Lí thuyết về tỉ lệ thức và sự biến thiên trong Discovering Algebra

Trong tính toán này ta sẽ xem xét cách thức giải một tỉ lệ thức để tìm số chưa biết khi việc dự đoán là không dễ dàng.. Trong việc tìm hiểu này, ta đã phát hiện ra rằng có thể giải tìm r

Trường Đại Học Sư Phạm

Khoa Toán

- -BÁO CÁO

Đề tài: LÍ THUYẾT VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ SỰ BIẾN

THIÊN TRONG DISCOVERING ALGEBRA

Thực hiện: Nguyễn Thành Thái

Nguyễn Thị Như Ngọc

Lê Thị Thanh Tuyền

Lê Mây Thu

Lớp: Toán 3B

Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc

Huế, tháng 09 năm 2013

Để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh, tài liệu tham khảo cho giáo viên liên quan đến môn đại số, chúng tôi đã mạnh dạn dịch chương 2 trong sách

“Discovering Algebra” và viết nên cuốn sách này Trong quá trình biên soạn, chúng tôi đã phân chia mỗi bài học gồm 5 nội dung chính tương ứng với cuốn sách gốc, bao gồm:

số chỗ cho thích hợp và dễ hiểu hơn

Chúng tôi hi vọng rằng với việc dịch chương 2 trong cuốn sách

“Discovering Algebra” góp phần tích cực hơn nữa trong việc cung cấp các tài liệu bổ ích cho các thầy cô giáo để làm tư liệu, giúp các em học sinh tự học, rèn luyện kĩ năng giải toán, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức và góp phần rèn luyện tư duy toán học

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song cuốn sách này khó tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các độc giả

để chúng tôi có thể hoàn thiện hơn Xin chân thành cám ơn.Mục lục

Bìa của sách “Discovering Algebra”

“ Khám phá đại số” luôn là vấn đề rộng lớn cho những ai đam mê toán học quan tâm Đó cũng chính là ý nghĩa tựa đề của cuốn sách “Discovering Algebra” Nội dung cuốn sách này bao gồm những vấn đề cơ bản về đại số, bước đầu giúp học sinh tiếp cận những kiến thức cơ bản và có cách nhìn sơ lược về đại số

Cuốn sách gồm 11 chương, được chia theo từng chủ đề cụ thể Mỗi chương được cơ cấu theo từng đơn vị bài học ( khoảng 7-8 bài học), trong

đó gồm lý thuyết, ví dụ và bài tập được biên soạn xen kẽ nhau Cuối mỗi bài học đều có bài tập cơ bản giúp các em rèn kỹ năng giải toán và nắm chắc vấn đề đã được học, cùng với những 1-2 bài toán đố rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh Trong quá trình biên soạn, tác giả không chỉ để cho học sinh tiếp thụ kiến thức một cách độc lập mà còn tạo điều kiện cho các em tổ chức làm nhóm Một mặt giúp các em có thể đánh giá bản thân, mặt khác có thể rút kinh nghiệm và học hỏi từ bạn bè Ngoài ra, tác giả cũng khuyến khích học sinh sử dụng các công cụ hỗ trợ cho quá trình tính toán như máy tính, thiết bị thu thập dữ liệu, các phần mềm toán học như Sketchpad đế việc học trở nên thuận tiện hơn

Các bài học thường được dẫn dắt bằng cách nêu vấn đề Từ đó, dựa trên nguyên tắc tích cực và tự giác của người học sinh mà họ được hướng đích, được gợi động cơ trong qua trình phát hiện và giải quyết vấn đề Cuối mỗi chương là phần ôn tập, giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện tính linh hoạt của tư duy, kỹ năng suy luận và ứng dụng đại số vào thực tế Ngoài ra, còn có một phần gọi là Activity Day ở gần cuối chương, trong phần này, các học sinh sẽ được giao cho một hoặc một vài nhiệm vụ để làm nhóm hoặc cá nhân Đây cũng là cơ hội để học sinh ứng dụng những tri thức đã học vào giải quyết các bài toán thực tế Từ đó, giúp các em hiểu rõ mối quan hệ hai chiều giữa lí thuyết và thực tiễn, giữa học và hành Đặc biệt giúp học sinh tự tạo động cơ và hứng thú học tâp, càng ý thức được việc học trên lớp

Qua cuốn sách này, các tác giả muốn nhấn mạnh cho học sinh hiểu rằng: tiếp thu tri thức khoa học cần có thực tiễn soi xét và kiểm chứng, ngay

cả toán học cũng thế Bất kì lý thuyết toán học nào dù trực tiếp hay gián tiếp nhất định phải phải tìm thấy ứng dụng trong thực tiễn Việc kết hợp giữa

“học và hành” cũng là cách giúp các em hoàn thiện nhân cách của bản thân mình

Hình minh họa chương 2

Chương 2 trong sách “Discovering Algebra” có tựa đề là “Proportional Reasoning and Variation” có nghĩa là “ Lí thuyết về tỉ lệ thức và sự biến thiên” Trong chương này, chúng ta sẽ:

• Sử dụng lí thuyết về tỉ lệ thức để hiểu được một số vấn đề

• Tìm hiểu tỉ lệ là gì và sử dụng chúng để dự đoán kết quả

• Nghiên cứu về các đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch

• Sử dụng các phương trình và đồ thị để biểu diễn cho sự biến thiên

• Giải các bài toán thực tế liên quan đến sự biến thiên

• Ôn lại các quy tắc về thứ tự các phép toán

• Mô tả các thuật toán tìm số bằng cách sử dụng các biểu thức đại số

• Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi ngược

Chương 2 có 8 bài với 8 nội dung cụ thể Tuy nhiên, tài liệu chương này trong sách “Discovering Algebra” thiếu mất bài số 2 Vì vậy chúng tôi chỉ trình bày 7 bài còn lại Trong mỗi bài gồm 2 phần chủ yếu là lý thuyết và bài tập( cụ thể được chia ra 5 phần: một số ví dụ , khảo sát một bài toán thực tế,

