanced Algebra: 7

2.1 Khái quát chung 7

2.2 Khái quát nội dung chương 13 trong sách Discovering Advanced Algebra 8

Chương II: 10

NỘI DUNG CHƯƠNG 13 TRONG SÁCH 10

ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ 10

BÀI 13.1: PHÂN BỐ XÁC SUẤT 11

I Điều tra: 12

1 Độ dài bút chì 12

II Các đại lượng cơ bản của phân bố xác suất 14

III BÀI TẬP 15

BÀI 13.2: PHÂN PHỐI CHUẨN 20

I Điều tra 20

1 Cái chuông 20

2 Ví dụ 22

II BÀI TẬP 25

BÀI 13.4: GIÁ TRỊ Z VÀ KHOẢNG TIN CẬY 26

I Điều tra 26

1 Khu vực và phân phối 26

2 VÍ DỤ A: 27

II Khoảng tin cậy 29

1 Ví dụ 29

III Bài tập 32

3.1 Thực hành kỹ năng của bạn 32

3.2 Lý do và Áp dụng 32

3.3 Xem xét 33

BÀI 13.4: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 34

II Định lý giới hạn trung tâm 36

1 Định lý 36

2 Ví dụ: 36

III Bài tập 39

3.1 Thực hành kỹ năng của bạn 39

3.2 Lý do và Áp dụng 40

5 ÁP DỤNG: 41

3.3 Xem xét 41

BÀI 13.5: DỮ LIỆU HAI CHIỀU VÀ SỰ TƯƠNG QUAN 45

I Sự điều tra 45

1 Tìm kiếm mối liên quan 45

II Bài tập: 48

2.1 Thực hành kỹ năng của bạn 48

2.2 Lý do và Áp dụng 49

2.3 Xem xét 49

BÀI 13.6: ĐƯỜNG BẬC HAI BÉ NHẤT 50

I Cuộc điều tra 51

II Bài tập: 52

2.1 Thực hành kỹ năng của bạn 52

2.2 Lý do và áp dụng 52

2.3 Xem xét 53

Bài: 7 PHI TUYẾN TÍNH HỒI QUY 54

I Điều tra: 54

1 Một lỗ thí nghiệm thủng 54

II Bài tập 56

2.1 Thực hành kĩ năng của bạn 56

2.2 Lí luận và áp dụng 56

Kế hoạch 59

Làm cho nó phù hợp 59

III Đánh giá hỗn hợp 59

3.1 Áp dụng 59

3.2 Đánh Giá Những Gì Bạn Đã Học Được 61

Chương III: KẾT LUẬN 63

2 So sánh với sách toán nước ta: 63

Tài liệu tham khảo 65

Lời mở đầu

Ngày nay thống kê là một trong những công cụ không thể thiếu tronghoạt động nghiên cứu, công tác thực tiễn , quản lý vĩ mô quan trọng, cung cấpcác thông tin thống kê trung thực, khách quan đầy đủ, chính xác, kịp thời trongcông việc đánh giá , dự báo tình hình, hoạch định chiến lược, chính sách xâydựng kế hoạch phát triển kinh tế - xã hội và đáp ứng nhu cầu thông tin thống kêcủa sinh viên, nhà quản lý, nhà nghiên cứu,nhà điều hành và mỗi cá nhân

Để hiểu rõ hơn về những ứng dụng của thống kê chúng ta sẽ khám pháchương 13 của sách “Discovering Advanced Algebra - Khám phá đại số nângcao”

Chương 13 được xây dựng với những ứng dụng thống kê trong kinh tế

-xã hội và các ví dụ gần gũi,thực tế,các ứng dụng trong cuộc sống hằng ngày Đểthuận tiện cho bạn đọc giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau nhưng đơngiản và hiệu quả, tác giả đã đưa ra những nhiều ví dụ minh họa cho nhữngtrường hợp cụ thể ,với những con số các số liệu được sắp xếp trong bảng biểu,hay những đồ thị biểu diễn những dữ liệu đó.Theo các trình tự khoa học, đầutiên là đưa ra giả thuyết,sau đó dẫn dắt người đọc tìm hướng giải quyết giảthuyết và cuối cùng là đưa ra kết luận tổng thể về mối quan hệ giữa cácbiến,cách tính hệ số tương quan,độ lệch chuẩn,phân phối chuẩn Với mục đíchthống kê được dùng để nhận ra và hiểu các biến thể có hệ thống khi đo lườngcác hiện tượng kinh tế - xã hội để tóm tắt dữ liệu và đưa ra quyết định dựa trên

dữ liệu Và đặc biệt trong chương này bạn có một lượng bài tập ôn tập khá lớngiúp cho bạn ôn luyện kĩ năng sau khi được giới thiệu lí thuyết trước đó vànhững ứng dụng trong đời sống thực tiễn

