tài liệu về tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

Đinh Đức Anh Vũ Tín hiệu & Hệ th ng trong miền tần số Tín hiệu & Hệ th ng trong miền tần số... Tại sao miền tần số ?Phổ spectrum : Nội dung tần số của tín hiệu Phân tích phổ : Xác ñịnh p

Faculty of Computer Science and Engineering

HCMC University of Technology

268, av Ly Thuong Kiet,

District 10, HoChiMinh city

T.S Đinh Đức Anh Vũ

Tín hiệu & Hệ th ng trong miền tần số

Tín hiệu & Hệ th ng trong miền tần số

T i sao miền tần số ?

F Công c phân tích tần số

Chu i Fourier – tín hiệu tuần hoàn Biến i Fourier – tín hiệu năng lượng không tuần hoàn (J.B.J Fourier: 1768 1

F

Tín hiệu

t/h hình SIN: F 0 t/h hình SIN: F 1 Tần số

- Chuỗi Fourier ngược – tín hiệu tuần hoàn

- Biến ñổi Fourier ngược – tín hiệu năng lượng, không tuần hoàn

Tại sao miền tần số ?

Biên ñộ : Co/giãn lượng α

Tần số : Không ñổi ω0

/ hình Sin

n j

Ae ω0

T/h hình Sin

) ( ω0 θ

α e j n+A

LTI

Tại sao miền tần số ?

Phổ (spectrum) : Nội dung tần số của tín hiệu

Phân tích phổ : Xác ñịnh phổ của t/h dựa vào công cụ toán học

Ước lượng phổ : Xác ñịnh phổ của t/h dựa trên phép ño t/h

h LTTG và tuần hoàn LTTG và tuần hoàn

§ Chuỗi Fourier

ª x(t): LTTG, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản Tp = 1/F0 (F0: tần số)

ª Đặt

• x k (t) tuần hoàn với chu kỳ T k =T p /k (kF 0 : tần số)

• Đóng góp cho x(t) một lượng c k (Tần số kF 0 có ñóng góp một lượng c k )

ke c t

k x t e dt T

c 1 ( ) 2 0

t kF j k

k

j

e c

Đóng góp về biên ñộ Đóng góp về pha

§ Đ/k Dirichlet: bảo ñảm chuỗi Fourier hội tụ về x(t) t

ª x(t) có số hữu hạn các ñiểm gián ñoạn trong một chu kỳ

ª x(t) có số hữu hạn các ñiểm cực ñại và cực tiểu trong một chu kỳ

ª x(t) khả tích phân tuyệt ñối trong một chu kỳ, tức

§ Đ/k Dirichlet chỉ là ñ/k ñủ

ª T/h biểu diễn bằng chuỗi Fourier chưa chắc thỏa ñ/k Dirichlet

§ Nếu x(t) là t/h thực

ª c k và c -k liên hợp phức ( )

ª Biểu diễn rút gọn của chuỗi F

ª Do cos(2 πkF 0 t + θk ) = cos2 πkF 0 t cosθk sin2 πkF 0 t sinθk

Cách biểu diễn khác của chuỗi F

x ( )

=

+ +

t

k

j k

c = θ

=

− +

t x

h LTTG và tuần hoàn LTTG và tuần hoàn

h LTTG và tuần hoàn LTTG và tuần hoàn

§ V : Phân tích tín hiệu sau ra các thành phần tần số

x(t) = 3Cos(100 πt – π/3)

) 100

( 2

3 ) 100

( 2

3

) 100

( 2

3 ) 100

( 2 3

3 3

3 3

) (

t j

j t

j j

t j

t j

e e e

e

e e

t x

e c

3

3

2

3 1

2

3 1



h LTTG và tuần hoàn LTTG và tuần hoàn

k -1

h LTTG và tuần hoàn LTTG và tuần hoàn

§ Công su t trung bình

ª Do ñó

§ Phổ mật ñộ công suất

ª Công suất trung bình tổng cộng bằng tổng

các công suất trung bình của các t/h hài tần

ª Giản ñồ công suất theo tần số

T

dt t

x T

k

t F j k p

x

p

p

dt e

t

x T

c

dt e

c t

x T

) ( 1

ke c t

) ( 1

Công thức quan hệ Parseval

h LTTG và tuần hoàn LTTG và tuần hoàn

§ V 1: tính công su t trung bình c a x(t) = 3Cos(100 πt – π/3)

e c

e

2

3 1

2

3 1

0

2 /

, )

