Sử Dụng Phần Mềm CABRI 3D Trong Dạy Học Chủ Đề Xác Định Tâm Và Bán Kính Của Mặt Cầu Ngoại Tiếp Hình Chóp

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾKHOA TOÁN ------BÀI BÁO CÁO ĐỀ TÀI : SỬ DỤNG PHẦN MỀM CABRI 3D TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP Giảng viên hướng dẫn

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN

- -BÀI BÁO CÁO

ĐỀ TÀI : SỬ DỤNG PHẦN MỀM CABRI 3D TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH CỦA MẶT

CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

Giảng viên hướng dẫn: Thực hiện: 3B-N02

Nguyễn Đăng Minh Phúc Lê Lam Anh

Nguyễn Thị Thùy Nhung

Phan Thị Thu Phương

Võ Hồng Sơn

Nguyễn Thị Xuân

Huế, 2013

MỤC LỤC

MỤC LỤC 2

LỜI NÓI ĐẦU 3

PHẦN I : GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM CABRI 3D 4

I Giới thiệu về phần mềm Cabri 3D: 4

II Cách dựng một số đối tượng cơ bản: 5

PHẦN II : SỬ DỤNG PHẦN MỀM CABRI 3D ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP 8

I Điều kiện để hình chóp nội tiếp mặt cầu: 8

II Cách tìm tâm và bán kính: 8

III.Các ví dụ minh họa: 9

PHẦN III : KẾT LUẬN 16

I Những ưu - nhược điểm của phần mềm Cabri 3D: 16

II Kết luận: 16

III.Kiến nghị: 16

TÀI LIỆU THAM KHẢO 17

LỜI NÓI ĐẦU

Các bài toán về chủ đề xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là một dạng toán quan trọng trong chương trình hình học lớp 12 Tuy nhiên giáo viên thường khó có thể xây dựng được một hình ảnh trực quan cho học sinh về đối tượng hình học này.

Cabri 3D sẽ cung cấp các công cụ cho giáo viên và học sinh dễ dàng thiết lập các hình hình học trên màn hình Các hình này có điểm đặc biệt đó là chúng có thể chuyển động trên màn hình mà vẫn giữ lại các quan hệ logic hình học tính năng này sẽ cho chúng ta quan sát các hình hình học với nhiều cách.

Phần mềm Cabri 3D cho ta một hình ảnh trực quan của các hình hình học trong không gian 3 chiều, khắc phục hạn chế của việc mô tả các hình này trên bảng của người giáo viên Giúp giáo viên có thể xây dựng nhanh một hình trong một thời gian ngắn một cách chính xác.

Đối với học sinh Phần mềm sẽ hỗ trợ các em rất nhiều trong việc quan sát

tư duy để hiểu lí thuyết cũng như vận dụng trong khi làm bài tập.

Nội dung của bài thu hoạch gồm 3 phần:

Phần I: Giới thiệu về phần mềm Cabri 3D.

Phần II: Sử dụng phần mềm Cabri 3D để giải các bài toán tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Phần III: Kết luận.

Qua bài này chúng ta sẽ hiểu rõ hơn về tính hiệu quả của việc sử dụng phần mềm Cabri 3D tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Huế, Tháng 9 năm 2013

Thực hiện Nhóm 3B-N02

PHẦN I : GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM CABRI 3D

I Giới thiệu về phần mềm Cabri 3D:

Công nghệ Cabri được khởi đầu trong các phòng nghiên cứu tại CNRS (Trung tâm nghiên cứu khoa học quốc gia) và tại trường đại học Joseph Fourier, thành phố Grenoble, cộng hòa Pháp Năm 1985, Jean-Marie LABORDE, người cha tinh thần của Cabri, bắt đầu từ dự án này với mục đích trợ giúp việc dạy và học môn hình học phẳng

Phần mềm Cabri 3D là phần mềm hỗ trợ một cách tốt nhất để bạn có thể dựng các mô hình ba chiều, hình học không gian

Với các công cụ hỗ trợ dựng đường thẳng, mặt phẳng, hình cầu, hình trụ, hình ống…

và các công cụ xác định điểm, mặt phẳng, giao của 2 hay nhiều mặt phẳng, giao của mặt phẳng và đường thẳng, giao của 2 hay nhiều đường thẳng ta có thể thấy hay dựng các mặt khuất…

