Khám Phá Hàm Đa Thức Và Hàm Hữu Tỷ, Giới Hạn Và Đạo Hàm Theo Sách Precalculus

Trong bối cảnh thực hiện công cuộc cải cách, đổi mới giáo dục, Paul đã đưa ra cách tiếp cận chủ đề một cách cẩn thận, bằng việc phân tích dữ liệu, mô hình hóa và thống kê, đem lại sự hứng thú, đam mê cho người học. Paul đã rất thành công khi soạn ra cuốn sách có giá trị đặc biệt này, nó sẽ luôn được các giáo viên, sinh viên theo ngành ưa chuộng và sử dụng. Thời đại thông tin là một động lực cho sự phát triển giáo dục nhưng một số giáo viên đã chưa thật sự có trách nhiệm để phát triển những kĩ năng toán học cho học sinhPrecaculus là một giải pháp, nó làm hài lòng tất cả chúng ta, học sinh, sinh viên, giáo viên. Có thể nói, được dịch và tìm hiểu cuốn sách này là điều thú vị cho mỗi thành viên của nhóm. Qua việc tìm hiểu đó sẽ giúp chúng tôi thấy được sự giống nhau và khác nhau của sách nước ngoài và sách giáo khoa Việt Nam.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÁO CÁO NHÓM

Đề tài:

KHÁM PHÁ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỶ, GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM THEO SÁCH PRECALCULUS.

Giáo viên hướng dẫn: NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC Lớp: TOÁN 3A

Nhóm: 01

HUẾ, NĂM 2013

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 4

B NỘI DUNG 1 Tác giả và tác phẩm 5

1.1 Tác giả 5

1.2 Tác phẩm 5

2 Đa thức và hàm hữu tỉ, giới hạn và đạo hàm 6

2.1 Nhắc lại về hàm số 7

2.2 Đồ thị và nghiệm của đa thức 8

2.2.1 Đồ thị của hàm đa thức 8

2.2.2 Tìm nghiệm của hàm đa thức 9

2.3 Điều chỉnh của hàm đa thức để phù hợp với dữ liệu 21

2.4 Hàm hữu tỉ 33

2.4.1 Sự gián đoạn và giới hạn 33

2.4.2 Phân thức đơn giản 36

2.5 Tốc độ biến thiên tức thời của một hàm: đạo hàm 40

2.6 Nhắc nhở và kiểm tra 50

3 Điểm tương đồng và khác biệt so với sách giáo khoa môn Toán nước ta 64

A.MỞ ĐẦU

Trong bối cảnh thực hiện công cuộc cải cách, đổi mới giáo dục, Paul đã đưa ra cáchtiếp cận chủ đề một cách cẩn thận, bằng việc phân tích dữ liệu, mô hình hóa và thống

kê, đem lại sự hứng thú, đam mê cho người học

Paul đã rất thành công khi soạn ra cuốn sách có giá trị đặc biệt này, nó sẽ luôn đượccác giáo viên, sinh viên theo ngành ưa chuộng và sử dụng

Thời đại thông tin là một động lực cho sự phát triển giáo dục nhưng một số giáo viên

đã chưa thật sự có trách nhiệm để phát triển những kĩ năng toán học cho học Precaculus là một giải pháp, nó làm hài lòng tất cả chúng ta, học sinh, sinh viên, giáoviên

sinh-Có thể nói, được dịch và tìm hiểu cuốn sách này là điều thú vị cho mỗi thành viên củanhóm Qua việc tìm hiểu đó sẽ giúp chúng tôi thấy được sự giống nhau và khác nhaucủa sách nước ngoài và sách giáo khoa Việt Nam

B.NỘI DUNG:

1.2 Tác phẩm :

Cuốn sách Precalculus của tác giả Paul A.Foerster bao gồm 15 chương :