(

t

t

A t

T

T

A Adt T

dt t

x T

2 /

2 /

2 / 0

1 )

( 1

0

0 0

2 /

2 / 0

2 2

/

2 /

2

2

2 1

0 0

0 0

kF

kF T

A j

e e

kF T

A

kF j

e T

A dt

Ae T

c

p

kF j kF

j

p

t kF j

p

t kF j p

h LTTG và tuần hoàn LTTG và tuần hoàn

A c

p

h LTTG và tuần hoàn LTTG và tuần hoàn

h LTTG và tuần hoàn LTTG và tuần hoàn

Tổng hợp từ

101 thành phần

Tổng hợp từ

2001 thành phần

h LTTG và không tuần hoàn LTTG và không tuần hoàn

§ T/h tuần hoàn xp(t)

ª Có ñược do l p lại t/h x(t)

ª Tuần hoàn chu kỳ cơ bản Tp

ª Có phổ vạch: khoảng cách vạch F0=1/Tp

§ T/h không tuần hoàn x(t)

ª Có thể coi như xp(t) khi Tp → ∞

ª Khoảng cách vạch F0 = 1/Tp → 0

Phổ của tín hiệu không tuần hoàn là phổ n tục

§ Biến ñổi Fourier

ª x(t): LTTG, không tuần hoàn

• Hệ số Fourier

ª Đ/k Dirichlet

• x(t) có hữu hạn các ñiểm gián ñoạn hữu hạn

• x(t) có hữu hạn các ñiểm cực ñại và cực tiểu

• x(t) khả tích phân tuyệt ñối, nghĩa là

−

−

= x t e dt F

X ( ) ( ) j2 Ft

−

= X F e dF t

) (

1

0 0

0 F X kF kF

X T

c

p

dt t

x ( )

LTTG và không tu n hoàn

h LTTG và không tu n hoàn LTTG và không tu n hoàn

§ V : cho x(t) không tuần hoàn Phân tích x(t) ra các thành phần tần số

=

2 / ,

0

2 /

, )

(

t

t

A t

x

F

F A

dt Ae

h LTTG và không tu n hoàn LTTG và không tu n hoàn

F X

t

x

dt t x t x dt

t x E

Ft j

) ( )

(

) ( ) ( )

t x dF

F X

dt dF e

F X

t x E

Ft j

Ft j x

(

) ( )

)

( )

( )

(

) ( )

(

F S

F

S F

X F

X

F X F

h LTTG và không tu n hoàn LTTG và không tu n hoàn

§ V

h RRTG và tu n hoàn G và tu n hoàn

§ Chuỗi Fourier cho t/h RRTG có tối ña N thành phần tần số (do tầm tần

k

N

k

e c n

2

) (

1 N n

n j

k

N

k

e n

x N

c

h RRTG và tu n hoàn G và tu n hoàn

2 0 1 : :

(

) c

3 ) (

) 2 c

3 )

tuan n

x c

n n

x b

n n

x a

2 /

1 ,

2 0

ω

) 2

3 )

) 3

5

0 )

( 6

n x

c

n

n j

k

k

Tuy nhiên

n j

n j

e e

n n

x

6

1 6

2

2

3 2

3

) 6

1 2

cos(

3 )

1

43

c c

c c

Các h ệ số ñóng góp

G và tu n hoàn

T ệ ề ờ : ( )

G và tu n hoàn

) 3

)

x

h RRTG và tu n hoàn G và tu n hoàn

) 2

1

( 4 1

3 0 )

