Quy trình toán học hóa để phát triển các năng lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh mười lăm tuổi

Từ năm 500 đến 1300 trong thế giới Hồi Giáo, Ấn Độ, Trung Quốc, đại số đã được thiết lập như là một ngành của toán học. Điều này đã mở ra việc nghiên cứu về thay đổi và các mối quan hệ một lĩnh vực mà hiện nay được xem là trọng yếu trong bất kỳ chương trình giáo dục nào, của bất kỳ quốc gia nào. PISA, viết tắt của The Programme for International Student Assessment, là chương trình đánh giá quy mô toàn cầu do các quốc gia công nghiệp phát triển thuộc tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD và một số quốc gia khác tổ chức 3 năm một lần. PISA đánh giá kiến thức và kỹ năng trong 3 lĩnh vực: đọc hiểu phổ thông, làm toán phổ thông và khoa học phổ thông của HS mười lăm tuổi, qua đó kiểm tra khả năng đáp ứng những kiến thức, kỹ năng cần thiết cho cuộc sống sau này theo chuẩn quốc tế. Đánh giá OECDPISA tập trung vào các bài toán thực tế, tiến xa hơn những loại tình huống và vấn đề thường hay gặp trong lớp học. Trong bối cảnh thực tế: tình huống khi mua sắm, đi lại, nấu nướng, giải quyết các vấn đề tài chính cá nhân, phán xét các vấn đề chính trị…ở đó việc áp dụng suy luận thay đổi và các mối quan hệ hay những năng lực toán học khác sẽ giúp làm sáng tỏ, thiết lập và giải quyết vấn đề. Việc sử dụng toán như vậy dựa trên những kỹ năng được học và được thực hành thông qua các bài toán xuất hiện một cách tiêu biểu trong các sách giáo khoa và lớp học. Tuy nhiên, bài toán thực tế đòi hỏi khả năng áp dụng những kỹ năng đó trong một hoàn cảnh ít được cơ cấu hơn. Ở đó, các hướng giải quyết là không rõ ràng và HS phải đưa ra quyết định kiến thức toán nào sẽ phù hợp và hiệu quả đối với vấn đề cần giải quyết. Nội dung toán học trong PISA có thể được minh họa bởi bốn phạm trù bao trùm các vấn đề nảy sinh ra trong quá trình tương tác với các hiện tượng thường ngày. Chúng dựa vào quan niệm về các cách mà nội dung toán học thể hiện ra cho con người. Những nội dung đó được gọi là các ý tưởng bao quát: đại lượng, không gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ và tính không chắc chắn. Điều này có sự khác biệt với tiếp cận về nội dung quen thuộc trong quan điểm dạy toán và các mạch kiến thức chương trình tiêu biểu được dạy ở nhà trường. Tuy nhiên, các ý tưởng bao quát bao trùm một cách rộng rãi các chủ đề toán học mà HS dự kiến phải được học trong nhà trường.

Trang 1

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh mục các chữ viết tắt 4

Chương 1 MỞ ĐẦU 5

1 Lời giới thiệu 5

1.1 Lý do chọn đề tài 6

1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu 7

2 Mục đích nghiên cứu 7

3 Câu hỏi nghiên cứu 7

4 Định nghĩa các thuật ngữ 8

5 Ý nghĩa nghiên cứu 8

6 Phương pháp và công cụ nghiên cứu 8

6.1 Phương pháp nghiên cứu 8

6.2 Đối tượng nghiên cứu 9

6.3 Phạm vi nghiên cứu 9

6.4 Công cụ nghiên cứu 9

7 Cấu trúc luận văn 9

Chương 2 TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 10

1 Nền tảng lịch sử 10

1.1 Toán học có nguồn gốc thực tiễn 10

1.2 Kết nối Toán với thế giới thực 10

1.3 Một số quy trình toán học hóa 13

2 Nền tảng lý thuyết 16

Trang 2

2.1 Toán học hóa 16

2.1.1 Khái niệm toán học hóa 16

2.1.2 Quy trình toán học hóa của PISA 18

2.1.3 Bài toán tính thể tích khối tròn xoay 19

2.2 Đánh giá Toán trong PISA 21

2.2.1 Các ý tưởng bao quát 21

2.2.2 Các năng lực 22

2.2.3 Các cụm năng lực 24

2.2.4 Thay đổi và các mối quan hệ 26

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 29

1 Thiết kế nghiên cứu 29

2 Đối tượng tham gia 29

3 Công cụ nghiên cứu 29

3.1 Bộ đề kiểm tra 31

3.2 Bảng hỏi 46

4 Hạn chế 48

Chương 4 CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 50

1 Cách thức tổ chức 50

2 Kết quả thu được từ Bộ đề kiểm tra 50

Bài toán 1: Chiều cao của trẻ 52

Bài toán 2: IQ 54

Bài toán 3: Giá thuê môtô nước 56

Bài toán 4: Số HS đậu đại học 58

Bài toán 5: Giá cước taxi 59

Bài toán 6: Đèn giao thông tại ngã 6 61

Bài toán 7: Hợp đồng lao động 62

Bài toán 8: Lượng xăng tiêu thụ 63

Bài toán 9: Hồ cá 65

Trang 3

3 Kết quả thu được từ Bảng hỏi 66

Chương 5 KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ VẬN DỤNG 70

1 Kết luận 70

1.1 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 70

1.2 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 71

1.3 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba 72

2 Lý giải 73

2.1 Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 73

2.2 Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ hai 76

2.3 Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ ba 78

3 Vận dụng 81

KẾT LUẬN 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO 83

Trang 4

NCTM : National Council of Teachers of Mathematics

OECD : Organization for Economic Co-operation and Development PISA : Programme for International Student Assessment

SCN : Sau công nguyên

TCN : Trước công nguyên

THPT : Trung học phổ thông

Trang 5

Chương 1 MỞ ĐẦU

1 Lời giới thiệu

Từ năm 500 đến 1300 trong thế giới Hồi Giáo, Ấn Độ, Trung Quốc, đại số đã được thiết lập như là một ngành của toán học Điều này đã mở ra việc nghiên cứu về

"thay đổi và các mối quan hệ" - một lĩnh vực mà hiện nay được xem là trọng yếu

trong bất kỳ chương trình giáo dục nào, của bất kỳ quốc gia nào

PISA, viết tắt của The Programme for International Student Assessment, là chương trình đánh giá quy mô toàn cầu do các quốc gia công nghiệp phát triển thuộc tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD và một số quốc gia khác tổ chức 3 năm

một lần PISA đánh giá kiến thức và kỹ năng trong 3 lĩnh vực: đọc hiểu phổ thông, làm toán phổ thông và khoa học phổ thông của HS mười lăm tuổi, qua đó kiểm tra

khả năng đáp ứng những kiến thức, kỹ năng cần thiết cho cuộc sống sau này theo chuẩn quốc tế

Đánh giá OECD/PISA tập trung vào các bài toán thực tế, tiến xa hơn những loại tình huống và vấn đề thường hay gặp trong lớp học Trong bối cảnh thực tế: tình huống khi mua sắm, đi lại, nấu nướng, giải quyết các vấn đề tài chính cá nhân, phán

xét các vấn đề chính trị…ở đó việc áp dụng suy luận "thay đổi và các mối quan hệ"

hay những năng lực toán học khác sẽ giúp làm sáng tỏ, thiết lập và giải quyết vấn

đề Việc sử dụng toán như vậy dựa trên những kỹ năng được học và được thực hành thông qua các bài toán xuất hiện một cách tiêu biểu trong các sách giáo khoa và lớp học Tuy nhiên, bài toán thực tế đòi hỏi khả năng áp dụng những kỹ năng đó trong một hoàn cảnh ít được cơ cấu hơn Ở đó, các hướng giải quyết là không rõ ràng và

HS phải đưa ra quyết định kiến thức toán nào sẽ phù hợp và hiệu quả đối với vấn đề cần giải quyết

Nội dung toán học trong PISA có thể được minh họa bởi bốn phạm trù bao trùm các

vấn đề nảy sinh ra trong quá trình tương tác với các hiện tượng thường ngày Chúng dựa vào quan niệm về các cách mà nội dung toán học thể hiện ra cho con người

Những nội dung đó được gọi là "các ý tưởng bao quát": đại lượng, không gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ và tính không chắc chắn Điều này có sự khác

biệt với tiếp cận về nội dung quen thuộc trong quan điểm dạy toán và các mạch kiến

thức chương trình tiêu biểu được dạy ở nhà trường Tuy nhiên, "các ý tưởng bao quát" bao trùm một cách rộng rãi các chủ đề toán học mà HS dự kiến phải được học

trong nhà trường

Trang 6

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong một lần lướt web, tôi gặp bài viết của một người ông về cháu mình như sau:

"Tôi có đứa cháu năm nay học lớp 8, học kì I được xếp loại giỏi Ngày tết ngồi đọc Tuổi trẻ cười, thấy có chuyện cấp cái sổ đỏ 5m 2 , nó ngơ ngẩn hỏi 5m 2

là cỡ bao lớn Tôi bảo nó cứ tưởng tượng đó là hình chữ nhật 6m 2 xem, các cạnh của nó sẽ có kích thước như thế nào? Nó suy nghĩ một hồi rồi nói là một cạnh 2m, một cạnh 3m nhưng diễn tả ra trên nền nhà thì nó không biết Nó lúng túng hỏi một viên gạch có kính thước bao nhiêu Tôi hỏi thêm: Cái giường của con chiếm diện tích bao nhiêu?