+ Chương 1: Hàm số và mô hình toán học

+Chương 2: Hàm tuần hoàn và tam giác vuông

+Chương 3:Ứng dụng của lượng giác và hàm đường tròn

+Chương 4: Tính chất của hàm lượng giác, hàm đồng nhất và hàm tham số

+Chương 5 : Tính chất của đường hình sin

+Chương 6: Lượng giác trong tam giác

+Chương 7: Tính chất của hám sơ cấp

+Chương 8: Điều chỉnh hàm số cho phù hợp với dữ liệu

+Chương 9:Tính khả thi, hàm biến ngẫu nhiên

+Chương 10: Không gian ba chiều

+Chương 11: Chuyển ma trận và hình học Fractal

+Chương 12: Tiết diện conic và mặt bậc hai của hình học giải tích

+Chương 13: Tọa độ cực, số phức

+Chương 14:Dãy số và chuỗi số

+Chương 15: Đa thức và hàm hữu tỉ, giới hạn và đạo hàm

Paul đã soạn ra cuốn sách này nhằm mục đích hướng dẫn cho học sinh, sinh viên, giáoviên hướng dẫn phương pháp tiếp cận, lựa chọn cơ cấu chủ đề và nội dung giảng dạy

2 Đa thức và hàm hữu tỉ, giới hạn và đạo hàm:

Con ong bay giật lùi và tiến về phía trước mặt bông hoa Khoảng cách từ nó đến bông hoa là một hàm số theo thời gian Nó biến đổi theo vận tốc, vì vậy bạn không thể tìm khoảng cách tuyệt đối đó bằng tí số nhân theo thời gian Bạn có thể sử dụng

khái niệm của giới hạn, bạn sẽ thấy điều đó trong sự liên kết với cấp số nhân, để tìm vận tốc tức thời của con ong bằng cách lấy giới hạn của vận tốc trung bình trong khoảng thời gian rất ngắn.

Cái nhìn tổng quan:

Trong chương này bạn sẽ tìm hiểu về hàm đa thức.bạn sẽ tìm các giá trị làm chohàm số bằng 0 ( giá trị 0 ), sự tổng quát hóa của khái niệm điểm x-gián đoạn các phươngpháp bạn học sẽ cho phép bạn đi đến giải tích hàm hữu tỉ, với f(x) là tỉ số của hai đathức.Tỉ số này coa thể biểu diễn tốc dộ biến thiên trung bình Giới hạn là tốc độ biếnthiên tức thời, gọi là đạo hàm Bạn sẽ tìm tiểu qua 4 mặt sau:

 Về mặt đồ thị: Đồ thị của hàm đa thức, f(x)= x4−8 x2−8x+15 , có 2 điểm

x-gián đoạn ( Hình 2-0a )

Hình 2-0a

 Về mặt đại số: f(x)= x4+0x3-8x2-8x+15

=(x-1)(x-3)(x+2+i)(x+2-i)

 Về mặt trị số: f(1)=0, f(3)=0, f(-2-i)=0, và f(-2+i)=0

Các giá trị làm cho hàm số trên bằng 0 là x=1, x=3, x=-2-i, và x=-2+i

 Phát biểu bằng lời: Ta nói rằng hàm số bặc 4 có đúng 4 giá trị làm cho hàm sốbằng 0 nếu miền xác định của hàm số có chứa số phức Nói cách khác, chúng tacho phép có số phức làm cho hàm số có giá trị 0

2.1 Nhắc lại về hàm số:

Hình 2-1a biểu diễn đồ thị của ba hàm bậc ba, f, g, và h Trong phần này bạn sẽ học cách

vẽ đồ thị và một số tính chất đại số của hàm bậc ba

5 Hàm g có phương trình g(x)=x-4x-3x+18 Chứng thực trên đồ thị của bạn rằnghàm g có đồ thị được biễu diễn như hình 2-1a Sự giống nhau và khác nhau làmbạn chú ý trong dồ thị của hàm g và f là gì?

6 Biểu diễn về mặt đại số rằng -2 là giá trị 0 của g(x) Giải thích tại sao phương tìnhcủa g có thể viết là g(x)=(x+2)( ? ) Tìm các hệ số còn lại Nếu có thể, kết quả sẽcho hơn hai hệ số tuêns tính Bạn chú ý điều gì về hai hệ số đó?

7 Có ba giá trị 0 của g(x), một dành cho hệ sôd tuyến tính Giải thích tại sao g(x) cónghiệm kép Đậc điểm gì làm cho đồ thị g có nghiệm kép?

8 Hàm h có phương trình là h(x)=x-4x-3x+54 Chứng thực trên đồ thị của bạn rằng

đồ thị trong hình 2.1-1 là đúng h(x) có bao nhiêu giá trị 0?