( 4

1

2 3

4

3 0

2

k j k

j n

n j

k

e e

k e

n x

=

=

=

4 5

4 3

424

1 4

1 3

2

1 4

1 2

424

1 4

1 1

4

1 0

) 2

1 (

) 1 2

1 (

) 2

1 (

1 )

1 2

1 (





j j

j j

e j

C

C

e j

=

=

= +

−

=

= +

0 1

: :

)

x c

h RRTG và tu n hoàn G và tu n hoàn

§ Công su t trung bình

ª Chuỗi │ck│2: phổ mật ñộ công suất của t/h tuần hoàn

§ Năng lượng t/h trong một chu kỳ

*

*

1 0

* 1

1 )

( 1

N

k

N kn j k

N

n

N

n x

e c n

x

n x n

x N

n

x N

2 1

0

2

) (

k

k N

n

N P

) ( 1

e n

x N

c

e c n

x N

2 1

n

E

h RRTG và tu n hoàn G và tu n hoàn

§ Nếu x(n) thực [x*(n) = x(n)], ck * = c-k

ª Tức

ª Ngoài ra, từ c N+k = c k , ta cũng có

ª Đ/v t/h thực, phổ c k (k=0,1,…,N/2 khi N chẵn hoặc k=0,1,…,(N-1)/2 khi N

lẻ) hoàn toàn có thể ñặc tả cho t/h trong miền tần số

ª Khi ñó, chuỗi Fourier có thể ñược rút gọn

pha Pho

c c

chan xung

doi do

bien Pho

c c

k k

k k

k N k

c c

c c

=

=

− +

=

+ +

=

L

k

k k

L

k

k k

kn N

b

kn N

a a

kn N

c c

n x

0

1 0

2

2 c

)

2 c

2 )

chan

N L

c b

c a

c a

N N

k k

k

k k

k

: : 2

2

212

0 0

θ θ

Với

N k N

kL

e N A

N N

k N

AL

c

N

L k j

2,,0

) 1 (

A

A

h RRTG và không tu n hoàn G và không tu n hoàn

§ Ch xét t/h năng lượng x(n)

§ Biến ñổi Fourier

§ X( ω): nội dung tần số của t/h

ª Khác biệt cơ bản giữa BĐ Fourier của t/h năng lượng RRTG và t/h

e n x

1 )

h RRTG và không tu n hoàn G và không tu n hoàn

§ V : xác nh nội ần số c a tín hiệu sau

x(n) = {… 0 1 1 1 1 1 0 …}

) 2 2

2 1 ) (

1 )

ω ω

ω

+ +

=

+ +

+ +

X

e e

e e

C X(ω) ầ

C ỳ: 2π

h RRTG và không tu n hoàn G và không tu n hoàn

F

x

T n s

h RRTG và không tu n hoàn G và không tu n hoàn

§ Sự hội t c a BĐ Fourier

ª Trong BĐ Fourier ngược (PT phân tích), chuỗi X N ( ω) ñược giả thiết hội tụ về

X( ω) khi N→

ª Ý nghĩa: giá trị sai số X( ω) X N ( ω) sẽ bằng 0 khi N→

ª X N ( ω) hội tụ nếu x(n) khả tổng tuyệt ñối

Đ/k ñủ ñể tồn tại BĐ Fourier RRTG Tương ñương ñ/k Dirichlet thứ 3 cho BĐ Fourier của t/h LTTG (ñ/k 1 v 2 không

có do bản chất của t/h RRTG)

ª Nếu x(n) khả tổng bình phương tuyệt ñối (i.e x(n) có năng lượng hữu hạn)

Đ/k hội tụ ñược giảm nhẹ

Năng lượng của sai số X( ω) X N ( ω) sẽ tiến về 0, nhưng không nhất thiết giá trị

n j

X ( ω ) ( ) ω

0 )

( )

¥

®

ω ω

n j

n x e

n x

ω

0 )

( )