Nó không trả lời được Tôi thiệt thấy ngán cái cách dạy và học toán hiện nay Các bạn thử cho ý kiến thêm xem sao Nhất là các bạn đang đi học, thử nghĩ xem mình

có thể vận dụng toán học để giải quyết được việc gì trong cuộc sống hay không? (ngoài việc đếm tiền)" [15] Đáng chú ý là mọi ý kiến bình luận đều đồng tình và

bày tỏ sự băn khoăn tương tự

Không ít người cảm thấy thất vọng vì đã "uổng công" học toán Nghe người ta nói thì toán học là "chìa khóa" cho mọi vấn đề, nhưng trên thực tế thì HS sau khi tốt nghiệp lại chẳng biết dùng kiến thức toán đã học được trong nhà trường vào việc gì trong cuộc sống, nhất là những bài toán khó mà họ đã tốn bao công sức nhồi nhét trong các "lò luyện" đủ loại Đây là một thực tế, xuất phát từ việc xác định nội dung

và phương pháp dạy toán chưa hợp lý trong nhà trường hiện nay Toán học đã bị biến thành một môn "đánh đố thuần túy", thay vì một bộ môn khoa học mang đầy chất thực tiễn Đã có những ý kiến nói về sự lãng phí của nguồn nhân lực đang làm toán hiện nay và không ít người đã tưởng là sự thật

Tôi thiết nghĩ trong 10.000 người thì chỉ có 1 người làm toán còn 9.999 người còn lại mong muốn dùng toán như là công cụ để giải quyết các vấn đề cuộc sống như các tình huống khi mua sắm, đi lại, nấu nướng, giải quyết vấn các đề tài chính cá nhân, phán xét chính trị… Vì vậy, mong muốn toán học thực tế, gần gũi với cuộc sống là một nhu cầu chính đáng và cấp thiết

Việt Nam sẽ chính thức đăng ký tham gia Chương trình đánh giá HS Quốc tế PISA vào năm 2012 Ngày 25/6/2010 tại Vĩnh Phúc, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tiến hành Hội thảo Quốc gia lần thứ nhất về Chương trình đánh giá HS quốc tế (PISA) Tham

dự Hội thảo có Thứ trưởng Nguyễn Vinh Hiển - Trưởng Ban Chỉ đạo đánh giá trong nước và quốc tế HS phổ thông; PGS.TS Nguyễn Lộc, phó viện trưởng Viện KHGD Việt Nam, giám đốc điều phối quốc gia; giám đốc văn phòng PISA Việt Nam; đại diện Vụ; Cục thuộc Bộ và hơn 100 đại biểu đến từ các Sở Giáo dục và Đào tạo của

63 tỉnh, thành trong cả nước [16]

Trang 7

Với những nhu cầu cấp thiết của khuynh hướng giáo dục trong tương lai, tầm quan trọng đặc biệt và hiệu quả của việc sử dụng quy trình toán học hóa trong sự phát triển

tư duy cho HS; với mong muốn làm sao để toán học không khô khan và có sự cuốn hút đặc biệt đối với HS Đó là những động lực mạnh mẽ cho tôi quyết định chọn đề tài

nghiên cứu này

1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu

Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống và của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ảnh [10]

Trong khi đó, việc dạy toán của chúng ta hiện nay còn mang tính hàn lâm, chú trọng nhiều đến rèn luyện kỹ năng, chưa thật sự quan tâm đến phát triển năng lực toán và hình thành những hiểu biết toán cho HS; đặc biệt là phát triển năng lực giải quyết các vấn đề thực tế thông qua toán học, một trong những yếu tố quan trọng giúp giáo dục toán trở nên hiệu quả hơn Có thể thay đổi cách nghĩ của HS từ ba không (khó, khô khan, không thích) sang ba có (thú vị, ý nghĩa, thích)

Nếu đánh giá hiệu quả giáo dục toán theo khía cạnh HS áp dụng tri thức đã học vào giải quyết các vấn đề trong bối cảnh mới, đặc biệt là bối cảnh thực tế ra sao thì giáo dục toán của ta đem lại những kết quả khá khiêm tốn

Trong bối cảnh đó, tôi chọn đề tài: "Quy trình toán học hóa để phát triển các năng

lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh mười lăm tuổi" làm vấn đề nghiên

cứu của mình

2 Mục đích nghiên cứu

(1) Thăm dò các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán

phổ thông của HS mười lăm tuổi tại Thừa Thiên Huế

(2) Sử dụng quy trình toán học hóa của PISA để phát triển các năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi

3 Câu hỏi nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đó, đề tài này gắn liền với ba câu hỏi nghiên cứu sau:

1 Các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ

thông của HS mười lăm tuổi được thể hiện như thế nào?

2 Nâng cao các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán

phổ thông có vai trò như thế nào với HS mười lăm tuổi?

3 Làm thế nào để nâng cao các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan

hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi?

Trang 8

4 Định nghĩa các thuật ngữ

 Toán học hóa: là một quá trình cơ bản mà các HS dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập [10];

 Năng lực toán: là những quá trình toán học mà HS áp dụng khi các em nỗ

lực giải quyết các vấn đề, bao gồm: tư duy và suy luận; giao tiếp; mô hình hóa; đặt vấn đề và giải; biểu diển; sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, ngôn ngữ hình

thức và các phép toán; sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ [7, tr.40];

 Thay đổi và các mối quan hệ: thay đổi và các mối quan hệ liên quan đến các

kiến thức về toán học biểu hiện của sự thay đổi, cũng như mối quan hệ chức

năng và phụ thuộc giữa các biến [13, tr.22];

 Giải quyết vấn đề: là quá trình nhận thức bậc cao đòi hỏi việc sử dụng sự

điều ứng và kiểm soát nhiều hơn thói quen hay những kỹ năng cơ bản Nó chỉ xảy ra khi con người hay trí tuệ nhân tạo chưa biết cách nào tiến hành từ tình trạng đã cho đến tình trạng mong muốn (Goldstein & Levin, 1987)

5 Ý nghĩa nghiên cứu

Chúng tôi mong muốn đề tài này sẽ đem đến những ý nghĩa cơ bản sau:

Thứ nhất: Nghiên cứu được xem như là một thử nghiệm cho việc sử dụng quy trình toán học hóa của PISA trong việc phát triển năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" của HS mười lăm tuổi trong toán phổ thông

Thứ hai: Kết quả nghiên cứu cho thấy rõ tầm quan trọng của quy trình toán học hóa

cũng như việc dạy toán thông qua giải quyết những vấn đề thực tế liên quan đến

"thay đổi và các mối quan hệ"

Thứ ba: Nghiên cứu đóng góp thêm những kiến thức cần thiết về vai trò của quy

trình toán học hóa cũng như việc đem toán học gần với cuộc sống thường ngày

Thứ tư: Nghiên cứu này đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển tư duy cho HS về

"thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông thông qua quy trình toán học

hóa PISA

6 Phương pháp và công cụ nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu

Trong nghiên cứu này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Nghiên cứu có tính lịch sử: khảo sát những vấn đề liên quan đến đề tài như:

mô hình toán học hóa của PISA; xu hướng kết nối toán học với thực tiễn trên

thế giới cũng như trong nước; nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ"…

Trang 9

- Nghiên cứu khảo sát: Thu thập thông tin từ HS về: suy nghĩ về toán và việc

học toán; sự thể hiện các năng lực của HS trong nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ" và khả năng vận dụng các năng lực đó vào đời sống thực tế

như thế nào

6.2 Đối tượng nghiên cứu

Luận văn tập trung vào nghiên cứu các đối tượng sau:

- Quy trình toán học hóa của PISA;

- Nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ";

- Năng lực và suy nghĩ của HS mười lăm tuổi tại Huế về "thay đổi và các mối

quan hệ"

6.3 Phạm vi nghiên cứu

Thành phần tham gia trong nghiên cứu này gồm:

- Giáo viên: người nghiên cứu;

- Học sinh: gồm 2 lớp trường THPT Hai Bà Trưng; 2 lớp trường THPT chuyên Quốc Học; 1 lớp trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 1 lớp trường THPT Đặng Huy Trứ Tổng số HS tham gia thực nghiệm sư phạm là 244

6.4 Công cụ nghiên cứu

Ngoài việc sử dụng các tài liệu phục vụ cho nghiên cứu có tính lịch sử, tôi còn sử

dụng các công cụ nghiên cứu: Bộ đề kiểm tra; Bảng hỏi

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong năm chương:

Chương 1 Mở đầu;

Chương 2 Tổng quan các kiến thức liên quan;

Chương 3 Thiết kế nghiên cứu;

Chương 4 Các kết quả nghiên cứu;

Chương 5 Kết luận, lý giải và vận dụng

Tóm tắt chương 1: Trong chương này chúng tôi đã nêu lên nhu cầu nghiên cứu của

đề tài Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đã trình một số vấn đề quan trọng khác như mục đích nghiên cứu, câu hỏi nghiêm cứu, ý nghĩa nghiên cứu, phương pháp và công cụ nghiên cứu