9 Biểu diễn về mặt đại số rằng h(-3)=0 và h(x)=(x+3)( ? ) Tìm hệ số còn lại và nódần đến 0 Tìm hai nghiệm phức của h(x)

10 Điều gì là đúng khi nói về đồ thị của hàm bậc ba nếu nó có nghiệm phức?

11 Tổng kết những gì bạn học chính là kết quả của việc làm trong nội dung này

2.2 Đồ thị và nghiệm của hàm đa thức:

Trong phần trên chúng ta đã bắt gặp hàm bậc ba, hàm đa thức bậc ba Trong phầnnày bạn sẽ học làm thế nào đẻ nhận ra hàm đa thức bậc ba từ đồ thị của nó và làm

cách nào để tìm giá trị 0, giá trị của x mà tại đó y=0 Một số giá trị 0 là số thực chính

là điểm x gián đoạn, và các số phức khác không có trên đồ thị

Mục tiêu: Cho hàm đa thức,

 Nói đến đồ thị, bậc có thể có của nó, và ngược lại

 Tìm giá trị 0 từ phương trình hoặc đồ thị

hệ số dẫn đầu, chú ý rằng mỗi số hạng có dạng lũy thừa của một biến, vì vậy ta có thểnghĩ hàm đa thức là tổng hữu hạn của các hàm lũy thừa Số mũ của hàm đa thức phải là

số nguyên không âm vì vậy không có phép chia của biến và phép lấy căn

Hình 2-2a

Bạn có thể thấy từ hình 2-2a, hàm bậc hai có hai nhánh, hướng xuống hoặc hướng lên,kết quả là có hai giá trị 0 và một điểm cực trị ( hoặc cực đại hoặc cực tiểu ) Một hàm bậc

ba có thể có ba nhánh, kết quả có ba giá trị và hai điểm cực trị, và hàm bậc 4 có thể cóbốn nhánh cho bốn giá trị không và ba điếm cực trị Tổng quát, đồ thị của hàm đa thứcbậc n có thể có tới n nhánh hướng lên hoặc hướng xuống, kết quả có tới n già trị 0 mànhánh đó cắt trục x và có tới n-1 điểm cực trị

Đây chính là định nghĩa chính thức nghiệm của hàm, bạn sẽ học cách làm thế nào để tìmtiếp

Định nghĩa: Nghiệm của hàm số

Nghiệm của hàm f là các giá trị x, c , sao cho f(c)=0

2.2.2 Tìm nghiệm của hàm đa thức: Phép thế tổng hợp

Phép thế tổng hợp là phương pháp để đánh giá hàm đa thức Giả sử rằng f(x)=x3-9x2x+105 và bạn muốn tìm f(6) bằng phép thế tổng hợp

- Viết 6 và các hệ số của f(x) như sau:

6 1 9 1 105

 Hạ hệ số dẫn đầu xuống, 1, bên dưới đường kẻ, nhân them cho 6, viết câu trả lờivào cột tiếp theo , dưới -9

 Cột -9 và 6, viết câu trả lời, -3, dưới đường kẻ nhân nó với 6, viết câu trả lời, -18,

ở trên đường kẻ lập lại các bước cộng và nhân như trên Kết quả cuối cùng là

Chú ý : Dạng “ hỗn số” được ở đây bởi vì sự đồng dạng của dạng này với kết quả của sốchia khi có đư Ví dụ, khi ta chia 13 cho 4, thương là 3 và số đư là 1, ta có thể viết13

f(6) là ví dụ của định lý phần dư.

Định lý: Định lý phần dư

Nếu p(x) là đa thức, thì p(c) là số dư khi chia p(x) cho (x-c)

Hệ quả: Định lý nhân tử

(x-c) là nhân tử của đa thức p(x) nếu và chỉ nếu f(c)=0

Hệ quả là đúng vì nếu số dư bằng 0, thì (x-c) chia hết cho p(x).kết quả, (x-c) là nhân tửcủa p(x)

Hình 2-2b

a Biểu diễn rằng -1 là nghiệm của f(x) Tìm hai giá trị khác và kiểm tra bằng đồ thị

b Biểu diễn rằng -2 là nghiệm của g(x) Tìm hai giá trị khác và kiểm tra bằng đồ thị

c Biều diễn rằng -3 là nghiệm của h(x) Tìm hai giá trị khác và kiểm tra bằng đồ thị

