Vai trò của biểu diễn bội trong nâng cao năng lực suy luận về tính không chắc chắn

Trong một xã hội tràn ngập thông tin, đầy rẫy biến động và thường xuyên xuất hiện những sự kiện không chắc chắn như hiện nay, năng lực suy luận về tính không chắc chắn là một “hành trang” không thể thiếu cho mọi công dân hữu ích. Hơn nữa, khi việc dạy toán hiện nay đang có những động thái tích cực trong việc chuyển từ chú trọng nhiều đến kiến thức sang quan tâm đến phát triển năng lực và khả năng thích ứng của HS khi đối mặt với những vấn đề trong cuộc sống thì những nghiên cứu về vấn đề này là hết sức cần thiết. Xét trên một khía cạnh cụ thể, việc thăm dò những9 năng lực suy luận về tính không chắc chắn và nâng cao các năng lực này cho HS là một việc làm thiết thực và có ý nghĩa. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là “Vai trò của biểu diễn bội trong nâng cao năng lực suy luận về tính không chắc chắn”.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

LÊ ĐỨC HẢI

VAI TRÒ CỦA BIỂU DIỄN BỘI TRONG NÂNG CAO NĂNG LỰC SUY LUẬN

VỀ TÍNH KHÔNG CHẮC CHẮN

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

HUẾ, NĂM 2011

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép

sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác

Tác giả luận văn

Lê Đức Hải

LỜI CẢM ƠN

Xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS TS Trần Vui, người đã tận tình hướng dẫn, hết lòng giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến:

Khoa Toán - trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo sau Đại học - trường ĐHSP Huế

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường; Quí thầy

cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa XVIII chuyên ngành Lí luận và phương pháp dạy học môn Toán, những người đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức vô cùng quí báu và bổ ích;

Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Trị, Ban giám hiệu và toàn thể thầy cô giáo tổ Toán trường THPT Lê Lợi đã tạo mọi điều kiện cho tôi tham gia và hoàn thành khóa học;

Ban giám hiệu và quí thầy cô giáo trường THPT Đông Hà, trường THPT Lê Lợi, trường THPT Thị xã Quảng Trị, trường THPT Vĩnh Định và trường THPT Hải Lăng đã cho phép và hỗ trợ chúng tôi thực hiện đề tài

Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã quan tâm, giúp

đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được những trao đổi và góp ý của quí thầy cô và bạn đọc

Huế, tháng 9 năm 2011

Tác giả luận văn

Lê Đức Hải

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh mục các chữ viết tắt 3

Chương 1 MỞ ĐẦU 4

1 Lời giới thiệu 4

1.1 Nhu cầu nghiên cứu 4

1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu 5

2 Mục đích nghiên cứu 6

3 Câu hỏi nghiên cứu 6

4 Định nghĩa các thuật ngữ 6

5 Ý nghĩa của nghiên cứu 7

6 Cấu trúc của luận văn 8

Chương 2 TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 9

1 Nền tảng lịch sử 9

1.1 Tính không chắc chắn trong cuộc sống và trong chương trình 9

1.2 Xu hướng kết nối toán học với cuộc sống 13

2 Nền tảng lí thuyết 14

2.1 Hiểu biết toán 14

2.2 Các năng lực hiểu biết toán 15

2.3 Các cụm năng lực hiểu biết toán 16

2.4 Biểu diễn – Biểu diễn bội 17

3 Các nghiên cứu liên quan 18

3.1 Suy luận thống kê 18

3.2 Thống kê và toán học 20

3.3 Bốn quá trình then chốt trong suy luận thống kê 21

3.4 Vai trò của biểu diễn bội trong dạy học toán 22

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 24

1 Thiết kế nghiên cứu 24

2 Đối tượng tham gia 24

3 Công cụ nghiên cứu 24

3.1 Bộ đề kiểm tra 25

3.2 Bảng hỏi 49

4 Quy trình thu thập và phân tích dữ liệu 49

4.1 Thu thập dữ liệu 49

4.2 Phân tích dữ liệu 50

5 Các hạn chế 51

Chương 4 CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 52

1 Những năng lực về tính không chắc chắn của học sinh mười lăm tuổi hiện nay 52

1.1 Mô tả các mức độ hiểu biết toán liên quan đến tính không chắc chắn 52

1.2 Kết quả thăm dò đề kiểm tra 53

1.3 Kết quả thăm dò bảng hỏi 68

2 Vai trò của biểu diễn bội trong nâng cao năng lực suy luận về tính không chắc chắn 73

3 Môi trường học tập suy luận thống kê 74

3.1 Xây dựng môi trường học tập suy luận thống kê 74

3.2 Những thay đổi chủ yếu 78

4 Sử dụng biểu diễn bội một cách hiệu quả trong lớp học suy luận thống kê 79

Chương 5 KẾT LUẬN, LÍ GIẢI VÀ VẬN DỤNG 80

1 Kết luận 80

1.1 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 80

1.2 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 81

1.3 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba 81

2 Lí giải 82

2.1 Lí giải cho câu hỏi thứ nhất 82

2.2 Lí giải cho câu hỏi thứ hai 83

2.3 Lí giải cho câu hỏi thứ ba 83

3 Vận dụng 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO 85 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

NCTM : National Council of Teachers of Mathematics

OECD : Organization for Economic Co-operation and Development PISA : Programme for International Student Assessment

THPT : Trung học phổ thông

Chương 1 MỞ ĐẦU

1 Lời giới thiệu

Ngày nay, trong thời đại kinh tế hội nhập và cạnh tranh toàn cầu, trong xã hội tràn ngập thông tin đang từng giờ thay đổi nhanh chóng và phức tạp, mọi quốc gia đều rất cần những công dân năng động, sáng tạo, có khả năng đương đầu với mọi vấn đề trong cuộc sống Trong bối cảnh đó, để những cá nhân có thể đưa ra những phán xét,

những quyết định hay những kết luận chính xác thì hiểu biết toán trở thành một yêu

cầu tiên quyết và thường xuyên

Hiểu biết toán, theo Chương trình Đánh giá Học sinh Quốc tế - PISA (Program for International Student Assessment), là năng lực để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống Các năng lực toán được xem

là hạt nhân của hiểu biết toán Chỉ khi các năng lực xác định được huy động bởi học sinh (HS) thì các em mới có thể tự mình giải quyết các vấn đề đã đặt ra Chính vì vậy,

việc đánh giá hiểu biết toán, bao gồm việc đánh giá các năng lực toán của HS, từ đó

đưa ra những chiến lược giáo dục phù hợp là một yêu cầu cấp thiết hiện nay

Hai thế kỉ 19 và 20 chúng ta chứng kiến sự bùng nổ của tri thức toán học, mọi hiện tượng và vấn đề có thể được tiếp cận bằng công cụ toán học Những điều đó bao gồm tính ngẫu nhiên và tính không xác định Các khái niệm, cấu trúc và ý tưởng toán học được xem là công cụ để tổ chức các hiện tượng của thế giới tự nhiên, xã hội và trí tuệ

Ở trường học, chương trình toán được tổ chức một cách lôgic xoay quanh các mạch nội dung như: số học, đại số, giải tích, hình học Một lựa chọn về các ý tưởng bao quát

toàn bộ nội dung toán học được thực hiện, đó là: các qui luật về đại lượng, các qui luật về không gian và hình, các qui luật về thay đổi và các mối quan hệ tạo nên các

khái niệm trung tâm và chính yếu cho bất kì mô tả nào về toán học và chúng tạo nên

“trái tim” của bất kì một chương trình nào ở trung học, cao đẳng hay đại học

Nhưng hiểu biết toán có hàm ý rộng hơn Việc xử lí sự không chắc chắn từ một quan điểm khoa học và toán học là chính yếu Với lí do này, các yếu tố của lí thuyết xác

suất và thống kê đã sản sinh ra ý tưởng bao quát thứ tư: tính không chắc chắn

Với bốn ý tưởng này, nội dung toán học được tổ chức thành một số các lĩnh vực đủ

để bảo đảm trải rộng các câu hỏi xuyên suốt chương trình (OECD, 2003, [30])

1.1 Nhu cầu nghiên cứu

“Xã hội thông tin” hiện nay cung cấp một sự phong phú về thông tin, thường được trình bày chính xác, khoa học và với một mức độ chắc chắn Tuy nhiên, trong cuộc sống hằng ngày chúng ta thường gặp những kết quả bầu cử không chắc chắn, những cây

cầu bị sập, suy thoái của thị trường chứng khoán, dự báo thời tiết không đáng tin cậy,

dự đoán sai về phát triển dân số, những mô hình kinh tế không hiệu quả và những biểu hiện khác của tính không chắc chắn trong thế giới của chúng ta (OECD, 2003, [30]) Đứng trước những nguồn thông tin có tính không chắc chắn như vậy, câu hỏi đặt

ra là “Làm thế nào để chúng ta có được những phán xét đúng đắn?”, hay “Mỗi công dân cần có những năng lực nào để xử lí các nguồn thông tin này?”

Câu trả lời cho những câu hỏi trên là vấn đề đáng quan tâm trong chương trình giáo dục toán phổ thông hiện nay, khi các kiến thức HS được học về tính không chắc chắn (lí thuyết xác suất và thống kê) chỉ dừng lại ở mức độ nắm các khái niệm, các qui tắc tính toán và xoay quanh việc trả lời các câu hỏi quen thuộc trong khuôn khổ sách giáo khoa (SGK), trong khi việc phát triển các năng lực trọng yếu giúp HS hiểu biết ý nghĩa và ứng dụng nó để giải quyết các vấn đề thực tế một cách linh hoạt và hiệu quả chưa thực sự được chú ý nhiều

Trong giải quyết vấn đề, việc nhận ra một vấn đề, xác định bản chất của nó, dùng kiến thức này để lên một phương án giải, điều chỉnh lời giải để phù hợp hơn với bài toán gốc và giao tiếp lời giải với những người khác được xem như là các kĩ năng cơ

bản Ở những khâu quan trọng, năng lực suy luận của người giải quyết vấn đề trở

thành yếu tố quyết định Suy luận để từ những giả thiết ban đầu cho ra những kết luận hợp lí, suy luận để có những lí giải phù hợp cho vấn đề đang giải quyết, suy luận để đánh giá các phương án giải quyết vấn đề khác

Như vậy, rõ ràng các năng lực suy luận về tính không chắc chắn là hết sức cần thiết và

quan trọng để có thể giải quyết những vấn đề có tính không chắc chắn gặp phải trong cuộc sống một cách có ý nghĩa

Vậy năng lực suy luận về tính không chắc chắn của HS 15 tuổi hiện nay ở nước ta như thế nào? Và làm thế nào để nâng cao năng lực suy luận về tính không chắc chắn cho HS? Những câu hỏi này đã tạo nên một nhu cầu nghiên cứu hết sức thiết thực và

có ý nghĩa, nhất là trong bối cảnh hiện nay, khi Việt Nam đang có những điều chỉnh cần thiết để chuẩn bị cho HS tham gia đánh giá của PISA

1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu

Trong một xã hội tràn ngập thông tin, đầy rẫy biến động và thường xuyên xuất hiện những sự kiện không chắc chắn như hiện nay, năng lực suy luận về tính không chắc chắn là một “hành trang” không thể thiếu cho mọi công dân hữu ích Hơn nữa, khi việc dạy toán hiện nay đang có những động thái tích cực trong việc chuyển từ chú trọng nhiều đến kiến thức sang quan tâm đến phát triển năng lực và khả năng thích ứng của HS khi đối mặt với những vấn đề trong cuộc sống thì những nghiên cứu

về vấn đề này là hết sức cần thiết Xét trên một khía cạnh cụ thể, việc thăm dò những

năng lực suy luận về tính không chắc chắn và nâng cao các năng lực này cho HS là một việc làm thiết thực và có ý nghĩa Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của

luận văn là “Vai trò của biểu diễn bội trong nâng cao năng lực suy luận về tính

không chắc chắn”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của nghiên cứu nhằm:

(1) Thăm dò những năng lực về tính không chắc chắn của HS mười lăm tuổi hiện nay;

(2) Tìm hiểu vai trò của biểu diễn bội trong nâng cao năng lực suy luận về tính không chắc chắn của HS mười lăm tuổi

3 Các câu hỏi nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã được đề cập ở trên, luận văn này sẽ đi tìm câu trả lời cho ba câu hỏi nghiên cứu sau:

1 Những năng lực về tính không chắc chắn của HS mười lăm tuổi hiện nay thể hiện như thế nào?

2 Biểu diễn bội có vai trò như thế nào trong nâng cao năng lực suy luận về tính không chắc chắn của HS mười lăm tuổi?

3 Làm thế nào để sử dụng các biểu diễn bội một cách có hiệu quả trong nâng cao năng lực suy luận về tính không chắc chắn của HS mười lăm tuổi?

