Ôn thi TN dành cho HS TB và yếu phần hình học

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây NinhDạng 5: Viết phương trình mặt phẳng  đi qua 2 điểm A, B và song song với đoạn CD cho trước.. B3: Viết phương

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

PHẦN II: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ

A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

I.TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ:



 



   

 





 



 

 



 

 

 



Cho a (a ;a ;a ), b (b ;b ;b )

1 a b a b ,a b ,a b

2 k.a ka ,ka ,ka

a b

3 a b a b

a b

4 a.b a b a b a b

5 a a a a

a.b

6 cos(a;b)

a b

7 a cùng phương        

 

 

   

   

a1 a2 a3

b a k.b a b 0

b1 b2 b3

8 a b a.b 0 a b a b a b 0

a a a a a a

b b b b b b

10 AB (x x ,y y ,z z )

11 a,b,c đồng phẳng     a b c   0

  

12 a,b,c khơng đồng phẳng  a b c   0 13.M là trung điểm Athì











2

, 2

, 2

B A B A B

x M

14 G là trọng tâm tam giác ABC









, 3

, 3

, 3

C B A C B A C B

x G

15 Véctơ đơn vị:e1(1,0,0);e2 (0,1,0); e3(0,0,1) 16

Oz z K Oy y

N Ox x

M( , 0 , 0 )  ; ( 0 , , 0 )  ; ( 0 , 0 , )  17

Oxz z

x K Oyz z

y N Oxy y

x

M( , , 0 )  ; ( 0 , , )  ; ( , 0 , ) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19 VABCD 1 (AB AC).AD

6

  

/ / / / (AB AD).AA

2/ Mặt cầu :

2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính r

x a  2y b  2z c  2 r2

Phương trình x2 y2 z + 2Ax + 2By + 2Cz2  D  0 ( với A B C D2 2 2 0) là phương

trình mặt cầu Tâm I(-A ; -B ; -C) và r A B C D 2 2 2

2 2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho (S): x a  2y b 2z c 2r2 và (): Ax + By + Cz + D = 0

Gọi d = d(I,()) : khỏang cách từ tâm I của mc(S) đến mp( ):

 d > r : (S)   = 

 d = r : () tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)

d < r :  cắt (S) theo đường trịn cĩ pt      

2

r









(S): x a y b z c : Ax By Cz D 0

2

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

II MẶT PHẲNG

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vect ơ pháp tuyến của mp  : n0 là véctơ pháp tuyến của   Giá của n 

2 Pt tổng quát của mp(  ): Ax + By + Cz + D = 0(1) Mp() cĩ 1VTPT n = (A; B; C)

3.Một số trường hợp đặcbiệt của ph ươ ng trình mặt phẳng

*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa ox: By+Cz+D=0 ( D0 song song, D=0 chứa)

*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oy: Ax+Cz+D=0 ( D0 song song, D=0 chứa)

*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oz: Ax+By+D=0 ( D0 song song, D=0 chứa)

*Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : axbyzc 1

*Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0

4 Vị trí t ươ ng đ ối của hai mp (  1 ) và ( 2 ) :

°  cắt   A 1 : B 1 : C 1  A 2 : B 2 : C 2

°

2

1

2

1

2

1

2

1

//

D

D C

C B

B A

A













°

2

1

2

1

2

1

2

1

D

D C

C B

B A

A













Đặc biệt ( ) ( )    A A B B C C1 2 1 2 1 2 0

5.KC từ M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) đến (  ) : Ax + By + Cz + D = 0

2 2 2

Ax By Cz D

d(M,( ))

6.Góc gi ữa hai mặt phẳng :

2 1

2 1

.

n n

n n









 ) , cos(  

III ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x o ;y o ;z o ) có vtcp a= (a 1 ;a 2 ;a 3 )

t a z

z

t a y

y

t a x

x (d)

3 o

2 o

1 o

















 :

2.Phương trình chính tắc của (d)

3

z -z a y y a x x

1

:    

3.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng :

Cho 2 đường thẳng d1 : cĩ véctơ chỉ phương a và đi qua M1, d2 : cĩ véctơ chỉ phương

b

và đi qua M2

* d1// d2   







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

a ^ b 0

a ^ M M 0 *d1 d2 









  

a ^ b 0

a ^ M M 0

* d1 cắt d2 









  

  

a ^ b 0

a ^ b M M 0 *d1 chéo d2    

  

a ^ b M M 0 ( với a1.a2.a3 ≠0)

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

* Đặc biệt d 1d2  0





a b

4.Gĩc giữa 2 đường thẳng : 

 

 

1 2

a.b cos(d ;d )

a b

5 Khoảng cách giữa từ M đến đường d 1 :  1 1

;

d M d

a



 



6 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d 1 ;d 2 )=d(M 1 ;d 2 ).