Trang 10

Chương 2 TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Trong chương này tôi trình bày nền tảng lịch sử; quy trình toán học hóa và nội dung

toán "thay đổi và các mối quan hệ" trong khuôn khổ PISA

1 Nền tảng lịch sử

1.1 Toán học có nguồn gốc thực tiễn

Lịch sử đã cho thấy rằng, toán học có nguồn gốc thực tiễn; chính sự phát triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với toán học Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển và hoàn thiện các lí thuyết toán học Ví dụ các tập số được xây dựng từ nhu cầu thực tiễn: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm các đồ vật; tập hợp số nguyên được xây dựng để phép trừ luôn thực hiện được hoặc các phương trình dạng a x b

luôn có nghiệm; trong quá trình đo đạc nhiều khi gặp phải những đại lượng không chứa đựng một số tự nhiên hoặc do nhu cầu chia những vật ra nhiều phần bằng nhau

mà số biểu diễn bởi phân số được phát sinh; hệ thống số hữu tỉ được hình thành do nhu cầu đo những đại lượng có thể xét theo hai chiều ngược nhau; hệ thống số thực được xây dựng do nhu cầu đo những đoạn thẳng, sao cho mỗi đoạn thẳng, kể cả những đoạn thẳng không đo được bằng số hữu tỉ, đều có một số đo Trong lịch sử toán học, để giải phương trình bậc ba người ta đã phải giải phương trình bậc hai như một bước trung gian Khi xét phương trình: 3

0

x  x , rõ ràng là có ba nghiệm 0, 1, -1 nhưng người ta nhận thấy rằng phương trình bậc hai trung gian của nó lại có biệt

số  âm Việc này phải chăng có mâu thuẫn? Vì phương trình bậc hai vô nghiệm khi biệt số  âm Nhưng nếu thử chấp nhận một số có bình phương bằng -1 (một cách hình thức) để biểu thị nghiệm của phương trình bậc hai trung gian thì cuối cùng cũng đi đến ba nghiệm của phương trình bậc 3 nói trên Thực tế này gợi ra việc cần phải mở rộng tập số thực, đưa thêm vào cả những số mà bình phương của nó là một số âm,

và như thế số phức ra đời

Toán học không phải là một sản phẩm thuần tuý của trí tuệ mà được phát sinh và phát triển do như cầu thực tế cuộc sống Chúng ta không phát minh ra toán học mà phát hiện ra chúng Ngược lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn và thúc đẩy thực tiễn phát triển Với vai trò là công cụ, toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do chính thực tiễn đặt ra

1.2 Kết nối toán với thế giới thực

Là GV toán, chúng ta đều muốn làm cho toán học, cái chúng ta dạy trở nên "sinh động" hơn, "thực tế" hơn và nhiều hơn nữa tính "ứng dụng" Bằng cách làm cho nó thêm "sinh động" ta muốn thu hút HS trong việc tìm hiểu toán học Khi đó, toán học

Trang 11

đơn giản bởi vì nó thú vị hơn, ngay cả khi nó không phải là một chủ đề dễ dàng Bằng cách làm cho nó thêm "thực tế", ta muốn chỉ ra rằng toán học cần thiết trong cuộc sống hàng ngày, dù chúng ta không thường xuyên nhận ra điều đó Bằng cách làm cho toán học thêm tính "ứng dụng" sẽ tạo ra các kỹ năng toán học cần thiết cho nhiều HS cho dù mỗi HS có một nền tảng và năng lực toán học không giống nhau

Để đưa các nguyên tắc này vào trong thực tế, ta phải cố gắng đưa các vấn đề trong thế giới thực vào trong giảng dạy Điều quan trọng là phải nhận thức được rằng những vấn đề này thường rất phức tạp và để giải quyết chúng luôn cần một loạt các kiến thức và kinh nghiệm

Ưu điểm chính của việc sử dụng vấn đề trong thế giới thực vào giảng dạy toán là vấn đề được đề cập một cách tự nhiên và các nhiệm vụ toán học được đặt trong một bối cảnh Cũng bằng cách thông qua các nhiệm vụ đó với HS, toán học được giảng dạy trở nên "ứng dụng" hơn và "sống" hơn

Hiệp hội các GV toán của Mỹ viết tắt là NCTM [9, tr.22] xác định rằng: "Chương trình toán nên rời xa khỏi truyền thống tập trung vào những kiến thức toán không

theo bối cảnh" Lý thuyết Giáo dục toán học theo thực tế (Theory of Realistic Mathematics Education) được phát triển ở Hà Lan đưa ra hai nguyên tắc: (1) Toán

học phải được gắn kết với thế giới thực và (2) Toán học nên được xem như là hoạt động của con người [14]

Hiểu biết toán được PISA định nghĩa: "Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân

để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét

có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh" [10] Định nghĩa trên gắn liền với các thuật ngữ như "toán

học trong cuộc sống"; "cuộc sống của cá nhân" đã thể hiện rõ toán học phải được gắn liền với cuộc sống, phải "sống" trong bối cảnh

Nhưng một khi đi xây dựng một mô hình toán học cho một vấn đề nào đó, ta phải rất cẩn thận khi sử dụng nó Nó luôn không tầm thường, chẳng hạn như vấn đề mù

màu sau đây: tỉ lệ mù màu (không phân biệt màu đỏ và xanh lá cây) ở đàn ông khoảng 1/20, và tỷ lệ thấp hơn rất nhiều ở nữ Khi đó, nếu các câu hỏi được đưa ra:

ta đã điều tra bao nhiêu người khi phát hiện ra 20 người mù màu? Có trung bình bao nhiêu người bị mù màu khi kiểm tra 100 nữ? Rất nhiều người phạm sai lầm

bằng cách đưa ra câu trả lời 400 cho câu hỏi đầu tiên Nhưng nếu có một cái nhìn nghiêm túc hơn, chúng ta không thể biết chính xác là đang khảo sát nam, nữ hay cả hai Ngay cả khi giả định rằng ta đang khảo sát là nam cũng không thể chắc chắn

Trang 12

rằng 400 là đủ Tại sao? Bởi vì ngay cả khi khảo sát một triệu người, ta có thể sẽ rất không may mắn và không tìm thấy một người mù màu Trong câu hỏi thứ hai, mặc

dù câu hỏi đã đưa vào cụm từ "trung bình" để nói rằng đang dựa vào số liệu thống

kê, nhưng chúng ta lại không cho biết chính xác tỉ lệ nữ bị mù màu là bao nhiêu Vì vậy, sẽ không thể có câu trả lời chính xác cho câu hỏi này

Một ví dụ khác cho thấy tính cẩn thận là rất cần thiết: mỗi người chớp mắt khoảng 17.000 lần một ngày, và như vậy trong một ngày thông qua nhấp nháy ta nhắm mắt trong hơn 1/2 giờ 1/2 giờ nhắm mắt trong một ngày thông qua chớp mắt là một tỷ

lệ khá dễ nhớ với HS Do đó, để thực hành sự hiểu biết về khái niệm này GV có thể

hỏi những câu hỏi sau đây: Một người chớp mắt bao nhiêu lần (theo số liệu thống kê) trong một tuần? Và như vậy thông qua chớp mắt, khoảng thời gian mà họ nhắm mắt trong một tuần? Một người chớp mắt bao nhiêu lần (theo số liệu thống kê) trong một giờ? Thông qua chớp mắt khoảng thời gian mà họ nhắm mắt trong một giờ? GV khá là an toàn với hai câu hỏi đầu tiên, nhưng hai câu hỏi sau cùng lại gây

ra rất nhiều vấn đề Bởi vì khi GV hỏi về một khoảng thời gian ngắn hơn một ngày,

GV phải nêu chính xác giờ đang xét (ngày hay đêm) Hơn nữa GV phải thiết lập bao nhiêu giờ trong một ngày (tức là thời gian sau khi đã trừ đi thời gian ngủ chứ không phải theo khái niệm vật lý thông thường) Bây giờ nó không phải là một tỷ lệ đơn giản

GV cũng nên xem xét bối cảnh bao quanh nhiệm vụ cũng như kinh nghiệm của HS đối với bối cảnh Nếu HS phải giải

quyết bài toán: Có 8 lá cờ được cắm

cách đều nhau trong trường đua xe

Hùng cần 30 giây để chạy từ điểm xuất

phát đến lá cờ thứ ba Sử dụng thông tin

này để tìm ra khoảng thời gian cần thiết

để Hùng chạy từ điểm xuất phát tới lá

cờ thứ sáu? (Quan sát hình đi kèm)

HS cần phải thiết lập mối quan hệ khi

giải quyết vấn đề, phải dựa vào bối cảnh vấn đề được nêu ra trong đề bài và trên hình ảnh minh họa (nếu có) Thực tế cho thấy HS làm việc với những vấn đề có hình ảnh minh họa tỏ ra hào hứng và nghiêm túc hơn so với những vấn đề không có hình ảnh minh họa đi kèm