3 được gọi là nghiệm kép của g(x)

Đồ thị của g trong hình 2-2b cắt trục hoành tại x = -2 , x=3, nó phù hợp với kết quả đạisố

 Trong phần c của ví dụ 1, h(x) có 3 nghiệm nhưng chỉ cắt trục hoành tạimột điểm, hai nghiệm khác là hai số thực sự phức

Tính chất: Định lý cơ bản của đại số và hệ quả

Một hàm đa thức có ít nhất một nghiệm trong tập số phức

Ví dụ 2:

Xác định bậc và số nghiệm phức thực sự và không thực sự của hàm đa thức

Trong hình 2-2c nếu có

z1 + z2 + z3 = 0.6 + 2 + 4 = 6,6

số đối của hệ số bậc hai

z1.z2 z3 = (0.6)(2)(4) = 4,8

số đối cuả hệ số tự doTổng của tích các cặp nghiệm là bằng với hệ số bậc nhất

Tính chất: tổng và tích của các nghiệm

Nếu p(x) = ax3+ bx2+ cx+ d có các nghiệm là z1, z2, z3 thì:

z1 +z2 +z3 =

b a

 

= 5 2i Tổng: 3+ (5+2i) + (5- 2i) = 13 đối của hệ số bậc hai

Tổng của tích từng đôi một: 3(5+2i) + 3(5- 2i) + (5+2i) (5- 2i)

Tìm phương trình đặc biệt của hàm bậc ba với hệ số nguyên nếu tổng, tổng của tíchtừng đôi một đã được cho Thừa nhận những tính chất này sau khi tìm nghiệm của hàm

Phương trình đặc biệt của hàm với hệ số nguyên là :



+ 4 =

5 3



(đúng)Tổng của tích từng đôi một: (-5)( -

Làm nhanh:

Q1 vẽ đồ thị của y=x2

Q2 vẽ đồ thị của y=x3

Q3 vẽ đồ thị của y=x4

Q4 vẽ đồ thị của y=2x

Q5 phân phối và rút gọn: (3+ 2i)(5+6i)

Q6 giải phương trình bằng công thức nghiệm bậc hai: x2 – 14x + 54 = 0

Q7 giải phương trình bắng công thức nghiệm bậc hai: x2 – 14x + 58 = 0

Q8 tìm phép biến đổi biến f(x) = sinx thành g(x) = sin2x

Q9 loại hàm số nào có tính chất kết hợp và phân phối

Q10 Tổng của 370 và 530 là 900, hai gốc này được gọi là gì?

1 cho p(x) = x3 - 5x2 +2x +8

a Vẽ đồ thị dùng miền xác định thích hợp đồ thị có bao nhiêu nhánh ( tăng hoặcgiảm) ? con số này có liên quan gì đến bậc của p(x)?

c bằng phép thế tổng hợp chứng tỏ rằng (x+1) là một nhân tử của p(x) dùng kếtquả để viết những nhân tử khác

d giải thích mối quan hệ giữa các nghiệm của p(x) và các nhân tử của p(x)

2 cho p(x) = x3 - 3x2 +9x +13

a vẽ đồ thị dùng miền xác định thích hợp từ đồ thị, tìm nghiệm thực của p(x)

b bằng phép thế tổng hợp chứng tỏ rằng (x+1) là một nhân tử của p(x) viết nhữngnhân tử khác

c tìm hai nghiệm khác nhau Thay một trong hai nghiệm phức vào phương trìnhp(x).chứng tỏ rằng nó thực sự là nghiệm

d giải thích mối quan hệ giữa các nghiệm của p(x) và đồ thị của p(x)

cho hàm đa thức trong các bài toán 3-6, suy ra bậc, số nghiệm thực (xem nghiệmkép như là hai nghiệm) và số nghiệm phức thực sự của hàm số nếu có

Cho các bài toán từ 7-18, vẽ đồ thị của hàm đa thức đã mô tả hoặc giải thích tại sao hàm số đó không tồn tại.số phức được hiểu theo nghĩa là số phức thực sự.