các bài tập tự giải, áp dụng và ôn tập.) Phần lý thuyết được trình bày một cách logic giúp học sinh dễ dàng nắm bắt những kiến thức cơ bản, đồng thời luyện tập khả năng vận dụng vào giải các bài toán thực tế Một số nội dung của chương 2 tương ứng với phần đại số trong chương trình sách giáo khoa toán lớp 7 hiện nay Tuy nhiên vẫn có một số điểm giống nhau và khác nhau

mà chúng tôi sẽ đề cập ở cuối phần báo cáo

Khi nói, “Tôi đã có 21 trong số 24 câu hỏi chính xác trong bài kiểm tra cuối cùng,” nghĩa là ta đang so sánh hai số.Tỉ lệ các câu hỏi chính xác so với tổng

số câu hỏi là

21

24 Ta có thể viết tỉ số 21:24, hoặc như một phân số, 21/24, cũng có thể như số thập phân, 0,875 Dấu gạch ngang phân số nghĩa làphépchia, do đó các biểu diễn đó là tương đương nhau

Ví dụ A: Viết tỉ lệ 210:230 theo nhiều cách.

Để chuyển từ một phân số nói chung sang một số

thập phân, ta chia tử số cho mẫu số

Khi chia 21 cho 24, các chữ số thập phân của

thương chỉ hữu hạn (hay kết thúc).Tỉ lệ

21

24 đúng

bằng 0,875 Nhưng khi chia 210 cho 330 hoặc 7 chia 11, ta thấy một phần thập phân lặp đi lặp lại, chẳng hạn như 0,636363 Ta có thể sử dụng một dấu gạch ngang trên các con số mà lặp đi lặp lại đó để biễu diễn phần thập phân tuần hoàn,

Khảo sát

Giải quyết bài toán bằng phép nhân.

Có thể dễ dàng đoán giá trị của M trong tỉ lệ

2

3 = 6

M

Trong tính toán này ta

sẽ xem xét cách thức giải một tỉ lệ thức để tìm số chưa biết khi việc dự đoán

là không dễ dàng Thật khó để đoán giá trị của M trong tỉ lệ thức19

M

=

56 133

Bước 1: Nhân cả hai vế của tỉ lệ thức19

Bước 2: Đối với mỗi biểu thức, chọn một số nhân cả

tỉ lệ để giải tỉ lệ tìm ra số chưa biết Sau đó nhân và

chia để tìm giá trị chưa biết

Bước 3: Kiểm tra xem mỗi tỉ lệ thức trong bước 2 là đúng hay chưa bằng

cách thay thế biến số bằng câu trả lời của bạn

Bước 4: Trong mỗi phương trình ở bước 2, các biến là tử số Viết lời giải

thích ngắn gọn về một cách giải tỉ lệ thức khi tử số là biến

Bước 5: Những tỉ lệ thức đã giải trong bước 2 được đổi bằng cách chuyển

đổi tử số và mẫu số Đó là, tỉ lệ trong mỗi vế đã được đảo ngược (ta có thể nhớ lại rằng hai phân số đảo ngược, ví dụ 12

Bước 6: Ta có thể sử dụng những gì vừa tìm được để giúp cho việc giải một

tỉ lệ thức có chứa biến ở mẫu như thế nào, ví dụ như

20

135 =

12

k ? Tại sao nó đúng? Hãy giải phương trình

Bước 7: Có nhiều cách để giải tỉ lệ thức Đây là ba phiếu học tập trả lời câu

hỏi “ 13 là 65% của số nào ? “Các bước mà mỗi học sinh thực hiện là gì ? Những phương pháp nào ta có thể sử dụng để giải tỉ lệ thức ?

Trong việc tìm hiểu này, ta đã phát hiện ra rằng có thể giải tìm ra tử số chưa biết trong một tỉ lệ thức bằng cách nhân cả hai vế của tỉ lệ thức với mẫu số dưới giá trị cần tìm Ta cũng có thể nghĩ ra một tỉ lệ thức như 19

M

=

56 133

giống như là : “Khi một số được chia cho 19, kết quả là

56

133” Để tìm số đó

ta cần làm mất phép chia.Nhân 19 để làm mất phép chia

Ví dụ B : Jennifer ước tính rằng cứ ba sinh viên thì có 2 người sẽ tham dự bữa tiệc lớp Cô biết có 750 sinh viên trong lớp học của mình.Thiết lập và giải tỉ lệ thức để giúp cô ấy ước tính có bao nhiêu sinh viên sẽ tham dự.

Lời giải: để thiết lập tỉ lệ thức, chắc rằng cả tỉsốđược so sánh tương tự Dùng a để đại diện cho số học sinh sẽ tham dự

Trong tỉ lệ thức, khi a chia cho 750, câu trả lời là

2 3Nhân với 750 để bỏ phép chia 750∙

2

3 =a

Jennifer có thể ước tính rằng có 500 sinh viên sẽ tham dự bữa tiệc

Ví dụ C:Sau bữa tiệc, Jennifer phát hiện ra rằng có 70% sinh viên tham dự

Hỏi có bao nhiêu sinh viên tham dự?

Lời giải: 70% nghĩa là 70 trong số 100 Từ đó, ta sẽ viết và giải một tỉ lệ thức để trả lời câu hỏi “Nếu cứ trong 100 sinh viên có 70 sinh viên tham dự bữa tiệc thì có bao nhiêu sinh viên trong số 750 sinh viên tham dự?”

Lấy s đại diện cho số học sinh đã tham dự.