4 Định nghĩa các thuật ngữ

 Vấn đề là một tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc một nhóm để giải quyết mà

khi đối mặt với tình huống này họ không thấy ngay các phương pháp hoặc con đường để thu được lời giải (Trần Vui, 2006, [3])

 Giải quyết vấn đề chỉ quá trình một cá nhân sử dụng kiến thức, kĩ năng và

hiểu biết đã học được trước đó để đáp ứng đòi hỏi của những tình huống không quen thuộc

 Suy luận chỉ quá trình mà một cá nhân có thể sử dụng các quy tắc, các bằng

chứng và những kiến thức đã có để suy ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận khác (English, L D., 2004, [17])

 Hiểu biết toán là khả năng của một cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán

học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh (OECD,

2003, [30, tr 24])

 Năng lực toán là những quá trình toán học mà HS áp dụng khi nổ lực giải quyết

các vấn đề, bao gồm: tư duy và suy luận; lập luận; giao tiếp; mô hình hóa; đặt

vấn đề và giải; biểu diễn; sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, thuật ngữ toán học và các

phép toán; sử dụng các công cụ hỗ trợ (OECD, 2003, [30, tr.40])

 Biểu diễn ngoài là biểu diễn mà chúng ta có thể giao tiếp một cách dễ dàng với

những người khác; chúng là những dấu hiệu trên giấy, các hình vẽ, sơ đồ, biểu

đồ, đồ thị, các phác thảo hình học và các phương trình

 Biểu diễn bội là các biểu diễn ngoài khác nhau của cùng một khái niệm toán học

 Tính không chắc chắn là một trong bốn ý tưởng bao quát được sử dụng trong OECD/PISA Tính không chắc chắn được dự định để đề xuất hai chủ đề liên quan: dữ liệu và cơ hội Những hiện tượng này tương ứng với các chủ đề toán trong xác suất và thống kê Những khái niệm và hoạt động toán quan trọng trong lĩnh vực này là thu thập dữ liệu, phân tích dữ liệu và trình bày / trực quan hóa, xác suất và đưa ra kết luận (OECD, 2003, [30])

 Suy luận thống kê là cách con người suy luận với các ý tưởng thống kê và làm

cho thông tin thống kê trở nên có ý nghĩa Điều này liên quan đến việc đưa ra các

lí giải dựa trên các tập dữ liệu, các biểu diễn của dữ liệu, hay các số đặc trưng của dữ liệu Suy luận thống kê có thể bao gồm việc kết nối một khái niệm với

một khái niệm khác (chẳng hạn, tâm và độ phân tán), hay có thể kết hợp các ý

tưởng về dữ liệu và cơ hội Suy luận thống kê cũng có nghĩa là hiểu và có thể giải thích các quy trình thống kê và có khả năng lí giải đầy đủ các kết quả thống

kê (Joan B Garfield, Dani Ben-Zvi, 2008, [22])

5 Ý nghĩa của nghiên cứu

Nghiên cứu này phỏng theo một phương thức đánh giá HS đang được rất nhiều nước trên thế giới tin tưởng và đánh giá cao (PISA) Kết quả thăm dò sẽ cung cấp một cái nhìn khách quan về năng lực giải quyết các vấn đề có liên quan đến tính không chắc chắn mà HS mười lăm tuổi thể hiện

Kết quả nghiên cứu sẽ đánh thức chúng ta về tầm quan trọng của biểu diễn bội trong việc giúp HS hiểu sâu sắc các khái niệm toán Đóng góp thêm những kiến thức cần thiết về vai trò của biểu diễn bội trong việc nâng cao năng lực suy luận về tính không chắc chắn của HS mười lăm tuổi

Nghiên cứu cũng đưa ra một số đề xuất cho việc sử dụng hiệu quả biểu diễn bội trong các hoạt động dạy học giúp HS nâng cao năng lực suy luận về tính không chắc chắn

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn được trình bày theo cấu trúc như sau:

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Chương 1 Mở đầu

Chương 2 Tổng quan các nghiên cứu liên quan

Chương 3 Thiết kế nghiên cứu

Chương 4 Các kết quả nghiên cứu

Chương 5 Kết luận, lí giải và vận dụng

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

Tóm tắt chương 1: Chúng tôi vừa trình bày mục đích nghiên cứu và ý nghĩa của

đề tài: Vai trò của biểu diễn bội trong nâng cao năng lực suy luận về tính không chắc

chắn, đồng thời chúng tôi cũng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu và định nghĩa một số

thuật ngữ chính của luận văn Chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu này ở chương tiếp theo

Chương 2 TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1 Nền tảng lịch sử

1.1 Tính không chắc chắn trong cuộc sống và trong chương trình

Tính không chắc chắn - theo PISA - là một trong bốn ý tưởng bao quát1 của nội dung toán giảng dạy ở các trường phổ thông Tính không chắn chắn liên quan đến hai

chủ đề: dữ liệu và cơ hội Đây cũng chính là các đối tượng nghiên cứu tương ứng của

Thống kê và Xác suất Việc đào tạo ra những công dân biết cách “đối phó” với các vấn đề liên quan đến tính không chắc chắn đang tràn ngập trong thế giới bùng nổ thông tin hiện nay là một vấn đề hết sức cần thiết Chính vì vậy các kiến nghị gần đây liên quan đến chương trình giáo dục phổ thông ở nhiều quốc gia đều nhất trí đề nghị Thống kê và Xác suất nên có một vị trí nổi bật hơn so với chương trình trong quá khứ

Dữ liệu

Việc quan tâm đến dạy học thống kê được thừa nhận là hiển nhiên bởi một phần

nhiệm vụ của nó là làm việc với dữ liệu diễn ra trong cuộc sống hằng ngày và trong

nhiều công việc Nên tăng cường giảng dạy các chủ đề toán học có ứng dụng trực tiếp hơn là các chủ đề toán chỉ phục vụ cho toán học Thống kê là một chủ đề như vậy Các thông tin về chỉ số kinh tế và xã hội của các quốc gia, các cuộc thăm dò dư luận, các dữ liệu về y khoa trong cả các nghiên cứu dịch tễ học và các thử nghiệm lâm sàng, các dữ liệu về thương mại và tài chính là những ví dụ về dữ liệu trong thực tế cuộc sống hiện nay Rất nhiều công dân phải đối mặt với những dữ liệu chi tiết hơn trong công việc của mình Nông dân và các công ty nông nghiệp sử dụng các dự báo

về mùa vụ và các kết quả thử nghiệm trên đồng ruộng Các kĩ sư quan tâm đến các dữ liệu về hiệu suất, chất lượng và độ tin cậy của sản phẩm Những công nhân sản xuất được yêu cầu tăng cường việc ghi chép và tuân thủ các dữ liệu điều khiển qui trình Khoa học y tế đối mặt với các dữ liệu về chi phí và tác dụng, cũng như dữ liệu của các nghiên cứu y học Các cơ sở kinh doanh chạy theo những dữ liệu về chi phí, lợi nhuận, kế hoạch bán hàng, nghiên cứu thị trường và nhiều loại số liệu khác

Các ví dụ trên cho thấy dữ liệu không chỉ là những con số, mà là những con số gắn

với một bối cảnh Số 3,8 không đặt trong một bối cảnh nào thì không mang thông tin

gì; còn thông tin cân nặng của một đứa trẻ sơ sinh là 3,8kg cho phép chúng ta nhận

xét về kích thước to lớn của đứa trẻ Như vậy, dữ liệu tham gia vào những hiểu biết của chúng ta trong bối cảnh sao cho chúng ta có thể hiểu và giải thích được, hơn là chỉ đơn giản đưa ra những tổ chức số học

1 Ba ý tưởng bao quát khác là: Đại lượng; Không gian và hình; Thay đổi và các mối quan hệ

Vì thế, có những lí do đủ mạnh mang tính sư phạm cũng như tính thực tế để dạy thống kê trong nhà trường Thống kê phối hợp các hoạt động tính toán theo một trật tự

có ý nghĩa với các bài tập về khả năng phán đoán trong việc lựa chọn các phương pháp và giải thích các kết quả Thống kê ở mức độ ban đầu được dạy không chỉ vì mục đích của chính môn học mà còn vì đó là một cách hiệu quả để phát triển hiểu biết định lượng và để áp dụng số học và đồ thị vào giải quyết vấn đề

GV, những người hiểu rằng dữ liệu là những con số gắn với bối cảnh, sẽ luôn luôn cung cấp một bối cảnh thích hợp khi đưa ra một vấn đề cho HS Tính số trung bình

của năm con số là một bài tập của số học, không phải của thống kê Tính giá trung

bình của một đĩa nhạc thịnh hành tại năm cửa hàng phát hành băng đĩa là thống kê, đặc biệt khi được kết hợp với việc theo dõi độ phân tán của các mức giá hay so sánh với mức giá của các đĩa nhạc thuộc thể loại khác

Điều căn bản là với những thuận lợi về mặt sư phạm cũng như thực tế khi làm việc với dữ liệu, cần có một sự chọn lọc đặc biệt trong tổ chức dạy học Dữ liệu sử dụng

trong dạy học thống kê có thể có từ nhiều nguồn khác nhau Nhiều nhất là các dữ liệu

