Vận Dụng Lý Thuyết Kiến Tạo Trong Dạy Học Chủ Đề Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân

VẬN DỤNG LÝ THUYẾT KIẾN TẠO TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN .... Hình thành định nghĩa cấp số cộng.. Hình thành tính chất của cấp số cộng .... Số hạng tổng quát của cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN

‐‐‐‐‐‐‐‐

Người thực hiện:

VẬN DỤNG LÝ THUYẾT KIẾN TẠO

TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG

VÀ CẤP SỐ NHÂN

Huế, tháng 9 năm 2014

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

I SƠ LƯỢC VỀ LÝ THUYẾT KIẾN TẠO 4

II VẬN DỤNG LÝ THUYẾT KIẾN TẠO TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 5

A DẠY HỌC CẤP SỐ CỘNG 5

1 Hình thành định nghĩa cấp số cộng 5

2 Hình thành tính chất của cấp số cộng 7

3 Số hạng tổng quát của cấp số cộng 8

4 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng 9

B DẠY HỌC CẤP SỐ NHÂN 11

1 Hình thành định nghĩa cấp số nhân 11

2 Tính chất của cấp số nhân 13

3 Số hạng tổng quát của cấp số nhân 14

4 Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. 16

KẾT LUẬN 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

LỜI NÓI ĐẦU

C p s c ng và c p s nhân là m t n i dung quan tr Đ i s và gi i tích 11 Nó giúp chúng ta gi i quy t các bài th c t n tiề t ngân hàng, l i nhu …

Đ giúp h c sinh h c t p ch ề này t t c ch ng d y h c, vi c v n d ng lý thuy t ki n t o vào d y h c c p s nhân và c p s c ều c n thi t Qua ph n này, mong r ng các b n sẽ c nhiề ều thú v khi v n d ng lý thuy t ki n t o vào d y h c Toán nói chung và d y h c ch ề c p s c ng, c p s nhân nói riêng Hu 9 2014

I SƠ LƯỢC VỀ LÝ THUYẾT KIẾN TẠO

ĩ n: Ki n t ĩ x ng nên m t

i khở x ng ra lý thuy t ki n t o là Jean Piaget (1896

– 1980) – nhà tâm lý h c, sinh h i Th Sĩ

su t cu i, ông chỉ i m t m : xây d ng

m t h c thuy t về s phát sinh tri th c Ông nghiên c

tr l i câu hỏi: tri th n v nào? Câu

tr l i c a ông chính là thuy t ki n t o

Nh ng lu n c a thuy t ki n t o:

- Tri th c ki n t o m t cách tích c c bởi ch th

nh n th c, không ph i ti p thu m t cách th ng t ng bên ngoài

- Nh n th c là m t quá trình thích nghi và t ch c l i th gi i quan c a chính mỗi

i

- H c là m t quá trình mang tính xã h ẻ em d n t hòa mình vào các

ho ng trí tu c a nh i xung quanh

- Nh ng tri th c m i c a mỗi cá nhân nh c t vi ều chỉnh l i th gi i quan

c a h c nh ng yêu c u mà t nhiên và th c tr ng xã h ặt ra

- H c tri th c m i theo chu trình: tri th  d  ki m nghi m  (th t b i ) thích nghi  tri th c m i

m ki n t o về Toán:

- Toán h t s sáng t o c i, phát tri n bên trong các ng c nh

- Thông qua các ho i ki n t o các khái ni m toán h c cho phép h

c u trúc nên các tr i nghi m và gi i quy t v ề

- Toán h c còn bao gồm nh ng d ng bi u di n nh ng chuy n bi n c a các v ề,

nh ng minh và các tiêu chuẩn, ch ng c

m về :

- Mong ch s ng h p lý, phong cách riêng c a h c sinh khi ti p c n n i dung toán h c

- Gỉa sử cái mà h c sinh làm là h p lý rồi tìm cách mô t nó t m c a h c sinh

- Kh o sát vi c sử d ng ví d , hình ĩ … t o nên mô hình

th hi n c s hi u bi t c i h c về n i dung toán h

D y h c theo thuy t ki n t ề cao vai trò tích c c, ch ng c a h làm lu m vai trò c m b o m c tiêu giáo d c

y, d y h c theo lý thuy t ki n t o là ki u d y h t k tình

hu ng cho h c sinh tham gia ki n thi t, t o d ng và bi i các tri th ĩ a phù h p v i tình hu ng m i và có nh n th c m ĩ K c ặt vào tình hu ng mà ở i h c c m th y c n thi t và có kh i quy i h c sẽ

ki n t c ki n t o m t cách tích c c bởi ch th nh n

th c

II VẬN DỤNG LÝ THUYẾT KIẾN TẠO TRONG DẠY

HỌC CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

A DẠY HỌC CẤP SỐ CỘNG

1 Hình thành định nghĩa cấp số cộng

Sau khi h c h c nh ĩ t c a m t dãy s

ra v ề :

?1 Cho các dãy s sau:

2 4 6 8 10 12 14 …

5 10 15 20 25 30 …

12 24 36 48 60 72 …

Các s h ng trong mỗi dãy s i liên h gì?