Cũng như các công cụ dựng hình của các phần mềm khác, Cabri 3D cung cấp khá đầy

đủ các công cụ cần để ta có thể dựng cũng như tính toán

Ta có thể khám phá thế giới 3D với nhiều công cụ mà Cabri 3D hỗ trợ

Sử dụng Cabri 3D để minh họa bài giảng thêm sinh động là một thế mạnh cuả các công cụ hỗ trợ toán học

Sau khi cài đặt, giao diện làm việc của phần mềm Cabri 3D sẽ như hình dưới đây:

II Cách dựng một số đối tượng cơ bản :

1 Dựng điểm :

a) Dựng điểm trên mặt phẳng cơ sở (PN):

(Mặt phẳng mặc định khi ta kích hoạt phần mềm): Kích chọn “ “ đưa con trỏ chuột đến (PN), ta thấy xuất hiện một điểm, di chuyển con trỏ đến vị trí thích hợp kích trái chuột để xác nhận việc tạo điểm mới trên (PN) Để xóa một điểm, chọn điểm cần xóa, bấm phím Delete

b) Dựng điểm trong không gian: Kích chọn

“ “ đưa con trỏ đến mặt phẳng (PN), giữ phím Shift, di chuyển con trỏ theo chiều

thẳng đứng, kích chuột trái để xác nhận tạo điểm

c) Đặt tên cho điểm: Chọn “ “ , kích chọn điểm cần tạo tên, giữ phím Shift đánh tên cần tạo Nếu ta đặt tên điểm A1 thì máy tính tự chuyển về A1

2 Dựng đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng:

a) Đoạn thẳng:

+ B1: Dựng hai điểm A, B

+ B2: Chọn , kích chọn hai điểm A, B

ta có đoạn thẳng AB

b) Trung điểm của đoạn thẳng:

+ B1: Dựng đoạn thẳng AB ( hoặc hai điểm A,B)

+ B2: Chọn , kích chọn hai điểm A,

B ta có trung điểm

3 Dựng đường thẳng :

a) Dựng đường thẳng qua hai điểm:

Chọn , chọn hai điểm A, B ta có đường thẳng thẳng AB

b) Dựng đường thẳng khi biết phương (đoạn thẳng, tia, véc tơ) và một điểm đi qua:

Kích chọn , chọn điểm đi qua, chọn phương (đoạn thẳng, tia, véc tơ)

c) Dựng đường thẳng cắt và vuông góc với đường thẳng:

+ B1: Dựng một đường thẳng a và một điểm A

+ B2: Chọn , ấn giữ phím Ctrl, kích chọn điểm A, kích chọn đường thẳng a ta được đường thẳng qua A, cắt đồng thời vuông góc với a

4 Dựng mặt phẳng:

a) Mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng:

+ B1: Tạo 3 điểm A, B, C không thẳng hàng

+ B2: Kích chọn chức năng dựng mặt phẳng , kích chọn 3 điểm A, B, C ta

có mặt phẳng qua A,B,C

b) Mặt phẳng qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng:

+ B1: Dựng một điểm và một đường thẳng + B2: Kích chọn chức năng dựng mặt phẳng

c) Mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau:

+ B1: Dựng hai đường thẳng nhau

+ B2: Kích chọn chức năng dựng mặt phẳng, kích chọn hai đường thẳng

d) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng:

+ B1: Dựng đoạn thẳng

+ B2: Chọn , chọn đoạn thẳng

+ B3: Chọn , chọn đoạn thẳng

5 Dựng một số hình đa diện lồi

a) Tứ diện:

Có 2 cách dựng: qua 4 điểm không đồng phẳng dựng trước hoặc chọn chức năng dựng rồi lần lượt chọn các điểm

b) Hình chóp:

+ B1: Dựng đáy – là đa giác lồi

+ B2: Dựng đỉnh chọn

+ B3: Chọn chức năng dựng hình chóp

chọn đỉnh và đáy

6 Dựng hình cầu

+ B1: Dựng tâm hình cầu chọn “ ”