70 750

100 s

Vậy 525 trong số 750 sinh viên đã tham dự bữa tiệc

Ta đã làm việc với các tỉ lệ thức và tỉsố trong bài học này.Các số có thể viết dưới dạng tỉ số của hai số nguyên được gọi là số hữu tỷ

Bài tập

Luyện tập kĩ năng

1 Liệt kê các phân số theo thứ tự tăng dần bằng cách ước tính giá trị của

nó.Sau đó sử dụng máy tính để tìm giá trị của mỗi phân số

2 Bà Lenz đã thu thập thông tin về các sinh viên trong lớp của mình.

Viết các tỉ số này dạng phân số

a Số học sinh lớp 9 có mắt màu nâu so với số học sinh lớp 9

b Số học sinh lớp 8 có mắt màu nâu so với số học sinh có mắt màu nâu

c Số học sinh lớp 8 có mắt màu xanh so với số học sinh lớp 9 có mắt màu xanh

d Tất cả học sinh có mắt màu hạt dẻ so với

số học sinh cả lớp

3 Các cụm từ như mỗi đơn vị đo lường

dặm trên gallon, phần triệu(ppm), và số tai

nạn trên 1000 người biểu thị các tỉ số.Viết

mỗi tỉ số bên dưới dạng phân số Sử dụng

một số và một đơn vị trong cả tử số và mẫu

số

a Năm 2000, McLaren là chiếc xe nhanh

nhất được sản xuất Tốc độ tối đa của nó được ghi nhận là 240 dặm mỗi giờ

b Capsaicin nguyên chất, một chất làm cho ớt có vị cay nóng,mạnh đến nỗi chỉ 10 ppm trong nước có thể làm cho lưỡi phồng lên.

c Năm 2000, phụ nữ sở hữu khoảng 350 trong số mỗi 1000 công ty tại Hoa Kì

d.Năm 2000, thu nhập bình quân tại Philadelphia, Pennsylvania, là khoảng 35500$ mỗi người

4 Bạn sẽ nhân số nào để tìm số chưa biết trong mỗi tỉ lệ thức sau?

6 Vận dụng: viết một tỉ lệ thức cho mỗi bài

toán, và giải để tìm số chưa biết

a Kiến cắt lá sống ở Trung và Nam Mỹ nặng

khoảng 1, 5 grams (g) Một con kiến có thể

cắt một mảnh lá 4g với kích thước của một

đồng xu Nếu một người có thể thực hiện

tương đương như những con kiến cắt lá, thì

một sinh viên nặng 55kg có thể cắt được bao

nhiêu?

b.Con kiến cắt lá dài khoảng 1,27cm và có

bước đi khoảng 0,82cm Nếu một người có

thể thực hiện những bước đi tương đương, thì

kích thước mỗi bước đi của một sinh viên cao

1,65m là bao nhiêu?

c Những con kiến dài 1,27cm bò khoảng

0,4km mỗi ngày Nếu một người có thể đi một

đoạn đường tương đương, thì một sinh viên

cao 1,65m có thể đi được bao xa?

7 Viết 3 tỉ lệ thức đúng bằng cách sử dụng 4 giá trị trong mỗi tỉ lệ thức sau.

8 Vận dụng: Jeremy có một công

việc tại rạp chiếu phim Tiền lương

mỗi giờ của ông là 7, 38$ Giả sử

15% thu nhập của ông là để trả

thuế và an sinh xã hội

a Hỏi Jeremy còn lại bao nhiêu

phần trăm?

b Tiền lương mang về nhà mỗi

giờ của ông là bao nhiêu?

9.Ở một khu nghỉ mát trong suốt mùa hè, cứ 8 người thì chỉ có 1 người là cư

dân quanh năm Những người khác chỉ có trong kì nghỉ Nếu dân số của cư dân quanh năm ở khu vực này là 3000, hỏi có bao nhiêu người có trong mùa hè?

10.Vận dụng: Để làm 3 phần cháo Ailen, bạn cần 4 ly nước và 1 chén bột

yến mạch Bạn sẽ cần mỗi thành phần là bao nhiêu cho 2 phần, 5 phần?

11 Vận dụng: Khi nhà hóa học viết công thức cho các hợp chất hóa học, họ

chỉ ra bao nhiêu nguyên tử của mỗi nguyên tố kết hợp với nhau để tạo thành một phân tử của hợp chất Ví dụ, họ viết H2 O là nước,có nghĩa là có 2 nguyên tử Hidro và 1 nguyên tử Oxy trong một phân tử nước Chất axeton

có công thức là C3H6O C là viết tắt của cacbon

a Có bao nhiêu nguyên tử trong một phân tử axeton?

b Có bao nhiêu nguyên tử cacbon phải kiên kết với 470 nguyên tử Oxy để tạo nên các phân tử axeton? Có bao nhiêu nguyên tử hydro như vậy?

c Có thể tạo thành bao nhiêu phân tử axeton từ 3000 nguyên tử cacbon,3000 nguyên tử Hydro,và 1000 nguyên tử Oxy?

Ôn tập

12 Trong đồ thị chấm dưới đây, khoanh tròn các điểm đại diện giá trị cho 5

số Nếu một giá trị thực sự là giá trị trung bình của hai dữ liệu, vẽ một vòng tròn xung quanh hai điểm đó

13 The Forbes Celebrity 100(www.forbes.com) liệt kê 10 người sau (và thu

nhập của họ trong năm 2004 theo đơn vị triệu) trong số những người nổi tiếng đã làm cho các phương tiện truyền thông chú ý nhất Tìm 3 hệ thống

đo của trung tâm về thu nhập của họ và giải thích tại sao lại khác nhau như vậy

14 Sử dụng thứ tự của các phép toán để tính những biểu thức bên dưới

Kiểm tra kết quả của bạn trên máy tính

 Thông tin cơ bản về tỉ lệ vàng, chẳng hạn như giá trị chính xác của nó, tại sao nó đại diện cho một tỉ số “lí tưởng” của toán học,và làm thế nào để dựng một hình chữ nhật vàng.( Tỉ lệ chiều dài so với chiều rộng của hình chữ nhật đó là tỉ lệ vàng.)

 Một số lịch sử của tỉ lệ vàng, trong đó có vai trò của nó trong kiến trúc

bản in từ các bức ảnh, tác phẩm nghệ thuật, hoặc

Chuyển từ centimet sang inch

Trong điều tra này, bạn sẽ tìm thấy một tỉ lệ để giúp bạn chuyển từ inch sang centimet và centimet sang inch Sau đó bạn sẽ sử dụng tỉ lệ này vào tỉ lệ để

chuyển số đo từ các hệ thống chuẩn tại Hoa Kì sang số đo trong hệ thống chuẩn, và ngược lại.