N

h RRTG và không tu n hoàn G và không tu n hoàn

n x

n x n x n

x E

n j

n n

x

)

( 2

1 )

(

) ( ) ( )

(

*

*

* 2

n x E

n x

2 2

)

( 2

1 )

(

) (

) ( )

( )

( )

( ω X ω 2 X ω X * ω

) (ω

X

) ( ω

ω ω

d e

n x X

d e

X n

x E

n

n j n

n j x

) ( )

( 2

1

)

( 2

1 ) (

*

*

h RRTG và không tu n hoàn G và không tu n hoàn

§ Ví dụ

ª Cho tín hiệu x(n) = anu(n) , –1< a <1

a) Lập công thức biểu diễn tín hiệu trong miền tần số ?

b) Lập công thức biểu diễn phổ biên ñộ, pha và năng lượng?

c) Vẽ 3 phổ nói trên, với a = 0.9 , a = –0.9 ?

d) Tần số ( π/2) có mặt trong sự thành lập tín hiệu x(n) không?

Nếu có thì ñóng góp biên ñộ và pha là bao nhiêu?

ω

ω ω

n j n

ae X

ae e

a X

) (

)

(

0 0

a) X(ω) = ?

h RRTG và không tu n hoàn G và không tu n hoàn

b) X(ω) Θ(ω) (ω) = ?

2 2

2

cos 2

1

sin )

(

cos 2

1

) cos 1

( )

(

cos 2

1

) sin (

) cos 1

( )

1 )(

1 (

) 1

( 1

1 )

(

a a

a X

a a

a X

a a

a j a

ae ae

ae ae

X

I

R

j j

j j

ω

ω ω

ω

ω

ω ω

ω ω

1

1 )

1 )(

1 (

1 )

( )

( )

(

a a

ae ae

X X

ω

ω ω

) (

tan )

(

) ( )

(

| ) (

|

) (

) ( 1

2 2

ω

ω

ω

ω ω

ω

R

I

X X

I

X X

−

=

+

=

h RRTG và không tu n hoàn G và không tu n hoàn

c) Vẽ phổ

) ( )

(

1

1 )

(

1

1 1

1 )

(

1 2

2 2

a a X

ja ae

h RRTG và không tu n hoàn G và không tu n hoàn

A n

x

0

1 0

, )

(

)

) )

j

Ae

L A

(

) ( )

(

ω ω

ω ω

X X

X X

e n x

X ( ω ) ( ) ω

(xét trên vòng tròn ñơn v )

§ Cx(z) hội tụ trên vòng tròn ñơn vị

§ Nếu biểu diễn X( ω) dưới dạng cực

n

n x

j

n c z

n c z

X z

2

1 )

( )

( )

( )

2

1 )

( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

( )

j X

X e

(

Fourier t h RRTG

B Fourier t h RRTG

§ BĐ Fourier của t/h có pole nằm trên vòng tròn ñơn vị

ª Có những chuỗi không khả tổng tuyệt ñối lẫn khả tổng

bình phươ o ñó không có BĐ Fourier

• V ụ

• Cả 2 t/h này ñều có pole trên vòng tròn ñơn vị

ª BĐ Fourier mở rộng của các chuỗ ạng này

• Cho phép BĐ Fourier có các xung tại các tần số tương ứng với vị trí các pole nằm trên vòng tròn ñơn vị

• Xung là hàm của ω có biên ñộ 1/a, ñộ rộng a, diện tích ñơn vị

(a →0)

2 0

1 0

1

2 1

1 )

( )

( ) )

(

1

1 )

( )