được cung cấp, các con số được cung cấp một cách dễ dàng bởi GV hay sách giáo

khoa Dữ liệu được cung cấp là hữu ích hơn đối với những HS lớn tuổi, đã có nhiều

kiến thức và kinh nghiệm để hiểu được bối cảnh của dữ liệu Thứ hai là các dữ liệu từ

lớp học, được chọn lọc từ lớp học và có liên quan chủ yếu đến HS trong lớp Thứ ba

là dữ liệu từ các cuộc thử nghiệm

GV và người phát triển chương trình cần phải vận dụng khả năng tưởng tượng trong việc cung cấp các dữ liệu có ý nghĩa cho HS Ở mức độ cao, dữ liệu từ các môn học có tính trừu tượng (như các môn khoa học) có thể được sử dụng, cho dù HS hiếm khi kết nối các dữ liệu như vậy với cuộc sống hằng ngày của các em Ở mức độ thấp hơn, dữ liệu được tạo ra bởi chính HS là tốt nhất HS có thể tạo ra dữ liệu bằng nhiều cách, như đặt các câu hỏi trong lớp học (“Gia đình bạn có bao nhiêu người”) hoặc yêu cầu mỗi HS đo, đếm hay ước lượng một vài con số

Ngoài ra, những nổ lực không thể thiếu nhằm cung cấp dữ liệu tốt (hơn là những con số đơn giản) nên được đưa vào bản miêu tả khi lập kế hoạch dạy học Dữ liệu tốt không chỉ thu hút được hoạt động của HS, mà cần mang bản chất đặc trưng của thống

kê Tuy nhiên điều quan trọng là những nổ lực cần thiết để tạo ra dữ liệu không làm

mờ đi các ý tưởng toán học được dạy và được học

Nói riêng, những cố gắng để tạo ra dữ liệu tốt về các vấn đề quan trọng bên ngoài nhà trường luôn luôn khó hơn nhiều Những kiến thức tốn nhiều thời gian và những khó khăn khi tạo ra dữ liệu có thể gây trở ngại cho GV khi dạy thống kê Những khó

khăn liên quan đến các hoạt động tạo dữ liệu hình thành nên chướng ngại đầu tiên cản

trở việc cải cách có hiệu quả Chương trình phải cung cấp cả những dữ liệu thú vị và thiết thực và những đề xuất cho việc tạo dữ liệu bởi HS Máy tính là một phương tiện

lí tưởng để lưu giữ và chia sẽ dữ liệu

Cơ hội

Nhiều hiện tượng có thể dự đoán trước được kết quả: thả một đồng xu từ một độ cao đã biết, số lần mà nó nảy lên có thể được dự đoán bởi vật lí cơ bản Ngoại trừ một sai số khá nhỏ, kết quả là chắc chắn Trái lại, nếu tung một đồng xu, chúng ta sẽ

không thể đoán trước được nó xuất hiện mặt sấp hay ngửa Kết quả là không chắc

chắn Tuy nhiên kết quả của việc tung đồng xu không phải là hú họa Nếu chúng ta

tiến hành tung đồng xu với một số lần khá lớn, tỉ lệ mặt ngửa sẽ rất gần với 0,5 Sự đều dặn lâu dài này không phải là một ý tưởng mang tính lí thuyết mà là kết quả từ quan sát thực tế:

- Nhà nghiên cứu người Pháp Buffon (1707-1788) đã tung một đồng xu 4040 lần Kết quả: 2048 lần ngửa với tỉ lệ là 0,5069

- Năm 1900, nhà thống kê người Anh Karl Pearson đã kiên trì tung một đồng xu

24000 lần Kết quả: 12012 lần ngửa với tỉ lệ là 0,5005

- Nhà toán học người Anh John Kerrich, trong thời gian bị Phát xít Đức cầm tù trong thế chiến thứ 2, đã tung một đồng xu 10000 lần Kết quả: 5067 lần ngửa với

tỉ lệ tương ứng là 0,5067

Hiện tượng mà các kết quả trong từng trường hợp riêng lẻ là không chắc chắn

nhưng các kết quả nói chung có sự lặp lại theo một qui tắc nào đó được gọi là ngẫu

nhiên Ngẫu nhiên không đồng nghĩa với hú họa mà nó là sự mô tả của một loại trật tự

khác với một trật tự xác định đã gắn liền một cách phổ biến trong khoa học và toán học Xác suất là một ngành toán học mô tả sự ngẫu nhiên

Ở trong cũng như ngoài nhà trường, HS ít có cơ hội tiếp xúc với sự ngẫu nhiên hơn là các dữ liệu Chẳng hạn, các em không gặp các lĩnh vực khoa học trong đó các hiện tượng ngẫu nhiên xuất hiện (như di truyền học hay thuyết lượng tử) cho đến hết

cấp hai Tính không chắc chắn tất nhiên là một khía cạnh phổ biến trong kinh nghiệm

của loài người, nó là một trật tự không chắc chắn rất khó để tuân theo trong một sự

sắp đặt ngẫu nhiên Ví như xổ số, rất quen thuộc với rất nhiều HS, cho ta một vài hiểu

biết về mặt trật tự của sự ngẫu nhiên Trò chơi hợp pháp về cơ hội này sử dụng bản chất thực của sự ngẫu nhiên, có thể làm con người giàu lên một cách tình cờ

Các nhà tâm lí học đã chỉ ra rằng trực giác của chúng ta về cơ hội mâu thuẫn một

cách sâu sắc với các qui luật của xác suất, cái mô tả thực chất các hiện tượng ngẫu nhiên Cách hiểu sai lệch này rất khó có thể sửa chữa bằng giảng dạy chính thống Những nỗ lực để dạy xác suất và suy luận thống kê mà không có sự chuẩn bị về mặt

trực giác một cách đầy đủ là khó khăn lớn thứ hai không ngờ tới khi đưa dữ liệu và cơ

hội vào chương trình giảng dạy trong nhà trường

Sự khác biệt giữa lí thuyết xác suất và quan điểm của HS về thế giới là do sự hạn

chế tiếp xúc với sự ngẫu nhiên Vì thế để chuẩn bị cho việc học về cơ hội, cần cho HS

tiếp xúc sớm với các hiện tượng ngẫu nhiên trong chương trình toán Rất may, việc học về dữ liệu là một sự sắp xếp tự nhiên cho những tiếp xúc như vậy Ưu thế của phân tích dữ liệu thông qua suy diễn và xác suất hình thức là nguyên lí quan trọng

trong dạy học về tính không chắc chắn

Các dụng cụ về cơ hội do con người tạo ra (đồng xu, súc sắc, con quay) có thể

được sử dụng để tạo dữ liệu trong lớp học với mục đích áp dụng các kĩ năng phân tích

dữ liệu để khám phá bản chất trật tự của các thiết bị này Tính không chắc chắn cũng xuất hiện trong dữ liệu từ những nguồn khác ngoài các dụng cụ về cơ hội Lặp lại những phép đo cho cùng một đối tượng (chẳng hạn, được thực hiện bởi một vài HS)

có thể cho nhiều kết quả khác nhau Sự biến đổi xuất hiện một cách tự nhiên trong số

đo chiều cao, điểm số bài đọc hay mức thu nhập của một nhóm người Một điều hết sức ngạc nhiên là các qui luật của sự biến đổi trong các phép đo đạc cẩn thận hay trong các dữ liệu của nhiều cá nhân được mô tả cùng một kiểu toán học với việc mô tả kết quả của các dụng cụ về cơ hội

Kinh nghiệm về sự biến đổi trong dữ liệu là bước đầu tiên hướng tới việc nhận ra

mối liên hệ giữa thống kê và xác suất Ở giai đoạn tiếp theo, vai trò của sự ngẫu nhiên

có chủ ý trong các thiết kế thống kê cho việc tạo dữ liệu sẽ cũng cố thêm mối liên hệ này Cuối cùng, các kết luận thống kê hình thức sử dụng ngôn ngữ và các lập luận của

xác suất để trình bày những cơ sở mà chúng ta có thể có trong việc đưa ra các kết luận

từ dữ liệu

Mặc dù tác dụng trong cuộc sống hằng ngày của việc thấu hiểu sự ngẫu nhiên là ít

rõ ràng hơn nhu cầu giao thiệp với dữ liệu, tuy nhiên những lập luận thực tế cho dạy

học về cơ hội là không thể thiếu Một mục đích của việc dạy học xác suất là giúp HS hiểu rằng sự biến đổi của cơ hội giải thích được nhiều mặt của thế giới hơn là các kết

quả xác định

Giả sử rằng qua một mùa giải, một vận động viên bóng rổ thành công 70% các quả ném bóng tự do Vào cuối vòng loại, cô ấy thực hiện 5 quả ném bóng tự do và chỉ thành công

2 quả “Thật đáng lo ngại”, người hâm mộ bày tỏ Nhưng những giải thích cần thiết cho

hệ quả đó là không chính xác Một vận động viên với xác xuất thành công trong các quả ném bóng là 0,7 có xác suất ném hỏng 3 quả trở lên trong 5 quả vào khoảng 0,16 Như vậy thành tích đạt được có thể đơn giản chỉ là một sự biến đổi về cơ hội

Những hiểu biết về xác suất cho phép chúng ta chú ý đến vai trò của cơ hội hơn là

cố tìm kiếm một lí do cụ thể, thường là không xác thực, cho mỗi sự kiện

Từ dữ liệu đến kết luận

Có một vài nguyên tắc tổ chức giúp chúng ta xem các nghiên cứu toán học về dữ

liệu và cơ hội như là một khối gắn liền Một nguyên tắc đó là chuỗi các ý tưởng từ

phân tích dữ liệu, tạo dữ liệu, xác suất và kết luận

 Phân tích dữ liệu: liên quan đến tổ chức, mô tả, và tổng kết dữ liệu

 Tạo dữ liệu: thường trả lời các câu hỏi đặc trưng về một vài tổng thể lớn

 Xác suất: mô tả toán học của sự ngẫu nhiên

 Kết luận: sự suy ra các kết luận từ dữ liệu

Chuỗi các chủ đề này trình bày cả sự phát triển theo lôgic của các lĩnh vực và những khái niệm ở mức độ khó Vì thế nó đưa ra trình tự chung cho sự xuất hiện của các chủ đề thống kê trong chương trình giảng dạy Tất nhiên, chủ đề sau cùng sẽ xuất

hiện một cách quen thuộc từ phần đầu trong bối cảnh của phân tích dữ liệu Kiến thức

về tạo dữ liệu – đặc biệt, kiến thức về kết quả ngẫu nhiên – có thể xuất hiện ngay ở mức độ sớm nhất Cũng như thế, những kết luận thông thường dựa vào dữ liệu nên

được khuyến khích từ một giai đoạn sớm

Hiển nhiên, xác suất không đơn thuần chỉ là một phần của thống kê Bởi cả khái niệm xác xuất lẫn những cơ sở lập luận toán học cơ bản về xác suất có thể được giới

thiệu từ tiểu học ngay khi HS có những hiểu biết về phân số Tuy nhiên, xác suất có

một vị trí tự nhiên trong chuỗi các ý tưởng thống kê Các thiết kế thống kê cho việc

tạo dữ liệu được tiêu biểu bằng việc sử dụng có chủ ý cơ hội trong các mẫu ngẫu

nhiên và được sắp xếp ngẫu nhiên trong các thử nghiệm so sánh Đây là cơ hội cung cấp nhiều kinh nghiệm về sự ngẫu nhiên và tiến đến một nghiên cứu về sự biến đổi

ngẫu nhiên trong các tóm lược bằng số (các số đặc trưng, chẳng hạn số trung bình)

