ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , độ dài AC= 4a và a BD 2= Hai mặt phẳng SAC , SBD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD.. ABCD biết khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SAB bằng 21 2a..
Trang 1
GỢI Ý ĐỀ THI THỬ LẦN I ( THPT CAM LỘ )
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y=x4 −2(m2 −m+1)x2 +m−1 có đồ thị ( )C m
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C1 khi m= 1
b) Tìm m để đồ thị ( )C m có khoảng cách giữa 2 điểm cực tiểu là nhỏ nhất
@ Với m= 1 ta có: y= x4 −2x2 ( Dễ dàng khảo sát và vẽ đồ thị hàm trùng phương)
b) Ta có: y'=4x3−4(m2 −m+1)x=4x(x2 −m2 +m−1)
+
−
=
+
−
−
=
=
⇔
+
−
=
=
⇔
=
1 1
0 1
0 0
'
2
2 2
2
m m x
m m x
x m
m x
x
y { m2−m+1>0 với ∀m∈R }
Dựa vào tính đối xứng trục Oy và dạng đồ thị hàm số trùng phương với hệ số a= 1 > 0 ta suy ra 2 điểm cực tiểu của đồ thị ( )C m là: A(−k;y( )−k ),B(k;y( )k ) với
( ) ( )
=
−
+
−
=
k y k y
m m
4
3 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2
−
= +
−
=
=
−
− +
AB
Dấu = xãy ra khi
2
1
=
m Vậy khoảng cách nhỏ nhất của 2 điểm cực tiểu là 3 khi
2
1
=
m
+
= +
+
2 sin 2 cos sin
2 sin 2
x x
x x
(*)
@ Điều kiện
∈ +
−
≠
∈
≠
⇔
≠ +
≠
Z n n x
Z m m x x
x
x
, 4
, 0
cos sin
0 sin
π π
π
Khi đó:
=
− +
=
⇔
=
− +
⇔
+
−
⇔
=
+ +
⇔
= +
+
⇔
0 cos sin 2 2 cos sin
0 cos 0
cos sin 2 2 cos sin
cos cos
sin
cos 2 sin
2
1
cos
0 2 cos sin
sin 2 sin
2
1 cos
cos 2 cos sin
cos sin 2 sin
2
cos
(*)
x x x
x
x x
x x
x x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
TH1: x= ⇔x= +k2 ,k∈Z
2 0
TH2:
+
=
−
=
⇔
+
−
= +
+
=
+
⇔
=
+
⇔
= +
3
2 4
2 4 2
2 4
2 2 4 2
sin 2 4 sin 2 cos
sin 2 2 cos
sin
π π
π π π
π π
π
π π
k x
k x
k x x
k x x
x x
x x x
x
Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình đã cho có 3 họ nghiệm là:
3
2 4 , 2 4 , 2 2
π π π
π π
x k x
k
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
= +
= +
−
10
3 1
3
3 3
y x
x y
@ Đặt a= x ≥0 và b=3 y3−1 khi đó hệ đã cho trở thành:
= +
= +
) 2 ( 9
) 1 ( 3
3
2 b a b a
Trang 2Từ (1) và (2) ta có: ( )
=
⇒
−
=
=
⇒
=
⇔
=
− +
=
⇒
=
⇔
=
− +
⇔
= +
−
6 3
1 2
0 6
3 0
0 6 9
a b
a b
b b
a b
b b b b
b
TH1:
=
=
⇔
=
−
=
⇔
=
=
1
9 0
1
3 0
3
x y
x b
a
TH2:
=
=
⇔
=
−
=
⇔
=
=
3
1 2
1
1 2
1
y
x y
x b
a
TH3:
−
=
=
⇔
−
=
−
=
⇔
−
=
=
3
36 3
1
6 3
6
y
x y
x b
a
Tóm lại, hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm: x=9,y=1 hoặc x=1,y=3 9 hoặc x=36,y=−3 26
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân =∫1 ( + )
0
2
2ln1 x dx x
I
+
−
=
+
− +
= +
= +
0 2
4 1
0
1
0
2 3
1 0 2 3
3 2 1
0
2 2
1 2 2 ln 3
1 1
ln 1
ln 3
1 1
ln 3
1 1
x
x x
d x x
x dx
x dx
x x
I
+
+
=
+ +
−
= +
1
0 2 1
0
1
0
1
0 2 1