7 hàm bậc ba với hai nghiệm âm phân biệt, một nghiệm dương,…………

8 hàm bậc ba với một cặp nghiệm âm, một nghiệm dương và hệ số có bậc cao nhất

12 Hàm bậc bốn không có điểm cực trị.

13 Hàm bậc bốn không có nghiệm thực.

14 Hàm bậc bốn với hai nghiệm dương phân biệt, hai nghiệm âm phân biệt và phần

nằm phía dưới trục hoành sẽ cắt trục tung

15 Hàm bậc bốn với hai cặp nghiệm.

16 Hàm bậc bốn với hai nghiệm thực phân biệt và hai nghiệm ảo.

17 Hàm bậc bốn với năm nghiệm thực phân biệt.

Từ bài 19- 22, dùng hệ số để tìm nhanh tổng, tích và tích từng đôi một nghiệm Sau

đó tìm nghiệm của phương trình và chứng minh câu trả lời của bạn thỏa mãn tính chấttrên

28 p(x) = x3- 9x2 + 2x -5, c =3, c = -2

29 Phát biểu định lý phần dư

30 Phát biểu định lý về nhân tử

31 Phát biểu định lý cơ bản của đại số.

32 Phát biểu hai hệ quả của định lý cơ bản của đại số

33 Bài toán vềphương pháp phép thế tổng hợp: Viết chương trình cho đồ thị hoặc

máy tính của bạn để làm phép thế tổng hợp Lưu những hệ số của đa thức bao gồmcác nghiệm của đa thức trong một danh sách trước khi bạn chạy chương trình Nênđưa vào bậc của đa thức và giá trị của x của hàm số mà bạn muốn đánh giá Lưu giữliệu xuất của chương trình, những hệ số của đa thức thương và phần dư (bằng giá trịcủa đa thức) trong danh sách khác Kiểm tra chương trình của bạn với p(x) = x3- 7x2

+ 5x + 4 từ bài 27, với c = 2 Bạn đặt bốn số 1,-5, -5,-6 thành các hệ số củ tử số x25x-5 với số dư là 6, khi p(x) chia cho x-2 thì p(2)=-6

-34 Tổng và tích các nghiệm của hàm số bậc hai:

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai

b b ac a

  

bằng cách tìm z1 + z2 và z1z2 chứng tỏ tính chất tổng và tích các nghiệm của phươngtrình bậc hai tương tự với phương trình bậc ba

35 Tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc bốn:

Bằng cách lặp lại phép thế tổng hợp hoặc với đồ thị hoặc máy tính của bạn, tìmnghiệm của:

 Tích các nghiệm

Từ kết quả đã tính, đoán xem tính chất của tổng và tích các nghiệm mở rộng chohàm số bậc cao hơn ba là như thế nào

36 Nghịch đảo của nghiệm:

Chứng minh rằng nếu p(x) = ax3 + bx2 + cx+ d có các nghiệm z1, z2, z3 thì hàm q(x)

37 Phép tịnh tiến ngang và nghiệm:

Cho f(x) = x3 - 5x2 + 7x – 12 g(x) là phép tịnh tiến ngang của f(x) một đơn vị theohướng dương Tìm phương trình đặc biệt của g(x) Chứng tỏ rằng nỗi nghiệm củag(x) là lớn hơn một đơn vị so với nghiệm tương ứng của f(x)

2.3 Điều chỉnh các hàm đa thức để phù hợp với dữ liệu:

Hình 2-3a cho ta bốn hàm bậc ba của chuyển động theo thời gian của một vận độngviên biến đổi từ trái sang phải

 Qua một điểm quy chiếu (y = 0) trong khi nó đang giảm chậm ( giảm độnghiêng) sau đó tăng tốc độ lần nữa ( tăng độ nghiêng)

 Dừng lại trong giây lát sau đó tiếp tục về phía trước

 Hệ số góc giảm

 Dần tới trục hoành và tiến ra âm vô cùng

Trong tất cả các trường hợp chỉ có một trường hợp đồ thị cắt trục hoành tại mộtđiểm, chứng tỏ hai nghiệm khác là số phức không thực sự

a Tìm phương trình bậc hai Kiểm tra bằng hồi quy bậc ba

b Thử lại câu trả lời bằng hình vẽ và tìm trên đồ thị

Lời giải:

a f(x) = ax3 + bx2 + cx +d viết phương trình tổng quát

Thay 6 cho x và 38 cho f(x) tương tự cho ba điểm còn lại, ta được hệ phương trình