7 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:   ; 1 2

;

;

a b M M

a b

 

 



 

 

d d 1 d 2

 

 

 

B.PHẦN BÀI TẬP:

I/ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ MẶT CẦU:

Dạng tốn 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu cĩ phương trình: x y z +2Ax+2By+2Cz2 2 2  D  0

Phương pháp giải:

 Tìm tâm: hồnh độ lấy hệ số của x chia (-2), tung độ lấy hệ số của y chia (-2), cao độ lấy hệ số của z chia (-2) Tâm mặt cầu là I(-A ;-B ;-C)

 Tím bán kính r  A +B +C -D2 2 2

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

a) x2y2z2 8x 2y 1 0

Giải:

a,T©m mỈt cÇu l I(4;1;0)à I(4;1;0) , B¸n kÝnh cđa mỈt cÇu l : à I(4;1;0)

b x/ 3 2 3y2 3z2 6 8 15 3 0x y z x2 y z2 2 2x 8y z5 1 0

3

Ta cĩ:T©m mỈt cÇu I(1; -4/3; -5/2), B¸n kÝnh cđa mỈt cÇu :

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I đi qua A

Phương pháp giải:

 Tìm bán kính mặt cầu là : r IA  (x A x I)2(y A y I)2(z A z I)2

 Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A(5; –2; 1) và cĩ tâm I(3; –3; 1).

Giải:

B¸n kÝnh mỈt cÇu l : à I(4;1;0) r IA  221202  5

Vậy phương trình của mặt cầu là : (x-3)2+ (y+3)2 + (z-1)2 = 5

Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB

Phương pháp giải:

 Tìm trung điểm I của đoạn AB với ( ; ; )

 Tính đoạnAB (x B x A) (2 y B y A) (2 z B z A)2

 Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính

2

AB

r 

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu cĩ đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3).

Giải:

A +B +C -D ( 4) +(-1) +0 -1 4

2 2

2 2 2 2 4 5 19

A +B +C -D ( 1) + + +1

r         

   

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(3;-1 ;5), AB= ( 2) 242 ( 4)2 6

Mặt cầu đường kính AB cĩ tâm I(3;-1 ;5), bán kính AB 3

2

r   phương trình của mặt cầu là :

Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp()

Phương pháp giải:

 Tìm bán kính mặt cầu là :      

 

B.y C.z D

I I I

2 2 2

A B C

A.x

r d(I,( ))

 Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1 ; 2 ; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (): 2x+2y+z-1=0

Giải:

Bán kính mặt cầu là :       

r d(I,( ))  2.1 2.2 4 1 1

Phương trình mặt cầu là : (x1)2(y 2)2(z 4)2 1

Dạng 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

Phương pháp giải:

Ptr mc cĩ dạng x2 y2 z + 2Ax + 2By + 2Cz2  D  0 A,B,C,D  mc(S)  thế toạ độ của A,B,C,Dvào phương trình mặt cầu đc hệ pt, giải tìm A, B, C, D  phương trình mặt cầu

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ); D( 4 ; 1 ;

0 )

Giải:

Phương mặt cầu (S) cĩ dạng: x2 y2 z + 2Ax + 2By + 2Cz2  D  0 , ta cĩ :

(6; 2;3) ( ) 49 12 4 6 0(1)



Lấy (1)-(2); (2)-(3); (3)-(4) ta được hệ:

Vậy phương trình măt cầu là: x2+y2+z2-4x+2y-6z-3=0

Dạng 6:

Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C cĩ tâm nằm trên mp(P)

Phương pháp giải:

Mc(S) cĩ ptr: x2 y2 z + 2Ax + 2By + 2Cz2  D  0 (2)

A,B,C  mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2) Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào pt (P) Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ) cĩ tâm I

thuộc mp(P) : x+2y+2z-3=0

Giải:

Phương mặt cầu (S) cĩ dạng: x2 y2 z + 2Ax + 2By + 2Cz2  D  0 , ta cĩ :