Trang 13

Vấn đề tiếp theo là các kinh nghiệm của HS, mà kinh nghiệm đó ảnh hưởng trực tiếp lên sự hiểu biết của vấn đề HS phân tích các vấn đề nêu lên chủ yếu dựa trên kinh nghiệm của bản thân mình (kinh nghiệm trong trường học và kinh nghiệm trong cuộc sống) Do đó, sẽ cảm thấy không chắc chắn khi giải quyết vấn đề trong những bối cảnh không quen thuộc (những chuyển động mà HS biết từ trong thế giới thực đa số là thẳng chứ không tròn) Vì vậy, GV nên cố gắng nắm bắt các vấn đề kết nối với kinh nghiệm trước đây của HS GV nên tạo ra những bối cảnh mà HS có thể đáp ứng trong chính cuộc sống của mình

Tất nhiên, một GV kinh nghiệm có thể dự đoán được các sai lầm phổ biến trong lĩnh vực giảng dạy toán và sử dụng nó theo ý đồ của mình Điều này có thể giúp

HS có ý thức hơn về những sai lầm, giúp các em tránh phạm phải sai lầm khi giải quyết một vấn đề tương tự Nhưng nếu không dự đoán được hết các tình huống thì có thể gây ra vấn đề cho chính bản thân GV Điều này rất thường thấy khi giảng dạy thông qua những vấn đề trong thế giới thực

Chúng tôi đánh giá cao sự cần thiết phải kết nối toán học với thế giới thực trong dạy học phổ thông, đồng hành với nó là ý thức về sự cần thiết phải làm cho HS nhận thức các ứng dụng thực sự của toán học Làm thế nào để điều này trở nên hợp lý và hiệu quả, là một trong những vấn đề chính được nhiều nhà nghiên cứu giáo dục đã và đang quan tâm

1.3 Một số quy trình toán học hóa

Với những gì vừa đề cập, chúng tôi tin rằng người đọc sẽ cảm nhận được những khó khăn khi giảng dạy thông qua việc giải quyết các vấn đề trong thế giới thực Nhưng để đưa toán học gần gũi với cuộc sống; để đưa việc giải quyết các vấn đề trong thế giới thực vào trong dạy học toán và để nhiều người thấy được tính hữu dụng thực sự của toán học, chúng tôi tin rằng đó là con đường duy nhất Đó cũng

là cách để trả toán học về với bản chất của nó Trong nhiều thập niên qua, các nhà nghiên cứu giáo dục trong và ngoài nước luôn tình kiếm, xây dựng các mô hình; các quy trình mô hình hóa toán học để hỗ trợ đắc lực cho GV trong việc giảng dạy các vấn đề trong thế giới thực Dưới đây là một vài quy trình toán học hóa tiêu biểu trong những thập niên qua

Trang 14

Quy trình 1: Quy trình toán học hóa của OECD/PISA được tác giả Trần Vui

trình bày [5, tr.35] như sau:

Sơ đồ 2.1 Quy trình toán học hóa 1

Trong đó:

(1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;

(2) Tổ chức nó theo các khái niệm toán học;

(3) Không ngừng cắt tỉa thực tế;

(4) Giải quyết bài toán;

(5) Làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo bối cảnh thực tế

Quy trình 2: Quy trình mô hình hóa toán học được Kaiser và Blum [3, tr.100] đề

xuất như sau:

(d)

Trang 15

Quy trình 3: Quy trình mô hình hóa toán học được Frank Swetz và J S Hartzler

[5, tr.3] đề xuất như sau:

Sơ đồ 3.3 Quy trình mô hình hoá toán học 3

Quy trình 4: Quy trình mô hình hóa toán học được trình bày trong luận văn luận

văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Văn Dũng [17, tr.170]) như sau:

Quy trình 5: Quy trình mô hình hóa toán học được tác giả Lê Văn Tiến [4, tr.170]

đề xuất như sau:

Lý giải

Phân tích

Áp dụng

Quan sát, thành lập

Trang 16

Nhìn chung, các quy trình toán học hóa có thể phân chia làm năm bước: (1) là một quá trình được bắt đầu bởi một tình huống thực tế, tình huống này thường được cấu trúc lại (đơn giản hóa, lý tưởng hóa bằng cách cắt tỉa) để được một mô hình phỏng thực tiễn; (2) mô hình phỏng thực tiễn được phát biểu lại bằng ngôn ngữ toán học; (3) được giải quyết trong môi trường toán học để được một kết quả toán học; (4) kết quả này được phiên dịch lại để có câu trả lời trong tình huống thực tế ban đầu; (5)

sự phù hợp kết quả phải được kiểm tra, trong trường hợp mà lời giải không thỏa đáng thì quá trình này phải được lặp lại

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung vào phân tích làm rõ quy trình toán học hóa

1 cũng như cách thức vận dụng quy trình này vào giải quyết vấn đề trong thế giới

thực trong dạy học để phát triển năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" cho HS

mười lăm tuổi

2 Nền tảng lý thuyết

2.1 Toán học hóa

Trong OECD/PISA, một quá trình cơ bản mà các HS dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập là "toán học hóa"

2.1.1 Khái niệm toán học hóa

Toán học hóa là một quá trình cơ bản mà các HS dùng để giải quyết các vấn đề thực

tế được đề cập [10]

Trang 17

Để dễ hình dung khái niệm toán học hóa một cách cụ thể, ta xem xét thông qua vấn

đề Đèn đường [11] sau đây: Hội đồng thành phố quyết định dựng một cây đèn

đường trong một công viên nhỏ hình tam giác sao cho nó chiếu sáng toàn bộ công viên Người ta nên đặt nó ở đâu?

Vấn đề mang tính xã hội này có thể được giải quyết bằng phương án chung được sử dụng bởi các nhà toán học, mà cơ sở toán học sẽ xem như là toán học hóa

Toán học hóa có thể được đặc trưng qua năm khía cạnh:

1 Bắt đầu bằng một vấn đề có tình huống thực tế;

Đặt cây đèn đường ở chỗ nào trong công viên

2 Tổ chức vấn đề theo các khái niệm toán học;

Công viên có thể được thể hiện như là một tam giác, và việc chiếu sáng từ một cây đèn như là một hình tròn mà cây đèn là tâm của nó

3 Không ngừng cắt tỉa để thoát dần ra khỏi thực tế thông qua các quá trình như đặt giả thiết về các yếu tố quan trọng của vấn đề Tổng quát hóa và hình thức hóa (nó coi trọng các yếu tố toán học của tình huống và chuyển thể vấn đề thức

tế sang bài toán đại diện trung thực cho tình huống);

Vấn đề chuyển thành việc xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Giải quyết bài toán;

Dùng kiến thức tâm của một đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm các đường trung trực của các cạnh tam giác, dựng hai đường trung trực của hai cạnh tam giác Giao điểm của hai đường trung trực là tâm của đường tròn

5 Làm cho lời giải của bài toán là có ý nghĩa đối với tình huống thực tế

Liên hệ kết quả này với công viên thực tế Phản ánh về lời giải và nhận ra rằng nếu một trong ba góc của công viên là tù, thì lời giải này sẽ không hợp lý vì cây đèn sẽ nằm ra ngoài công viên Nhận ra rằng vị trí, và kích thước của các cây xanh trong công viên là những yếu tố khác ảnh hưởng đến tính hữu ích của lời giải toán học

Những quá trình toán học hóa theo một nghĩa rộng là đặc trưng cho việc các nhà toán học thường làm toán như thế nào, con người sử dụng toán học như thế nào trong nhiều nghề nghiệp hiện nay Những công dân có hiểu biết và biết phản ánh nên dùng toán học để tham gia một cách hoàn toàn và có năng lực vào thế giới thực

tế Thực ra, học cách để toán học hóa nên là mục đích giáo dục đầu tiên cho HS

Trang 18

2.1.2 Quy trình toán học hóa của PISA

Sơ đồ 2.1 là quy trình toán học hóa của PISA Trong quy trình này, để giải quyết

một vấn đề thực tế, HS cần chuyển vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình được tiếp tục trong toán học Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình về bối cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết

và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn

Mặt khác, 5 bước của quy trình toán học hóa có thể được chia làm ba giai đoạn:

Giai đoạn thứ nhất: Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển thể vấn đề từ

thực tế sang toán học Quá trình này bao gồm các hoạt động như:

 Xác định toán học phù hợp tương ứng với một vấn đề thực tế được đặt ra;

 Biểu diễn vấn đề theo một cách khác, bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp;

 Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề, ngôn ngữ ký hiệu và hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học;

 Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến;

 Nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết;

 Chuyển thể vấn đề thành một bài toán

Giai đoạn thứ hai: Phần suy diễn của quy trình mô hình hóa Một khi HS đã chuyển

thể được vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình có thể tiếp tục trong toán học HS sẽ đặt những câu hỏi như: "liệu có…không?", "nếu như vậy, thì có bao nhiêu…?", "làm thế nào tôi có thể tìm…?", bằng cách dùng các kỹ năng và khái niệm toán học đã biết Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình về bối cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, thiết lập các quy tắc, xác định các nối kết và sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn Trong phần này, những quá trình khác với suy diễn cũng có thể tham gia Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm:

 Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau;

 Dùng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán;

 Hoàn thiện và điều chỉnh, kết hợp và tích hợp các mô hình toán;

 Lập luận;

 Tổng quát hóa

Trang 19

Giai đoạn thứ ba: Giai đoạn cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề liên quan

đến việc phản ánh về toàn bộ quy trình toán học hóa và các kết quả Ở đây, HS phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc và công nhận toàn bộ quy trình Phản ánh như vậy xảy ra ở tất cả các giai đoạn của quy trình, nhưng nó đặc biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận Những khía cạnh của quá trình phản ánh và công nhận này là:

 Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học;

 Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích và kiểm tra các kết quả;

 Giao tiếp quá trình đó và lời giải;

 Phê phán mô hình và các hạn chế của nó

2.1.3 Bài toán tính thể tích khối tròn xoay

Một ví dụ cho thấy cách khai thác quy trình toán học hoá của PISA để giải quyết

một vấn đề thực tế: Một người thợ thủ

công cần thổi một lọ hoa bằng thủy tinh

Lọ hoa có đặc điểm: mặt ngoài và mặt

trong có dạng mặt nón cụt; mặt ngoài có

bán kính đáy nhỏ là 6cm; bán kính đáy

lớn là 15cm; mặt trong có bán kính đáy

nhỏ là 17/3cm; bán kính đáy lớn là

14cm; khoảng cách giữa mặt trên và mặt

dưới phía trong là 25cm; đáy lọ hoa dày

2cm Hỏi người thợ thủ công cần ít nhất

bao nhiêu cm 3 thủy tinh để có thể làm

được lọ hoa?