F(x) = -2x3 + 15x2 - 19x +44 hồi quy bậc ba cho phương trình

Tương tự, R2= 1

Hình 2-3b

b Đồ thị trong hình 3b, dựng x = 5, 6, 2, -1 chứng tỏ rằng các điểm này nằm trên

đồ thị Chú ý giá trị của x rộng ở hướng dương, giá trị của f(x) rộng ở hướng âm,phù hợp với thực tế là hàm số có bậc cao nhất là âm

Nhớ lại tính chất sai khác hằng thứ hai cho hàm bậc hai Hàm bậc ba, sai khác hằngthứ ba giữa giá trị y và hằng số Bảng biểu thị kết quả cho f(x) = -2x3 + 15x2 - 19x+44 từ ví dụ 1

Tính chất: Sai khác hằng thứ n

Cho một hàm đa thức bậc n, nếu giá trị x co khoảng cách như nhau thì f(x) có saikhác hằng thứ n

Ví dụ 2:

Đối tượng di chuyển trên một đường thẳng qua điển quy chiếu trong thời gian x = 2giây Nó giảm chậm, dừng, đi ngược hướng và qua điểm quy chiếu tại giây thứ 3,bảng cho thấy sự chuyển đổi tại những thời điểm khác nhau.

a Lập biểu đồ phân tán dữ liệu giải thích tại sao hàm bậc ba sẽ là một mô hìnhtoán học hợp lý cho phép dời hình như là một hàm của thời gian

b Tìm phương trình đặc biệt thích hợp nhất của hàm bậc ba Vẽ đồ thị của hàmtrên biểu đồ phân tán trong câu a

c Dùng phương trình trong câu b để tính gần đúng thời gian mà đối tượng quađiểm quy chiếu

d Chứng tỏ hàm bậc bốn đưa ra một hệ số xác định gần một

Lời giải:

a Hình 3c là biểu đồ phân tán Một hàm bậc ba là một mô hình toán học hợp lý bởi

vì có thể đảo ngược hướng hai lần (có hai điểm cực trị)

b Dùng hồi quy bậc ba, phương trình là:

F(x) = 1,5782…x3 – 25,0119x2 + 117,2669x + 145,4761

R2 = 0,9611…, nó là phù hợp nhất bởi vì nó gần 1 đồ thị của f trong hình 3dchứng tỏ rằng nó là phù hợp

c Từ đồ thị hoặc bảng, giá trị x khi đối tượng qua điểm quy chiếu………

d Hàm bậc bốn đưa ra hệ số xác định R2 = 0,9861… tuy nhiên, hàm bậc bốn có trể

có ba điểm cực trị và cắt trục x bốn lần, mà không được đề cập trong báo cáo kếtquả của vấn đề

Bài tập 3

Làm nhanh

Q1 Nhân: (x – 3)(x – 5)

Q2 Nhân: (3 + 2i)(5 + 4i)

Q3 Khai triển bình phương: (x- 7)2

Q4 Khai triển bình phương và rút gọn: (5 + 3i)2

Q5 Một nghiệm đặc biệt của hàm bậc ba với hệ số thực là -7 + 4i.có nghiệm nàokhác không?

Q6 Số điểm cực trị tối đa mà một hàm bậc năm có thể có?

Q7 Vẽ đồ thị của hàm bậc ba với nghiệm kép dương và hệ số của x3 là -2

Q8 Tìm tổng các nghiệm của f(x) = 2x3 + 7x2 – 5x +13

Q9 Nếu đa thức p(x) có phần dư là 7 khi chia (x – 5), tìm p(5)

Q10 Nếu đa thức p(x) có p(

3 7



) = 0 thì một nhân tử của p(x) là

c Lập bảng giá trị của p(x) cho mỗi giá trị nguyên của x từ -2 đến 4

3 Các giá trị cho tọa độ của các điểm trên đồ thị của hàm f

a Lập biểu đồ tán xạ của các điểm

b Chứng minh rằng hiệu thứ ba giữa các giá trị của p(x) là hằng số

c Tìm phương trình đặc biệt của hàm bậc ba phù hợp với bốn điểm đầu tiên.Chứng tỏ rằng hồi quy bậc ba trên cả 6 điểm cho phương trình tương tự Vẽphương trình của hàm trên màn hình giống như biểu đồ phân tán câu a