Trong bài thu hoạch này,nội dung chính gồm ba chương:

Chương 1:Giới thiệu về tác giả và tóm tắt nội dung sách DiscoveringAdvanced Algebra

Chương 2:Nội dung chương 13 ứng dụng của số liệu thống kê

Chương 3: Kết luận

Hi vọng các bạn sẽ khám phá ra nhiều điều thú vị và bổ ích về ứng dụngcủa thống kê để góp phần nâng cao hiệu quả trong hoạt động nghiên cứu, côngtác thực tiễn và quản lý

CHƯƠNG I: Giới thiệu về tác giả và tóm tắt nội dung sách Discovering

Advanced Algebra

1 Giới thiệu tác giả

Tác gỉa Jerald Murdock, Ellen và Eric Kamischke bắt đầu làm việc cùngnhau tại Interlochen Arts Academy ở Interlochen, Michiguan Họ bắt đầu làmviệc với học trò của mình bằng cách sử dụng dữ liệu thực tế và thực hành thínghiệm Kết quả này đã được công bố bởi nhà xuất bản Key Curriculum Pressqua các cuốn sách như Advanced Algebra through data exploration: A graphingCalculator Approach sau đó sửu đổi thành Discovering Advanced Algebra: AnInvestygative Approach

Jerald Murdock đã được tổng thống Awardee For excellence trao giải xuấtsắc ở viện toán học và là ủy viên Woodrow wilson Ông đã giảng dạy trong cảhai trường trung học công và tư ông còn là một diễn gia giàu kinh nghiệm vàmột nhà lãnh đạo hội thảo Ellen Kamischke có bằng cử nhân về toán học và vật

lý Cô rất thích tìm cách để kết hợp tranh ảnh trong giảng dạy của mình Cô ấy

là một nhà lảnh đạo hội thảo và thuyết trình tại hội nghị toán học khu vực vàquốc gia về các chủ đè khác nhau, từ văn bản trong toán học đại số và giải tích.Eric Kamischke cũng là ủy viên Woodrow wilson Một giáo viên hóa học trướcđây Một chuyên gia vê công nghệ trong lớp học và sử dụng nó để điếu traphòng thí nghiệm trong giảng dạy toán học của mình và trong bài thuyết minhcủa mình cho giáo viên

2 Tóm tắt nội dung sách Discovering Advanced Algebra:

2.1 Khái quát chung

Cuốn sách của 3 tác giả Jerald Murdock, Ellen và Eric Kamischke được xuất bản vào tháng 8 năm 2003 Sách gồm 14 chương từ 0 đến chương 13 chủ yếu trình bày về đại số

Nội dung các chương như sau:

Chương 0: Giải quyết vấn đề

Chương 1: Các mô hình và phép truy hồi

Chương 2: Mô tả dữ liệu

Chương 3: Các mô hình và hệ thống tuyênd tính

Chương 4: Hàm số, mối tương quan và cac phép biến đổi

Chương 5: Các hàm số mũ, lũy thừa logarit

Chương 6: Ma trận và hệ thống tuyến tính

Chương 7 : Hàm bậc hai và các hàm đa thức khác

Chương 8: Phương trình tham số và lượng giác

Chương 9: Các đường conic và hàm số hữu tỉ

Chương 10: Hàm số lượng giác

Chương 11: Chuỗi số

Chương 12: Xác suất

Chương 13: Các ứng dụng của thống kê

Trong mỗi chương sẽ giới thiệu cho chúng ta nhiều khái niệm, định nghĩa,định lý, tính chât cơ bản trong đại số và có nhiều ví dụ minh họa, Bài tập áp dụng rất thực tế

2.2 Khái quát nội dung chương 13 trong sách Discovering Advanced Algebra

Chương 13 của sách đề cập dến các ứng dụng của thống kê Nội dung chính của chương này gồm 7 bài:

Bài 13.1: Phân bố xác suất

Bài 13.2: Phân phối chuẩn

Bài 13.3: Giá trị z và khoảng tin cậy

Bài 13.4: Định lý phân phối trung bình

Bài 13.5: Dữ liệu hai chiều và sự tương quan

Bài 13.6: Đường bậc hai bé nhất

Bài 13.7: Phi tuyến tính hồi quy

Mở đầu mỗi bài đều có các hoạt động tình huống cụ thể gợi mở vấn đègiúp bạn đọc tự khám phá, tìm tòi ra kiến thức Cuối mỗi bài đều có phần bài tậpthực hành và vận dụng kiến thức đã học được

Bài thu hoạch này tập trung giới thiệu chương 13 của sách Dưới đây lànội dung chính chương 13 của sách Discovering Advanced Algebra