( )

z z

X và

n u n n

x

z

z X và

n u n

x

ω ω ω

lo i t mi n t n s

§ Phân loại t/ ựa vào phổ mật ñộ công suất/năng lượng

ª T/h tần số cao: phổ tập trung ở tần số cao

ª Trong trường hợp t/h bandpass, nếu băng thông của t/h quá nhỏ (hệ số 10)

so với tần số giữa (F 1 +F 2 )/2: băng thông hẹp Ngược lại là băng thông rộng

ª T/h băng thông giới hạn là t/h có phổ bằng không bên ngoài tầm tần số

Time-limited: x(n)=0 với n0<|n|<N Bandlimited: ck=0 với k0<|k|<N

Time-limited: x(n)=0 với |n|>N Bandlimited: |X( ω)|=0 với ω0<| ω|<π

RRTG

Time-limited: xp(t)=0 với <|t|<Tp/2 Bandlimited: ck=0 với |k|>M

Time-limited: x(t)=0 với |t|>

Bandlimited: X(F)=0 với |F| > B

LTTG

T/h tuần hoàn T/h không tuần hoàn

ng u

i ngẫu

§ 2 tính ch t c trưng cho t/h trong miền thời gian (mặt toán học và mặt vật lý)

ª Biến thời gian: liên tục hay rời rạc

ª Tính chu kỳ: tuần hoàn hay không tuần hoàn

§ Biến thời gian

ª T/h năng lượng không tuần hoàn

Phổ liên tục (do hàm mũ e j2 πFt hoặc e j ωn liên tục, không tuần hoàn theo F ho ặc ω)