(x 3) (y1) (z 5) 9

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

I A B C P A B C



.Lấy (1)-(2); (2)-(3); kết hợp(4) ta được hệ:

7 5

A

A B C









 Vậy phương trình mặt cầu là: x2+y2+z2- 14

5 x +

22

5 y - 6z

27 5

Dạng 7: Xét vị trí tương đối của mp(P) và mặt cầu:

Phương pháp giải:

 Tìm tâm I bán kính r của mặt cầu (S)

 

A.x d(I,(P)) I B.y C.z DI I

2 2 2

A B C So sánh r với d(I ;(P)) suy ra vị trí tương đối

Ví dụ: Cho mặt cầu (S): (x-1)2+ y2 + (z+2)2 = 9 và mp(P): x+2y+2z-3=0 chứng minh mặt phẳng cắt mặt cầu

Giải:

Mặt cầu (S) cĩ tâm I(1;0;-2) bán kính r=3

 

  1 2.0 2.( 2) 3

1 4 4

  <3= r vậy mặt phẳng cắt mặt cầu

II/ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:

Chú ý :

- Muốn viết phương trình mặt phẳng thường tìm: 1 điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến

-Mặt phẳng qua 1 điểm M(x 0 ;y 0; z 0 ) và cĩ 1 véctơ pháp tuyến n = (A; B; C) phương trình

là: A(x- x 0 ) + B(y- y 0 ) + C(z- z 0 )= 0.

-Nếu khơng tìm được ngay véctơ pháp tuyến của mp() ta đi tìm 2 véctơ , a b khơng cùng phương cĩ giá song song hoặc nằm trong mp() khi đĩ n[ ; ]a b  là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng().

Dạng 1: Viết phương trình mp ( ) điểm đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và 1 véctơ pháp tuyến

( ; ; )





n A B C

Phương pháp giải:

B1: Nêu rõ đường thẳng đi qua M0(x0;y0;z0) và cĩ 1 véctơ pháp tuyến n   ( ; ; ) A B C

B2: Viết phương trình mp( ) theo cơng thức: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

B3: Rút gọn đưa về dạng: Ax+By+Cz+D=0

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A(2;3;1) và cĩ một VTPT là n (2;3;1)

Giải:

Mặt phẳng () đi qua A(2;-1;1) và cĩ 1 véctơ VTPT n (2; 3;5)   phương trình là:

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh 2(x-2)-3.(y+1)+5(z-1) = 0  2x-3y+5z-12 =0

Dạng 2: Viết phương trình mp ( ) đi qua 3 điểm khơng thẳng hàng A, B, C.

Phương pháp giải:

B1: Tìm toạ độ AB, AC 

B2: Tìm nAB;AC



 

   

B3: Viết phương trình mp(P) đi qua điểm A và nhận n làm VTPT

Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1)

Giải:

Ta cĩ: AB (2;2; 1), AC (2;1; 3)     

 nAB;AC  ( 5;4; 2)

  

Mặt phẳng (P) đi qua A và cĩ 1 véctơ VTPT n ( 5;4; 2)    phương trình là:

-5(x-0)+4(y-1)-2(z-2)=0  -5x+4y-2z =0  5x-4y+2z=0

Dạng 3: Viết phương trình mp( )  đi qua điểm M 0 cho trước và song song với mp() cho trước (M0  ( ) ).

Phương pháp giải:

B1: Tìm VTPT n của mp ( )

B2: Mp ( ) cần tìm đi qua điểm M0 và nhận n làm VTPT

B3: Viết phương trình mp ( ) đi qua điểm M0 và nhận n làm VTPT

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (Q):2x-y+3z+4=0

Giải:

Mặt phẳng (Q) cĩ 1VTPT n (2; 1;3)  Mặt phẳng (P)//mp(Q) mp(P) nhận vectơ n (2; 1;3)  làm 1VTPT, mặt khác mp(P) đi qua M(1;3;-2) nên phương trình của mp(P) là :

2(x-1)-(y-3)+3(z+2) = 0  2x-y+3z+7=0

Cách khác:

Mặt phẳng (P)//mp(Q): 2x-y+3z+4=0 nên phương trình của mp(P) cĩ dạng 2x-y+3z+D=0 (D≠4) Mặt khác mp(P) đi qua điểm M(1;3;-2) nên ta cĩ: 2.1-3+3(-2)+D=0  D=7 (nhận) Vậy phương trình mp cần tìm là: 2x-y+3z+7=0

Dạng 4: Viết phương trình mp ( ) song song với mp() cho trước cách điểm A cho trước một khoảng k cho trước (k>0).