0
3 2
2 2
4
1 3
2 1
3 1
1 1
dx x
dx x
x dx x x
dx x
x
4 tan
1
tan 1 tan
1
tan
4
0
1
0
4
0
4
0
2
2 2
2
π
π π
=
=
= +
+
= +
=
t
dt t t
t d x
dx
Từ những kết quả trên ta suy ra:
6 9
4 2 ln 3
1 4 3
2 2 2 ln 3
−
=
I
Câu 5 (1,0 điểm) Cho 3 số a,b,c>0 thỏa
2
3
≤ +
a Chứng minh :
2
15 1 1 1
≥ + + + + +
c b a c b a
@ Ta có:
2
15 3
4
9 3
1 4
9 3 1 1 1 4
3 4
1 4
1 4
1 1
1 1
+ + +
≥ +
≥
+
+ +
+ +
+
= + + + + +
c b a abc
c b a c
c b
b a
a c b a c b
Dấu = xãy ra khi
2
1
=
=
a
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , độ dài AC= 4a và
a
BD 2= Hai mặt phẳng (SAC ,) (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S ABCD biết khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) bằng
21
2a
Vì (SAC ,) (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên ta
suy ra được SI ⊥(ABCD) Giả sử SI =h
Cách1 (Dùng phương pháp tọa độ)
Dựng hệ trục Oxyz với: O≡I,Ox≡IA,Oy≡IB,Oz≡IS Khi đó:
( ) (A a ) (C a ) (B a ) (C a ) (S h)
I 0;0;0, 2 ;0;0, −2 ;0;0, 0; ;0, 0;− ;0, 0;0;
Ta có:
(−2a;a;0) (=a −2;1;0) (,AS −2a;0;h) (,AI −2a;0;0) (=a −2;0;0)
AB
Vì ( ( ) )
21
2
I
2 4
5
2 21
2 ,
,
2 2
a h
a a
h
ah a
AS
AB
AI
AS
AB
=
⇔
= +
−
⇔
=
Ta có: V S ABCD V S IAB [AB AS]AI a3( )đvtt
.
3
2 ,
3
2
=
Trang 3Cách 2 (Dùng phương pháp hình học thuần túy)
Gọi J , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên AB, SJ Rõ ràng IH ⊥(SAB) nên
21
2a
IH =
Dựa vào các tam giác vuông AIB và SIJ ta dễ dàng xác định được:
5
2 1
4
1 1 1
1
2 2 2 2
2
a IJ a
a IB
IA
2 4
5 1 4
21 1
1 1
2 2 2 2
2 2
a h a h a IJ
IS
Ta có: V S ABCD IS S ABCD a( a a) a3( )đvtt
2 4 2
3
1
3
=
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (phần A hoặc phần B) A.Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( )C :x2 + y2 − 8x+ 6y+ 21 = 0 Hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn ( )C và có điểm A thuộc đường thẳng d:x+ y−1=0 a) Xác định tọa độ điểm A b) Viết phương trình đường thẳng BD
Đường tròn ( )C có tâm I(4;−3) và bán kính R=2
Giả sử A(a;1−a)∈d Vì ABCD ngoại tiếp đường tròn ( )C nên
−
⇒
=
−
⇒
=
⇔
= +
− +
−
⇔
=
5
; 6 6
1
; 2 2
2 2 3 1
4
A a
A a
a a
R
IA
TH1: A(2;−1)
Đường thẳng BD đi qua điểm I(4;−3) và có VTPT là IA(−2;2) nên
phương trình BD:−2(x−4) (+2 y+3)=0 hay BD:−x+ y+7=0
TH2: A(6;−5)
Đường thẳng BD đi qua điểm I(4;−3) và có VTPT là IA(2;−2) nên
phương trình BD:2(x−4) (−2 y+3)=0 hay BD:−x+y+7=0
Do đó phương trình đường thẳng BD là: −x+ y+7=0
8a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )α :y−3=0 và 2 đường thẳng
−
=
+
−
=
−
=
t
z
t y
t
x
d
1
1
2
:
1
1 1
2
2 :
2
−
=
=
x
d Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d1, d2 và vuông góc với
mặt phẳng ( )α .