MỤC TIÊU

Trong chương này bạn sẽ

 Tìm hiểu phương pháp để dự đoán dân số dựa trên một mẫu ngẫunhiên

 Tìm ra sự kết hợp giữa số liệu thống kê của một mẫu và các thông sốcủa toàn bộ dân số

 Nghiên cứu sự phân phối dân số, bao gồm cả phân phối chuẩn

 Các hàm phù hợp dữ liệu và đưa ra dự đoán sử dụng ít nhất các đườnghình vuông và các phương trình hồi quy khác

BÀI 13.1: PHÂN BỐ XÁC SUẤT

Sẽ có một ngày suy luận thống kê là cần thiết cho công dân giống như khảnăng đọc và viết

“Tôi đã làm một cuộc khảo sát và 22% trẻ em trong ngôi trường này có đôimắt màu xanh, vì thế 22% dân số quanh khu vực này phải có đôi mắt màu xanh”Sean tuyên bố “Chính xác 22%?” Yiscah hỏi

Một trong những ứng dạng chính của thống kê là để tìm hiểu về một tậphợp rộng lớn, chẳng hạn như dân cư của một thành phố, bằng cách nhìn vào tậphợp nhỏ hơn, chẳng hạn như học sinh trong một trường Tập hợp lớn được gọi

là dân số, và tập hợp nhỏ hơn là một mẫu của dân số.

Các con số tương ứng mô tả toàn bộ dân số được gọi là thông số

Khi bạn kiểm tra xác xuất trong chương 12 Bạn sử dụng các biến ngẫunhiên rời rạc Các dữ liệu có giá trị nguyên, chẳng hạn như 5 cái đầu, 3 cái đuôi,hoặc 454 học sinh Tuy nhiên đôi khi dữ liệu có thể đưa vào bất kì giá trị thựctrong một khoảng nào đó Nó được đại diện bởi một biến ngẫu nhiên liên tục.Bạn có thể nói rằng tất cả mọi người là 15 hoặc 16 tuổi, nhưng thực sự không có

ai chinhs xác 16, bởi vì một người là chính xác 16 chỉ tại một khoảng khắc Tuổicủa bạn là biến liên tục, và có vô hạn lứa tuổi

I Điều tra:

1 Độ dài bút chì

Bạn sẽ cần: Thước đo (cm), bút chì, giấy kẻ ô vuông.

Trong điều tra này, bạn sẽ khám phá sự khác biệt giữa biến ngẫu nhiên rờirạc và liên tục

Bắt đầu bằng cách thu thập tất cả bút chì mà nhóm bạn có

Bước 1: Đo bút chì của bạn chính xác đến một phần mười của một cm.

Trước khi bạn chia sẽ dữ liệu với các nhóm khác, dự đoán hình dạng của mộtbiểu đồ của lớp dữ liệu

Bước 2: Chia sẽ tất cả các phép đo để lớp có một tập hợp các dữ liệu Trên

giấy vẽ đồ thị, vẽ một biểu đồ với các cột đại diện cho một cm gia tăng trongchiều dài bút chì

Bước 3: Chia tổng số bút chì cho mõi cột của bút chì Làm mới biểu đồ,

sử dụng các thương số như các giá trị trên trục y

Bước 4: Kiểm tra rằng diện tích biểu đồ thứ hai của bạn là một Tại sao

điều này phải đúng ?

Bước 5: Hãy tưởng tượng rằng bạn thu thập càng nhiều bút chì và vẽ một

biểu đồ sử dụng phương pháp mô tả trong bước 3 Phác họa biểu đồ của nhiềubút chì có chiều dài vô hạn sẽ trông như thế nào Đưa ra lí do cho câu trả lời củabạn

Bước 6: Hãy tưởng tượng làm một cuộc khảo sát rất đầy đủ và chính xác

của tất cả các bút chì trên thế giới Giả sử rằng sự phân bố đó giống như sự phân

bố bút chì trong mẫu của bạn Cũng giả sử rằng bạn sử dụng vô số cột rất hẹp

Để gần đúng ý tưởng này, phác thảo trên đầu biểu

đồ của bạn một đường cong trơn, như hình bên phải Làm

cho khu vực giữa đường cong và trục hoành giống như

khu vực của biểu đồ Chắc chắn rằng khu vực thêm được

bao bọc bởi đường cong trên biểu đồ giống như khu vực cắt đứt các góc của cộtnhư bạn mịn ra hình dạng

 Bước 7: Đặt ít làm chiều dài của bút chì Sử dụng biểu đồ trong bước 6

để ước tính diện tích của các khu vực khác nhau giưa đường cong và trục x, thỏamãn các điều kiện

a x < 10

b 11 < x <12

c x > 12.5

d x = 11

2 Biểu đồ bạn vẽ trong bước 3 của cuộc điều tra, đưa ra các tỉ lệ của bút chì

trong các cột, là một biểu đồ tần số tương đối Nó cho thấy tỉ lệ của giá trị của

một biến ngẫu nhiên rời rạc chứa trong mõi cột Đường cong liên tục bạn đã vẽ trong bước 6 sấp xỉ một biến ngẫu nhiên liên tục của tập vô hạn