Bước 1: Đo chiều dài hoặc chiều rộng trên 6 đối tượng có kích thước khác

nhau, chẳng hạn như một cây bút chì, một cuốn sách, cái bàn làm việc của bạn hoặc máy tính của bạn Trong mỗi đối tượng, ghi lại đơn vị inch và đơn

vị cm trong bảng như sau:

Bước 2: Nhập các số đo bằng inch vào danh sách L1 máy tính của bạn và số

đo cm vào danh sách L2.Trong danh sách L3 nhập tỉ lệ cm so với inch,

2 1

L

L ,

và để máy tính của bạn hoàn thành việc tính các giá trị tỉ số

Bước 3: So sánh những tỉ lệ của cm so với inch trong các đơn vị đo lường

khác nhau xem như thế nào? Nếu một trong các tỉ lệ là khác so với những tỉ

lệ khác, kiểm tra lại việc đo lường của bạn

Bước 4: chọn một tỉ lệ đại diện duy nhất của cm so với inch Viết một câu

giải thích ý nghĩa của tỉ lệ này

Bước 5: Sử dụng tỉ lệ của bạn, thiết lập một tỉ lệ thức và chuyển đổi mỗi

chiều dài sau

a. 215cm = x inch

b. 1cm = x inch

c. 1inch = x cm

d. Một ô cửa kích thước 80 inch cao bao nhiêu cm?

Bước 6: Sử dụng tỉ lệ của bạn, thiết lập một tỉ lệ thức và giải tìm ra các giá

trị đã yêu cầu

a. y cm = x inch Tìm y

b. c cm = i inch Tìm i

Trong việc khảo sát bạn đã tìm thấy một tỉ lệ thông thường, hoặc số hạng chuyển đổi giữa inch và cm Một khi bạn đã xác định được số hạng chuyển đổi, bạn có thể chuyển đổi sang một hệ thống khác bằng cách giải quyết một

tỉ lệ thức Nếu các số đo của bạn trong việc khảo sát là rất chính xác, trung bình và các trung bình tỉ số sẽ tiến gần đến tỉ số chuyển đổi

Ví dụ A: Jonas đã lái chiếc xe từ Montana đến Canada trong kì nghỉ hè Trong lúc đó ông ấy cần mua xăng và đã nhận thấy rằng nó đã được bán theo lít chứ không phải gallon Sử dụng số hạng chuyển đổi 1 gallon ≈ 3,79 lit để xác định bao nhiêu lít sẽ đầy bình xăng ứng với bình xăng có dung tích 12.5 gallon

Lời giải: Sử dụng yếu tố chuyển đổi, bạn có thể viết tỉ lệ thức

3,79 1

l gallon = 125

Bình xăng của Jonas sẽ chứa khoảng 47, 4 lít xăng

Một số chuyển đổi yêu cầu nhiều bước Ví dụ tiếp theo cung cấp một chiến lược được gọi là phân tích thứ nguyên để thực hiện những

chuyển đổi phức tạp hơn

Ví dụ B: Một chiếc xe điều khiển vô tuyến đã đi 30 feet

ngang qua phòng học trong 1,6 giây Hỏi tốc độ của nó là

bao nhiêu dặm trong 1 giờ?

Lời giải: Sử dụng các thông tin đã cho bạn có thể viết

tốc độ như tỉ lệ

30 1,6 â

Mỗi phân số sau khi chuyển đổi vẫn có giá trị là 1 bởi vì tử số và mẫu số của mổi phân số là tương đương: 60 giây = 1 phút, 60 phút = 1 giờ, và mi = 5280ft Các phân số tương đương với 1 được chọn để khi các đơn vị bị triệt tiêu thì kết quả là dặm ở tử số và giờ ở mẫu số.

Tốc độ 12,8 dặm trong 1 giờ là một tỉ lệ bởi vì nó có mẫu số là 1

Trong ví dụ b, bạn đã thấy rằng 12, 8 dặm trong một giờ là một tỉ lệ Một tỉ

lệ đi (hoặc tốc độ) là một ví dụ về một tỉ lệ Trợ cấp hàng tuần của bạn, chi phí cho mỗi pound vận chuyển một gói phần mềm, và số lượng bánh trong mỗi hộp đều là các tỉ lệ Các tỉ lệ giúp việc tính toán dễ dàng hơn trong nhiều tình huống thực tế Ví dụ, cửa hàng tạp hóa lưu trữ giá trái cây và rau theo đồng bản Anh Tỉ lệ dùng so sánh dễ dàng hơn trong các tình huống khác Ví dụ, trung bình đánh bóng của một cầu thủ bóng chày là tỉ lệ của số lần đánh trúng trên tổng số lần đánh

Bài tập

Luyện tập kĩ năng

1.Tìm giá trị của x trong mỗi tỉ lệ thức.

2.Năm 2001, Alan Webb

đã phá kỉ lục của Jim

Ryun 36 tuổi : chạy 1 dặm

trong 3 phút 53.43 giây

Tốc độ này là bao nhiêu

nếu tính theo đơn vị

feet/giây

3.Sử dụng cách thức

chuyển đổi đơn vị để

chuyển

a 50m mỗi giây sang km mỗi giờ

b.0,025 ngày sang giây

c.1200 ounces sang tấn(16oz = 1lb;2000lb = 1 tấn)

4 Viết một tỉ lệ thức và trả lời mỗi câu hỏi

sử dụng số hạng chuyển đổi 1ounce = 28,4g

a Một phần tám ounce của xương sườn nặng

bao nhiêu gam?

b Nếu một cây kem ốc quế nặng 50g thì nó

nặng bao nhiêu ounce?

c Nếu một con mèo nhà điển hình nặng 160 ounce thì nó nặng bao nhiêu gam?

d Một gói phomat 100 gam thì nặng bao nhiêu ounce?