H c sinh v a m c h c về dãy s , nên v i ki n th c hi n t i, h c sinh sẽ ĩ tìm ra câu tr l i: Dãy s th 1: s h ng sau b ng s h c c 2

v , dãy s th 2: s h ng sau b ng s h c c 5 , dãy s th 3: s

h ng sau b ng s h c c 12 Giáo viên ti p t c yêu c u 1 h c sinh lên b ng vi t ti p 5 s h ng ti p theo vào mỗi dãy s trên

Sau khi h c sinh t c câu tr l i cho câu hỏi c th trên, giáo viên sẽ t ng quát hóa l i câu tr l i là: các dãy s t quy lu t là s ng sau b ng s ng

c c ng cho m t s d i T i thi u các dãy s có tính ch t

s ĩ c khác nhau c a khoa h ĩ ũ

c t cu c s i ta g i các dãy s y là nh ng c p s c ng

V i k t qu c c th ở trên, giáo viên yêu c u h c sinh phát bi ĩ p

s c ng rồi giáo viên chính xác hóa l ĩ p s c :

“CSC là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi

số hạng đều bằng tổng các số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là:

(u n) là cấp số cộng

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng”

V i vi nh ng dãy s c th và gi i quy t các v ề ặt ra, h c sinh

n t c tri th c m ĩ p s c ng

S ĩ p s c ng, giáo v t s ví d giúp h c sinh c ng c , khắc sâu ki n th c v a h c

?2 Dãy s 5 5 5 … i là m t CSC không N u ph x nh công sai d ?

?3 Trong các dãy s sau, dãy s nào là c p s c ng? N u là c p s c ng thì công sai d

là bao nhiêu?

a) 2 4 8 16 32 … 1 2 1 4

3 3 3

c ) ; ; ; ;

b) -7, -2, 3, 8, 13 d) 3,5; 5; 6,5; 8; 9,5; 11

?4 Cho ( un) là m t s CSC có u1 1 3, d = 3 Hãy vi t d ng khai tri n c a nó

T ĩ CSC c h c, h c sinh có th gi i quy c câu hỏi trên Giáo viên yêu c u h c sinh lên b ng trình bày l i gi i cho các bài t p trên Ti p theo giáo viên

mu n h c sinh bi có th ch ng minh m t dãy s là m t CSC, :

?5 Ch ng minh các dãy s sau là m t CSC

a) 1; -2; -5; -8; -11…

b)

ng dẫn h c sinh gi i bài toán trên: yêu c u h c sinh tính hi u c a 2 s h ng liền nhau ở mỗi dãy s trên

a) Ta th y mỗi s h ều b ng s h ng c c ng cho (-3) ch ng h n -2 = 1 + (-3)

b) Ta có u n1u n 2 v y (un) chính là m t CSC v i công sai d = 2

T bài toán trên, giáo viên yêu c u h ch ng minh m t dãy s là

m t CSC

H c sinh d a vào cách làm c a bài toán c th c ch ng minh m t

dãy s CSC S ỉnh sửa và chính xác hóa l :

- B 1 : Tính hi u un+1 - un = d

- B 2 : N u d là h ng s thì (un) là m t CSC

2 Hình thành tính chất của cấp số cộng

Đ ặt v ề b ng bài t p nhỏ sau:

?1: Bi u di n m t s s h ng c a CSC sau ở trên tr c s : -5,-9/2,-4,-7/2,-3 …

S u di n các s h ng c a CSC trên tr c s cho h c sinh quan sát

tr c s rồi tr l i m t s câu hỏi c a giáo viên:

?2: Nh n xét gì về m u 3 so v m liền kề bên c S dài c n

u2u3 n u3u4 H c sinh d dàng nh n th y u3 m c n u3u4

T p t ặt nh ng câu hỏi t ng quát :

?3 Hãy tính và theo và d

?4 Suy ra t 2 ng th c ở ?3

?5 2u k=? T u k=? theo u k1và u k1

T ĩ c h c, h c sinh d dàng tr l c các câu hỏi v a

c k t qu là: u k1u kd và u k1u kd c

u1 u2 u3 u4 u5 -5 9 2 -4 7 2 -3

Khi h c sinh v c bi u th c trên thì giáo viên gi i thi u cho h c sinh bi u

th t tính ch t c a CSC T nh lý nói về tính ch t

này: “ Nếu là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng

kề nớ trong dãy, tức là:

Sau khi v c h c tính ch t này, giáo viên t bài t h c sinh áp d ng và khắc sâu tính ch

3 Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Sau khi h c sinh nh n bi c th nào là m t c p s c ng khi nhìn vào m t dãy s thì

h c sinh sẽ thắc mắ c d ng t ng quát c a dãy s Đ giúp h c sinh gi i quy t v ề này giáo viên yêu c u h c sinh th c hi n các yêu c u sau:

?1:Cho CSC (un) v i u1 và d Tính u2,u3,u4 theo u1 và d T n, bi u

di n un theo u1 và d

Sau khi h ĩ t c a c p s c ng h c sinh bi c s h ng sau luôn

b ng s h c c ng v i h ng s i g i là công sai d T c sinh sẽ tr

l i câu hỏ :

K : u2 u d1 , ,

Khái quát hóa lên với

T nh lý về s h ng t ng quát c a c p s c ng: “Nếu một cấp

số cộng có số hạng đầu u 1 và công sai d thì số hạng tổng quát u n của nó được xác

định theo công thức sau: u n = u 1 + (n-1)d.”

Yêu c u h c sinh th o lu n nhóm và ch Đ ch nh lý trên, giáo viên yêu c u h c sinh nhắc l ng minh quy n p

Đ h c sinh hi nh lý giáo viên cho h c sinh th c hi n ho ng sau:

?2: Cho CSC ( un) v i: u 1 = -5 và d 1 2

a) Tính u ,u15 18

b) s 45 là s h ng th bao nhiêu c CSC

c) S 1 3 có ph i là s h ng c CSC

V c h c về nh lý s h ng t ng quát h c sinh gi :

a)Ta có: un = u1 + (n-1)d

Suy ra u15 = u1 + (15-1)d = 15 5 14 1 2 18 7

u    .  ; u 

b) Gi sử 45 là s h ng th  1

2

n

   

 n = 101 Vậy 45 là s h ng th 101 c a dãy

) 

V y 1 3 không ph i là m t s h ng c a CSC

4 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng

Bây gi giáo viên yêu c u h c sinh tính t ng n s h u tiên c a m t c p s c ng

Vi c làm này là không hề n v giúp h c sinh gi i quy t v ề này giáo viên

sẽ g i ý cho h c sinh thông qua các câu hỏi sau:

?1: Cho CSC (un) v i công sai d Vi t các s h ng theo th t c l i

Câu tr l c th hi n qua b ng sau:

u1 u2 u3 u4 …… un-1 un

un un-1 un-2 un-3 u2 u1

?2: Tính các t ng u2+un-1, u3+un-2 theo u1 và un

Giáo viên cho h c sinh tính rồi g i lên b ng vi t k t qu :

u2+un-1= u3+un-2=u1+un

?3: Xét n s h u tiên trong CSC có bao nhiêu cặp s có t ng b ng u1+un

H c sinh d dàng bi c là có n/2 cặp

?4: T t qu gì về t ng n s h u tiên c a 1 CSC : Sn= u1+u2 +u3+… +

n-1+un

Suy ra

?5: Thay u n  u1 (n 1)d vào công th c công th c gì ?

V y

Cu i cùng giáo viên chỉ ra r ng công th c Sn v a rút ra ở các câu hỏi trên chính là công

th c tính t ng n s h u tiên c a c p s c ng

Giáo viên phát bi nh lý : Giả sử (u n ) là một cấp số cộng Với mỗi số nguyên dương

n gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên của nó(S n = u 1 + u 2 + …+ u n ) Khi đó ta có :

Giáo viên giúp h c sinh ghi nh nh lý thông qua ví d sau:

?6: Cho CSC (un) có u1=-2 và có công sai d=2 Hãy tính t ng 17 s h u tiên c a c p

s

H c sinh sẽ áp d ng công th c v a m i h tính

Cách 1: Ta có u 1 = -2, u 17=-2+16.2=30

S 17 =

Cách 2:

y, v n d ng lý thuy t ki n t o v i s ú ỡ c a giáo viên, h c sinh t ki n thi t

ĩ t, s h ng t ng quát và t ng c a n s h u tiên c a m t c p

s c ng c sinh nắm v c n i dung ki n th c và cách gi i các bài t p về

m t c p s c ng

B DẠY HỌC CẤP SỐ NHÂN

1 Hình thành định nghĩa cấp số nhân

h ỏi g i mở

Ví d : cho các dãy s sau:

2; 6; 18; 54; 162;…

1 25; 2 5; 5; 10; 20; 40;…

1/3; 4/3; 16/3; 64/3; 256/3;…

Giáo viên nêu câu hỏi:

?1 Các s h ng trong mỗi dãy s trên có quan h gì v i nhau?