VÍ DỤ A: Một máy phát điện số chọn một số ngẫu

nhiên từ 0 – 6 theo phân bố xác suất bên phải Bởi vì số

ngẫu nhiên có thể nhận một giá trị nào của x với 0 ¿ x

Đầu tiên lư ý rằng khu vực bóng mờ cho toàn bộ phân phối có diện tích là

1, để tìm xác suất của một tập hợp các kết quả, tìm diện tích của khu vực tươngứng với nó

a Khu vực giữa 0 và 2 là một hình chư nhật với chiều rộng 2 chiều dài 2.Diện tích của nó là 2.2, hoặc 4 Vì thế xác suất chọn ngẫu nhiên được một sốgiữa 0 và 2 là 4

b Khu vực giữa 2.5 và 3.5 là một hình chữ nhật với chiều rộng 1 và chiều dài 2 Diện tích của nó là 2 Vì thế xác suất là 2 để chọn ngẫu nhiên được một sốgiữa 2.5 và 3.5

c Khu vực giữa 4 và 6 là một tam giác với chiều rộng là 2 và chiều cao là

2 Diện tích của tam giác là 2 Vì thế xác suất là 2

Trong chương 2 bạn đã được tìm hiểu 3 phương pháp trọng tâm đẻ mô tảmột tập dữ liệu có ý nghĩa, trung bình và mode Với một phân bố xác suất bạnkhông có một tập hữu hạn các dữ liệu Vì thế những thống kê phải được xácđịnh và tính toán theo những cách hơi khác nhau

II Các đại lượng cơ bản của phân bố xác suất.

 Mode (yếu vị ) : Giá trị hoặc những giá trị mà tại đó đồ thị đạt giá trị lớn

nhất của nó

 Trung bình: Số d sao cho đường x = d chia khu vực trên thành 2 phần

với diện tích bằng nhau

 Kì vọng (giá trị trung bình): trung bình cộng của gía trị xác suất Vì thế,

hoành độ của trọng tâm, hoặc điểm cân bằng của khu vực cũng là giá trị trung bình

1 VÍ DỤ B:

Một số lượng lớn người dân được yêu cầu hoàn

thành một câu đố Thời gian làm của mõi người được

ghi nhận.Các dữ liệu thể hiện trong đồ thị phân bố xác

suất bên phải, với thời gian dao động giữa 0 và 8 giây

a Yếu vị là hoành độ của điểm cao nhất, 2 giây

b Tìm đường thẳng đứng mà chia tam giác trên

thành hai khu vực, mõi khu vực có diện tích là 0.5 Một

vài thử nghiệm cho thấy trung bình khoảng 3 s Tam giác nhỏ hơn có cạnh đáy

là 5 và chiều cao khoảng 2

A ~ 0.5 x 5 x 0.2 ~ 0.5

Vì thế khoảng một nửa diện tích của tam giác nhỏ hơn nằm sau 3 Để tínhchính xác trung bình, bạn ó thể dùng phương trình của các đường hình thànhranh giới của khu vực Phương trình của đường thẳng đi qua (2, 0.25) và (8, 0)

là y = -(x -8)/24 Dùng phương trình này để tìm gái trị của trung bình, d, vì thếdiện tích tam gaics bên phải ó trung bình là 0.5

Giải tìm d khi diện tích là 0.5 Chia hia vế cho 0.5 và nhân nhị thức Nhân hai vế cho -24

Viết phương trình bậc 2 theo hình thức chung

Sử dụng công thức bậc hai để giải ra d.

Gía trị thứ 2 là bên ngoài của miền xác định, vì vậy trung bình của phânphối là khoảng 3.101

c Bằng cách cắt ra hình tam giác và cân bằng nó trên đầu tẩy của 1 bút chì,bạn có thể nhận được một ước lượng khá tốt mà giá trị trung binh là 3.33 in

III BÀI TẬP

III.1 Trả lời các bài tập 1-4 ở trang 729 cho mỗi phân phối dưới

đây

1 Tìm chiều cao của hộp lưới trên trục y để diện tích là 1.

2 Tìm xác suất mà một giá trị được chọn ngấu nhiên sẽ nhỏ hơn 3

3 Ước tính trung bình

4 Ước tính giá trị trung bình

III.2 Giả sử mõi người trong lớp bạn lựa chọn một bộ 4 số từ 1

đến 8 (cho phép lặp đi lặp lại) và mỗi người tính toán giá trị trung bình của tập hợp của mình

a phát thảo một biểu đồ có thể có của các giá trị trung bình Giải thích lí

do cho biểu đồ của bạn

b Dựa vào biểu đồ của bạn, ước tính giá trị trung bình và trung bình của phân phối của bạn

3.3 12 bảng này liệt kê các lứa tuổi của Chủ tịch và Phó Chủ tịch của Hoa

Kì khi lần đầu tiên họ nhận chức

b Vẽ một biểu đồ cho mõi tập dữ liệu sử dụng cùng một phạm vi và kích

cỡ cho mõi đồ thị Mô tả cách thức biểu đồ phản ánh số liệu thống kê cho mỗi

f So sánh và mô tả các đồ thị.