Quy trình toán học hóa 5 bước được thể

hiện trong bài toán này như sau:

Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế: tính thể tích thủy tinh tối

thiểu để có thể làm được lọ hoa

Bước 2: Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định lĩnh vực toán học phù

hợp Mặt trong và mặt ngoài của lọ hoa có dạng mặt nón cụt Phần không gian trong

lọ hoa có dạng khối nón cụt Phần không gian trong lọ hoa cùng với phần thủy tinh của lọ hoa có dạng khối nón cụt

Trang 20

Bước 3: Thực hiện các quá trình đặt giả thuyết, tổng quát và hình thức hóa, khuyến

khích những khía cạnh toán học của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế Vấn đề được chuyển thành việc xác định hiệu thể tích của hai khối nón cụt

Bước 4: Giải quyết bài toán: sử dụng công thức tính thể tích của khối nón cụt:

1

,3

V   R Rrr h

trong đó:  R, r lần lượt là bán kính của đáy lớn và đáy nhỏ của khối nón cụt;

 h là chiều cao của khối nón cụt

Thể tích phần không gian phía trong lọ hoa là:

2 2

(cm )Thể tích thủy tinh tối thiểu để làm lọ hoa là:

2 1 9919, 26 8044, 46 1874, 46

(cm )

Bước 5: Làm cho lời giải bài toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế, bao

gồm việc xác định những hạn chế của lời giải Bề mặt phía trong và bề mặt phía ngoài của lọ hoa ảnh hưởng đến tính thực tiễn của lời giải toán học Nếu hai bề mặt này không phải là mặt nón thì việc tính toán có thể phức tạp hơn, hoặc sử dụng công thức tính thể tích của nhiều khối đa diện, khối trụ, khối tròn xoay khác cùng với nhiều bước biến đổi trung gian

Năm bước của quy trình toán học hóa trong bài toán này có thể được chia theo 3 giai đoạn như sau:

Giai đoạn thứ nhất: Xác định lĩnh vực toán học phù hợp với vấn đề đặt ra trong

thực tế: Tính thể tích khối thủy tinh có hình dạng các khối nón cụt Biểu diễn vấn đề theo một cách khác, bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp Vấn đề được chuyển thành việc xác định hiệu thể tích của hai khối nón cụt Bài toán chỉ giải quyết được khi bề mặt của bình thủy tinh nhẵn Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến: thể tích khối thủy tinh luôn bằng hiệu thể tích hai khối nón cụt

Trang 21

Giai đoạn thứ hai: Tổng quát hóa, có thể tính được thể tích phần thủy tinh khi xác

định được mặt ngoài của vật liệu và mặt trong của vật liệu là các mặt tròn xoay hoặc

mặt xung quanh của đa diện đặc biệt Một cách tổng quát, nếu khối hình T nằm trong khối hình N mà ta có thể xác định được thể tích khối hình T và khối hình N thì

ta có thể xác định được thể tích của mọi vật liệu là phần bù của khối hình T trong khối hình N bằng cách lấy thể tích của khối hình N trừ đi thể tích của khối hình T Giai đoạn thứ ba: Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học, phê

phán mô hình và các hạn chế của nó: Nếu hai bề mặt thủy tinh phía trong và bề mặt thủy tinh phía ngoài không phải là mặt nón thì việc tính toán có thể phức tạp hơn hoặc sử dụng nhiều công thức tính thể tích với nhiều bước biến đổi trung gian Nếu

đã biết khối lượng riêng của vật liệu làm bình hoa thì ta không cần sử dụng công thức toán học vẫn có thể xác định được thể tích vật liệu làm bình hoa bằng cách đo khối lượng bình hoa và lấy khối lượng thực tế của bình hoa chia cho khối lượng riêng của vật liệu Trong bài này, ta có thể bớt đi giả thiết về một số đại lượng và tìm lại được nó bằng các định lí của hình

học Chẳng hạn, ta có thể bỏ qua điều kiện

"Mặt trong của lọ hoa có bán kính đáy

nhỏ là 17/3cm" Đại lượng này được tìm

2.2 Đánh giá toán trong PISA

2.2.1 Các ý tưởng bao quát

Trong nhiều thế kỷ, toán học nổi bật như là một khoa học về số, cùng với hình học không gian tương đối Giai đoạn những năm 500 TCN ở Mesopotamia, Ả Rập và Trung Quốc người ta thấy nguồn gốc về khái niệm số Các phép toán về số và đại lượng, bao gồm các đại lượng thu được từ những đo đạc hình học đã được phát

Trang 22

triển Từ năm 500 TCN đến năm 300 SCN là giai đoạn của toán học Hy Lạp, nó chú trọng chủ yếu vào việc nghiên cứu hình học như một lý thuyết tiên đề Những người

Hy Lạp đã đảm nhận trách nhiệm xác định lại toán học như là một khoa học hợp nhất về số và hình Thay đổi chính kế tiếp xảy ra từ năm 500 đến 1300 trong thế giới Hồi Giáo, Ấn Độ, Trung Quốc, nó đã thiết lập nên đại số như là một ngành của toán học Điều đó đã mở ra việc nghiên cứu về các mối quan hệ Với những phát minh độc lập về phép tính vi tích phân (nghiên cứu về thay đổi, sự phát triển và giới hạn) bởi Newton và Leibniz vào thế kỷ XVII, toán học đã trở thành một nghiên cứu được tích hợp về số, hình, thay đổi và các mối quan hệ

Trong hai thế kỷ XIX và XX người ta thấy sự bùng nổ của tri thức toán học Các hiện tượng và vấn đề có thể được tiếp cận bằng công cụ toán học Những điều đó bao gồm tính ngẫu nhiên và tính không xác định Những phát triển này làm cho việc trả lời câu hỏi "Toán học là gì?" ngày càng khó trả lời Vào thời điểm của thế kỷ mới, nhiều người thấy toán học như là một khoa học của các quy luật (theo nghĩa tổng quát) Như vậy, một lựa chọn về các ý tưởng bao quát có thể được thực hiện

sao cho nó phản ánh những phát triển này: các quy luật về đại lượng, về không gian

và hình và về thay đổi và các mối quan hệ tạo nên các khái niệm trung tâm và chính

yếu cho bất kỳ một mô tả nào về toán học, và chúng tạo nên "trái tim" của bất kỳ chương trình toán nào ở trung học, cao đẳng hay đại học Nhưng hiểu biết toán có hàm ý rộng hơn Việc xử lý tính không chắc chắn từ một quan điểm khoa học và toán học là chính yếu Với lý do này, các yếu tố của lý thuyết xác suất và thống kê

sản sinh ra ý tưởng bao quát thứ tư: tính không chắc chắn

Với bốn ý tưởng này, nội dung toán học được tổ chức thành một số các lĩnh vực đủ lớn để bảo đảm trải rộng các câu hỏi xuyên suốt chương trình toán phổ thông, nhưng đồng thời đủ nhỏ để tránh một sự phân chia quá chi tiết mà có thể đi ngược lại trọng tâm vào các vấn đề dựa trên các bối cảnh thực

Như vậy, danh sách các ý tưởng bao quát được sử dụng trong OECD/PISA đáp ứng được những đòi hỏi về phát triển có tính lịch sử, phủ được phạm vi và phản ánh

được các mạch kiến thức toán chính yếu của chương trình ở nhà trường

2.2.2 Các năng lực

Những quá trình toán học mà HS áp dụng khi các em nỗ lực giải quyết các vấn đề được hiểu là các năng lực toán học Mỗi năng lực có thể đạt được ở các mức độ thành thạo khác nhau Những phần khác nhau của toán học hóa sẽ huy động các năng lực khác nhau Để xác định và kiểm tra những năng lực này, OECD/PISA đã

Trang 23

quyết định sử dụng tám năng lực toán học đặc trưng theo công trình của Niss (1999)

và các đồng nghiệp Đan Mạch của ông bao gồm:

1 Tư duy và suy luận: Điều này liên quan đến việc đặt các câu hỏi đặc trưng

toán ("Có hay không…?", "Nếu như vậy, có bao nhiêu?", "Làm thế nào chúng ta tìm ?"); biết loại câu trả lời mà toán học có thể đáp ứng cho những câu hỏi như vậy; phân biệt các loại mệnh đề khác nhau (định nghĩa, định lý, phỏng đoán, giả thuyết, ví dụ, khẳng định có điều kiện); hiểu và xác định phạm vi cũng như các hạn chế của các khái niệm toán đã cho

2 Lập luận: Điều này liên quan đến việc biết các chứng minh toán học là gì và

chúng khác với các loại suy luận khác như thế nào; theo dõi và đánh giá các chuỗi lập luận toán của nhiều loại khác nhau; thu được cảm nhận về giải quyết vấn đề bằng kinh nghiệm ("điều có thể (không thể) xảy ra, và tại sao?"); tạo nên và trình bày các lập luận toán

3 Giao tiếp: Điều này liên quan đến việc bộc lộ mình, theo nhiều cách, về

những vấn đề với một nội dung toán, theo dạng nói cũng như dạng viết, hiểu được những mệnh đề được nói hay viết bởi những người khác về những vấn

đề như vậy

4 Mô hình hóa: Điều này liên quan đến việc cấu trúc lĩnh vực hay bối cảnh

được mô hình hóa; chuyển thể "thực tế" thành các cấu trúc toán; giải thích các mô hình toán học theo nghĩa "thực tế"; làm việc với một mô hình toán; làm cho mô hình thỏa đáng; phản ánh, phân tích và đưa ra sự phê phán cũng như các kết quả của nó; giao tiếp về mô hình và các kết quả của nó (bao gồm hạn chế của các kết quả như vậy); và giám sát và điều khiển quá trình mô hình hóa

5 Đặt vấn đề và giải: Điều này liên quan đến việc đặt, định dạng và xác định

những loại khác nhau của các vấn đề toán (ví dụ: "thuần túy toán", "ứng dụng", "kết thúc mở" và "đóng"); và giải quyết nhiều dạng bài toán khác nhau theo nhiều cách

6 Biểu diễn: Điều này liên quan đến việc giải mã, mã hóa, chuyển thể, giải

thích và phân biệt giữa các dạng khác nhau của các biểu diễn của những đối tượng và bối cảnh toán học, và những mối quan hệ bên trong giữa các biểu diễn khác nhau; chọn và chuyển dịch giữa các dạng khác nhau của biểu diễn tùy theo bối cảnh và mục đích

Trang 24

7 Sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán: Điều này

liên quan đến việc giải mã và giải thích các ngôn ngữ ký hiệu và hình thức,

và hiểu được mối quan hệ của nó với ngôn ngữ tự nhiên; chuyên thể ngôn ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ ký hiệu hay hình thức; xử lý các mệnh đề và biểu thức chứa các ký hiệu và công thức; dùng các biến số, giải các phương trình và thực hiện các phép tính

8 Sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: Điều này liên quan đến việc biết và

có khả năng sử dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau (bao gồm công

cụ công nghệ thông tin) có thể trợ giúp cho hoạt động toán, và biết các hạn chế của những loại công cụ đó

a) Cụm năng lực tái tạo

Những năng lực trong cụm năng lực tái tạo liên quan chủ yếu đến sự tái tạo của kiến thức đã được thực hành Chúng bao gồm những điều thường hay được dùng nhiều nhất trong các đánh giá chuẩn hóa và kiểm tra ở lớp

Những năng lực này là:

- Kiến thức về các sự kiện và các biểu diễn vấn đề chung;

- Sự nhận ra các tương đồng;

- Thu thập lại những đối tượng và tính chất toán học quen thuộc;

- Sự thể hiện các quy trình quen thuộc;

- Áp dụng các thuật toán tiêu chuẩn và kỹ năng có tính kỹ thuật;

- Thao tác với các biểu thức chứa ký hiệu và công thức theo dạng chuẩn;

Trang 25

thuộc nhưng vẫn có liên quan đến cấu trúc gần như quen thuộc Những câu hỏi kết hợp với cụm này thường đòi hỏi một vài chứng cứ về sự tích hợp và liên kết tài liệu

từ nhiều ý tưởng bao quát hay từ các mạch kiến thức chương trình khác nhau, liên

kết giữa các biểu diễn khác nhau của một vấn đề Các câu hỏi đánh giá các nặng lực

cụm năng lực liên kết có thể được mô tả bởi các chỉ số mô tả sau: tích hợp, liên kết

và mở rộng khiêm tốn các tài liệu đã thực hành

c) Cụm năng lực phản ánh

Năng lực trong cụm năng lực phản ánh liên quan đến khả năng của HS vạch chiến lược giải và tìm công cụ giải các vấn đề không quen thuộc Ngoài các năng lực được mô tả trong cụm năng lực liên kết, đối với cụm năng lực phản ánh còn bao gồm:

Tư duy và suy luận: Điều này liên quan đến việc hiểu và thao tác các khái niệm

toán học trong các tình huống mới hoặc phức tạp; tổng quát hóa kết quả

Lập luận: Điều này liên quan đến suy luận toán đơn giản, phân biệt giữa các chứng

minh và các dạng rộng hơn của lập luận và suy luận; theo dõi được và đánh giá chuỗi các lập luận toán học theo các dạng khác nhau, sử sụng phương pháp giải quyết vấn đề bằng kinh nghiệm (như "điều gì có thể hay không thể xảy ra, hay trường hợp nào và tại sao?", "chúng ta biết gì và chúng ta cần thu được gì?")

Giao tiếp: Điều này liên quan đến việc giải thích các vấn đề bao gồm các mối quan

hệ phức tạp

Mô hình hóa: Điều này liên quan đến việc chuyển thể "thực tiễn" thành các cấu

trúc toán học trong bối cảnh phức tạp và khác xa so với những gì HS thường làm quen ở nhà trường

Đặt vấn đề và giải quyết vấn đề: Điều này liên quan đến việc giải quyết vấn đề

bằng cách dùng các tiếp cận và quy trình tiêu chuẩn, nhưng các quá trình giải quyết vấn đề này là không quen thuộc và đòi hỏi sự kết nối giữa các miền toán học khác nhau, các loại biểu diễn khác nhau và các giao tiếp khác nhau (giản đồ, biểu đồ, đồ thị, hình, chữ)

Biểu diễn: Điều này liên quan đến việc tạo ra sự kết nối giữa các biểu diễn và phát

minh ra những biểu diễn không tiêu chuẩn

Sử dụng ngôn ngữ ký hiệu hình thức, kỹ thuật và các phép toán: Điều này liên

quan đến việc xử lý các mệnh đề và các biểu thức phức tạp bằng các ký hiệu không quen thuộc hay ngôn ngữ hình thức; và cũng liên quan đến việc hiểu và chuyển đổi giữa ngôn ngữ đó với ngôn ngữ đời thường

Trang 26

Sử dụng các trợ giúp và công cụ: Điều này liên quan đến việc biết và sử dụng các

trợ giúp và công cụ quen thuộc hay không quen thuộc vào các tình huống khác với những gì đã được giới thiệu và thực hành; nó cũng liên quan đến việc biết về các hạn chế của các công cụ

Có thể hình dung sự khác biệt giữa các cụm năng lực qua bảng tóm tắt sau:

Cụm năng lực tái tạo Cụm năng lực liên kết Cụm năng lực phản ánh

 Những biểu diễn và

định nghĩa tiêu chuẩn

 Mô hình hóa  Đặt và giải quyết các

vấn đề phức tạp

 Các tính toán quen

thuộc

 Dịch chuyển và giải thích, giải quyết vấn

 Tiếp cận toán học nguyên bản

 Giải quyết vấn đề quen

thuộc

 Các phương pháp phức tạp bội

 Tổng quát hóa

Hình 2.6 Biểu diễn các cụm năng lực

2.2.4 Thay đổi và các mối quan hệ

Tất cả các hiện tượng tự nhiên là một biểu hiện của sự thay đổi Một số ví dụ như những sinh vật thay đổi khi chúng lớn, chu kỳ của mùa, dòng chảy của thủy triều, chu kỳ cho tỷ lệ thất nghiệp và thay đổi thời tiết Một số của các quá trình thay đổi

có thể được mô tả hoặc mô hình hóa bởi một số kiến thức toán học khá đơn giản (như tuyến tính, mũ, tuần hoàn hay logarit, rời rạc hay liên tục) Nhưng nhiều mối quan hệ lại rơi vào những phạm trù khác nhau, và phân tích dữ liệu thường xuyên là rất cần thiết Việc sử dụng công nghệ máy tính đã dẫn đến các kỹ thuật xấp xỉ mạnh hơn và tinh vi hơn trong việc thu thập dữ liệu Các mẫu dữ liệu của sự thay đổi trong tự nhiên và trong toán học không theo nghĩa của các nội dung toán học được trình bày theo truyền thống (các trình bày theo truyền thống thường quá đẹp)

PISA có nhiều quan tâm đến các mô hình của sự thay đổi và mục đích đánh giá xem

HS có thể:

Trang 27

 Trình bày những thay đổi theo một hình thức dễ hiểu;

 Tìm hiểu các loại cơ bản của sự thay đổi;

 Nhận dạng cụ thể của những thay đổi khi chúng xảy ra;

 Áp dụng những kỹ thuật này đến với thế giới bên ngoài;

 Kiểm soát sự thay đổi thế giới theo hướng tạo lợi thế tốt nhất

Các mối quan hệ có thể cho ta nhiều biểu diễn khác nhau, bao gồm kí hiệu, đại số,

đồ thị, bảng và hình Các biểu diễn khác nhau có thể phục vụ cho những mục đích khác nhau và có những tính chất khác nhau Do đó, sự chuyển dịch giữa các biểu diễn khác nhau thường là chìa khóa quan trọng trong việc xử lý các bối cảnh hay các nhiệm vụ

Ta sẽ hiểu rõ hơn qua bài toán Chiều cao trung bình Năm 1998 chiều cao trung

bình của cả hai giới trẻ nữ và giới trẻ nam ở Hà Lan được thể hiện ở đồ thị sau:

Câu hỏi 1: Chiều cao

trung bình

Theo đồ thị này, giai

đoạn nào trong cuộc

đời mà chiều cao trung

bình của nữ hơn nam ở

triển chiều cao của con gái chậm lại sau 12 tuổi

Trong thời đại bùng nổ thông tin, cách thức truyền tải thông tin là một trong những vấn đề mà người ta quan tâm Sự xuất hiện của biểu đồ, đồ thị ngày càng phổ biến Thông tin có thể tìm thấy ở bất kỳ đâu, trên internet, trên tivi, trên báo hay tạp chí Nếu gặp khó khăn trong việc đọc biểu bảng nhiều khi còn được xem là "mù số"

Chiều cao trung bình là một bài toán của PISA nhằm kiểm tra khả năng đọc đồ thị của HS với ý tưởng bao quát là "thay đổi và các mối quan hệ", tập trung vào thay

đổi chiều cao liên quan đến tuổi tác

Trang 28

Câu hỏi 1 thuộc cụm năng lực tái tạo; các nội dung toán học được mô tả thuộc kiểu

"dữ liệu": HS được yêu cầu so sánh đặc điểm của hai bộ dữ liệu, giải thích các bộ

dữ liệu và rút ra kết luận HS cần phải suy nghĩ và tìm ra lý do (nơi làm hai đồ thị

có điểm chung?) Sử dụng năng lực lập luận để giải thích những điểm này nhằm tìm

kiếm câu trả lời như mong muốn Câu hỏi này đòi hỏi HS phải:

 Giải thích và sử dụng đồ thị;

 Đưa ra kết luận trực tiếp từ đồ thị;

 Trình bày kết quả lập luận của mình một cách chính xác

Câu hỏi 2 thuộc cụm năng lực liên kết Nó yêu cầu HS giải quyết một vấn đề trong

một tình huống không bình thường, mặc dù vẫn liên quan đến những thiết lập quen thuộc HS cần phải suy nghĩ và đưa ra lý do (các câu hỏi có ý nghĩa gì về mặt toán học), thiết lập các biến số, và giao tiếp một cách thích hợp (không phải chỉ đơn giản

là nhớ lại các quy trình) HS cũng cần giải quyết vấn đề và giải mã các biểu đồ Các câu hỏi chắc chắn sẽ không quen thuộc nên đòi hỏi HS phải thông minh trong việc liên kết các ý tưởng và thông tin khác nhau Câu hỏi đặt ra đòi hỏi HS phải:

 Thể hiện sự hiểu biết toán học;

 Phân tích các đường cong tăng trưởng khác nhau;

 Đánh giá các đặc điểm của một tập hợp các dữ liệu, đại diện trên đồ thị;

 Lưu ý và giải thích độ dốc khác nhau ở những điểm khác nhau của đồ thị;

 Trình bày lý do và các lập luận của mình một cách rõ ràng và chính xác

Tóm tắt chương 2: Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một số vần đề liên

quan đến nền tảng lịch sử của đề tài Chúng tôi cũng đã cung cấp nền tảng lý thuyết dựa trên khuôn khổ đánh giá toán của PISA Những kết quả này làm cơ sở để thiết

kế Bộ đề kiểm tra và Bảng hỏi trong chương tiếp theo

Trang 29

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU

Chương này mô tả phương pháp được sử dụng để tiến hành nghiên cứu Nó được chia thành các tiểu mục: (1) Thiết kế nghiên cứu; (2) Đối tượng tham gia; (3) Công

cụ nghiên cứu và (4) Hạn chế

1 Thiết kế nghiên cứu

Trước hết chúng tôi sẽ sử dụng thiết kế nghiên cứu khảo cứu lịch sử Việc lựa chọn

thiết kế nghiên cứu này với mục đích tìm hiểu các kết quả nghiên cứu có liên quan

đến vấn đề toán học hóa; quy trình toán học hóa và nội dung toán "thay đổi và các

mối quan hệ" trong khuôn khổ của PISA

Đồng thời chúng tôi sử dụng thiết kế nghiên cứu khảo sát Khảo sát được tiến hành

trên mẫu gồm 244 HS lớp 10 ở năm trường THPT trên địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế

qua hai công cụ điều tra chính là Bộ đề kiểm tra và Bảng hỏi Mục đích của khảo sát

là thu thập các thông tin liên quan đến toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" như: năng lực của HS; thái độ của HS và thực trạng toán học nhà trường ảnh

hưởng đến HS

2 Đối tượng tham gia

Đối tượng tham gia nghiên cứu này gồm 244 HS đang theo học lớp 10 ở năm trường THPT trên địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế, cụ thể là:

- 40 HS lớp 101 trường THPT Quốc Học, Thành phố Huế;

- 21 HS lớp 10SĐ (10 Sử Địa) trường THPT Quốc Học, Thành phố Huế;

- 35 HS lớp 10A4 trường THPT Hai Bà Trưng, Thành phố Huế;

- 41 HS lớp 10B2 trường THPT Hai Bà Trưng, Thành phố Huế;

- 39 HS lớp 10A10 trường THPT Nguyễn Đình Chiểu, huyện Phong Điền, tỉnh Thừa Thiên Huế;

- 37 HS lớp 10B4 trường THPT Đặng Huy Trứ, huyện Phong Điền, tỉnh Thừa Thiên Huế;

- 31 HS lớp 10B5 trường THPT Đặng Huy Trứ, huyện Phong Điền, tỉnh Thừa Thiên Huế

3 Công cụ nghiên cứu

Chúng tôi cố gắng thiết kế Bộ đề kiểm tra và Bảng hỏi phỏng theo công cụ điều tra

chính của PISA và việc đánh giá mức độ hiểu biết của HS cũng dựa trên khung

Trang 30

chuẩn của PISA Dưới đây là mô tả các mức độ hiểu biết về "thay đổi và các mối quan hệ" của PISA:

Cụm

năng lực

Mức độ hiểu biết Học sinh cần đạt được về "thay đổi và các mối quan hệ"

- Bắt đầu lý giải và dùng suy luận sơ cấp;

- Lý giải lời văn để đưa ra một mô hình toán học đơn giản trong một tình huống áp dụng;

Liên kết

Mức 3

- Làm việc với các biểu diễn có liên quan (lời văn, đồ thị, bảng số và đại số đơn giản) bao gồm một số lý giải và suy luận;

- Lý giải các biểu diễn bằng đồ thị không quen thuộc của các tình huống thực tiễn;

- Liên kết và nối liền các biểu diễn có liên quan bội

Trang 31

3.1 Bộ đề kiểm tra

Bộ đề kiểm tra gồm 9 bài toán thực tế khác nhau, được đặt trong những bối cảnh

riêng biệt Bối cảnh là vấn đề mà xã hội hay chính HS quan tâm Những nhiệm vụ

đặt ra trong các bài toán mà HS phải giải quyết về "thay đổi và các mối quan hệ" Dưới đây là các phân bố về "thay đổi và các mối quan hệ" trong Bộ đề kiểm tra:

Cụm năng lực Tái tạo Liên kết Phản ánh Tổng

Bảng 3.1 Tỉ lệ của các cụm năng lực trong "thay đổi và các mối quan hệ"

Loại câu hỏi Trả lời nhiều lựa

chọn

Trả lời có cấu trúc đóng

Trả lời có cấu trúc mở Tổng

Bảng 3.2 Tỉ lệ của các loại câu hỏi trong "thay đổi và các mối quan hệ"

 Bài toán 1: Chiều cao của trẻ

Trong nhiều năm, công thức tính chiều cao trung bình của

trẻ em (từ 1 đến 16 tuổi) được tính bởi công thức:

Câu hỏi 1: Chiều cao của trẻ

Chiều cao trung bình của trẻ 16 tuổi theo công thức mới là:

Em hãy cho biết chiều cao và ngày, tháng, năm sinh của mình, từ đó đưa ra nhận xét

về chiều cao của mình so với chiều cao trung bình mà công thức mới đưa ra?

Một bài báo đã viết "Trong những năm gần đây, chiều cao của con người tăng lên đáng kể Chẳng hạn, một trẻ em 10 tuổi có chiều cao trung bình tăng từ 15-20 cm"

Điều này có phù hợp với nghiên cứu gần đây ở trên không? Hãy trình bày kiến giải của em?

