Đề tài: cấu trúc vành_Luận văn tốt nghiệp

Vành R là Artin trái phải nếu R thỏa mãn điều kiện dây xích giảm trên các ideal trái phải.. Định nghĩa: Module A được gọi là thỏa mãn điều kiện tối đại tối tiểu trên các module con nế

PHẦN MỞ ĐẦU – o —

I Lí do chọn đề tài:

Trong môn học “Lí thuyết vành và trường” sinh viên đã được học một số tính chất của vành giao hoán, vành địa phương, vành Euclide, vành Gauss Tiếp đó, ở môn “Đại số giao hoán” sinh viên tiếp tục được học các loại vành như vành Artin, vành Noether Như vậy, lớp các vành rất phong phú

Để tìm hiểu thêm tính phong phú của các loại vành tôi đã chọn đề tài

“Cấu trúc vành” cho luận văn tốt nghiệâp của mình

II Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài “Cấu trúc vành” nghiên cứu một số loại vành: vành đơn, vành nguyên thủy, vành trù mật, radical Jacobson, radical nguyên tố trên vành bất

kì, vành nửa đơn, vành nửa nguyên tố … Qua đó cho thấy một số tính chất và mối liên hệ giữa chúng

Nội dung đề tài được chia thành hai phần:

A Cơ sở lí thuyết (gồm năm mục) Ở mục một là kiến thức chuẩn bị, trong phần này trình bày sơ lược các kiến thức liên quan đến vành, module … để làm cơ sở cho các mục sau Các mục còn lại nêu lên định nghĩa và nghiên cứu một số tính chất của vành đơn, vành nguyên thủy, radical Jacobson, vành nửa đơn …

B Bài tập (gồm 20 bài tập)

III Mục đích nghiên cứu:

Nhằm giới thiệu một số loại vành và mối liên hệ giữa chúng, qua đó cho

thấy tính phong phú của các loại vành

IV Phương pháp nghiên cứu:

Đề tài “Cấu trúc vành” được thực hiện chủ yếu bằng cách dịch từ tiếng Anh quyển “Algebra” của Thomas W Hungerford (chương 9, từ trang 414 đến trang 450); bên cạnh có sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp một số kiến thức có liên quan

Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức nên đề

tài khó tránh khỏi những sai sót Kính mong nhận được những lời góp ý của quí thầy cô và các bạn

LỜI CẢM ƠN – o —

Đề tài “Cấu trúc vành” được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Thanh Bình và sự cố gắng, nổ lực của bản thân

Em xin chân thành gởi lời cám ơn đến thầy Nguyễn Thanh Bình và các thầy cô trong bộ môn Toán, khoa Sư Phạm, trường Đại Học Cần Thơ đã tích lũy cho em những kiến thức cần thiết và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho em trong lúc thực hiện và hoàn thành đề tài này

Xin cám ơn các bạn sinh viên lớp Sư Phạm Toán K25 đã động viên và giúp đỡ tôi

Một lần nữa xin gởi đến thầy Nguyễn Thanh Bình và các thầy cô trong

bộ môn Toán lòng biết ơn sâu sắc

Cần Thơ, tháng 5 năm 2003

Sinh viên thực hiện

Cao Minh Quang

MỤC LỤC – o —

Trang

Phần mở đầu 1

Lời cám ơn 2

Mục lục 3

Phần nội dung 4

A Cơ sở lí thuyết .4

§1 Kiến thức chuẩn bị 4

§2 Vành đơn và vành nguyên thủy 15

§3 Radical Jacobson 24

§4 Vành nửa đơn 32

§5 Radical nguyên tố – vành nguyên tố và vành nửa nguyên tố 41

B Bài tập 45

Phần kết luận 57

Tài liệu tham khảo 58

PHẦN NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÍ THUYẾT

§1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

– o —

1.1 Định nghĩa:

Vành là tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi trên R gồm phép cộng

(+) và phép nhân (.) thỏa các điều kiện sau:

(i) (R, +) là nhóm Abel

(ii) Phép nhân có tính chất kết hợp, tức là: a(bc) = (ab)c với mọi a, b ,c ∈ R (iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là:

a(b + c) = ab + bc

(b + c)a = ba + ca với mọi a, b, c ∈ R

Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, phần tử đơn vị của R kí hiệu là 1R hay 1 hoặc e

Vành R được gọi là thể nếu R có đơn vị 1R ≠ 0 và mọi phần tử khác không của nó đều khả nghịch Từ đó suy ra thể không có ideal thật sự

1.2 Định lí:

Nếu f: R  → S là đồng cấu vành và I là ideal của R chứa trong Kerf thì tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : R/I  → S sao cho f(a + I) = f(a) với mọi

a ∈ R

Imf = Imf và Kerf = Kerf/I

f là đẳng cấu khi và chỉ khi f là toàn cấu và I = Kerf

Chứng minh:

Định nghĩa ánh xạ f : R/I → S

a + I α f (a + I) = f(a) với mọi a ∈ R

Định nghĩa này được xác định đúng đắn

Thật vậy, nếu a + I = b + I thì a – b ∈ I ⊂ Kerf nên f(a – b) = 0 hay f(a)

= f(b) Dễ thấy f là đồng cấu vành thỏa f = f g với g: R → R/I là đồng

cấu vành Giả sử tồn tại đồng cấu vành h: R→R/I thỏa mãn f = hg, thế thì với mọi a ∈ R, ta có:f g(a) = hg(a) hay f [g(a)] = h[g(a)], suy ra f (a + I) = h(a + I)

Vậy f = h và f được xác định duy nhất

Từ định nghĩa ánh xạ f ta suy ra Imf = Imf Ta có:

nên f là toàn cấu và Kerf = 0 nên Kerf/I = 0 = I, suy ra Kerf = I

Ngược lại, do Kerf = I nên Kerf = Kerf/I = 0 nên f là đơn cấu Dễ thấy

f là toàn cấu Vậy f là đẳng cấu

1.3 Định lí:

Giả sử I và J là các ideal của vành R sao cho I ⊂ J Khi đó J/I là ideal của vành R/I

Chứng minh:

Định nghĩa ánh xạ f: R/I → R/J

a + I α f(a) = a + J với mọi a ∈ R

Định nghĩa này xác định đúng đắn Thật vậy, giả sử a + I = b + I thì a – b

∈ I ⊂ J, suy ra a + J = b + J Dễ dàng kiểm tra được rằng f là đồng cấu vành Mặt khác, ta có Kerf = {a + I ∈ R/I | f(a + I) = 0}

Ideal P của vành R được gọi là nguyên tố nếu P ≠ R và với mọi ideal A,

B của R sao cho AB ⊂ P thì A ⊂ P hoặc B ⊂ P

1.5 Định lí:

(i) Trong vành R khác không, có đơn vị luôn tồn tại ít nhất một ideal tối đại (ii) Cho A là ideal của vành R khác không có đơn vị, A khác R Khi đó tồn tại ideal tối đại của R chứa A

Chứng minh:

(i) Gọi S là tập tất cả ideal của R và khác R Ta có S ≠ Þ vì (0) ∈ S Xét (S,

⊆) Gọi (Ai)i∈I là dây xích trong S Đặt A = Υ

I i i

A

∈

, ta có A là ideal của R và khác R Thật vậy, gọi x, y ∈ A thì tồn tại i, j ∈ I sao cho x ∈ Ai và y ∈ Aj Do (Ai)i∈I là dây xích nên ta có thể giả sử x, y ∈ Ai Khi đó x – y ∈ Ai và ax, xa

∈ Ai với mọi a ∈ R, suy ra x – y ∈ A và ax, xa ∈ A với mọi a ∈ R, suy ra A là ideal của R

Nếu A = R thì 1 ∈ A, suy ra tồn tại i ∈ I sao cho 1 ∈ Ai, suy ra Ai = R (vô lí) Vậy A ≠ R, do đó A ∈ S Theo bổ đề Zorn – Kuratowshi thì trong tập S tồn tại phần tử tối đại Gọi M là phần tử tối đại trong S Nếu M không phải là phần tử tối đại của R thì tồn tại ideal P nào đó của R sao cho M ⊂ P ⊂ R và M ≠ P ≠ R, suy ra P ∈ S (vô lí) vì M tối đại Vậy M là ideal tối đại của R (ii) Gọi S là tập tất cả các ideal của R chứa A và khác R

Bằng phương pháp chứng minh tương tự như trên thì trong (S, ⊆) tồn tại phần tử tối đại M và M chính là ideal tối đại của R chứa A

Giả sử R = A1 + A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak-1, khi đó:

R2 = (A1 + A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak-1)(A1 + Ak) ⊂ A1 + A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak, suy ra R = R2 + A1 ⊂ A1 + A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak ⊂ R hay R = A1 + A2 ∩ A3 ∩