Phương pháp giải:

B1: Tìm VTPT n của mp ( )

B2: Viết dạng phương trình mp ( ) cĩ VTPT n

B3: Giải phương trình d(A; ( ) )= k tìm được số hạng tự dophương trình mp()

Ví dụ: : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp():5x+y-7z+3=0 Viết phương trình mp() //mp() và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2

Giải

Mp() cĩ một VTPT là  1(5;1; 7)

n , mp () //mp()  phương trình mp() cĩ dạng:

5x+y-7z+D = 0 (D≠3)

Do mp() cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2  d(A;())=2 

5.1 2 - 7.3 D D-14

5 3

  

(nhận)

 phương trình của mp() là: 5x y 7z+14 10 3 0   

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng( ) đi qua 2 điểm A, B và song song với đoạn CD cho

trước ( AB khơng cùng phương với CD )

Phương pháp giải:

B1: Tìm toạ độ AB và CD

B2: Tìm nAB,CD



 

   

B3: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n làm VTPT

Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-1 ,2 , 3), B (0 , -3, 1),

C(2 ,0 ,-1), D(4,1, 0) Lập phương trình mặt phẳng( ) chứa đường thẳng CD và song song với đường thẳng AB

Giải

Ta cĩ  1, 5, 2 ;   2,1,1

  ;    3, 5,11 



 

   

n AB CD là VTPT của mp(Q)

Mặt phẳng ( ) đi qua C cĩ 1 VTPT   3, 5,11 



n  Phương trình mp( ) là:

-3(x – 2) – 5(y – 0) + 11(z + 1) = 0  -3x – 5y + 11z + 17 = 0  3x+5y-11z -17 = 0

Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng( )  đi qua điểm A, B và song song với đường thẳng d cho trước (AB khơng song song với d)

Phương pháp giải:

B1: Tìm toạ độ AB và véctơ chỉ phương a của d

B2: Tìm nAB,d

B3: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n làm VTPT

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng( )  đi qua điểm A và chứa đường thẳng d cho trước (



A d )

Phương pháp giải:

B1: Tìm toạ độ điểm M0 d và VTCP u của d Tìm AM 0

B2: Tìm nAM , u0 

B3: Viết PT mặt phẳng() đi qua điểm A và nhận n làm VTPT

Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua A(-1 ,2 , 3) và chứa trục 0x.

Giải

Trục 0x đi qua O(0;0;0) và cĩ 1VTCP i (1;0;0) , 0A ( 1; 2;3) 



 n0A,i

  

=(0;3;-2) Mặt phẳng () đi qua điểm A và nhận n=(0;3;-2) làm một VTPT, phương trình là: 3(y-2)-2(z-3)=0  3y-2z=0

Cách khác :

Phương trình mặt phẳng() chứa trục ox cĩ dạng: By+Cz=0 (1)

Do mặt phẳng() đi qua A(-1 ,2 , 3) nên ta cĩ: 2B+3C=0 chọn B=3  C= -2  phương trình mặt phẳng () là: 3y-2z=0

Dạng 7:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Phương pháp giải:

B1: Tìm toạ độ AB và toạ độ trung điểm I của đoạn AB

B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm I và nhận AB làm VTPT  phương trình mặt phẳng

trung trực

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(1;3;0) và B(3,-1;2)

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Giải:

Ta cĩ trung điểm của AB là I(2;1;1), AB (2; 4; 2)  

Mp(P) đi qua trung điểm I của AB và cĩ 1VTPT là AB (2; 4; 2) 



 phương trình mặt phẳng trung trực (P) là: 2(x-2)-4(y-1)+2(z-1)=0  2x-4y+2z-2=0

Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuơng gĩc với đoạn thẳng AB.

Phương pháp giải:

B1: Tìm toạ độ AB

B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M và nhận AB làm VTPT

B3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận AB làm VTPT

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;0) vuơng gĩc với đoạn thẳng AB, biết A(1;0;1) và B(3,-1;2)

Giải:

Ta cĩ AB (2; 1;1) 



Mp(P) đi qua M(1;3;0) và cĩ 1VTPT là AB (2; 1;1) 



 phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x-1)-(y-3)+1(z-0)=0  2x-y+z+1=0

Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng( )  đi qua điểm M 0 cho trước và vuơng gĩc với đường thẳng d cho trước.