+ B2: Chọn chức năng để dựng

hình cầu

PHẦN II: SỬ DỤNG PHẦN MỀM CABRI 3D ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

I Đ iều kiện để hình chóp nội tiếp mặt cầu:

Hình chóp nội tiếp mặt cầu khi và chỉ khi đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp

II Cách tìm tâm và bán kính:

• Cho hình chóp S.A1A2…An

• Dựng tâm O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

• Dựng đường thẳng d vuông góc với đa giác đáy tại O

• Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kỳ

• Dựng giao điểm I của đường thẳng d và mp (α)

• Vậy I chính là tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính là khoảng cách từ I đến một trong các đỉnh của hình chóp S.A1A2…An

III Các ví dụ minh họa:

1 Bài toán 1:

Phân tích:

-Ta có tam giác ABC là một tam giác

thường nội tiếp trong đường tròn

ngoại tiếp của nó

-Nên khi gọi I là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC thì I chính

là giao điểm của 2 đường trung trực

AB và AC

-Do SA vuông góc mp (ABC) nên

khi gọi (d) là đường thẳng qua I và

vuông góc với mp (ABC) thì (d) song

song với SA

-Mp trung trực của SA cắt (d) tại O

-Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp

S.ABC và bán kính là R = OA

Cách dựng trong Cabri 3D:

-Vào biểu tượng để dựng tam giác ABC

-Vào biểu tượng để dựng trung điểm của AB

-Chọn , ấn giữ phím Ctrl, kích chọn trung điểm của AB, để dựng đường thẳng trung trực của AB

-Tương tự ta có đường thẳng trung trực của AC

-Chọn biểu tượng điểm giao và giữ ctrl để dựng giao điểm I khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

-Chọn để dựng (d) là đường thẳng qua I vuông góc với mp (ABC)

-Chọn để dựng mp trung trực của

SA

-Chọn để dựng giao điểm O

-Chọn để dựng hình cầu ngoại tiếp tâm O bán kính OS

Bài làm :

- Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- (d) là đường thẳng qua I và vuông góc với mp

(ABC)

- Mp trung trực của SA cắt (d) tại O

- Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC và bán

kính là R bằng OA

- Gọi E là trung điểm của SA

- Trong mp tạo bởi đường thẳng d song song với SA, ta có:

OE ⊥ SA

IA ⊥ SA}⟹ OE∥ IA

OE ∥ IA

OI ∥ AE}⟹ AEOI là hìnhbìnhhành

OI =1

2SA=a

AI = BC

2 sinA=

a

√3

R=OA=√OI2+AI2=2 a

√3 Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có tâm là O và bán kính bằng

2a

√ .

2 Bài toán 2:

Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a.

Phân tích:

-Ta có tam giác BCD là một tam giác

đều nội tiếp trong đường tròn ngoại

tiếp của nó

-Nên khi gọi I là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác BCD thì I chính

là trọng tâm của tam giác BCD

-Do A.BCD là tứ diện đều nên

AI  BCD

-Mp trung trưc của AB cắt AI tại O

nên O là tâm và OA là bán kính mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCD

Cách dựng trong Cabri 3D:

-Chọn để dựng tứ diện đều A.BCD

có I trọng tâm tam giác BCD

-Chọn để dựng đoạn thẳng AI, khi

đó AI BCD -Chọn để dựng mp trung trực của AB

-chọn để dựng O là giao điểm của

AI và mp trung trực của AB

-Chọn để dựng hình cầu ngoại tiếp tâm O bán kính OA

Bài làm:

-Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác BCD Suy ra AI BCD

-Gọi E là trung điểm của AB

-Mp trung trực của AB cắt AI tại O

-Vậy O là tâm và OA là bán kính

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều

ABCD

BI= a

√3

AI =√AB2

−BI2

=√a2

+a2

3 =

a√6 3

AO

AB=

AE

AI ⟹ R=AO= AB AE

AI =

a a

2

a√6 3

=a√6 4

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD có tâm là O và bán kính bằng

a√

4

3 Bài toán 3:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Biết góc giữa mặt phẳng (SAB)

và mặt phẳng (ABCD) là 30 o Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S.ABCD.