3.4 giả sử bạn tung 1 cặp xúc sắc cân xứng 5 lần Xác suất để tổng là 8

ít nhất 3 lần?

BÀI 13.2: PHÂN PHỐI CHUẨN

Trong chương 12 bạn đã tìm hiểu phân phối nhị thức, (p + q), cho biến ngẫu nhiên rời rạc Số các phép thử được đại diện bởi n, và p và q đại diện chỉ đại diện cho haikeets quả của mỗi ặ kiện Trong bài này bạn sẽ khám phá ra một số tính chất của phân phối xác suất

I Điều tra

1 Cái chuông

Xét số đầu, x, khi 15 đòng xu cân xứng được tung cùng một lúc Phân phối xác suất, P(x), là một phân phối nhị thức, bởi vì có chính xác hai kết quả có thể cho mỗi lần tung là đầu hoặc đuôi

 Bước 1: Phân phối xác suất nhị thức cho thử nghiệm này là

p là xác suất xuất hiện dầu cho mỗi lần tung đồng xu Tạomột bản tính cho hàm này với mục bảng tạo giá trị nguyên của x từ 0đến 15.Bạn nên dùng giá trị nào cho p? Gái trị của x cho P(x) đạt gái trị lớn nhất

 Bước 2: Tạo hai danh sách, L1 và L2 Các mục trong danh sách L1 nênchứa tất cả các giá trị có thể xẩy ra của x Nhập các giá trị tương ứng của P(x)trong danh sách L2 Bạn có thể thực hiện nhanh bằng cách xác định L2 như sựbieeur diễn của Y1 (L1) Hoàn thành bản dưới đây Tổng các giá trị trong danhsách 2 là bao nhiêu? Tại sao câu trả lời này có ý nghĩa?

P(x)

 Bước 3: Tạo ra một biểu đồ tần số tương đối cho thấy sự phân bố củađầu Sử dụng danh sách 2 như tần số Mô tả hình dạng và vùng gái trị của biểu

đồ Giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

 Bước 4: vẽ đồ thị P(x) sử dụng cửa sổ với miền xác định quen thuộc,chẳng hạn như [0,18.8, 1, -0.01, 0.25, 0.1] Bạn có thể bậc chế độ ẩn các trục đểthấy tất cả các điểm Giá trị nào của x để hàm số xác định? Viết một mô tả ngắngọn cho biểu đồ Bao gồm hình dạng và ước tính của bạn cho mode, trung bình,

và giá trị trung bình của phân phối.Làm thế nào đẻ biểu đồ này khác với biểu đồtrong bước 3?

 Bước 5: vẽ đồ thị sử dụng một cửa sổ với miền xácđịnh quen thuộc, chẳng hạn như [0, 47, 1, -0.01, -0.25, 0.1] Những thử nghiệm

lý thuyết này mô tả phương trình nào? Một lần nũa, viết mô tả ngắn gọn chobiểu đồ bao gồm hình dạng, tập xác định và vùng giá trị, và ước tính của bạncho mode, trung bình và giá trị trung bình của phân phối So sánh đồ thị này với

đồ thị trong bước 4

 Bước 6: Nhập các giá trị được xác định của x và P(x) trong các danhsách L1 và L2 Sau đó tìm giá trị tủng bình và đọ lệch chuẩn của phân phối.[ Xem Lưu ý tính 2B để hiểu làm thế nào để tìm số liệu thống kê của bảng tầnsố.]