5 Viết một tỉ lệ và trả lời một câu hỏi bằng cách sử dụng số hạng chuyển đổi

1inch = 2,54cm

a Một giáo viên cao 62, 5 inch Hỏi cô ấy cao bao nhiêu cm?

b Một trần nhà thông thường cao 96 inch ( 8 feet ) Hỏi nó cao bao nhiêu cm?

c Đường kính của một đĩa CD là 12cm Hỏi đường kính của nó là bao nhiêu inch?

d Bán kính của một lon soda điển hình là 3,2cm Hỏi bán kính của nó là bao nhiêu inch ?

6 Cả Tab và Crystal đều có mèo.

a Tab mua một cái túi thức ăn của mèo nặng 3 pound, 30 ngày một lần Hỏi con mèo của cậu ấy ăn thức ăn theo tỉ lệ nào?

b Crystal mua một cái túi thức ăn 5 pound 45 ngày 1 lần Hỏi con mèo của

cô ấy ăn thức ăn theo tỉ lệ nào?

c Con mèo của Tab hay Crystal ăn thức ăn trong mỗi ngày nhiều hơn?

Sử dụng số hạng chuyển đổi để trả lời những câu hỏi sau:

b Chiều dài của một sân bóng đá là 100 mã Hỏi nó dài bao nhiêu met?

c Nếu mất 200m để đến xa lộ tiếp theo, thì quãng đường đến đó là bao nhiêu mã?

d Một thanh ngang 100 met thì dài bao nhiêu mã?

e Bạn cần mua bao nhiêu mét vải nếu bạn cần 15 mã vải?

c Viết một tỉ lệ thức mà bạn có thể sử dụng để chuyển đổi các số đo giữa

10 Áp dụng: Khi trộn theo hướng dẫn, một ly nước chanh đậm đặc 12 –

ounce trở thành nước chanh 64 ounce

a Cần bao nhiêu lon 12 – ounce đậm đặc để làm 120 phần nếu mỗi phần 8 ounce?

b Cần bao nhiêu ounce đậm đặc để làm một ounce nước chanh?

c Viết một tỉ lệ mà bạn có thể sử dụng để tìm số ounce đậm đặc dựa trên số ounce nước chanh đã yêu cầu

d Sử dụng tỉ lệ bạn đã viết để tìm số ounce nước chanh có thể làm từ lon 16 – ounce đậm đặc cùng loại

11 Áp dụng:Bí quyết ứng dụng trong nhiều

sách dạy nấu ăn quốc tế sử dụng các phép

đo chuẩn Một công thức bánh cần 120 ml

nước đường Thông thường cũng công thức

bánh này cần bao nhiêu ly ? (1000 ml = 1l,

1.06 quart = 1l, 4 ly = 1 quart )

Ôn tập

12 Các sinh viên khoa toán và các câu lạc bộ cờ đã làm việc với nhau để

gây quỹ cho nhóm riêng của họ Các câu lạc bộ cùng nhau góp được 480$

Có 12 thành viên trong các câu lạc bộ toán và chỉ có 8 thành viên trong câu lạc bộ cờ Quỹ nên được chia như thế nào giữa hai câu lạc bộ? Giải thích câu trả lời của bạn

13 Biểu đồ hộp cho thấy chiều dài bằng cm của các thành viên họ nhà chim

bói cá Chiều dài của 5 con chim tạo nên 5 số Sử dụng thông tin bên dưới để nối mỗi chim bói cá với chiều dài của nó

• Sắp xếp những con chim bói cá theo kích thước từ chim bói cá nhỏ Pygmy đến chim bói cá Laughing.

• Chim bói cá nổi tiếng nhất, là chim Belted, giống từ Alaska đến Florida Nó chỉ dài 2,6 cm dài hơn chiều dài trung bình của chim bói cá

• Chim bói cá Ringed, một con chim nhiệt đới gần chiều dài trung bình hơn chim bói cá Green

Nâng cao kĩ năng tư duy lập luận

Bảy mảnh ghép của Trung Quốc cổ đại gọi là

Tangram được xác định bằng cách sử dụng

hình vuông ABCD và tập hợp các trung điểm

Điểm E, F, G, H, I và J lần lượt là trung điểm

của các đoạn AB, BC, AC, AG, GC và EF Tỉ

số diện tích mỗi mảnh Tangram so với diện

tích của cả hình vuông là gì ?

Trong bài 2.2, bạn đã làm việc với các hệ số chuyển đổi từ một đơn vị

đo lường này sang đơn vị khác Bạn cũng đã viết các tỷ lệ, như số dặm trên một giờ và thấy rằng các tỷ lệ này có mẫu số 1 Các tỷ lệ này rất thuận tiện cho việc tính toán Bạn sẽ nhận thấy một số dạng khi sử dụng tỷ lệ để tạo bảng và vẽ đồ thị Trong điều tra này bạn cần phải sử dụng công cụ đại số để hiểu rõ hơn về dạng này

Sự khảo sát

Kênh tàu

Trong điều tra này, bạn sẽ sử dụng dữ liệu về các con kênh để vẽ đồ thị và viết phương trình thể hiện mối quan hệ giữa dặm và km Bạn sẽ sử dụng các cách khác nhau để tìm các giá trị con thiếu trong bảng sau

kênh Chiều dài (dặm) Chiều dài (km)

Suez ( Ai Cập) 101

Trollhatte (Thụy Điển) 87

Bước 1 Vẽ cẩn thận và chia tỷ lệ cặp trục tọa độ cho dữ liệu trong

bảng Cho x là chiều dài theo dặm và y là chiều dài theo km Vẽ đồ thị của tám cặp tọa độ đầu tiên

Bước 2 Đồ thị mà bạn đã vẽ có hình gì? Kết nối các điểm để minh

họa Giải thích cách mà bạn sử dụng đồ thị để tính chiều dài theo km của kênh đào Suez và chiều dài theo dặm của kênh đào Trollhatte

Bước 3 Trên máy tính của bạn, tạo ra một đồ thị của cùng các điểm

trên, và so sánh nó với đồ thị vẽ tay của bạn Sử dụng danh sách L1 với độ dài theo dặm và danh sách L2 với độ dài theo km

Bước 4 Sử dụng danh sách L3 để tính toán tỷ lệ

2 1

L

L Giải thích những

gì mà trong danh sách L3 biểu diễn Nếu bạn làm tròn những giá trị trong danh sách L3 đến hàng chữ số thập phân bạn sẽ nhận được gì?