Phân tích:

-Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều

nên nếu gọi O là tâm đường tròn ngoại

tiếp hình vuông ABCD thì SO ⊥ ( ABCD )

-Giả sử M là trung điểm của AB thì góc

giữa mp (SAB) và mp (ABCD) là góc

^

SMO=30 °

-Gọi J là trung điểm của SA, mp trung

trực của SA cắt SO tại I

-Khi đó I là tâm và IS là bán kính mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Cách dựng trong Cabri 3D.

-Chọn , để dựng hình vuông ABCD tâm O

-Chọn để dựng đường thẳng qua o vuông góc với mp (ABCD)

-Chọn để dưng điểm S

-Chọn để dựng các cạnh của hình chóp

-Chọn để dựng trung điểm M của

AB, và trung điểm J của SA

-Chọn để dưng SM và MO Ta có góc SMO

-Chọn để dựng mặt phẳng trung trực qua J của SA

-Chọn để dựng giao điểm I

-Chọn để dựng hình cầu tâm I ngoại tiếp hình chóp

Bài làm:

-Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều

nên ABCD là hình vuông Gọi O là tâm

đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Suy ra SO ⊥ ( ABCD)

-Gọi M là trung điểm của AB

Tac ó SM ⊥ AB

OM ⊥ AB}Suy ra g ó c giữa mặt p h ẳng ( SAB) v à( ABCD) l à g ó c ^ SMO=30°

-Gọi J l à trung điểm của SA Mp trung trực của SA qua J cắt SO tại I

-Ta có I thuộc SO và I thuộc mặt phẳng trung trực của SA nên IS=IA=IB=IC=ID

-Vậy I là tâm và SI là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Trong ∆ SMO c ó ^ SOM =90 °n ê n

tan ^SMO= SO

MO ⟹ SO=MO × tan 30°= a

2×

√3

3 =

a√3 6

cos ^SMO= OM

SM ⟹ SM= OM

cos30 °=

a

2

√3 2

=a√3 3

SA=√SM2+AM2=a√21

6 -Tam giác SIJ đồng dạng với tam giác SAO nên:

SI

SA=

SJ

SO ⟹ SI= SJ SA

SO =

SA2

2 SO=(a√21

6 )2÷(2.a√3

6 )=7 a√3

12

V ậ y b á n k í n h c ủ a mặ t c ầ u ngo ạ i ti ế p h ìn h c h ó p S ABCDl à 7 a√3

12 .

4 Bài toán 4:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A AB=a, AC=2a G là trọng tâm của tam giác ABC SG vuông góc với mp (ABC), SG=a Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Phân tích:

-Tam giác ABC là tam giác vuông tại

A nên nó nội tiếp trong đường tròn

tâm I là trung điểm của BC.

-Do SG ⊥( ABC ) nên đường thẳng ∆ đi

qua I, vuông góc mp (ABC) sẽ song

song SG.

-Mp trung trực của SA cắt ∆ tại O.

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp S.ABCD.

Cách dựng trong Cabri 3D:

-Chọn để dựng đoạn thẳng AC -Chọn và giữ ctrl để dựng đường thẳng qua A vuông góc với AC.

-Chọn để dựng điểm B nằm trên đường đường thẳng vừa dựng.

-Chọn để nối các dựng các cạnh của tam giác.

-Chọn để dựng các trung điểm của BC và AB.

-Chọn rồi để dựng trọng tâm G của tam giác ABC.

-Chọn rồi để dựng điểm S -Chọn để nối các đỉnh của hình chóp.

-Chọn để dựng đường thẳng SA.

-Chọn để dựng đường thẳng ∆

qua I vuông góc với mp (ABC).

-Sau đó chọn để dựng s’.

-Chọn để dựng mặt phẳng trung trực của SA.

-Chọn để dựng giao điểm O -Chọn để dựng hình cầu ngoại tiếp tâm O bán kính OS.