Cả sự mô phỏng và sự chọn lọc ngẫu nhiên theo quy luật tự nhiên cũng có thể được sử

dụng (Moore, D.S, 1990, [26])

1.2 Xu hướng kết nối toán học với cuộc sống

Có thể khẳng định rằng đại đa số người học toán là để sử dụng toán vào giải quyết

các vấn đề trong thực tế cuộc sống và trong công việc Chính vì thế mà những chủ trương trong giáo dục toán với thứ toán học hàn lâm, xa lạ với thực tiễn ở thập niên 70 của thế kỉ trước đã sớm nhận thất bại Xu hướng cải cách toán học sau đó, và đã được

phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay, là làm cho toán học gần với cuộc sống hơn

Cải cách giáo dục mới trong lĩnh vực toán học ở Đài Loan cũng cho rằng mục tiêu học tập chính là cho HS “học cách làm thế nào để giải quyết các vấn đề ứng dụng thực tế” Lí thuyết kiến tạo cũng khẳng định rằng HS nên khám phá và xây dựng nên chính kiến thức của mình GV cần khắc phục lỗ hổng giữa việc học kiến thức toán và giải quyết các vấn đề trong thế giới thực

NCTM (2000, [29, tr 22]) đã xác định rằng: “Chương trình toán nên rời xa truyền thống tập trung vào những kiến thức toán không theo bối cảnh” Lí thuyết Giáo dục toán theo thực tế được phát triển ở Hà Lan đưa ra hai nguyên tắc: (1) toán học phải được gắn kết với thế giới thực và (2) toán học nên được xem như là hoạt động của con người (Vogel, R & Ludwigsburg, 2005, [38])

PISA là một chương trình đánh giá HS quốc tế có hình thức và tiêu chuẩn đánh giá phù hợp với xu hướng mới trong giáo dục Một trong các lĩnh vực mà PISA tập trung

đánh giá là hiểu biết toán, với sự nhấn mạnh về khả năng thiết lập, giải quyết các vấn

đề, hay đơn giản chỉ là giải thích các hiện tượng, sự kiện xuất hiện trong những bối cảnh khác nhau mà ở đó cần có sự can thiệp của toán học Cụ thể hơn, PISA chú trọng đánh giá các năng lực toán mà HS sử dụng khi giải quyết các vấn đề gặp phải trong cuộc sống hằng ngày

2 Nền tảng lí thuyết

2.1 Hiểu biết toán

PISA là chương trình đánh giá HS quốc tế do tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh

tế (gọi tắt là OECD) tiến hành bắt đầu từ năm 1997 nhằm đánh giá việc chuẩn bị cho

HS mười lăm tuổi đáp ứng với những thách thức của xã hội ngày nay Hiểu biết toán

là một trong bốn lĩnh vực được PISA chọn để đánh giá, cùng với ba các lĩnh vực khác

là: đọc hiểu, hiểu biết khoa học và giải quyết vấn đề

Lĩnh vực hiểu biết toán, theo OECD/PISA, được hiểu là những khả năng của HS

để phân tích, suy luận và giao tiếp các ý tưởng một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, giải và giải thích các vấn đề toán học trong nhiều tình huống khác nhau, từ những tình huống toán học thuần túy đến những tình huống mà mới thoạt đầu ta không thấy

có cấu trúc toán học nào Nói cách khác, hiểu biết toán là khả năng áp dụng các kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản một cách sáng tạo, hiệu quả vào những tình huống khác nhau của cuộc sống Để làm tốt điều này, HS cần nắm vững các kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản

Một khía cạnh quan trọng của hiểu biết toán là sự gắn kết với toán học, đó là năng lực sử dụng và làm toán trong nhiều tình huống khác nhau

Định nghĩa về hiểu biết toán của OECD/PISA là:

Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh (OECD, 2003, [30])

2.2 Các năng lực hiểu biết toán

Theo PISA, những quá trình toán học mà HS áp dụng khi các em nổ lực giải quyết vấn đề được hiểu là các năng lực toán học Các năng lực toán học là hạt nhân của hiểu biết toán Để xác định và kiểm tra những năng lực này, PISA đã sử dụng tám năng lực

toán học sau đây (OECD, 2003, [30, tr 40-41]):

1 Tư duy và suy luận Năng lực này liên quan đến việc đặt các câu hỏi đặc trưng

của toán (“Có hay không…?”, “Nếu như vậy, có bao nhiêu?”, “Làm thế nào chúng ta tìm ?”); biết loại câu trả lời mà toán học có thể đáp ứng cho những câu hỏi như vậy; phân biệt các loại mệnh đề khác nhau (định nghĩa, định lý, phỏng đoán, giả thuyết, ví dụ, khẳng định có điều kiện); hiểu và xác định phạm

vi cũng như các hạn chế của các khái niệm toán đã cho

2 Lập luận Năng lực này liên quan đến việc biết chứng minh toán học là gì và

phân biệt với các loại suy luận khác; theo dõi và đánh giá các chuỗi lập luận toán; trình bày các lập luận toán

3 Giao tiếp Năng lực này liên quan đến việc bộc lộ quan điểm của bản thân về

các vấn đề có nội dung toán theo nhiều cách (nói hoặc viết) và hiểu khi người khác trình bày về những vấn đề như vậy

4 Mô hình hóa Năng lực này liên quan đến việc tổ chức tình huống để mô hình

hóa; chuyển “thực tế” thành các cấu trúc toán; giải thích các mô hình toán học theo nghĩa “thực tế”; làm việc với các mô hình; làm cho mô hình thỏa đáng; phản ánh, phân tích, đưa ra sự phê phán mô hình cùng với các kết quả; giám sát và điều khiển quá trình mô hình hóa

5 Đặt vấn đề và giải Năng lực liên quan đến việc đặt, thiết lập và xác định

những loại khác nhau của các vấn đề toán (ví dụ: “thuần túy toán”, “ứng dụng”, “kết thúc mở” và “đóng”); và giải quyết nhiều dạng bài toán khác nhau theo nhiều cách

6 Biểu diễn Năng lực này liên quan đến việc giải mã, mã hóa, chuyển đổi, giải

thích và phân biệt giữa các dạng khác nhau của các biểu diễn của những đối tượng và tình huống toán học; hiểu mối quan hệ bên trong giữa các biểu diễn khác nhau; chọn và chuyển dịch giữa các dạng khác nhau của biểu diễn tùy theo bối cảnh và mục đích

7 Sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, thuật ngữ toán học và các phép toán Năng lực

này liên quan đến việc giải mã và giải thích các ngôn ngữ kí hiệu, thuật ngữ toán học, và hiểu được mối quan hệ của nó với ngôn ngữ tự nhiên; chuyển thể ngôn ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ kí hiệu hay thuật ngữ toán học; xử lí các mệnh đề và biểu thức chứa các kí hiệu và công thức; dùng các biến số, giải các phương trình và thực hiện các phép tính

8 Sử dụng các công cụ hỗ trợ Năng lực này liên quan đến việc biết và có khả

năng sử dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau (bao gồm công cụ công nghệ thông tin) có thể trợ giúp cho hoạt động toán, biết các hạn chế của những loại công cụ đó

2.3 Các cụm năng lực hiểu biết toán

PISA chọn các hoạt động nhận thức để mô tả các năng lực toán trên theo ba cụm

năng lực: cụm tái tạo, cụm liên kết và cụm phản ánh Ba cụm năng lực gói gọn các

quá trình nhận thức khác nhau cần để giải quyết nhiều dạng vấn đề, phản ánh cách thức các quá trình toán học tiêu biểu được huy động để giải quyết các vấn đề nảy sinh khi HS tương tác với thế giới của mình (OECD, 2003, [30, tr 41-46]):

• Cụm tái tạo: Những năng lực trong cụm này liên quan chủ yếu đến sự tái tạo

của kiến thức đã được thực hành Chúng bao gồm những điều thường hay được dùng nhiều nhất trong các đánh giá chuẩn hóa và kiểm tra ở lớp Những năng lực này là:

- Kiến thức về các sự kiện và sự biểu diễn các vấn đề chung;

- Sự nhận ra các tương đồng;

- Thu thập lại những đối tượng và tính chất toán học quen thuộc;

- Sự thể hiện các quy trình quen thuộc;

- Áp dụng các thuật toán thông thường và kĩ năng có tính kĩ thuật;

- Thao tác với các biểu thức chứa kí hiệu và công thức theo dạng chuẩn;

- Tiến hành các tính toán

• Cụm liên kết: Các năng lực cụm liên kết được xây dựng trên các năng lực cụm

tái tạo bằng cách đưa giải quyết vấn đề vào các bối cảnh không hoàn toàn quen thuộc nhưng vẫn có liên quan đến cấu trúc gần như quen thuộc Những câu hỏi kết hợp với cụm này thường đòi hỏi một vài chứng cứ về sự tích hợp và liên kết tài liệu từ nhiều ý tưởng bao quát hay từ các mạch kiến thức chương trình khác nhau, liên kết giữa các biểu diễn khác nhau của một vấn đề và mở rộng khiêm tốn các tài liệu đã thực hành

• Cụm phản ánh: Các năng lực cụm phản ánh tập trung vào khả năng của HS

phản ánh về các phương án giải quyết vấn đề hay sử dụng chúng để thiết lập các tiếp cận có tính sáng tạo hơn những gì mà HS đã được thực hành một cách thành thạo Đánh giá liên quan đến cụm phản ánh gồm có các suy luận bậc cao, lập luận, trừu tượng hóa, tổng quát hóa và xây dựng mô hình

Người ta có thể dùng các mô tả trên để phân loại các câu hỏi toán và sắp xếp chúng vào một trong các cụm năng lực Một cách để làm điều đó là phân tích các yêu cầu của câu hỏi, rồi đánh giá từng năng lực trong tám năng lực cho câu hỏi này Cụm năng lực nào cung cấp mô tả phù hợp nhất về các yêu cầu của câu hỏi trong mối liên quan với các năng lực đang xét thì câu hỏi sẽ được xếp vào cụm năng lực đó Đây sẽ là cơ

sở của việc phân tích bộ đề kiểm tra được dùng để thực nghiệm cho luận văn này

2.4 Biểu diễn – Biểu diễn bội

Biểu diễn nói chung có thể có ý nghĩa khác nhau trong các bối cảnh khác nhau

Thực tế, tồn tại hai loại biểu diễn: biểu diễn ngoài (thế giới thực) và biểu diễn trong

(trí óc) Biểu diễn ngoài có thể hiểu là một tổ chức của các hình ảnh, kí hiệu (dấu hiệu trên giấy, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, đồ thị, phác thảo hình học, các phương trình), các đặc trưng hay các đối tượng cụ thể đại diện, mô tả, tượng trưng hay trình bày cho một đối tượng hay một qui trình Các biểu diễn trong là các hình ảnh được tạo nên trong trí

óc của con người về các đối tượng và các quá trình toán học Ở phần này, khi nói đến biểu diễn ta chỉ xét đến biểu diễn ngoài

Biểu diễn có những vai trò cực kì quan trọng trong giáo dục toán Biểu diễn như là

một phương pháp tư duy - tư duy thông qua những gì được biểu diễn; biểu diễn như là

một phương pháp ghi nhớ - ghi nhớ những gì được tư duy thông qua các biểu diễn; biểu diễn là một phương pháp quan trọng để trao đổi thông tin