@ Giả sử ∆ cắt d1 tại A(2−t;−1+t;1−t) và cắt d2 tại B(2u+2;u;u+1)
Ta có: AB(2u+t;u−t+1;u+t) và VTPT của ( )α là nα(0;1;0)
( )
⇒
=
−
⇒
=
⇔
= +
=
=
−
−
⇔
=
1
; 0
; 2 0
1
; 1
; 2 0
0 2
0 0
0 0
,
B u
A t
t u
t u n
=
+
−
=
=
∆
1 1
2 :
z
t y
x
Câu 9a (1,0 điểm) Cho số phức
3
1
1
−
+
=
i
i
z Chứng minh rằng: z7+ z8+z9+ z10 =0
@ Ta có: ( )( )
( )( )i i i i i
i i i
i
=
+
−
+ +
=
−
+
3 3
3
2
2 1
1
1 1 1
1
Do đó: z7+z8+z9+ z10 =( ) ( ) ( ) ( )−i 7+ −i 8+ −i 9+ −i10 =i+1−i−1=0(đpcm)
Trang 4B.Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ∆ABC với A(−6;−3) (,B −4;3) ( ),C 9;2 . Tìm điểm D thuộc đường phân giác trong góc A của ∆ABC để tứ giác ABDC là hình thang
Giả sử điểm D ;( )a b Ta có: AB( )2;6,AC(15;5),AD(a+6;b+3)
Vì D thuộc đường phân giác trong góc A của tam giác ABC nên:
cos AB AD = AC AD ⇔ ⇔b=a+ ⇒D a a+
Vì ABDC là hình bình hành nên AB // CD hoặc BD // AC
TH1: AB // CD Ta có: AB( )2;6 và CD(a−9;a+1)
Vì AB // CD nên: 2(a+1) (−6 a−9)=0⇔a=14⇒D(14;17)
TH2: BD // AC Ta có: BD(a+4;a) và AC(15;5)
Vì BD // AC nên: 15a−5(a+4)=0⇔a=2⇒D( )2;5
Câu 8b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;3) Viết phương trình mặt cầu tâm M và cắt mặt phẳng Oxy theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 8π.
Gọi mặt cầu cần tìm là ( )S có tâm M(1;2;3) và bán kính R, đường
tròn giao tuyến là( )C có bán kính r Phương trình (Oxy):z=0
1 0 0
3 ,
2 2
+ +
=
Oxy M
d
Vì chu vi đường tròn giao tuyến bằng 8π nên: 8π =2π.r ⇔r =4
Mặt khác ta luôn có: R2 =r2 +d2(M,(Oxy) )⇔R=5
Vậy phương trình mặt cầu ( )S là: (x−1) (2+ y−2) (2 + z−3)2 =25
Câu 9b (1,0 điểm) Biết (2−z)(z+i) là số thuần ảo, hãy xác định giá trị của 2z−(2+i)
@ Giả sử z=a+bi với a,b∈R
Dể thấy: (2−z)(z+i) (= 2−a−bi)(a−bi+i)= =−a2−b2 +2a−b+(2−a−b−2ab)i
Vì (2−z)(z+i) là số thuần ảo nên: −a2−b2 +2a+b=0
4 5
4 8 4 4
1 2 2 2 1
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
= + + +
−
−
−
= +
−
− +
=
− +
−
=
− +
−
=
−
− +
= +
−
b a b a b
a b a
b a
i b a
i bi a i z