Bài làm:

-Gọi I là trung điểm của BC

-Qua I dựng đường thẳng (∆) vuông góc

với mp (ABC)

-Mặt khác SG⊥ ( ABC )⟹ SG∥ ∆

-Trong mp (A, ∆) là mp tạo bởi điểm A

và đường thẳng ∆, dựng đường trung trực d

của SA lần lượt cắt SA, ∆ tại J và O

Tacó{O O ∈ ∆ ∈d ⟹{OA=OB=OC OS=OA ⟹ OS=OA=OB=OC

-Vậy O là tâm và OA là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Trong mp( A , ∆ ), gọi S '=AS ∩∆

∆ ABC có ^ BAC=90° , I làtrung điểm của BC nên

AI =1

2BC=√AB2+AC2=√a2+4 a2=a√5

2

DoG làtrọng tâm ∆ ABC nên AG=2

3 AI =

a√5 3

∆ AGS có ^ AGS=90 ° nên SA=√SG2

+AG2

=√a2

+5 a2

9 =

a√14 3

AJ=1

2SA=

a√14 6

∆ AIS ’ có GS ∥IS '

nên{AS AS '=

AG AI AS

AS '=

GS

IS '

⟹{AS '

=AS AI

AG =

a√14 2

IS '

=AS ' GS

AS =

3 a

2

J S ' A S ' AJ= a√14 a√14 a√14

Tam giác S ' JO đồng dạng tam giác S ' IA nên

JO

IA=

S ' J

S ' I ⟹ JO= S ' J IA

S ' I =

a√70 9

∆ AJO có ^ AJO=90 °nên OA=√OJ2

+JA2

=a√406 18

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là O và bán kính là

a√406 18

PHẦN III: KẾT LUẬN

Cabri 3D là phần mềm dạy học học toán rất nổi tiếng trên thế giới, dùng để mô phỏng hình học, chương trình có nhiều chức năng rất nổi bật

I Những ưu - nhược điểm của phần mềm Cabri 3D:

1 Ưu điểm:

 Không phải mất quá nhiều thời gian, mà có thể tạo ra một mô hình sinh động

 Cabri3D được Việt hóa gần 100%, nên rất dễ sử dụng

 Cabri 3D có thể nhúng trực tiếp vào Powpoint, có thể dùng chức năng hình cầu kính đề thay đổi góc nhìn trong không gian

2 Nhược điểm:

 Không thể tự động hiển thị phần che của hình vẽ

II Kết luận:

Việc sử dụng các file minh họa bằng Cabri 3D vào giảng dạy nội dung hình học không

gian thay thế cho các hình ảnh tĩnh trong sách giáo khoa và vẽ hình học không gian trên bảng đen đã nâng cao hiệu quả của học sinh

Sử dụng phần mềm trong giải các bài toán tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp sẽ giúp cho học sinh có cái nhìn trực quan, sinh động, tăng khả năng tư duy cho học sinh Qua đó học sinh có thể dự đoán được tâm và tìm được bán kính theo yêu cầu bài toán

III Kiến nghị:

Đối với các cấp lãnh đạo cần quan tâm về trang thiết bị vật chất như: máy tính, máy chiếu Projector hoặc màn hình tivi màn hình rộng có bộ kết nối cho các nhà trường mở các lớp bồi dưỡng ứng dụng công nghệ thông tin, khuyến khích và động viên giáo viên áp dụng công nghệ thông tin vào dạy học

Với kết quả của đề tài này, chúng tôi mong rằng các bạn quan tâm, chia sẽ để có thể ứng dụng đề tài này vào việc dạy học môn toán ở các trường phổ thông, để tạo hứng thú

và nâng cao kết quả học tập của học sinh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Mộng Hy, Sách giáo khoa hình học 12 cơ bản, 2008, Nxb Giáo dục

2 Nguyễn Mộng Hy, Sách bài tập hình học 12 cơ bản, 2008, Nxb Giáo dục

3 Văn Như Cương, Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao, 2008, Nxb Giáo dục

4 Văn Như Cương, Sách bài tập hình học 12 nâng cao, 2008, Nxb Giáo dục

5 Trần Văn Tấn, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học 12, 2008, Nxb Giáo dục

6 Khu Quốc Anh, Luyện giải và ôn tập hình học 12, 2008, Nxb Giáo dục

7 http://sourceforge.net/projects/rlnvsp/files/?source=navbar