Các kiểu biểu diễn trong giáo dục toán theo Tadao Nakahara (2007, [37]) có thể được tổ chức thành năm dạng sau:

1) Biểu diễn thực

Các biểu diễn dựa trên trạng thái thực của đối tượng Loại biểu diễn này có thể tác động trực tiếp, hết sức cụ thể và tự nhiên

2) Biểu diễn bằng vật liệu thao tác được

Chúng như là những công cụ hỗ trợ dạy học Đó là sự thay thế hay các mô hình giả về đối tượng mà HS có thể tác động trực tiếp Loại biểu diễn này có thể tác động, có phần cụ thể và giả tạo

3) Biểu diễn bằng ngôn ngữ

Là các biểu diễn sử dụng ngôn ngữ hằng ngày để diễn đạt (nói hoặc viết) Loại biểu diễn này bị chi phối bởi các quy ước, nhưng thiếu tính ngắn gọn, súc tích Mặt khác, biểu diễn này có tính mô tả và có thể tạo nên cảm giác quen thuộc

4) Biểu diễn bằng hình ảnh

Các biểu diễn sử dụng tranh minh họa, sơ đồ, đồ thị, biểu đồ Đây là loại biểu diễn giàu tính trực quan và sinh động

5) Biểu diễn bằng kí hiệu

Là các biểu diễn sử dụng kí hiệu toán học như số, kí tự, biểu tượng Loại biểu diễn bị chi phối bởi nhiều qui tắc này hết sức súc tích và rõ ràng

Các biểu diễn là một công cụ mạnh để khám phá các vấn đề toán học; cho phép HS trao đổi các cách tiếp cận bài toán, các lập luận và việc hiểu của các em; giúp HS nhận thấy ý nghĩa của các khái niệm toán học và mối quan hệ giữa chúng; áp dụng toán vào những vấn đề thực tế (NCTM, 2000, [29])

Biểu diễn bội là các biểu diễn ngoài khác nhau của cùng một khái niệm toán học

(Trần Vui, 2009a, [5])

3 Các nghiên cứu liên quan

3.1 Suy luận thống kê

Thống kê mang lại cho giáo dục toán những điều hết sức cơ bản và quan trọng:

suy luận từ dữ liệu thực nghiệm không chắc chắn

Để tránh những nhầm lẫn trong nhận thức dẫn đến sự thiếu rõ ràng trong mục tiêu học tập, trong thiết kế các hoạt động dạy học và trong đánh giá, trước hết ta cần làm

rõ sự giống và khác nhau cơ bản của các khái niệm sau:

• Hiểu biết thống kê bao gồm các kĩ năng cơ bản và quan trọng có thể được dùng

trong việc hiểu các thông tin thống kê và các kết quả nghiên cứu thống kê Những kĩ năng đó là khả năng tổ chức dữ liệu, thiết lập và thể hiện các bảng, làm việc với các dạng biểu diễn khác nhau của dữ liệu Hiểu biết thống kê cũng bao gồm việc hiểu các khái niệm, các thuật ngữ, các kí hiệu và bao gồm việc hiểu về xác suất như là một thước đo tính không chắc chắn

• Suy luận thống kê có thể được định nghĩa như là cách con người suy luận với

các ý tưởng thống kê và làm cho thông tin thống kê trở nên có ý nghĩa Điều này liên quan đến việc đưa ra các lí giải dựa trên các tập dữ liệu, các biểu diễn của dữ liệu, hay các số đặc trưng của dữ liệu Suy luận thống kê có thể bao gồm việc kết nối một khái

niệm với một khái niệm khác (chẳng hạn, tâm và độ phân tán), hay có thể kết hợp các

ý tưởng về dữ liệu và cơ hội Suy luận thống kê cũng có nghĩa là hiểu và có thể giải thích các qui trình thống kê và có khả năng lí giải đầy đủ các kết quả thống kê Suy luận thống kê được xem như những liên kết và những biểu diễn thuộc về trí tuệ mà

HS có về các khái niệm thống kê

• Tư duy thống kê liên quan đến một tư duy bậc cao hơn suy luận thống kê. Nó

bao gồm việc hiểu như thế nào và tại sao sử dụng một phương pháp, một phép đo đạc,

một thiết kế hay một mô hình thống kê cụ thể nào đó; hiểu sâu sắc các lí thuyết cơ bản

về các quy trình và các phương pháp thống kê; cũng như hiểu sự hạn chế của thống kê

và các kết luận thống kê Tư duy thống kê cũng bao gồm việc hiểu các mô hình được

sử dụng để mô phỏng các hiện tượng ngẫu nhiên như thế nào, dữ liệu được đưa ra để đánh giá xác suất như thế nào, các công cụ suy luận trợ giúp một quá trình điều tra như thế nào, khi nào và tại sao cần đến chúng Tư duy thống kê cũng liên quan đến khả năng hiểu và tận dụng bối cảnh của vấn đề trong định hình khảo sát và đưa ra các kết luận Cuối cùng, tư duy thống kê được xem như việc sử dụng có tính quy chuẩn các mô hình, các phương pháp và các ứng dụng thống kê trong việc nhận ra và giải quyết các vấn đề thống kê (Joan B Garfield, Dani Ben-Zvi, 2008, [22])

Trong giáo dục thống kê, suy luận thống kê là lĩnh vực rất được quan tâm và chú ý

phát triển cho HS Garfield và Gal (1999, [21]) đã mô tả suy luận thống kê như là một mục đích bao quát trong giáo dục thống kê với nhiều loại suy luận cụ thể, đó là:

- Suy luận với dữ liệu: Nhận ra hay phân loại các dữ liệu như định lượng hay định

tính, rời rạc hay liên tục, và biết ý nghĩa của những con số thống kê

- Suy luận với các biểu diễn của dữ liệu: Biết phân biệt dữ liệu nào cần biểu diễn

bằng loại biểu đồ nào Hiểu cách thức sử dụng một hình ảnh có nghĩa để thể hiện một mẫu, hiểu cách đọc và giải thích một biểu đồ, biết làm thế nào để mô phỏng một biểu đồ tốt hơn khi thể hiện một tập dữ liệu, và có khả năng thấy được các yếu

tố ngẫu nhiên trong một phân bố để nhận ra các đặc trưng chung như hình dáng, tâm và độ phân tán

- Suy luận với các số đo thống kê: Hiểu các số đo về tâm, số đo độ phân tán có ý

nghĩa như thế nào đối với một tập dữ liệu; biết cái gì là tốt nhất để sử dụng trong các điều kiện khác nhau và chúng thể hiện hay không thể hiện một tập dữ liệu như

thế nào; hiểu được việc sử dụng các số đặc trưng về các dự báo sẽ chính xác hơn

đối với những mẫu lớn hơn là những mẫu nhỏ; biết rằng một tập dữ liệu có các số đặc trưng tốt là các số đo tâm cũng như số đo độ phân tán và biết rằng các số đặc trưng về tâm và độ phân tán có thể hữu ích cho việc so sánh các tập dữ liệu

- Suy luận với các sự kiện không chắc chắn: Hiểu và sử dụng các ý tưởng về sự

ngẫu nhiên và cơ hội để đưa ra đánh giá về các sự kiện không chắc chắn; biết rằng tất cả các khả năng xảy ra là không đồng đều như nhau; biết làm thế nào để xác định sự giống nhau của các sự kiện khác nhau bằng một phương pháp phù hợp

- Suy luận với các mẫu: Biết mẫu liên quan đến tổng thể như thế nào và những gì

có thể ảnh hưởng đến một mẫu Chọn mẫu tốt sẽ thể hiện chính xác hơn một tổng thể Có những cách chọn mẫu có thể không đại diện được cho tổng thể và cảnh giác khi đưa ra những kết luận dựa trên những mẫu nhỏ hay thiên vị

- Suy luận với sự kết hợp: Biết đánh giá và lí giải một mối quan hệ giữa hai biến số

như thế nào, biết xác định và giải thích các mối quan hệ song phương và biết rằng một quan hệ tương hỗ giữa hai biến số không có nghĩa là biến này tác động lên biến kia

Để phát triển những năng lực suy luận thống kê như đã nêu ở trên, nhiều nhà giáo dục toán đã tìm cách phát triển tư duy thống kê thay vì dạy các kiến thức riêng lẻ Mục đích của giáo dục toán hiện đại là quan tâm nhiều đến việc sử dụng càng nhiều

dữ liệu và khái niệm, giảm bớt lí thuyết, kĩ thuật và nuôi dưỡng cách học tích cực với mục đích dành cho suy luận thống kê

cơ sở, trong thống kê, bối cảnh cung cấp ý nghĩa cho các con số và dữ liệu không thể được phân tích một cách đầy ý nghĩa mà không dành sự xem xét cẩn thận đến bối cảnh của chúng: chúng được thu thập như thế nào và chúng thể hiện điều gì (Cobb & Moore, 1997, [11])

Xu hướng hiện nay, các nhà thống kê xem thống kê như là một môn học riêng biệt, tồn tại riêng rẽ với toán học Có một vài đề nghị rằng thống kê nên thực sự được xem như là một trong những môn học cung cấp kiến thức văn hóa phổ thông Thống kê liên quan đến những cách tư duy mạnh mẽ và riêng biệt: “Thống kê là một phương pháp trí tuệ phổ biến áp dụng với dữ liệu, sự biến đổi và cơ hội xuất hiện ở bất kì đâu

Nó là một phương pháp cơ bản bởi dữ liệu, sự biến đổi và cơ hội có mặt khắp mọi nơi trong cuộc sống hiện đại Nó là một môn học độc lập với chính những ý tưởng trung tâm của nó hơn là một nhánh của toán học” (Moore, 1998, [28, tr 1254])

Rossman, Chance và Medina (2006, [35]) đã chỉ ra nhiều sự khác biệt quan trọng khác giữa toán học và thống kê, kết luận rằng hai môn học liên quan đến các loại kĩ năng trí tuệ và suy luận khác nhau Đã có báo cáo rằng HS thường có những phản ứng khác nhau khi học toán và học thống kê, rằng sự chuẩn bị của các GV thống kê cần đến nhiều kinh nghiệm khác hơn là những chuẩn bị của người dạy toán, như phân tích

dữ liệu thực, xử lí sự hỗn độn và biến đổi của dữ liệu, hiểu vai trò của việc kiểm tra các điều kiện để xác định xem các giả định là hợp lí hay không khi giải quyết một vấn

đề thống kê và trở nên quen thuộc với các phần mềm thống kê

Trong so sánh suy luận toán học với suy luận thống kê của mình, delMas (2004, [15]) giải thích rằng mặc dù hai dạng suy luận này tồn tại nhiều điểm giống nhau, có nhiều khác biệt dẫn đến những loại sai lầm khác nhau Ông cho rằng suy luận thống

kê muốn được nuôi dưỡng và phát triển phải trở thành một mục tiêu rõ ràng của dạy học Ông cũng đề nghị các kiến thức trong lớp học thống kê nên giảm bớt sự tập trung

vào việc học tính toán và các thủ tục, chú ý nhiều hơn vào các hoạt động giúp học sinh phát triển việc hiểu sâu sắc về các qui trình và các ý tưởng có tính xác suất Một cách để thực hiện điều này là gắn việc học vào các hoạt động tự nhiên và trực quan để giúp HS phát triển việc hiểu các khái niệm và suy luận trừu tượng