Phương pháp giải:

B1: Tìm VTCP u của d

B2: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M0 và nhận u làm VTPT

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng( ) đi qua 2 điểm A, B và vuơng gĩc với mặt phẳng() cho trước (AB khơng vuơng gĩc với ( ) )

Phương pháp giải:

B1: Tìm toạ độ AB và VTPT n 

của mặt phẳng( )

B2: Tìm nAB, n

B3: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n làm VTPT

Ví dụ: Viết phương trình mp () đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuơng gĩc với mp(P): 2x-y+3z-1=0

Giải

Ta cĩ AB ( 1; 2;5)  



, mp(P) cĩ 1 VTPT là nP (2; 1;3)



 nAB; nP  ( 1;13;5)

  

Mp() đi qua A(3;1;-1), cĩ 1 VTPT là n ( 1;13;5)   phương trình mặt phẳng () là:

-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0  -x+13y+5z-5=0  x-13y-5z+5=0

Dạng 10: Viết phương trình mp( ) đi qua điểm A và vuơng gĩc với 2 mặt phẳng(), () cắt

nhau cho trước

Phương pháp giải:

B1: Tìm toạ độ VTPT n

, n



của 2 mặt phẳng( ) và ().

B2: Tìm nn ;n 



 

   

B3: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A và nhận n làm VTPT

Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mp( ) :5x+y-7z+3=0 và mp():

2x+2y-4z+1=0 Viết phương trình mp(P) đi qua A(1;2;3) và vuơng gĩc với 2 mặt phẳng (), ()

Giải

Mp() cĩ một VTPT là 1 (5;1; 7)



n , mp() cĩ một VTPT là  2 (2; 2; 4)

n

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

  1, 2 (10;6;8)



 

   

n n n

Do mp(P)vuơng gĩc với 2 mặt phẳng () và ()  mp(P)cĩ một VTPT là n(10;6;8), mặt khác mp(P) cịn đi qua A(1;2;3)  Phương trình mp(R) là: 10(x-1) + 6(y-2) + 8(z-3) = 0

 5(x-1) + 3(y-2) + 4(z-3) = 0  5x+3y+4z-23=0

Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng( )  đi qua điểm M 0 và song song với hai đường thẳng phân biệt d 1 , d 2 cắt nhau hoặc chéo nhau cho trước

Phương pháp giải:

B1: Tìm các VTCP u , u 1 2

của d1 và d2 B2: Tìm nu , u1 2

   B3: Viết phương trình mặt phẳng( ) đi qua điểm M0 và nhận n làm VTPT

Ví dụ: Cho điểm A0;1; 2 và hai đường thẳng 1: 1 1

x y z

d     và 2

1

2

x t

z t

 





 



  



Viết

phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với hai đường thẳng d và 1 d2

HD: d cĩ VTCP 1 u 1 2;1;1

d cĩ VTCP 2 u  2 1; 2;1

 P cĩ VTPT nu u1; 2 3; 1; 5  



 

   

(do d và 1 d khơng song song)2

Phương trình mặt phẳng (P) qua A và cĩ VTPT n là : 3x y  5z11 0

Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng( )  //( )  : Ax+By+Cz+D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Phương pháp giải:

B1:Xác định tâm I bán kính R của mặt cầu (S)

B2:Do mp()//mp( )  phương trình mặt phẳng() cĩ dạng Ax+By+Cz+m=0(*) (m≠D) B3: Mặt phẳng( )  tiếp xúc với mặt cầu (S) d(I,())=R giải phương trình này tìm được m thỏa điều kiện m≠D thay vào (*) ta được phương trình mặt phẳng()

2 10 0

x y  z  và mặt cầu (S) : x2y2z2 2x4y 6z 8 0 Viết phương trình mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

HD: Mặt cầu (S) cĩ tâm I(1,-2,3) và R  6

Phương trình mặt phẳng (R) cĩ dạng: x y 2z m 0 m  1

Do mặt phẳng (R) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên: d I R ,   R 1 2 6

6

1 1 4

m

  

  Giải ra ta được: 1

11

m m









 Vậy phương trình mặt phẳng (R) : 2 1 0

x y z

x y z







III/ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:

Chú ý :

- Muốn viết phương trình đường thẳng thường đi tìm: 1 điểm di qua và 1 véctơ chỉ phương