Bước 5 Sử dụng các giá trị đã được làm tròn ở bước 4 để tính chiều

dài theo km của kên đào Suez Bạn cũng có thể sử dụng kết quả của bạn để tìm chiều dài theo dặm của kênh đào Trollhatte hay không?

Số km trong mỗi dặm là như nhau vì vậy giá trị mà bạn tìm thấy được gọi là một hằng số

Bước 6 Làm thế nào bạn có thể chuyển đổi x km thành y dặm? Sử

dụng các biến viết một phương trìnhđể biểu thị sự liên quan giữa dặm và km

Bước 7 Sử dụng phương trình mà bạn đã viết trong bước 6 để tìm

chiều dài theo km của kênh đào Suez và độ dài theo dặm của kênh đào trollhatte Làm thế nào để sử dụng phương trình này như một tỷ lệ?

Bước 8 Đồ thị của phương trình của bạn trên máy tính So sánh đồ thị

này với đồ thị vẽ tay của bạn Tại sao đồ thị không đi qua gốc tọa độ?

Bước 9 Theo dõi đồ thị của phương trình của bạn Tìm độ dài theo

km của kênh đào Suez bằng cách tìm y khi x xấp xỉ 101 dặm Theo dõi đồ thị để ước tính chiều dài theo dặm của kênh đào Trollhatte Làm thế nào để

trả lời những câu hỏi so sánh

với những gì bạn nhận được từ

đồ thị vẽ tay của bạn?

Bước 10 Sử dụng chức

năng của máy tínhđể tìm ra độ

kênh đào Trollhatte

này bạn sử dụng một số cách để tìm giá trị thiếu- xấp xỉ với một đồ thị, tính toán với một tỷ lệ, giải một phương trình, và tìm kiếm một bảng Viết vài câu giải thích cho các phương pháp mà bạn thích và lý do tại sao

Kênh đào Panama cho phép tàu băng qua dải đất giữa Đại Tây Dương và Thái Bình Dương Trước khi kênh hoàn thành vào năm 1913, tàu thuyền phải đi hàng vạn dặm nguy hiểm xung quanh Cape Horn, mặc dù chỉ có 50 dặm tách 2 đại dương Tìm hiểu nhiều hơn về những con kênh nổi tiếng tại www.keymath.com/DA

Các tỷ số, các tỷ lệ và các yếu tố chuyển đổi có liên quan chặt chẽ Trong điều tra này, bạn đã thấy cách chuyển đổi tỷ lệ

129 80

km

mi sang một tỷ lệ xấp xỉ 1,6km trong mỗi dặm Bạn cũng có thể sử dụng tỷ lệ đó như một hệ

số chuyển đổi giữa km và dặm Các số trong tỷ lệ khác nhau, nhưng kết quả

tỷ lệ vẫn như nhau, hoặc là hằng số Km và dặm là tỷ lệ thuận- số km trên

mỗi dặm sẽ luôn luôn giống nhau Khi hai đại lượng khác nhau có mối quan

hệ như thế này thì người ta gọi đó là biến tỉ lệ thuận.

Ví dụ: Một cửa hàng tạp hóa quảng cáo viêc bán giảm giá nước ngọt

a. Viết một tỷ lệ cho giá của mỗi lô sáu lon.

b.Viết một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa số lô được giảm

và giá cả của chúng

c Giá của 15 lô là bao nhiêu?

d Sol đang tích trữ cho nhà hàng của mình Ông mua hết 210 đô-la nước ngọt Ông ấy đã mua được bao nhiêu lô

y= x

Nhân cho x để quay lại phép chia

Y=1,50x Kết quả của bạn là một phương trình biến thiên tỉ lệ thuận

Hằng số k là tỷ lệ 1,50 đô-la mỗi lô Bạn có thể dựa vào đồ thị của phương trình này để xác định tất cả các điểm trong tình huống này không?

Bạn có thể nhận được một phương trình tương tự nếu bạn bắt đầu với

Mười lăm gói sáu có giá 22,5 đô-la

d Bạn tìm kiếm bảng cho đến khi dừng lại ở trên giá trị của x mà y có giá trị là 210 Hoặc bạn có thể thay thế y bằng 210 vào phương trình, chi phí theo đô-la là:

210=1,50x Thay thế y bàng 210 vào phương trình gốc.

210 1,50 =x

Chia cho 1,5 để trở lại phép nhân

140=x Đơn giản hóa

Sol mua 140 gói sáu với 210 đô-la

Bài tập

Thực hành kỹ năng của bạn.

Lấy x đại diện cho khoảng cách theo dặm và y đại diện cho khoảng cách theo km, nhập phương trình y= 1,6x vào máy tính của bạn Sử dụng cho bài tập 1-3

1 Dựa vào đồ thị của y=1,6x để tìm các số còn thiếu Điền các giá trị

mà bạn tìm được vào ô trống

a 25 dặm≈□km b 120km≈□dặm

2 Sử dụng chức năng bảng tính để tìm ra đại lượng còn thiếu Điền

vào khi bạn tìm ra

x =

5 ÁP DỤNG Phương trình

c=1,25f thể hiện mối quan hệ trực

tiếp giữa chiều dài của vải và giá

của nó Các biến f đại diện cho

chiều dài của vải tính theo thước

và c đại diện cho giá cả theo đô-la

Sử dụng phương trình để trả lời

các câu hỏi

a Giá của

1 2

2 thước vải là bao nhiêu?

b Bạn có thể mua được bao nhiêu thước vải với 5 đô-la?

c Giá của mỗi thước vải được thêm vào là gì?

Lập luận và áp dụng

6 ÁP DỤNG: Chợ A bán 7 bắp ngô với giá 1,25 đô-la Chợ B bán 1 tá

bánh (13 cái) với giá 2,75 đô-la

a Sao chép và hoàn thành bảng dưới đây để thể hiện giá ngô của mỗi chợ

c Nếu bạn muốn mua một trái bắp, số tiền phải trả ở mỗi chợ là bao nhiêu? Giá cả liên quan như thế nào với phương trình mà bạn đã viết ở câu b?

d Từ đồ thị, bạn bạn có thể chỉ ra rằng làm thế nào để mua ngô ở chợ

rẻ hơn?