Để thúc đẩy suy luận thống kê, Moore (1998, [28]) khuyên HS phải trực tiếp trải qua việc thu thập dữ liệu và khám phá dữ liệu Những trải nghiệm này nên bao gồm những thảo luận về việc dữ liệu được tạo ra như thế nào, bằng cách nào và tại sao các số đặc trưng phù hợp được lựa chọn, các kết luận có thể được đưa ra và giải thích như thế nào Tóm lại, có thể nhiều khía cạnh của suy luận thống kê và suy luận toán học là rất giống nhau Tuy nhiên, những yêu cầu trong nhiệm vụ của mỗi môn học có thể tạo nên các nguồn gốc khác nhau của suy luận sai lầm Trong khi việc dạy có thể được dẫn dắt và tạo thuận lợi bởi bối cảnh trong cả hai môn học, thực hành thống kê phụ thuộc nhiều vào bối cảnh thế giới thực trong khi thực hành toán học có xu hướng xa rời bối cảnh thế giới thực Sự phụ thuộc vào bối cảnh trong suy luận thống kê có thể dẫn đến những sai lầm trong suy luận, một vài trong số đó rất khó để khắc phục ngay

cả đối với các chuyên gia giỏi và có nhiều kinh nghiệm

3.3 Bốn quá trình then chốt trong suy luận thống kê

Mô tả dữ liệu

Quá trình này gồm việc đọc rõ ràng các dữ liệu thô (chưa qua xử lí), dữ liệu trong các bảng, biểu đồ, hay các biểu diễn bằng đồ thị Có thể xem “việc đọc dữ liệu” như giai đoạn đầu của việc phiên dịch và phân tích dữ liệu Khả năng đọc những hiển thị của dữ liệu trở thành cơ sở cho việc bắt đầu tạo ra các dự đoán và tìm ra các xu hướng Hai quá trình sau liên quan đến việc mô tả dữ liệu: (a) chỉ ra những nhận thức

về các đặc tính hiển thị và (b) xác định đơn vị của các giá trị dữ liệu

Tổ chức dữ liệu

Quá trình này gồm việc sắp xếp, phân loại hay hợp nhất dữ liệu thành một dạng tóm tắt Cũng như khả năng mô tả các hiển thị của dữ liệu, khả năng tổ chức dữ liệu là hết sức quan trọng cho việc học cách phân tích và phiên dịch dữ liệu Việc sắp xếp dữ liệu vào các cụm hay các nhóm có thể làm sáng tỏ các qui luật hay các xu hướng trong

dữ liệu Các số đo tâm và độ phân tán là hữu ích trong việc tạo ra những so sánh giữa các tập dữ liệu Ba quá trình sau nói đến việc tổ chức dữ liệu: (a) phân nhóm dữ liệu, (b) tóm tắt dữ liệu về tâm và (c) mô tả sự phân tán của dữ liệu

Trình bày dữ liệu

Quá trình này liên quan đến việc hiển thị dữ liệu dạng biểu đồ Friel, Curcio và Bright (2001, [18, tr 145]) cho rằng cảm giác biểu đồ cần đến trong việc trình bày dữ liệu “bao gồm việc xem xét cái gì tham gia trong việc dựng các biểu đồ như là các

công cụ cấu trúc dữ liệu và quan trọng hơn, cái gì là sự lựa chọn tối ưu cho một biểu

đồ trong tình huống đưa ra” Trình bày dữ liệu, giống hai quá trình trước, là rất quan trọng trong phân tích và phiên dịch dữ liệu Kiểu hiển thị được dùng và cách dữ liệu được trình bày sẽ quyết định việc đưa ra các xu hướng và các dự báo Cũng như vậy, những hiển thị dữ liệu khác nhau có thể truyền tải những ý tưởng khác nhau về cùng một dữ liệu Hai quá trình sau là cơ sở cho trình bày dữ liệu: (a) hoàn thành hay dựng một hiển thị cho tập hợp dữ liệu được đưa ra và (b) đánh giá tác dụng của các hiển thị

dữ liệu trong việc trình bày dữ liệu

Phân tích và phiên dịch dữ liệu

Quá trình này là cốt lõi của suy luận thống kê, bao gồm việc nhận ra các qui luật

và các xu hướng trong dữ liệu, đưa ra những kết luận và dự báo từ dữ liệu Nó kếp

hợp chặt chẽ hai quá trình: (a) việc đọc từ dữ liệu và (b) việc đọc vượt ra khỏi dữ liệu Quá trình trước liên quan đến việc sử dụng các tổ chức toán học để phối hợp, kết hợp

và so sánh dữ liệu; quá trình sau đòi hỏi HS đưa ra các kết luận và dự báo từ dữ liệu bằng việc khai thác các giản đồ thông tin hiện có, điều không được nói đến một cách

rõ ràng trong dữ liệu

3.4 Vai trò của biểu diễn bội trong dạy học toán

Vai trò tích cực của biểu diễn bội đối với việc học của HS đã từng được đưa ra bởi nhiều nhà giáo dục Việc tìm ra các biểu diễn tạo thuận lợi cho hầu hết các vấn đề trong lớp học được xem là một thành tích về trí tuệ chủ yếu, điều đó ít khi được đánh giá một cách đúng mức như là một sự tham gia đầy ý nghĩa của cả nổ lực giải quyết vấn đề trong khoa học và nổ lực trong các thiết kế dạy học

Các biểu diễn bội trong dạy học toán có tác dụng thúc đẩy việc hiểu khái niệm toán của HS Một HS có thể chứng tỏ việc hiểu sâu sắc một khái niệm bằng cách chuyển một biểu diễn của khái niệm đó sang một kiểu biểu diễn khác Chẳng hạn, yêu cầu một HS trình bày lại một vấn đề theo cách diễn đạt của mình, vẽ biểu đồ để minh họa cho vấn đề, hay thực hiện vấn đề là một vài cách của việc chuyển đổi giữa các biểu diễn Kĩ năng chuyển đổi giữa các kiểu biểu diễn khác nhau này có thể khuyến khích

tư duy liên hệ và suy luận đại số (Suh & Moyer, 2007, [36])

Theo Elia và Gagatsis (2006, [16]), vai trò của các biểu diễn trong việc hiểu và việc học toán là vấn đề trung tâm của viêc dạy toán Khía cạnh quan trọng nhất của vấn đề này đề cập đến tính đa dạng của các biểu diễn cho cùng một khái niệm toán học, mối liên hệ giữa chúng và sự chuyển đổi từ kiểu biểu diễn này sang kiểu biểu diễn khác Gagatsis và Shiakalli (2004, [20]) và Ainsworth (2006, [9]) cho rằng các biểu diễn khác nhau của cùng một khái niệm bổ sung cho nhau và góp phần cho việc hiểu sâu sắc và toàn diện hơn khái niệm đó Việc hiểu một khái niệm toán học bao gồm khả

năng nhận ra khái niệm đó khi nó được biểu thị với một loạt các hệ thống biểu diễn khác nhau về bản chất, khả năng xử lí linh hoạt khái niệm trong các hệ thống biểu diễn cụ thể, khả năng chuyển khái niệm từ hệ thống biểu diễn này sang hệ thống biểu diễn khác (Lesh, Post & Behr, 1987, [24]) Trong giáo dục thống kê, sự quan tâm tập trung vào cả các loại biểu diễn khác nhau và sự chuyển đổi giữa chúng

Trong giải quyết một vấn đề ứng dụng của toán học, HS cần quan sát và tìm ra các qui luật, qui tắc đặc trưng bên trong vấn đề Từ đó hệ thống hóa một vấn đề ứng dụng cụ thể thành một vấn đề toán học trừu tượng Trong quá trình này, HS phải có kĩ năng biểu diễn bội để khớp nối các vấn đề cùng loại trong những cách nhìn và hình thức khác nhau Nhiều nghiên cứu cho thấy kĩ năng biểu diễn tốt của HS là chìa khóa để thu được lời giải thành công trong giải quyết vấn đề (Gagne, 1985, [19]; Mayer, 1992, [25]) Tuy nhiên, nhiều nhà nghiên cứu chỉ ra rằng hầu hết HS mắc lỗi trong việc nắm bắt các liên hệ quan trọng giữa các loại biểu diễn khác nhau (Ainsworth, 1999, [8]) Lesh (1987, [24]) đã đề xuất một quá trình ba bước cho giải quyết vấn đề: (1) chuyển những phát biểu bằng miệng hay văn bản sang kiểu toán học; (2) biến đổi kiểu toán học sang kí hiệu số học; (3) giải thích kết quả bằng văn bản hay nói miệng Trong đó Lesh nhấn mạnh tầm quan trọng của năng lực chuyển đổi giữa các biểu diễn khác nhau trong giải quyết các vấn đề ứng dụng

Những lí do tạo nên vai trò của biểu diễn bội có thể được tóm gọn như sau:

• Nhiều khả năng nhận thức khác nhau: HS học theo nhiều cách khác nhau, các

biểu diễn khác nhau phù hợp với những kiểu học khác nhau đó

• Sự hình dung cho trí tuệ: Các con số và các khái niệm thường có thể được hình

dung và hiểu tốt hơn khi dùng các biểu diễn cụ thể

• Tạo nên một loại biểu diễn khác: Nhiều biểu diễn cụ thể có tác dụng trong việc

tạo nên một biểu diễn trừu tượng hơn

• Một vài biểu diễn hữu ích cho suy luận định tính: Suy luận định tính thường

được trợ giúp bằng cách dùng một biểu diễn cụ thể

• Các biểu diễn toán học trừu tượng dùng cho suy luận định lượng: Một biểu diễn

toán học có thể được dùng để tìm ra một câu trả lời định lượng của một vấn đề

Tóm tắt chương 2: Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một số vần đề liên

quan đến lịch sử đề tài, nền tảng lí thuyết dựa theo khuôn khổ đánh giá toán của PISA,

và trình bày một số kết quả nghiên cứu liên quan đến đề tài như: suy luận thống kê, thống kê với toán học, bốn quá trình then chốt trong suy luận thống kê, vai trò của biểu diễn bội trong dạy học toán Từ cơ sở và các định hướng này, chúng tôi sẽ thiết

kế quá trình nghiên cứu trong chương tiếp theo

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU

1 Thiết kế nghiên cứu

Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng các thiết kế nghiên cứu sau:

Thứ nhất, chúng tôi chọn thiết kế nghiên cứu lịch sử Thiết kế nghiên cứu này là

cần thiết trong việc khảo cứu một số vấn đề liên quan đến suy luận về tính không chắc chắn, vai trò của biểu diễn bội, cũng như một số cơ sở lí thuyết liên quan đến đề tài nghiên cứu góp phần trả lời các câu hỏi nghiên cứu của luận văn