 Bước 7: Nếu số đồng tiền tăng lên Câu trả lời cho bước 6 và 7 có thayđổi không? Viết dự đoán của bạn và sau đó xác minh chúng

Như tăng lên càng lớn, phân phối nhị thức trông càng giống đường congliên tục hình chuông bên phải Sự phân phối dân số lớn có

hình dạng này Chiều cao, kích thước quần áo và những

điểm kiểm tra là một vài ví dụ Trong thực tế đường cong

hình chuông rất phổ biến, nó được gọi là đường cong chuẩn, và phân phối hìnhchuông được gọi là phân phối chuẩn

Các đường cong chuẩn thường phân phối của một mẫu hay toàn bộ dân

số Bạn có thể sử dụng x và s để đại diện cho giá trị trung bình và độ lệch chuẩncủa một mẫu, nhưng bạn sử dụng muy và sigma ( phát âm là “mew” và “sigma”)

để đại diện cho giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của toàn bộ dân số

Trong chương này bạn sẽ thấy một số tính chất của phân phối chuẩn.Phương trình tổng quát của một đường cong phân phối chuẩn có dạng y=ab−x2

.Nếu bạn vẽ đồ thị hàm số y =3 −x2

, bạn sẽ có dd]ơcj một đường conh hình chungđối xứng qua trục thẳng đứng Để mô tả một phân phối đặc biệt của dữ liệu, bạndịch các đường cong theo chiều ngang được tập trung tại giá trị trung bình của

dữ liệu, và bạn căng nó theo chiều ngang để phù hợp với độ lệch chuẩn của dữliệu Sau đó, bạn thu nhỏ nó theo chiều dọc để diện tích là một Các bước nàyđược thể hiện qua đồ họa dưới đây Bạn sẽ muốn bắt đầu với một hàm gốc có độlệch chuẩn là một

Hàm gốc của phân phối xác suất có độ lệch chuẩn là một, và được gọi làphân phối chuẩn chính tắc để đáp ứng các điều kiện của phân phối chuẩn chínhtắc, các nhà thống kê đã sử dụng toán học tiên tiến để xác định các giá trị của a

Một nhóm học sinh căng 500 đồng xu Mĩ họ nhaqanj ra rằng những đống

xu có cân nặng được phân phối chuẩn với một giá trị trung bình là 3.1gam và độlệch chuẩn là 0.14g

a Sử dụng máy tính của bạn để tạo ra một đồ thị cho đường cong chuẩnnày

b Xác suất mà một đồng xu được chọn ngẫu nhiên có cân nặng giữa 3.2

Giải

Giá trị trung bình là 3.1 và độ lệch chuẩn là 0.14g

a Bạn có thể vẽ độ thị đường cong xác suất sử dụng n( x, 3.1, 0.14 )

b Xác suất mà một đồng xu chọn được ngẫu nhiên sẽ có trọng lượng giữa3.2 và 3.4g bằng với diện tích dưới đường cong chuẩn giữa 3.2 và 3.4g

Bạn có thể sử dụng N ( 3.2, 3.4, 3.1, 0.14 ) để tìm diện tích này Diện tíchkhoảng 0.22, vì thế cơ hội là 22% để một đông xu lựa chọn ngẫu nhiên sẽ cókhối lượng giữa 3.2 và 3.4g

c Bạn muốn tìm diện tích dưới đường cong bên phải của 3.3g tuy nhiênkhoảng này không có giới hạn trên Làm thế nào để xây dựng ràng buộc trên

Cho dù bạn sử dụng 100 hoặc 1000, bạn cũng nhận được câu trả lời tương tự,chính xác đến 8 chữ số.

N(3.3, 100, 3.1, 0.14) = 0765637714

N(3.3, 1000, 3.1, 0.14) = 0765637714

Vì vậy bạn có thể sử dụng bất kì một số nào cho giới hạn trên

Xác suất mà một đồng xu sẽ nặng hơn 3.3g là khoảng 0.07

d Xác suất mà khối lượng sẽ nằm trong một độ lệch chuẩn của giá trịtrung bình là N ( 3.1 – 0.14, 3.1 + 0.14, 3.1, 0.14 ), hoặc xấp sĩ 0.683 Xác suất

mà khối lượng sẽ nằm trong hai độ lệch chuẩn của giá trị trung bình là N ( 3.1 –0.28, 3.1 + 0.28, 3.1, 0.14 ), hoặc xấp sĩ 0.995 Xác suất mà khối lượng sẽ nằmtrong ba độ lệch chuẩn của giá trị trung bình là N ( 3.1 – 0.42, 3.1 + 0.42, 3.1,0.14 ), hoặc xấp sĩ 0.997

Phân phối chuẩn

Phương trình của một phân phối chuẩn với giá trị trung bình μ và độ lệch chuẩn σ là

Nhìn vào độ cao của một đường cong chuẩn Tại các điểm mà một độ lệchchuẩn chính xác từ giá trị trung bình, những thay đổi đường cong giữa uốn congxuống ( một phần của đường cong có độ giốc giảm) và uốn cong lên phía trên( các bộ phận của đường cong có độ dốc tăng) Các điểm này được gọi là điểmuốn Bạn có thể ước tính độ lệch chuẩn của mọi phân phối chuẫn bằng cách xácđịnh điểm uốn của đồ thị của nó

II BÀI TẬP

2.1.Từ mỗi phương trình, ước tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn

2.2.Từ mỗi độ thị, ước tính giá trị và độ lệch chuẩn

2.3.Các nhà sản xuất Sweet Sips nước uống trái cây 100% đã phát hiện ra rằng máy điền của họ sẽ điền vào một chai với độ lệch chuẩn là 0.75 o z Kiểm soát trên máy tính sẽ thay đổi giá tri trung bình nhưng sẽ không ảnh hưởng đến

BÀI 13.4: GIÁ TRỊ Z VÀ KHOẢNG TIN CẬY

I Điều tra

1 Khu vực và phân phối

Bất kỳ một phép đo chiều dài nào của một đối tượng cũng chỉ là xấp xỉ chiềudài thực tế Thông thường,các phép đo được thực hiện bởi nhiều người sẽ được phân phối chuẩn Bạn sẽ sử dụng ý tưởng này để khám phá khu vực dưới đường cong

 Bước 1:

Đo chiều dài của sợi dây thừng, chính xác đến

0,1cm Giả sử đo lường của bạn là giá trị trung bình

của tất cả các phép đo và có độ lệch chuẩn là 0,8 cm

Phác họa một đường cong dựa trên đo lường của

bạn

 Bước 2 :

Sử dụng phần dưới đường cong để tìm xác suất mà một phép đo mới sẽ là

a trong vòng một độ lệch chuẩn của chiều dài đó (Tức là, tìm diện tích giữa

-0,8 và + -0,8)

b trong hai độ lệch chuẩn của chiều dài đó

c trong ba độ lệch chuẩn của chiều dài đó

 Bước 3:

Có một quy luật trong thống kê được gọi là " quy luật 68-95-99.7." So sánh kết quả của bạn từ bước2 với những thành viên trong nhóm của bạn, và viết một quy luật mà có thể theo tên đó

Khi nói rằng trọng lượng trung bình của một đồng xu là 0,4 g thì bạn không thể biết được liệu những giá trị nhỏ hơn nó là thiểu số hay đa số.Nhưng nếu nói rằng trọng lượng của một đồng xu có độ lệch chuẩn là 2,86 từ giá trị trung bình thì đó là giá trị thiểu số

Trong nghiên cứu này, bạn sẽ tập trung vào hai thông số độ lệch chuẩn và giátrị trung Giá trị độ lệch chuẩn của một phân phối chuẩn biến x là giá trị trung bình được gọi là z-giá trị Về z-giá trị, cuộc điều tra đã yêu cầuxác suất mà một phép đo mới sẽ có một giá trị z giữa -1 và 1, giữa- 2 và2, và giữa -3 và 3 Quy luật 68-95-99.7 đã trả lời cho những câu hỏi về 68%, 95%, và 99.7%

Đối với quy luật 68-95-99.7,68%

số giá trị nằm trong khoảng 1 lần

độ lệch chuẩn so với trị trung bình, khoảng 95% số giá trị trong khoảng hai lần độ lệch chuẩn và khoảng 99.7% nằm trong khoảng 3lần độ lệch chuẩn

Biến ngẫu nhiên x có số trung bình là 0 và phương sai là 1 thì z được gọi là

biến ngẫu nhiên chuẩn hóa,và được tính bằng công thức z= x−µ

σ Sau đây là ví dụminh họa về biến ngẫu nhiên được chuẩn hóa:

Trong bản phân phối này, 67,5 tương ứng với một giá trị z là -1, có nghĩa

là giá trịđộ lệch chuẩn dưới trung bình Chiều cao 72,5 nhập tương ứngmột z-giátrị là 1, có nghĩa là độ lệch chuẩn trên trung bình

b Z-giá trị của 65in là 65−702.5 hoặc -2, và z-giá trị của 75in là 75−702.5hoặc 2

Xác suất 95% số giá trị trong khoảng hai lần độ lệch chuẩn so với giá trịtrung bình Đồ thị dưới đây sẽ khẳng định dự đoán này (Xem lưu ý 13c để nhớlại cách vẽ đường cong này)

c Bạn đã biết rằng 68% chiều cao rơi vào khoảng -1 ≤ z ≤ 1 ,tương ứngvới 67,5 ≤ x ≤ 72,5 Bạn cũng biết rằng 95% chiều cao rơi vàokhoảng 65≤

x ≤ 75 Vì vậy, bạn có thể đoán rằng một khoảng thời gian khoảng 66 ≤ x ≤

74 sẽ chứa 90% độ cao Sử dụng máy tính và thử nghiệm và tìm lỗi để được kếtquả chính xác nhất Màn hình máy tính dưới đây cho thấy rằng khoảng 65,8875