h RRTG: Đặc tính c a BĐ Fourier

T h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier

§ T/h RRTG không tuần hoàn và có năng lượng hữu hạn

§ Tương tự cho t/h LTTG không tuần hoàn và có

năng lượng hữu hạn

e n x n

x F

=

ω ω

ω

2

( 2

(

( ( n X ω

x ← →F

n

I R

R

n n

x n n

x X

n n

x n n

x X

ω ω

ω

ω ω

ω

( (

(

( (

ω ω

ω

ω ω

ω ω

(

(

( 2

(

d n X

n X

n x

d n X

n X

n x

I R

I

I R

R

là n X

và n X

d n X

n X

n x

I R

I R

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω

( (

(

( 2

(

(

ω ω

ω ω

I I

R R

X X

X

X

( (

( (

ω

ω ω

ω ω

ω

R I

I R

X

X X

X X

( (

ω ω

ω ω

X X

X X

n R

n n

x X

n n

x X

ωω

ωω

((

((

ω ω

ω ω

(

0 (

( (

2 0

( (

nd X

n x X

chăh hàm

n n

x x

X

R

I

n R

ω

ω ω

ω

(

( (

2 (

0 (

nd X

n x

le hàm n

n x X

X

I

n I

R

ω

ωω

ωω

(

((

(

((

(

d n X

n X

n x

chan hàm

n n

x X

le hàm n

n x X

I R

I

n

I I

n

I R

=

=

=5

=

6

ωωω

ω

ωω

((

0(

((

2(

nd X

n

x

X

le hàm n

n x X

I

n I R

ωω

ω

((

((

20((

0(

nd X

n x

chan hàm

n n

x x

X X

n I I

I R

− +

= +

=

+

=

+ +

+

= +

=

( (

[ (

( (

( (

[ (

( (

( (

( (

[ (

( (

( (

* 2

* 2

n x

n x n

jx n

x n

x

n x

n x n

jx n

x n

x ñó

trong

n x n

x

n x n

x j n

x n

x n

jx n

x n

x

o I

o R o

e I

e R e

o e

o I

e I

o R

e R I

R

( (

( (

(

( (

( (

(

ω ω

ω ω

I

o R

e I

e R

o I

o R

e I

e R

jX X

jX X

X

n jx

n x

n jx

n x

n x

+ +

+

=

+ +

+

=

( (

(

(

(

2 2 2

2 2

2

ω ω

ω

ω

X a X

a n

x a n

x

a X

n x

X n

0 (

0 0

0 (

( (

x

n

n

a n

x

n x n

x n

n j

ae X

a ae

Do

ae e

n x X

(

0

ω ω

ω ω

n j

n

n j

ae

a ae

Do

ae ae

e n x X

(

2

h RRTG: Đặc tính c a B Fourier

2 2

2

c 2 (

( (

(

a a

a X

X X

ω ω

ω

( 3

ω

j F

j

F n

e

X X

n x n

x

e

X n

u n

6 (

6 (

( 6 (

( (

( (

( (

(

( (

( ( n ← → X ω ⇒ x − n ← → X − ω

( (

* (

( (

(

(

(

2 2

2 2

ω ω

ω ω

ω

X X

X n

x n

x n

x X

n

x

X n

(

( (

(

(

(

2 2

ω ω

S m

r X

n x

X n

x

x x

F x

x F

F

( (

( (

( n thuc ⇒ r l ← → S ω = X ω X − ω

c (

( ( n ← → X ω ⇒ x n ω0n ← → 2 X ω + ω0 + X ω − ω0

( (

( ( n ← → X ω ⇒ e ω0 x n ← → X ω − ω0

ω ω

ω

d X

X n

x n

x X

n x

X n

x

n F

F

(

( 2

(

( (

2

§ Nhân 2 chuỗi ( nh lý cửa sổ)

d

dX j

n nx X

n

( (

( (

( ( n ← → X ω ⇒ x* n ← → X * − ω

ω ω

d X

X X

n x n x n

x

X n

x

X n

x

F

F F

(

( 2

( (

( (

( (

( (

2 3

2 3

2 2

T/h m phức T/h sin

k

k j n

j k

k n j k

e AH

e k h Ae

Ae k h

k n x k h n

h n x n

y

ω

ω ω

ω

ω (

( (

( (

(

* ( (

§ Do ñó, nếu biết │H(ω)│v Θ(ω) trong khoảng 0 ≤ ω ≤ π thì cũng xác

ñịnh ñược trong khoảng π ≤ ω ≤ 0

((

ω

ω = H e jH

( / ( 2

( (

( (

( (

( (

ω ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω

R

H j

I R

I R

k k

k

k j

e H

H

jH H

k k

h j

k k

h e

k h H

k h H

chan hàm

k k

h H

k I

k R

ω ω

( (

( (

le hàm

chan hàm

H H

H

R

I

H H

I R

( (

2 2

(

( (

ệ trong miền t n s

Hệ LTI trong miền t n s

§ Đáp ứng tần số của t/h sin

n j

Ae n

x ( = ω

n j

Ae n

x2 ( = − ω

n j j

e e

H A n

y ( = ( ω (ω ω

n j j

n j j

e e

H A

e e

H A n

y

ω ω

ω ω

(

( (

( (

( n A n 2 x n x2 n

( (

( (

ω ω

A

n y n

y n

( (

c ( n A n 2 x n x2 n

( (

( (

ω ω

A

n y n

y n

y

§ Đáp ứng cho t/h tuần hoàn

ª Đáp ứng của t/h tuần hoàn cũng là t/h tuần hoàn chu kỳ N

§ Đáp ứng cho t/h không tuần hoàn

k k

N

k

e H

c n

N

k

e c n

x

>

k

k k

z a

z b z

M

k

k j k

e a

e b

z H

N

p z

z z z

b z

(

( (

M

k

k j

M N j

p e

z e

e b

(

( (

( * *

H z

( /

( *

= H z z

H

( (

= H

H

( (

( (

( (

ệ trong miền t n s

Hệ LTI trong miền t n s

§ Tính hàm ñáp ứng tần số H(ω)

ª Biểu diễn dưới dạng cực

ª Do ñó, có thể tính ñược H(ω) nếu biết ñược zero và pole của hàm hệ thống

ω ω

k j

j k

k j

e U

p e

e V

z e

M

k

k j

M N j

p e

z e

e b

(

( (

− +

k

k

N M

M N

b H

U U

U

V V

V b

H

0

2

2 0

( (

( (

(

( (

(

(

( (

ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω ω

ω ω

§ Tính hàm ñáp ứng tần số H(ω)

ª Cho zero z k và pole p k

ª Xác nh H(ω) tại ω (ñiểm L)