Thứ hai, chúng tôi chọn thiết kế nghiên cứu khảo sát Với thiết kế nghiên cứu này,

chúng tôi muốn thăm đò và tìm hiểu các năng lực toán mà HS tuổi mười lăm thể hiện khi giải quyết các vấn đề thực tế có liên quan đến tính không chắc chắn Khảo sát được tiến hành vào khoảng cuối tháng 3, đầu tháng 4 năm 2011 (lúc này HS lớp 10 đang ở độ tuổi 15 – phù hợp với độ tuổi của HS tham gia chương trình đánh giá PISA), trên mẫu gồm 225 HS lớp 10 của năm trường THPT trên địa bàn tỉnh Quảng

Trị bằng hai công cụ điều tra chính là Bộ đề kiểm tra và Bảng hỏi

2 Đối tượng tham gia

Đối tượng tham gia nghiên cứu này gồm 225 HS đang theo học lớp 10 ở năm trường THPT trên địa bàn tỉnh Quảng Trị, cụ thể là:

 44 HS lớp 10B2 Trường THPT Vĩnh Định, huyện Triệu Phong, tỉnh Quảng Trị

 46 HS lớp 10B3 Trường THPT Thị xã Quảng Trị, thị xã Quảng Trị, tỉnh Quảng Trị

 44 HS lớp 10A2 Trường THPT Hải Lăng, huyện Hải Lăng, tỉnh Quảng Trị

 46 HS lớp 10A2 Trường THPT Lê Lợi, thành phố Đông Hà, tỉnh Quảng Trị

 45 HS lớp 10A5 Trường THPT Đông Hà, thành phố Đông Hà, tỉnh Quảng Trị Với thiết kế nghiên cứu khảo sát, việc chọn lựa mẫu sẽ ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả khảo sát và chất lượng của các tổng quát hóa sau này Vì thế, chúng tôi cố gắng lựa chọn thành phần của mẫu có sự trải đều về mặt địa lý ở các vùng miền, mỗi lớp 10 được chọn ngẫu nhiên trong từng trường, trong đó có hai lớp 10 đang theo học ban cơ bản và ba lớp 10 ban nâng cao HS miền núi không được lựa chọn làm thành phần của mẫu do số lượng là khá ít so với HS lớp 10 trên toàn quốc

3 Công cụ nghiên cứu

Ngoài các tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu, hai công cụ chính được sử dụng

để phục vụ cho nghiên cứu của luận văn này là Bộ đề kiểm tra và Bảng hỏi (phỏng

theo hai công cụ điều tra chính của PISA)

3.1 Bộ đề kiểm tra

a Tiêu chí thiết kế

Bộ đề kiểm tra gồm mười hai bài toán thực tế được lựa chọn và thiết kế cẩn thận thỏa mãn một số tiêu chí sau:

- Gắn liền với thực tế cuộc sống, với ý tưởng bao quát là tính không chắc chắn, phù

hợp với lứa tuổi và mức độ hiểu biết của HS, gây được hứng thú và nhu cầu giải quyết của các em

- Kiểm tra được tất cả các mức độ hiểu biết và các cụm năng lực Đặc biệt, các câu hỏi tập trung vào đánh giá việc hiểu các thông tin số liệu, chuyển đổi giữa các dạng

số liệu; khả năng lập luận dựa trên các số liệu để đưa ra những kết luận có lí; khả năng suy luận với dữ liệu và cơ hội khi giải quyết các vấn đề thực tế

- Các câu hỏi trong bộ đề phải có đầy đủ ba dạng: câu hỏi nhiều lựa chọn, câu hỏi có cấu trúc đóng và câu hỏi kết thúc mở được phân bố phù hợp theo tiêu chí của PISA

- Có thể có nhiều cách tiếp cận khác nhau, nhiều phương án giải quyết hay nhiều kết quả đúng khác nhau với các câu hỏi kết thúc mở

- Cung cấp cơ hội cho HS sử dụng nhiều dạng biểu diễn khác nhau để giải quyết bài toán, chẳng hạn các biểu diễn bằng ngôn ngữ, biểu diễn bằng hình ảnh, sơ đồ, biểu

đồ và biểu diễn bằng các kí hiệu

- Mỗi bài toán có thể có một hay nhiều câu hỏi được liên kết với cùng một tình huống

và tăng dần độ phức tạp Một vài câu hỏi đầu thường tiêu biểu là các câu hỏi nhiều lựa chọn hay câu hỏi cấu trúc đóng, trong khi các câu hỏi về sau sẽ là các câu hỏi tìm trả lời mở và yêu cầu HS trình bày lập luận của mình Định dạng này là phù hợp

để đánh giá các mức độ thể hiện năng lực toán của HS (từ tái tạo, đến liên kết và cuối cùng là phản ánh), cho phép các nhiệm vụ thực tế được kế thừa lại và tính phức tạp của các bối cảnh thực tế được phản ánh, đồng thời cắt giảm thời gian để một HS thâm nhập vào tình huống thực tế

- Thang điểm cho từng câu hỏi được thiết kế khá chi tiết và mô phỏng theo thang điểm đánh giá của PISA, vì đây là công cụ đánh giá có giá trị đã được công nhận trên thế giới

b Sự phân bố trong các đề kiểm tra

Bộ đề được chia thành năm đề kiểm tra, mỗi đề có bốn hoặc năm bài toán với thời lượng là 45 phút, được tổ chức kiểm tra ở năm trường với phân bố như sau:

- Đề số 1: Bài toán 1; Bài toán 4; Bài toán 5; Bài toán 10; Bài toán 11, khảo sát lớp

10B2, Trường THPT Vĩnh Định

- Đề số 2: Bài toán 1; Bài toán 2; Bài toán 5; Bài toán 7; Bài toán 9, khảo sát lớp

10B3, Trường THPT Thị xã Quảng Trị

- Đề số 3: Bài toán 3; Bài toán 6; Bài toán 7; Bài toán 8; Bài toán 12, khảo sát lớp

10A2, Trường THPT Hải Lăng

- Đề số 4: Bài toán 2; Bài toán 9; Bài toán 10; Bài toán 11, khảo sát lớp 10A2, Trường THPT Lê Lợi

- Đề số 5: Bài toán 3; Bài toán 4; Bài toán 6; Bài toán 8; Bài toán 12, khảo sát lớp

10A5, Trường THPT Đông Hà

Việc phân bố các bài toán như trên được thực hiện một cách ngẫu nhiên, vì chúng tôi không nhằm mục đích so sánh điểm số của HS ở mỗi trường hay giữa các HS với nhau, mà mong muốn có một số lượng HS khá đồng đều để giải quyết tất cả các bài toán trong bộ đề Tuy nhiên số lượng và loại câu hỏi cũng phải được phân bố một

cách hợp lí để đảm bảo cấu trúc chung cũng như thời gian làm bài

c Cấu trúc bộ câu hỏi

Để chuẩn bị bộ câu hỏi một cách hợp lí và tuân thủ theo tiêu chí của PISA, bộ câu

hỏi được thiết kế theo cấu trúc và cụm năng lực được trình bày ở bảng sau:

thấp đến cao (theo thứ tự từ 1 đến 6) được chúng tôi mô tả trong mục 1.1 chương 4

Phân tích tiền thực nghiệm cũng nhằm thẩm định chất lượng bộ đề trước khi đưa ra khảo sát

Sau đây là bộ đề kiểm tra gồm 12 bài toán kèm theo thang điểm và phân tích tiền thực nghiệm

Bài toán 1: NƯỚC GIẢI KHÁT

Một công ty nước giải khát giới thiệu một loại sản

phẩm mới Một số nhân viên bán hàng của công ty

nghĩ rằng loại nước uống này được khách hàng nam ưa

chuộng hơn Để kiểm chứng dự đoán của mình, họ đã

tiến hành một cuộc điều tra khảo sát nhỏ Họ đã hỏi

150 người mua loại nước uống này xem thử những

người này thích hay không thích sau khi dùng Kết quả

điều tra được cho bởi bảng sau:

Điểm tối đa 2 điểm:

Code 2: Xác định được 60% Chọn biểu đồ hình quạt

Điểm thành phần 1 điểm

Code 11: Xác định được 60% Không chọn biểu đồ hình quạt

Code 12: Xác định sai số % người thích Nhưng chọn biểu đồ hình quạt

Ở phần sau của câu hỏi, để chọn được một dạng biểu đồ phù hợp biểu diễn số liệu, HS cần thông thạo cách vẽ và nắm rõ tính năng biểu diễn số liệu của từng loại biểu đồ Phần này gắn với cụm năng lực liên kết, mức độ 3, 4

Câu hỏi 2:

Dựa vào khảo sát trên, theo bạn, liệu nhân viên bán hàng có khẳng định được dự đoán của họ không? Hãy lí giải cho câu trả lời của mình

THANG ĐIỂM:

Điểm tối đa 1 điểm:

Code 1: Câu trả lời là có thể Giải thích dựa vào tỉ lệ người thích của nam so với nữ

- Có Vì có hơn 63,3% số người nam thích loại nước uống này trên tổng số người nam được hỏi, trong khi đó ở nữ chỉ là 55%

- Có Vì tỉ lệ số người thích ở nam là 57/90 cao hơn tỉ lệ 33/60 của số người thích ở nữ

Không có điểm:

Code 01: Với câu trả lời không

Code 02: Với câu trả lời có nhưng không giải thích được

- Có Vì số người thích ở nam nhiều hơn ở nữ

Code 99: Bỏ trống

Để trả lời câu hỏi này, HS cần chuyển số liệu về dạng tỉ lệ phần trăm (hoặc dạng tỉ lệ thức) theo nam và nữ (tương tự câu hỏi 1) Từ đó, dựa vào các số liệu tính được cùng với những kiến thức thống kê cơ bản để so sánh, rút ra kết luận và lí giải Đây là câu hỏi đòi hỏi kĩ năng tính toán, kĩ năng chuyển đổi các dạng biểu diễn của số liệu, khả năng lập luận, suy luận Câu hỏi được xếp vào cụm năng lực liên kết, mức độ 4

Bài toán 2: ĐO CHIỀU CAO

Vào một ngày người ta đo chiều cao

của tất cả HS trong một lớp Chiều cao

trung bình của các bạn nam là 160cm, của

các bạn nữ là 150cm Thùy cao nhất, chiều

cao của cô ấy là 180cm Tân thấp nhất,

chiều cao của cậu ấy là 130cm

Có hai HS vắng mặt trong ngày hôm

đó, nhưng lại có mặt vào ngày hôm sau

Người ta đo chiều cao của hai em, và

chiều cao trung bình được tính lại Một

điều thú vị là chiều cao trung bình của các

bạn nam và các bạn nữ là không thay đổi

Từ thông tin trên, có thể rút ra những kết luận sau đây được không?