Tại sao 13 được gọi một tá của người rao hàng ? Trong thế kỷ XIII, những người rao hàng bắt đầu lập nên các hội chung

để ngăn chặn sự không trung thực Để tránh thiệt hại cho khách hàng vì một ổ bánh mì đôi khi là quá nhỏ, người ta bắt đầu bán 13 cái cho bất cứ khách hàng nào mua một tá bánh

7 Bernard Lavery, một cư dân của Vương quốc Anh, đã tổ chức nhiều

kỷ lục thế giới về trồng rau khổng lồ Đồ thị cho thấy mối quan hệ giữa trọng lượng theo kg và trọng lượng theo pao

a Sử dụng thông tin trong đồ thị để hoàn thành bảng sau:

Rau quả của Bernard Lavery

(kg)

Trọng lượng (pao)

c Sử dụng phương trình bạn đã viết

trong 7b để tìm trọng lượng theo kg của

một quả bí ngô nặng 6,5 pao

d Sử dụng phương trình bạn đã viết

trong 7b để tìm trọng lượng theo pao của một

con voi nặng 3600 kg

e Có bao nhiêu kg trong 100 pao? Có bao

nhiêu pao trong 100 kg?

8 Bài tập về nhà: Thu và Sabrina từng tìm thấy phương trình liên

quan giữa dặm và km từ một bảng dữ liệu Trong bảng dữ liệu có một cặp 150km và 93 dặm Từ cặp giá trị dữ liệu này, Thu và Sabrina đã viết các phương trình khác nhau

a Thu đã viết phương trình y=1,61x Làm thế nào mà cậu ấy có được nó? 1,61 đại diện cho cái gì? X và y đại diện cho cái gì?

b Sabrina đã viết phương trình y=0,62x Làm thế nào cô ấy có được nó? 0,62 đại diện cho cái gì? X và y đại diện cho cái gì?

c Bạn sẽ sử dụng phương trình của ai để chuyển đổi dặm thành km?

d Khi nào bạn sẽ sử dụng phương trình khác?

9 ÁP DỤNG Nếu bạn đang lập kế hoạch đi du lịch đến nước khác,

bạn sẽ cần học hỏi về hệ thống tiền tệ của nó Bảng này đưa ra một số tỷ giá hối đoái cho biết một đô-la Mỹ tương ứng với bao nhiêu đơn vị tiền tệ khác

Đơn vị tiền tệ Quốc tế

Quốc gia Đơn vị

(Dự trữ Liên bang ngân hàng New York ngay 25 tháng 01 năm 2005)

a.Tạo một danh sách gồm mười loại hàng và giá của chúng theo đô-la

Mỹ Nhập các giá thành trong danh sách L1 vào máy tính của bạn

b Chọn một trong những quốc gia trong bảng và chuyển đổi số tiền

đô-la Mỹ của mỗi loại hàng trong danh sách thành số tiền tương ứng với đơn vị tiền tệ của các quốc gia mà bạn chọn Sử dụng danh sách L2 để tính toán các giá trị mới từ danh sách L1

d Mô tả cách mà bạn chuyển đổi từ euro sang peso

10 Nếu bạn đi du lịch với một tốc đô không đổi, khoảng cách mà bạn

đi dược tỷ lệ thuận với thời gian mà bạn đi Giả sử bạn đi bộ được 3 dặm trong 1,5h

a Trong 1h bạn đi được bao nhiêu dặm?

b Trong 2h bạn đi được bao nhiêu dặm?

c Thời gian mà bạn đi được 6 dặm là bao nhiêu?

d Vẽ một đồ thị cho trường hợp này

e Hằng số biến thiên trong trường hợp này là gì, nó đại diện cho cái gì?

f Xác định các biến và viết một phương trình liên quan giữa thời gian (tình bằng phút) với khoảng cách đi được

11 Một con rệp bò ngang theo một bức tường với một tỷ lệkhông đổi

là 5inch trong mỗi phút Đầu tiên bạn nhìn thấy con rệp này khi nó đang ở trong góc phòng, phía sau máy nghe nhạc của bạn

a Xác định các biến và viết phương trình liên quan giữa thời gian (tính bằng phút) với khoảng cách đi được ( tính theo inch )

b.Hằng số biến thiên trong trường hợp này là gì, nó đại diện cho cái gì?

c Trong 1h con rệp bò được bao xa?

d Bạn có thể luyện tập nhạc cụ của mình trong bao lâu trước khi con rệp hoàn thành một vòng với căn phòng rộng 14ft và dài 20ft

e Vẽ đồ thị biểu diễn cho trường hợp này

Ôn tập

12 Giới hạn tốc độ ở Mỹ được tính theo số dặm mỗi giờ ( mi/h ) Xa

lộ ở Đức trải dài nơi mà giới hạn tốc độ được ghi là 130km mỗi giờ(km/h)

a 130km/h bằng bao nhiêu dặm/h?

b 25 dặm/h bằng bao nhiêu km/h?

c Nếu Mỹ sử dụng hệ thống đơn vị chuẩn, tốc độ giới hạn mà bạn nghĩ là bao nhiêu nếu ở chỗ đó có ghi là 65 mi/h

13 ÁP DỤNG Cecile bắt đầu làm một công việc

giải trí tại các tiệc sinh nhật của trẻ em Như một

phần của công việc, Cecile đến trong trang phục

và chơi trò chơi với các em Cô cũng làm những

bong bóng hình các con vật và vẽ lên mặt của mỗi

đứa trẻ Khi bắt đầu công việc cô tính phí 3,5

đô-la cho mỗi đứa trẻ Nhưng cô ấy đang suy nghĩ lại

về những khoảng chi phí của mình để tạo ra lợi

nhuận

a Trung bình mỗi buổi tiệc mất khoảng 3h

Cecile muốn làm ra ít nhất 12 đô-la một giờ Số

lượng trẻ tối thiểu mà cô phải có ở một bữa tiệc là

bao nhiêu?

b Chi phí bóng bay và sơn cho mỗi trẻ là

60 cent Lệ phí của mỗi trẻ chiếm bao nhiêu phần

trăm?

c Cecile quyết định tăng giá lên để chi phí cho mỗi trẻ chỉ còn 10% Nếu chi phí hết 60 cent thì giá của mỗi đứa trẻ là bao nhiêu?