Trang 32

Thang điểm: Chiều cao của trẻ

Thang điểm câu hỏi 1

Điểm tối đa (1đ)

 Code 11: Chiều cao trung bình của trẻ 16 tuổi: 77 6 16 173   (cm ).Vậy đáp án đúng là B

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống

Loại câu hỏi: Câu trả lời nhiều lựa chọn Cụm năng lực: Tái tạo

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng

 Code 22: Đưa ra chiều cao và ngày, tháng, năm sinh của mình So sánh được chiều cao của mình với chiều cao trung bình theo công thức mới ứng với tuổi của mình (tuổi không làm tròn theo năm)

 Code 12: Thực hiện được các yêu cầu ở code 22 nhưng làm tròn tuổi của các em theo năm

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Cụm năng lực: Liên kết

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Cá nhân

 Code 23: Bài báo nhận xét đúng vì 77 6 10 – 75 5 9       17(cm);

 Code 13: Đồng ý với nhận xét của bài báo nhưng không có giải thích hoặc giải thích không chính xác

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc đóng Cụm năng lực: Phản ánh

Trang 33

 Bài toán 2: IQ (Intelligence Quotient)

Để tính toán chỉ số IQ, công

Câu hỏi 1: IQ Bảng phân bố IQ

Khảo sát bằng bài kiểm tra (60 câu hỏi) trên một nhóm khoảng 2000 HS đại diện

cho các HS lớp 8 thu được điểm trung bình µ = 35,5; độ lệch chuẩn σ = 11,4 Tuấn

là HS lớp 8, làm bài kiểm tra đạt 48 điểm Vậy IQ của Tuấn là bao nhiêu?

Câu hỏi 2: IQ

Dựa vào công thức và Bảng phân bố IQ, bạn hãy đưa ra điểm IQ trung bình của một

người và Tuấn thuộc nhóm đối tượng nào?

Câu hỏi 3: IQ

Em hãy đưa ra một điều chỉnh về giá trị của điểm trung bình và độ lệch chuẩn mà trong trường hợp đó Tuấn xếp chỉ thuộc nhóm những người sáng dạ mà thôi?

Thang điểm: IQ

 Code 11: Số IQ của Tuấn là: 100 15 (48 35,5) 116

Trang 34

 Code 22: IQ trung bình là 100 hoặc từ 85 đến 115 Tuấn thuộc nhóm người thông minh

 Code 12: Trả lời được một trong hai ý của code 22

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc đóng Cụm năng lực: Liên kết

 Code 13: Mỗi đáp án đưa ra thỏa mãn đều được điểm Ví dụ: điểm trung

bình µ = 35,5; độ lệch chuẩn σ = 13

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Cá nhận

 Bài toán 3: Giá thuê môtô lướt sóng

Trên một bãi biển ở Đà Nẵng, giá thuê

môtô lướt sóng được tính theo mỗi gói

15 phút Giá thuê gói sau thấp hơn gói

trước là 50.000(VNĐ) Một người kinh

doanh đã treo biển báo giá thuê môtô

lướt sóng như sau:

Câu hỏi 1: Giá thuê môtô lướt sóng

Nếu thuê môtô lướt sóng trong 45 phút thì số tiền cần phải trả là:

Trang 35

Từ gói thứ 5, giá thuê môtô lướt sóng không giảm mà giữ nguyên mức giá của gói thứ 4 Nếu thuê 90 phút thì phải trả số tiền là bao nhiêu?

Người tiểu thương nhận thấy rằng bảng giá vẫn chưa kích thích được du khách sử dụng môtô lướt sóng trong thời gian dài nên đã quyết định giảm giá Em hãy giúp lập ra một bảng giá mới có thể kích thích khách sử dụng trong thời gian dài và giá thuê 60 phút đầu không cao hơn 1 triệu?

Giá tiền (VNĐ)

Thang điểm: Giá thuê môtô lướt sóng

 Code 11: Giá thuê 45 phút là:

Loại câu hỏi: Câu trả lời nhiều lựa chọn Cụm năng lực: Liên kết

 Code 12:

Giá thuê của gói thứu 4 là: 1.100.000 900.000 200.000Vậy giá thuê 90 phút là: 1.100.000 2 200.000 1.500.000   (VNĐ) Không có điểm (0đ)

Trang 36

 Code 23: Có nhiều phương án khác nhau Dưới đây là một ví dụ (sau mỗi gói giảm 3/10 giá trị của gói trước):

Thời gian 15 phút 30 phút 45 phút 60 phút Giá tiền (VNĐ) 350.000 595.000 767.000 887.000

 Code 13: Bảng giá lập ra chỉ thỏa mãn một trong hai điều kiện: không vượt qua 1 triệu hoặc mức giá có thể kích thích thời gian thuê môtô lướt sóng hơn bảng giá cũ

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Cụm năng lực: Phản ánh

 Bài toán 4: Số HS đậu đại học

Câu hỏi 1: Số HS đậu đại học

Trường nào có tỉ lệ HS đậu đại học cao nhất?

Nếu số HS đậu đại học của trường E là 120 Hãy tìm số HS lớp 12A2 thi đậu đại học và số HS của trường E tham gia thi đại học?

Dựa vào đồ thị Bình nói "Số HS đậu đại học của trường D nhiều hơn trường E"

Hãy trình bày quan điểm của em về nhận xét đó?

Trang 37

Thang điểm: Số HS đậu đại học

 Code 11: Trường A, số HS đậu ại học chiếm tỉ lệ 90%

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc đóng Cụm năng lực: Tái tạo

 Code 22:

 Số hoc sinh lớp 12A2 đậu đại học là : 120 20% 24(hs);

 Số HS trường E tham gia thi đại học là: 120 100 240( )

 Code 23: Chỉ dựa vào chiều cao của cột biểu đồ thì chưa đủ cơ sở để kết luận Chẳng hạn số HS tham gia thi đại học của trường E là 400 HS

và trường D là 240 HS, khi đó số HS đậu đại học của trường E là 200

HS, nhiều hơn số HS đậu đại học của trường D (144 HS đậu đại học);

 Code 13: Đưa ra kết luận đúng nhưng không giải thích hoặc giải thích không chính xác

Trang 38

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Cụm năng lực: Phản ánh

 Bài toán 5: Giá cước taxi

Dưới đây là bản giá cước xe taxi 4 chỗ của Hanoi Tourist Taxi (Hà Nội) và gon Air Taxi (Sài gòn)

Sai-Câu hỏi 1: Giá cước taxi

Giá thời gian chờ của Saigon Air Taxi trong một giờ là:

Câu hỏi 2: Giá cước taxi

Em hãy điều chỉnh bảng giá của hãng Saigon Air Taxi khi giá xăng tăng lên 12%, biết rằng giá xăng chiếm 5% giá cước taxi?

Câu hỏi 3: Giá cước taxi

Hãy đưa ra nhận xét của mình về giá taxi của hai hãng taxi và nêu ra những dẫn chứng cho nhận xét của mình?

Thang điểm: Giá cước taxi

 Code 11: Số tiền phải trả trong một giờ chờ của hãng Saigon Air Taxi là:

602.000 40.000

Trang 39

 Code 12:

 Điều chỉnh giá cước taxi tăng lên 12% 5% 0, 6%

 Giá thời gian chờ tăng lên hay giữ nguyên đều được

 Code 23: Hãng Hanoi Tourist Taxi có giá cước rẽ hơn Có thể vẽ biểu đồ hay lấy các giá trị đại diện đều chấp nhận;

 Code 23: Kết luận đúng nhưng không giải thích hoặc giải thích không chính xác

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Cụm năng lực: Phản ảnh

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Cộng đồng

 Bài toán 6: Đèn giao thông tại ngã 6

Tại một ngã 6 người ta đặt ba bộ đèn báo giao thông Tại

một thời điểm chỉ có một đèn xanh hoặc vàng

Câu hỏi 1: Đèn giao thông tại ngã 6

Hoàn thành những ô còn trống ở bảng các thông số của ba

đèn giao thông sau, thời gian tính bằng giây (s):

Đèn giao thông Thời gian xanh (s) Thời gian vàng (s) Thời gian đỏ (s)

Trang 40

Khi đèn giao thông 1 bắt đầu xanh thì trạng thái của các đèn giao thông như thế nào sau 88 giây?

Hãy lập bảng thông số của ba đèn giao thông thỏa điều kiện các đèn đều có cùng thời gian xanh?

Bộ đèn giao thông Thời gian xanh

(tính bằng giây)

Thời gian vàng (tính bằng giây)

Thời gian đỏ (tính bằng giây)

1

2

3

Thang điểm: Đèn giao thông tại ngã 6

 Code 11: Điền đúng cả hai ô HS phải nhận ra quy luật tổng thời gian

xanh và vàng của 2 đèn bằng thời gian đỏ của đèn còn lại (tổng thời gian của một chu kỳ là 90s)

 Code 12: Đèn giao thông 1, 2 đỏ; đèn giao thông 3 vàng Dưới đây là lời giải thích cho câu trả lời:

Định dạng
Số trang	85
Dung lượng	2,8 MB