Đánh dấu  vào ô bạn chọn và lí giải cho lựa chọn của mình

1 Cả 2 HS là nữ Có Không

4 Chiều cao trung bình của tất cả HS là không đổi Có Không

THANG ĐIỂM:

Điểm tối đa 1 điểm (cho mỗi câu):

Code 1: Trả lời "không" và lí giải đúng cho câu trả lời đó

Không có điểm:

Code 0: Những trả lời khác với Code 1

Code 9: Bỏ trống

Bài toán này là hết sức phức tạp ở một vài giả thuyết, đòi hỏi HS đọc và suy nghĩ thật

kĩ tránh hiểu sai vấn đề Để giải quyết bài toán, bên cạnh đòi hỏi việc hiểu sâu sắc khái niệm và công thức tính số trung bình, HS cần có óc phán đoán, khả năng đặt giả thuyết, so sánh, loại trừ, liên hệ các vấn đề, chuyển đổi linh hoạt các dạng biểu diễn từ đơn giản đến phức tạp

Ở câu thứ 1 và 2, HS cần nắm rõ các thông tin của bài toán, liên hệ với khái niệm số trung bình để lập luận các khả năng có thể xảy ra liên quan đến chiều cao và giới tính,

từ đó đưa ra quyết định liệu có đồng ý với các kết luận này hay không Câu 1 và 2 gắn với cụm năng lực liên kết, mức độ 3, 4

Ở câu 3, HS có thể sử dụng lập luận rằng trong trường hợp một nam một nữ, bằng sự

thông hiểu về khái niệm số trung bình suy ra người nam cao 160cm, người nữ cao 150cm, do đó không thể xảy ra trường hợp hai người có cùng chiều cao Câu này gắn

với cụm năng lực liên kết, mức độ 3, 4

Ở câu 4, tình huống có phức tạp hơn, HS sử dụng các dữ kiện thu được từ các lập luận

ở những câu trên, cùng với sự thông hiểu và khả năng biến đổi linh hoạt công thức tính số trung bình để thiết lập công thức tính số trung bình của toàn thể HS ngày hôm trước và ngày hôm sau, từ đó so sánh để đi đến kết luận Kết luận này chỉ đúng trong trường hợp số HS nam và số HS nữ bằng nhau trong cả 2 ngày Câu 4 gắn với cụm năng lực phản ánh, mức độ 5, 6

Câu 5 HS chỉ cần để ý rằng nếu có người thấp hơn Tân thì người còn lại phải cùng

giới tính và tổng chiều cao hai người đó là 300cm (nữ) hoặc 320cm (nam) để đảm bảo

không thay đổi số trung bình Như vậy, kết luận này không thể xảy ra trong trường hợp một nam một nữ Câu 5 gắn với cụm năng lực liên kết, mức độ 3, 4

Bài toán 3: ÔNG BEAN

Ông Bean đi siêu thị mua một hộp chứa hỗn hợp 4 loại hạt: Đậu phụng, hạt dẻ, hạnh nhân và hạt điều với tỉ lệ tương ứng được công bố trên nhãn hộp là 4:3:2:1

Câu hỏi 2 liên quan đến phép thử ngẫu nhiên, một khái niệm trong Xác suất mà HS

chưa được học chính thống Tuy nhiên, đây lại là điều mà HS thường gặp và xử lí trong cuộc sống hằng ngày, nó gần với khái niệm chọn mẫu ngẫu nhiên trong điều tra

mẫu ở môn học Thống kê Để tìm câu trả lời, HS cần tính tỉ lệ phần trăm của hạt dẻ so

với tổng số hạt có trong hộp Câu hỏi này gắn với cụm năng lực liên kết, mức độ 3

THANG ĐIỂM:

Điểm tối đa 2 điểm:

Code 21: Dựa vào sự sai khác về tỉ lệ các loại hạt trong hộp so với trên nhãn

- Vì tỉ lệ các loại hạt trong hộp khác với tỉ lệ ghi trên nhãn Ví dụ theo nhãn hộp thì hạt điều bằng 1/4 đậu phụng nhưng trong hộp chỉ chưa bằng 1/5

- Tỉ lệ các loại hạt trong hộp không đúng với công bố 4:3:2:1 khác 125:98:53:24

Code 22: Giải thích dựa vào sự sai khác so với biểu đồ ở câu hỏi 1

Câu hỏi 4:

Hãy thử lí giải xem liệu ông Bean có đủ cơ sở để thắng kiện không?

THANG ĐIỂM:

Điểm tối đa 2 điểm:

Code 2: Trả lời không và nêu được lí do mà tòa án chưa quyết định được là: mẫu

nhỏ, không đủ độ tin cậy

- Không Vì mẫu điều tra quá nhỏ, không đủ độ tin cậy

- Không Vì sai sót trong một hộp so với hàng ngàn, hàng triệu hộp là có thể chấp nhận được

Điểm thành phần 1 điểm:

Code 1: Chỉ nêu lí do

- Mẫu điều tra quá nhỏ

- Sai sót trong một hộp so với hàng ngàn, hàng triệu hộp là có thể chấp nhận được

Câu hỏi 5: Nếu là quan tòa, bạn sẽ làm gì trong tình huống này?

THANG ĐIỂM:

Điểm toàn phần 1 điểm:

Code 1: Trả lời trực tiếp hoặc có ý là cho tiến hành điều tra mẫu (ngẫu nhiên với mẫu đủ lớn)

- Cho điều tra mẫu

- Cho người đi kiểm tra ở nhiều nhiều hộp tại nhiều địa điểm bán hàng, nhiều lô hàng khác nhau

Không có điểm:

Code 0: Nêu phương án sai

- Xử cho ông Bean thua kiện

Bài toán 4: Ô CỬA BÍ MẬT

Trong trò chơi ô cửa bí mật trên truyền

hình, đội bạn Tân đã giành chiến thắng trong

vòng 1 và có cơ hội mở ô cửa bí mật để

nhận thưởng Có 3 ô cửa, biết rằng phía sau

một trong 3 ô cửa có phần thưởng là một

chiếc xe hơi, hai ô còn lại chỉ là những món

Để trả lời câu hỏi 1, HS cần rút ra các thông tin số liệu cần thiết từ bài toán rồi tính tỉ

lệ phần trăm, tương tự câu hỏi 2 của bài toán 3 Câu hỏi này chủ yếu đòi hỏi kĩ năng đọc số liệu và kĩ năng tính toán, được xếp vào cụm năng lực liên kết, mức độ 3

Bài toán 5: BỆNH CÚM

Theo một quyển sách về y học, 60% người

ho bị bệnh cúm và 80% người bệnh cúm bị sốt

Câu hỏi 1:

Theo quyển sách này, trong số 100 người bị

ho khả năng có khoảng bao nhiêu người bị cúm

Câu hỏi 1 liên quan đến các tính toán chuyển từ biểu diễn phần trăm sang biểu diễn

số Tuy nhiên vấn đề phức tạp ở chổ HS cần nhận ra và thực hiện các phép tính một cách liên tục theo đúng trình tự Để giải quyết câu hỏi này, ngoài các kĩ năng tính toán, chuyển đổi các dạng biểu diễn của số liệu, HS phải hiểu bản chất vấn đề một cách sâu sắc Câu hỏi này được xếp vào cụm năng lực liên kết, mức độ 4

Câu hỏi 2:

Tân bị ho nhưng không sốt Có nên chẩn đoán là Tân bị bệnh cúm hay không? Hãy

lí giải cho câu trả lời của mình

THANG ĐIỂM:

Điểm tối đa 2 điểm:

Code 21: Không nên, với cách lí giải hợp lí và đưa ra con số phần trăm chính xác

- Không nên Vì khả năng Tân bị cúm rất thấp, chỉ 12%

- Không nên Vì nếu vậy Tân sẽ rơi vào nhóm người ho, cúm nhưng không

sốt, nhóm này chỉ chiếm 60% - 48% = 12% tổng số người bị ho (theo câu

1, nhóm người ho, cúm và sốt là 48%)

Điểm thành phần 1 điểm:

Code 11: Không nên, cùng với lí giải phù hợp nhưng không có số phần trăm cụ thể

để chứng minh, hoặc số phần trăm bị sai

- Không nên Vì lúc đó Tân sẽ rơi vào nhóm ho, cúm nhưng không sốt, nhóm này rất ít

- Không nên Khả năng Tân bị cúm thấp, chỉ 20%

Code 12: Chỉ đưa ra số phần trăm khả năng Tân bị cúm

Tình huống ở câu hỏi 2 khá phức tạp, do đó để đơn giản hóa bài toán, tránh nhầm lẫn,

HS cần mô hình hóa các giả thiết (sử dụng sơ đồ) HS có thể sử dụng lập luận phản chứng: Giả sử Tân bị cúm, lúc đó có thể suy ra được Tân thuộc nhóm ho, cúm nhưng không sốt, từ đó tính số phần trăm của nhóm này và dựa vào kết quả thu được để đưa

ra kết luận và lí giải Câu hỏi này liên quan đến cụm năng lực phản ánh, mức độ 5, 6

Bài toán 6: SỐ VỤ CƯỚP

Một phóng viên đưa ra biểu đồ sau và nói: “Biểu đồ chỉ ra rằng có một sự gia tăng khổng lồ các vụ cướp từ năm 1998 đến 1999”

Theo bạn phát biểu của phóng viên có phải là sự giải thích hợp lí biểu đồ trên hay không? Hãy giải thích cho câu trả lời của mình

THANG ĐIỂM:

Điểm tối đa 2 điểm:

Code 21: Không hợp lí Với lập luận dựa trên cơ sở chỉ một phần nhỏ của biểu đồ được chỉ ra

- Không hợp lí Toàn bộ biểu đồ nên được đưa ra

- Đó không phải là giải thích hợp lí cho biểu đồ trên vì nếu hiển thị toàn bộ biểu đồ sẽ thấy rằng chỉ có một sự gia tăng nhỏ số lượng các vụ cướp

- Không, vì phóng viên chỉ dùng một phần nhỏ trên đỉnh của biểu đồ, nếu quan sát toàn bộ biểu đồ từ 0 đến 520, sẽ thấy sự gia tăng là không nhiều

- Không, vì biểu đồ trông có vẻ như có một sự gia tăng lớn nhưng nhìn vào con số thì sự gia tăng đó không nhiều

Code 22: Không hợp lí Với giải thích đúng về tỉ lệ hay số phần trăm gia tăng

- Không hợp lí 10 không phải là một sự gia tăng lớn so với tổng số 500

- Không hợp lí Vì sự gia tăng chỉ vào khoảng 2%

- Không Tăng 8 vụ cướp thì khoảng 1,5%, sự gia tăng đó không nhiều Code 23: Xu hướng của dữ liệu là điều kiện tiên quyết trước khi đưa ra phán xét

- Chúng ta không thể khẳng định sự gia tăng đó là lớn hay không Nếu vào năm 1997, số lượng vụ cướp bằng với năm 1998, thì chúng ta có thể nói

có một sự gia tăng lớn vào năm 1999

- Cần ít nhất 2 sự thay đổi mới biết được sự gia tăng đó có lớn hay không

- Từ 508 đến 515 thì không phải là một sự gia tăng lớn

- Không, vì 8 hay 9 không phải là một số lượng lớn

- Chỉ đúng phần nào Từ 507 đến 515 là một sự gia tăng, nhưng không lớn

[Lưu ý: Do tỉ lệ ở biểu đồ không rõ ràng nên chấp nhận các con số gia tăng

các vụ cướp trong khoảng từ 5 đến 15.]

Code 12: Không hợp lí, với cách lí giải đúng nhưng mắc sai lầm trong tính toán

Không có điểm:

Code 01: Không Nhưng không có giải thích hoặc giải thích sai

- Không, tôi không đồng ý

- Phóng viên không nên dùng từ “khổng lồ”

- Không hợp lí Các phóng viên luôn thích thổi phồng quá mức