≤ x ≤ 74,1125 chứa 90,003% dữ liệu

Sử dụng giá trị z và nguyên tắc

68-95-99.7 giúp bạn họcvề dân số từ một

mẫu phân bố chuẩn lấy từ những

người đó? Bạn có thể kết luận, choví

dụ, rằng xác suất là 68% số giá trị nằm

trong khoảng 1 độ lệch chuẩn so với

trị trung bình Không thực sự như

vậy, các dân số có thể hoặc không nằm

trong khoảng này, vì vậy khả năng mà

nó có là 0 hoặc 1 Nhưng bạn có thể

khẳng định giá trị trung bình dân số

nằm trong một khoảng cụ thể

II Khoảng tin cậy

Giả sử một mẫu từ phương sai tổng thể có phân bố chuẩn với kích thước n

và giá trị trung bình ´x, và độ lệch chuẩn của phương sai tổng thể σ Khi đókhoảng tin cậy p% là một khoảng xung quanh giá trị trung bình´xtrong đó bạn cóthể khẳng định rằng p% là trung bình của tổng thể,µ Nếu z là độ lệch chuẩn từgiá trị trung bình thì p% là dữ liệu phân bố chuẩn, các khoảng tin cậy p% là

1 Ví dụ

VÍ DỤ A:

Lớp học của bạn có được một mẫu của 30 phép đo chiều dài của dây, vớigiá trị trung bình là 32,4 cm và độ lệch chuẩn 0,8 cm Bạn không thể nói rằngtrung bình dân số là chính xác32,4 cm Nhưng bạn có thể mô tả khoảng tin cậycủa của giá trị trung bình tổng thể (chiều dài thực tế của dây) nằm trong mộtkhoảng Ví dụ, khi biết rằng 95% dữ liệu phân bố chuẩn có một giá trị z giữa -2

và 2, bạn có thể nói rằng 95% dộ tin cậy giá trị trung bình của tổng thể nằm

mà có tỷ lệ phần trăm mong muốn của tổng diện tích Đây là giá trị z ứng vớinhững khoảng tin cậy hay được sử dụng:

Trong ví dụ sau, khoảng tin cậy được tính bằng z-giá trị từ bảng này.

VÍ DỤ B:

Jackson là huấn luyện viên cuộc đua xe 100 m Ông ta bấm giờ chạy củamình là 11,47s Kinh nghiệm trong các khóa đào tạo trước đó chỉ ra rằng độ lệchchuẩn cho thời gian đua là 0,28 s

a Tìm các khoảng tin cậy 95%.

b Những khoảng tin cậy tương ứng với 2,3 độ lệch chuẩn?

c Tìm khoảng tin cậy 90%.

Giải

Bởi vì chỉ biết được thời gian một lần chạy, giá trị cho n là 1 Một khoảng

tin cậy được cho như: (11.47 –z(0.28)

√1 ; 11.47 – z(0.28)

√1 ) Đây là khoảng bắt đầu

và kết thúc 11.47± 0.28z

a Từ quy tắc 68-95-99.7, z có giá trị cho 95%

là khoảng hai lần độ lệch chuẩn.Khoảng bắt

đầu và kết thúc là khoảng tin cậy, sau đó, là

11,47± 0,28 (2) Huấn luyện viên cho rằng

95% độ tin cậy thời gian thực tế là giữa khoảng

giá trị có độ lệch chuẩn 2.3 tương ứng với một

khoảng tin cậy 98%

c Sử dụng bảng ở trang 748, huấn luyện viên

cho rằng 90% độ tin cậy thời gian thực tế là

giữa 11,47± 0,28 (1.645), hoặc giữa 11,01 và

11,93 s

Trong ví dụ B, huấn luyện viên chỉ dựa vào thời gian của một lần đo duy

nhất Nếu có bốn người, thay vì chỉ có một, cùng tính thời gian chạy, và giá trịtrung bình của những lần đo được là 11,47 s, sau đó là 95% sẽ rơi vào khoảng

bắt đầu và kết thúc 11.47± 2(0.8)

√4 , làm cho nó nằm giữa 11,19 và 11,75 s Nóichung, lớn hơn kích thước mẫu, hẹp khoảng tin cậy của giá trị trung bình củaphương sai tổng thể

III Bài tập

3.1 Thực hành kỹ năng của bạn

1 Theo dõi các đường cong chuẩn ở bên phải trang

giấy.Hãy vẽ thêm các đương đẻ chứng minh quy tắc

4 Thời gian đi lại trung bình giữa hai điểm dừng xe

buýt là 58 phút với độ lệch chuẩn là 4,5 phút

a Tìm giá trị z cho một chuyến đi mà phải mất

b trên 1.5s hoặc dưới trung bình

6 ÁP DỤNG Năm mươi nghiên cứu gần đây về vận tốc của ô tô cho thấy thờilượng trung bình là 31 mi / gal với độ lệch chuẩn là 2,6 mi / gal Giả sử đó làphân phối chuẩn, tìm khoảng tin cậy 95 %