ª Việc tính H(ω) tương ñương việc

tính H(z) tại ñiểm L trên vòng tròn ñơn vị

ª Sự hiện diện của zero gần vòng tròn ñơn vị khiến biên ñộ ñáp ứng tần số tại những ñiểm trên vòng tròn gần ñiểm ñó nhỏ

ª Ngược lại, sự hiện diện của pole gần vòng tròn ñơn vị khiến biên ñộ ñáp

ứng tần số tại những ñiểm trên vòng tròn gần ñiểm ñó lớn

ω ω

k j

j k

k j

e V

z e

e U

p e

ryy = hh xx

(

* (

( (

( (

( ( z S z S z H z H z S z

Syy = hh xx = − xx

( (

( z H z S z

( (

( (

S E

ª Thay ñổi phổ t/h nhập tùy theo ñặc trưng của ñáp ứng tần số H( ω)

ª Hệ LTI ñược xem là bộ lọc tần số: H( ω) ñóng vai trò hàm tác ñộng

ệ và b l c

Hệ LTI và b l c

§ Bộ lọc lý t ng

ª Đặc trưng của H( ω) lý tưởng

• Biên ñộ = hằng số A, trong vùng tần số ñược qua

= 0, trong vùng tần số không ñược qua

§ bị delay: g ( ω) = -dΘ(ω)/dω = n 0 (tất cả các thành phần t/s ñều bị trễ như nhau)

n j

0

ω

( (

( (

( ω = H ω X ω = Ce− ω 0 X ω ω ω ω2

ệ và b l c

Hệ LTI và b l c

§ Thiết kế bộ lọc b ng sơ ñồ zero pole

ª Bộ lọc số ñơn giản nhưng quan trọng

ª Nguyên lý: ñặt các pole gần các ñiểm trên vòng tròn ñơn vị tương ứng với

các tần số cần nhấn mạnh (có góc pha bằng tần số ñược cho qua bộ lọc) và ñặt các zero gần các ñiểm tương ứng với các tần số không muốn

ª Ràng buộc

• Pole bên trong vòng tròn ñơn vị (ñể hệ ổn ñịnh) Zero có thể nằm bất kỳ ở ñâu trên mpz

• Các zero/pole phức phải theo từng cặp liên hợp (ñể hệ số của bộ lọc là số thực)

• Chọn b 0 thích hợp ñể chuẩn hoá ñáp ứng tại tần số ñược cho qua bộ lọc (ñể

│H(ω 0 ) │ = 1, ω 0 là tần số trong bandpass của bộ lọc)

k

k k

M

k

k k

z p

z z b

z a

z b z

(

( (

G ≡ b0: ñộ ợ

ệ và b l c

Hệ LTI và b l c

§ Bộ lọc thông th p (lowpass)

ª Đặt pole gần các ñiểm trên vòng tròn ñơn vị có tần số thấp ( ω = 0)

ª Đặt zero gần hoặc tại các ñiểm trên vòng tròn ñơn vị có tần số cao ( ω = π)

§ Bộ lọc thông cao (highpass)

ª Tương tự như bộ lọc thông thấp, bằng cách lấy ñối xứng các zero/pole qua trục ảo

của mpz

ª Trong biểu thức hàm h/t, thay z bởi –z

z H

Hệ L I và b l c

ª Nguyên tắc: ñược thực hiện tương tự lowpass và highpass

ª Có một hoặc nhiều cặp pole liên hợp phức gần vòng tròn ñơn vị trong vùng lân cậ ải tần số cho phép

ª V ụ: thiết kế bộ lọc ban ass thoả:

• Tâm của passban = π/2 Đáp ứng tần số tại tâm ñó = 1

• Đáp ứng năng lượng = 0 tại các tần số: 0, π

• Đáp ứng năng lượng = tại các tần số: 4 π/9

2

(

( (

r z

z G jr

z jr z

z z

G z

H

+

−

= +

.

0 (

(

2 9

4

2

r

G H

0

H

2 ,

re p

@