4 Các giá trị cho tọa độ của các điểm trên đồ thị của hàm f

a lập biểu đồ tán xạ của các điểm

b Chứng minh rằng hiệu thứ tư giữa các giá trị của p(x) là hằng số

c Tìm phương trình đặc biệt của hàm bậc ba phù hợp với bốn điểm đầu tiên.Chứng tỏ rằng hồi quy bậc ba trên cả 6 điểm cho phương trình tương tự Vẽphương trình của hàm trên màn hình giống như biểu đồ phân tán câu a

5 Bài toán cầu nhảy

Hình 2-3e cho thấy một cầu nhảy chệch hướng bởi một người đứng trên nó, theokết lí thuyết độ lệch của tấm ván được biểu diễn theo hàm bậc ba.Giả sử rằng độvõng f(x) trong phần nghìn của 1inch, khi x được đo bằng feet

3 972

a Tìm phương trình đặc biệt của hàm bậc ba phù hợp với dữ liệu đã cho Chứng

tỏ hệ số tuyến tính và hệ số tự do là nghiệm

b Cầu nhảy chệch hướng ở cuối nó bao xa, x = 10feet, nơi người đó đang đứng?

c Chứng tỏ rằng hàm số có nghiệm khác nhưng nằm ngoài miền xác định củahàm số

d Phác họa đồ thị của hàm số

6 Bài toán về hai giai đoạn của tên lửa

Bắn một tên lửa hai giai đoạn.sau khi kết thúc giai đoạn đầu tiên, tên lửa chậm lạicho đến khi giai đoạn thứ hai bắt đầu bắn độ cao của nó h(x), đơn vị đo feet, tính

từ mặt đất ở mỗi 10 giây sau khi bắn là

a Chứng tỏ rằng giá trị của h(x) có sai khác hằng số thứ ba.

b Loại hàm số nào phù hợp với dữ liệu? tìm phương trình đặc biệt của nó

c Vẽ đồ thị của h

d Giai đoạn đầu tiên của tên lửa bị cháy vào thời gian x = 0 Bạn giải thích nhưthế nào khi hàm số trong câu b có một nghiệm là x = 3 giây?

7 Giá của bộ tivi

Một cửa hàng bán lẻ có bộ tivi với kích cở khác nhau của cùng một nhà sảnxuất.giá của một bộ là một hàm với kích thước màn hình được đo bằng inch dọctheo đường chéo Giả sử giá của nó là:

c Dựa trên mô hình bậc bốn

d Những lí do thực tế mà bạn có thể nghĩ ra để giải thích tại sao bộ 17-và 21-in

ít tốn kém hơn bộ 3-in.?

8 Cây đậu của người hành hương

Khi người hành hương đến Mỹ, họ mang theo hạt giống để từ đó phát triển câytrồng Nếu họ trồng đậu số cây đậu tăng lên nhanh chóng, chững lại, và sau đógiảm khi mùa Đông đến Mùa xuân năm sau có một vụ mùa mới Giả sử số câyđậu là B(x) như là một hàm số của x tuần kể từ khi trồng được, cho bởi bảng sau:

a Tìm phương trình đặc biệt của hàm bậc ba phù hợp nhất Vẽ phương trình và

dữ liệu trên cùng một màn hình Phát thảo kết quả

b Cho mô hình bậc ba, số cây đậu tối đa mà họ có trong năm đầu tiên? Sau baonhiêu tuần số cây đậu đạt tối đa? Có cây nào tồn tại qua mùa đông tiếp theokhông? Nếu có số cây tối thiểu là bao nhiêu? Và khi nào số lượng đạt mức tốithiểu này? Nếu không, khi nào cây cuối cùng chết và khi nào xuất hiện cây đầutiên vào mùa đông năm sau?

c Chứng tỏ rằng nếu B(8) có 273 thay vì 272 thì kết luận ở câu b là khác nhau(hiện tượng này được gọi là sự phụ thuộc nhạy cảm vào những điều kiện banđầu)

d Người hành hương đến Mỹ vào năm nào? Nơi đó là ở đâu?