H c sinh d c m i quan h : D 1: h ng sau b ng s h c nó nhân v i 3, dãy 2: s h ng sau b ng s h c nó nhân v i 2, dãy 3: s h c nó

b ng s h ng sau nhân v i 4

Thông qua ho ng phân tích và t ng h p các dãy s h c sinh nh n xét về tính ch t c a

nh ng dãy s này: Dãy s có các s h ng sau b ng s h c nó nhân v i m t

h ng s

Ho ng này giúp h c sinh hình thành khái ni m về c p s nhân thông qua nh ng ki n

th ẫn dắ ĩ a c p s : “C p s nhân là m t dãy s (h u h n hay vô h ) t s h ng th hai, mỗi s h ều b ng tích c a s h ng n c nó và m t s ”

S t h c sinh nhắc l ĩ a h c

Qua ho ng h ĩ p s nhân, rèn luy n cho h c sinh kh

p lu n, phân tích, t ng h p Và giúp h c sinh nh m th y h ng

ú mình tìm ra ki n th c m i, chỉ v i nh ng ki n th c khắc

ĩ i v i các em

H c sinh gi i bài t p:

Xét xem m t s dãy có ph i là c p s nhân hay không ?

a, 4; 6; 9; 13,5

b, -1,5; 3; -6; -12; 24; -48; 96; -192

c, 7; 0; 0; 0; 0; 0

ng câu hỏi g i mở giúp h ng l i gi i các bài

t p d ng này

H c sinh tr l i câu hỏi ở các dãy này các s h é c nào?.Khi h tr l i b ng tr c quan, lúc này giáo viên giúp h c sinh t ng h p l c m t cách chung nh t cho các bài t p d ng này

V i bài t p này h c quan tr ng là xét tỉ s xem nó có ph i là

m t h ng s hay không

Qua quá trình làm bài, h c hi i s chỉ dẫn c a giáo viên

Vi c d y làm bài t p và d y h c b ng lí thuy t ki n t o,h c sinh có th t mình tìm ra

ki n th c về ĩ ng gi i các bài t ắc sâu ki n th c về ĩ

ũ c gi i bài t p H c sinh sẽ t ng gi i quy t cho các bài t p khác

p nh m áp d ĩ c tìm các s h ng c a m t c p

s nhân c th

Bài toán: Tìm c p s nhân có 5 s h ng v i s h u u1=2, công b i q=-2

Trong bài t ng dẫn h c sinh làm bài t ĩ a

h c

H ĩ l i câu hỏ : “ i u1 và q em có th c u2 ?”

t khi tính u3, u4, u5?

Tuy nhiên trong bài t p này, ngoài vi i mở hình thành

ki n th c m i

H c sinh tr l i câu hỏ ng h p n ỉ bi t và ta có th tính

c ? Đ bi c hay không ta sẽ h c ph n sau

2 Tính chất của cấp số nhân

Giáo viên ti n hành ho ng dẫn dắt h c sinh vào ph nh lí

Giáo viên yêu c u m t h c sinh nhắc l nh lí th nh t trong bài c p s c ng, h c sinh nhắc l 1: “ u (un) là m t c p s c ng thì k t s h ng th hai, mỗi s h ng (tr

s h ng cu i v i c p s c ng h u h ) ều là trung bình c ng c a hai s h ng

kề ”

Thông qua vi c nhắc l nh lí này, giáo viên mu n h ĩ n m i quan h gi a

c p s c ng và c p s nhân

ỏi:

?1 Em hãy bi u di n un theo un-1

?2 hãy bi u di n un theo un+1

?3 Có nh n xét gì khi nhân v theo v c a 2 bi u th c v c?

Vi c bi n này b ng nh ng ki n th c các em t mình tìm ra các ki n th c m i

ng dẫn c a giáo viên

Khi các em nhân v theo v c u n 2 =u n-1 u n+1

t lu “ i dung c a tính ch t c a c p s ”

Giáo viên cho h c sinh phát bi nh lí ở sách giáo khoa

Nếu u n là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương mỗi số hạng (trừ

số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy

u n 2 =u n-1 u n+1

y thông qua vi c tìm m i quan h b ng ho ng phân tích t ng h p, h

t nh lí, vi c d y b ng lí thuy t ki n t o giúp các em d nh m

th y quen thu c v tìm ra

Ở ỉ ng dẫn và t ng h p l i, còn t t c ki n th c do các em t mình tìm ra b ng chính nh ng ki n th c

H ĩ t qu c a bài t p :