14 Áp dụng : Marie và Tracy mua hộp các thanh granola cho chuyến

đi đường dài của họ Họ nhận thấy rằng trên các thẻ của cửa hàng tạp hóa có

a Mỗi thẻ trên sử dụng hai giá Xác định bốn giá trên.

b Mỗi hộp Granola giòn chứa sáu thanh Giá của mỗi thanh có chính xác không?

c Một hộp Granola dai chứa tám thanh Sử dụng thông tin trên thẻ để tìm giá của mỗi thanh

d Một hộp granola giòn nặng 10 ounce Giá của một ounce là bao nhiêu?

e Nếu Marie và Tracy thích thanh giòn Granola nhiều như họ thích thanh dai Granola, họ nên mua loại gì? Giải thích câu trả lời của bạn

Dự án

Bản vẽ quy mô

Để thiết kế một tòa nhà,

một kiến trúc sư cần vẽ một

bản thiết kế quy mô để biểu

diễn những kế hoạch trên sàn

nhà theo ý muốn Bản đồ các

thị trấn và các thành phố là

những loại phổ biến của bản

vẽ quy mô Trang trí nội thất

để thiết kế dự án này, hãy đảm bảo rằng mô hình tượng trưng của các đồ dùng nội thất có thể di chuyển được để bạn có thể thử nghiệm với những sắp xếp khác nhau.

Dự án của bạn nên bao gồm:

 Một bản vẽ hoặc một bản in biểu diễn các bức tường bên ngoài lớp học và bất cứ cái bàn hay đồ nội thất khác

 Một chú thích về tỉ lệ thiết kế mà bạn sử dụng

 Các tính toán mẫu cho thấy làm thế nào bạn xác định các kích thước trên bản vẽ của bạn

 Các số đo thực tế của những bức tường và đồ nội thất

Trong từng mối quan hệ mà bạn đã làm việc trong chương này, nếu một đại lượng tăng lên thì đại lượng khác cũng vậy Nếu một đại lượng giảm xuống thì đại lượng khác cũng vậy Nếu giờ làm việc tăng lên thì tiền lương cũng tăng Chuyến đi càng ngắn thì nhu cầu nhiên liệu của xe hơi càng ít Đây là mối quan hệ tỉ lệ thuận Có phải tất cả các đại lượng đều có mối quan

hệ theo kiểu này? Có thể có hai đại lượng mà một đại lượng tăng còn một đại lượng giảm?

Hãy thử mở cửa phòng học của bạn bằng cách nhấn vào vị trí gần với bản lề Hãy thử một lần nữa ở vị trí cách xa bản lề hơn Cách nào cần phải dùng nhiều lực hơn? Như vậy khi khoảng cách với bản lề tăng thì lực cần thiết để mở cửa giảm Đây là một ví dụ về mối quan hệ tỉ lệ nghịch

Sự khảo sát

Tốc độ với thời gian

Trong điều tra này, bạn sẽ khám phá mối quan hệ giữa tốc độđi bộ và thời gian cần thiết để trải qua một khoảng đường dài cố định

Bước 1 Thiết lập đường đi bằng cách đánh dấu một dòng tại vị trí bắt

đầu và vị trí kết thúc cách 2m

Bước 2.Thực hiện các hoạt động như được mô tả trong tờ ghi quy

trình

Bước 3 Trên máy tính bấm enter để tải dữ liệu Chọn phần hình ảnh

mà biểu diễn các bước đi bộ bằng cách giữ và kéo con chuột sang phải từ nơi người đi bộ bắt đầu đi Nhấn enter Di chuyển con trỏ cho đến khi nó trở

về trục x ở vị trí cuối Nhấn enter một lần nữa Bây giờ bạn chỉ thấy dữ liệu

đi bộ Nếu nó đúng, bấm phím 1

Bước 4 Máy tính của bạn sẽ hiển thị số bước đi, tổng thời gian, và tốc

độ trung bình Ghi lại những dữ liệu này

Bước 5 Nhấn enter, và trao đổi với các thành viên trong nhóm Lặp

lại các bước 1-4 năm lần, thu thập dữ liệu của sáu lần đi bộ Cố gắng tạo ra hai lần đi bộ chậm khác nhau, hai lần trung bình khác nhau và hai lần nhanh khác nhau

Bước 6 Khi chương trình hoàn tất, nhập sáu dữ liệu (tổng thời gian,

tốc độ trung bình) vào danh mục trong máy tính của mỗi thành viên trong nhóm Tạo ra một đồ thị biểu diễn các dữ liệu và cả hai trục tọa độ

Bước 7 Tìm một phương trình theo công thức

a y x

=

mà là mô hình tốt nhất cho các mối quan hệ giữa tổng thời gian và tốc độ trung bình Thử nghiệm các giá trị khác nhau của a cho đến khi bạn tìm thấy một đường cong phù hợp với dữ liệu

Bước 8 Giá trị nào của a trong bước 7 thỏa với các thí nghiệm? Nó có

đơn vị là gì?

Trong sự khảo sát mà bạn tìm hiểu mối quan hệ giữa thời gian của người đi bộ phải mất để đi hết một khoảng cách cố định với một tốc độ cố định Bạn có thể thấy rằng tích của thời gian và tốc độ là không đổi Bạn có thể viết phương trình:

Thời gian lần 1 tốc độ lần 1= thời gian lần 2 tốc độ lần 2

Bạn cũng có thể viết mối quan hệ này như một tỷ lệ:

(Toàn bộ thời gian đi được lần đầu) / (Toàn bộ thời gian đi được lần hai) = (vận tốc lần hai)/(vận tốc lần một)