9 Bài toán về Sông uốn cong

Một con sông uốn khúc qua lại trên tuyến đường 66 Ba điểm nó đi qua là 1.7mi,3.8mi và 5.5mi về phía đông giao lộ của tuyến đường 66 và tuyến đường Farm 13hoặc FM 13 (hình 3f).

a Dùng tính chất tổng và tích của các nghiệm để tìm nhanh một phương trình củahàm bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx +d, có 1.7, 3.8, 5.5 cũng là nghiệm giao điểmvới trục y là gì?

b Cho f(x) là số dặm về phía bắc của tuyến đường 66, cho một điểm trên sonsông đó là x dặm về phía đông của FM 13 Giả sử rằng sông qua FM 13 tạiđiểm 4.1 dặm về phía bắc của ngã tư Viết phương trình đặc biệt cho f(x)

c Vẽ hàm số f phác thảo kết quả

10 Bài toán tải trọng của máy bay

Số lượng kg “ tải trọng” một chiếc máy bay có thể nâng trừ đi khối lượng của máybay, khối lượng của phi hành đoàn và trang thiết bị của họ Viết phương trình tảitrọng như phương trình chiều dài máy bay

Khối lượng của máy bay tỉ lệ thuận với lập phương chiều dài máy bay

Độ nâng của máy bay tỉ lệ thuận với bình phương chiều dài máy bay

a Giả sử rằng một chiếc máy bay với thiết kế đặc biệt có chiều dài L = 20m cóthể nâng 2000kg và có khối lượng 800kg viết phương trình cho sức nâng vàmột phương trình cho khối lượng cũng như hàm cua L

b giả sử rằng phi hành đoàn và thiết bị của họ có khối lượng là 400kg viếtphương trình đặc biệt cho p(L), tải trọng máy bay có thể chở

11 Hình dáng của hàm đa thức cho giá trị lớn của x :

a Vẽ hai đồ thị với một cửa sổ như thể hiện trong đồ thị bên trái Thiết lập các nhân

tố trên đồ thị của bạn để 4 trong hướng x và 64 trong hướng y Kết quả có giốngvới đồ thị bên phải trong hình 3g không?

b Thu nhỏ lại bởi các yếu tố tương tự phác thảo các kết quả đồ thị

c Bạn thấy gì về hình dạng của hai đồ thị khi bạn thu nhỏ dần? Bạn vẫn có thể nhìn thấygiao điểm và đỉnh của đồ thị f?Theo bạn nghĩ tại sao số hạng có bậc cao nhất lại chi phốihàm số với những giá trị lớn của x?

Nhập dữ liệu từ Ví dụ 1 cho đồ thị của bạn và thực hiện hồi quy bậc ba Xác nhận rằng hệ

số xác định là 0,9611 , như thể hiện trong ví dụ

b Sử dụng danh sách tương ứng trên đồ thị của bạn, tìm SSres, tổng các hình vuông củacác độ lệch còn lại của mỗi điểm dữ liệu từ đường hồi quy đường cong

c Tìm giá trị trung bình của f(x) cho trước Tìm SSdev, tổng các bình phương của độlệch của mỗi điểm dữ liệu từ hồi quy đường cong

d Nhớ lại rằng hệ số

xác định được định nghĩa là các phân số

của SSdev được dịch chuyển bởi hồi quy

Đó là,

Xác nhận rằng công thức này cho 0,9611 ,

giá trị tìm thấy bằng hồi quy

2.4 Hàm hữu tỉ: Sự gián đoạn, giới hạn và phân thức đơn giản:

2 6

Mục tiêu: Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị hàm số hửu tỉ và xác định tính chất của từng

điểm gián đoạn đó

2.4.1 Sự gián đoạn và giới hạn:

Ở hình 2-4a, hàm hửu tỉ f và g có phương trình giống nhau Cả f  3 và g 3 không xácđịnh bởi tại x 3 làm cho mẫu thức bằng 0, như vậy x=3 là điểm gián đoạn của đồ thị,như ở hình 2-4a.Tuy nhiên, tính chất của sự gián đoạn là khác nhau ở mỗi đồ thị