… ∩ Ak

Vậy R = A1 + Ι

1 i i

A

≠

Tương tự, ta có R = Ak + Ι

k i i

A

≠

, k = 1 n Do đó với mọi k = 1 n, tồn tại ak ∈ Ak, rk ∈ Ι

k i i

Nếu A1, A2, … , An là các ideal của vành R thì tồn tại đơn cấu vành

φ: R/(A1 ∩ … ∩ An)  → R/A1x R/A2x…xR/An

Nếu R2 + Ai = R với mọi i = 1 n và Ai + Aj = R với mọi i ≠ j; i, j =1 n thì

φ là đẳng cấu

1.8 Định lí:

Cho {Ri | i ∈ I} là họ khác rỗng của các vành và ∏

∈ I i i

R là tích trực tiếp của các nhóm cộng Ri Khi đó:

R có đơn vị

(iii) Với k ∈ I phép chiếu chính tắc πk: ∏

∈ I i i

R  → Rk {ai}i∈I α ak

là toàn cấu vành

(iv) Với k ∈ I phép nhúngï chính tắc ik: Rk  → ∏

∈ I i i

sao cho yarsx = b, suy ra Akr(y)AAse(x) = Ake(b) ∈ I với 1 ≤ k, e ≤ n Vì mỗi

ma trận của MatnD là tổng của n2 ma trận dạng Ake(b) nên thuộc I, do đó I = MatnD = S Vậy S không có ideal thật sự

1.10 Định lí đệ qui:

Cho tập hợp S, a ∈ S, với mỗi n ∈ N, fn : S → S là một hàm số Khi đó tồn tại duy nhất hàm số ϕ: N  → S thỏa ϕ(0) = a và ϕ(n + 1) = fn(ϕ(n)) với mọi n ∈ N

Chứng minh:

Gọi C là tập hợp các tập con Y của NxS sao cho nếu (0, a) ∈ Y và (n, x)

∈ Y thì (n + 1, fn(x)) ∈ Y với mọi n ∈ N Khi đó C ≠ ∅ vì NxS ∈ C Đặt R

Ta chứng minh M = N bằng phương pháp qui nạp

Nếu 0 ∉ M thì tồn tại (0, b) ∈ R với b ≠ a và R\{(0, b)} ⊂ NxS trong C Suy ra R = Ι

C Y

Y

∈ ⊂R\{(0, b)} (vô lí) Vậy 0 ∈ M Giả sử n ∈ M, tức là (n, xn)

∈ R với xn là duy nhất thuộc S Khi đó (n + 1, fn(xn)) ∈ R

Nếu (n + 1, c) ∈ R với c ≠ fn(xn) thì R\{(n +1, c)} ∈ S (vô lí) Vì vậy xn+1

= fn(xn) là phần tử duy nhất thỏa (n + 1, xn+1) ∈ R Do đó N = M Từ đây ta có thể định nghĩa hàm số ϕ: N  → S cho bởi n α ϕ(n) = xn Vì (0, a) ∈ R nên

ta có ϕ(0) = 0 Với mọi n ∈ N, ta có (n,xn) = (n, ϕ(n)) ∈ R, vì vậy (n +1,

fn(ϕ(n))) ∈ R vì R ∈ C Nhưng (n + 1, xn+1) ∈ R và xn+1 là duy nhất nên ϕ(n + 1) = xn+1 = fn (ϕ(n))

(ii) a(m1 + m2) = am1 + am2

(iii) (ab)m = a(bm)

Với mọi a, b ∈ R; m, m1, m2 ∈ M

Nếu R có đơn vị 1R và 1Ra = a với mọi a ∈ M thì M được gọi là R – module unita Nếu R là thể thì R – module unita được gọi là không gian vector (trái) R – module phải được định nghĩa tương tự

Trong đề tài này, phần lớn ta xét trên các R – module trái

1.12 Bổ đề:

Cho R và S là vành và ϕ: R  → S là đồng cấu vành Khi đó mọi S – module A có thể được tạo bởi một R – module với phép toán rx = ϕ(r)x (x ∈A)

A , trong đó ∑

∈ I i i

A là tổng trực tiếp (ngoài) của họ các R – module {Ai | i ∈ I}

1.14 Định nghĩa:

Cho dãy đồng cấu R – module … →An-1 →f n An  →f n+1 An+1  →

… Ta nói nằng dãy trên là khớp tại An (nửa khớp tại An) nếu Imfn = Kerfn+1 (Imfn ⊂ Kerfn+1 ) An được gọi là mắt xích thứ n (n ∈ N*) Dãy trên được gọi là khớp (nửa khớp) nếu nó khớp (nửa khớp) tại mỗi mắt xích, trừ mắt xích đầu và cuối (nếu có)

Chú ý:

Dãy đã cho khớp tại An khi và chỉ khi fn+1fn = 0 và Kerfn+1⊂ Imfn

Dãy đã cho nửa khớp tại An khi và chỉ khi fn+1fn = 0

Dãy 0  → A →f B là khớp khi và chỉ khi f là đơn cấu

Dãy B →g C  → 0 là khớp khi và chỉ khi g là toàn cấu

* Dãy 0  → A →f B →g C  → 0 được gọi là dãy khớp ngắn Nếu Imf là hạng tử trực tiếp của B thì dãy khớp này gọi là dãy khớp bị chẻ

1.15 Bổ đề năm ngắn:

Cho vành R và biểu đồ giao hoán của các R – module và R – đồng cấu sau:

0  →A →f B →g

C  → 0

α β γ

0  →A’ →f' B’ →g' C’  → 0

trong đó các dòng là khớp Khi đó:

(i) Nếu α,γ là đơn cấu thì β là đơn cấu

(ii) Nếu α,γ là toàn cấu thì β là toàn cấu

(iii) Nếu α,γ là đẳng cấu thì β là đẳng cấu

(ii) Lấy b’ ∈ B’,khi đó g’(b’) ∈ C’ Vì γ là toàn cấu nên g’(b’) = γ (c) với c

∈ C Vì dòng trên khớp tại C nên g là toàn cấu, do đó c = g(b) với b ∈ B Ta có g’β(b) = γ g(b) = γ (c) = g’(b’), suy ra g’[β(b) - b’] = 0 hay β(b) - b’ ∈Kerg’ = Imf’, do đó f’(a’) = β (b) – b’với a’ ∈ A’ Vì α là toàn cấu nên a’ =

α(a) với a ∈ A Xét b – f(a) ∈ B thì β[b – f(a)] = β (b) - βf(a) Do biểu đồ giao hoán nên β f(a) = f’α(a) = f’(a’) = β(b) – b’, vì vậy β[b – f(a)] = β(b)

- βf(a) = β(b) – (β(b) – b’) = b’ Do đó β là toàn cấu

(iii) Suy ra từ (i) và (ii)

1.16 Định lí (đặc trưng của dãy khớp bị chẻ):

Cho dãy khớp ngắn các R – module 0  → A →f B →g C  → 0, khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) Dãy khớp bị chẻ ra

(ii) Tồn tại một R – đồng cấu h: B  → A sao cho hf = 1A

(iii) Tồn tại một R – đồng cấu i: C  → B sao cho gi = 1C

Khi các điều kiện trên thỏa thì B = A ⊕ C

1.17 Định nghĩa:

Module P trên vành R được gọi là xạ ảnh nếu cho bất kì biểu đồ của các

đồng cấu R – module

P

f

A →g B  →0

với dòng dưới là khớp (g là toàn cấu) thì tồn tại một đồng cấu R – module h:

P  → A sao cho biểu đồ

P

h f

A→g B  → 0

là giao hoán (tức là gh = f)

Module J trên vành R được gọi là nội xạ nếu cho bất kì biểu đồ của các

đồng cấu R – module

0  → A →g B

f

J

với dòng trên là khớp (g là đơn cấu) thì tồn tại một đồng cấu R – module h:

B  → J sao cho biểu đồ

Cho vành R Các điều kiện sau trên R – module P là tương tương:

(i) P là xạ ảnh

(ii) Mọi dãy khớp ngắn 0 →A →f B →g P  → 0 bị chẻ và B ≅ A ⊕

C

(iii) Tồn tại module tự do F và một R – module K sao cho F ≅ K ⊕ P

1.19 Định lí:

Cho vành R Các điều kiện sau trên R – module J là tương tương:

(i) J là nội xạ

(ii) Mọi dãy khớp ngắn 0 →J →f B →g C  → 0 bị chẻ và B ≅ J ⊕

Trong phần sau, ta áp dụng định lí này cho không gian vector E n chiều trên thể R, trong trường hợp đó Rop cũng là thể

1.22 Định nghĩa:

Module A được gọi là thỏa mãn điều kiện dây xích tăng trên các module con nếu mọi dây xích A1 ⊂ A2 ⊂ A3 … của các module con của A, tồn tại n nguyên dương sao cho Ai = An với mọi i ≥ n

Module B được gọi là thỏa mãn điều kiện dây xích giảm trên các module con nếu mọi dây xích B1 ⊃ B2 ⊃ B3 ⊃ … của các module con của B, tồn tại m nguyên dương sao cho Bi = Bm với mọi i ≥ m

1.23 Định nghĩa:

Vành R là Noether trái (phải) nếu R thỏa mãn điều kiện dây xích tăng

trên các ideal trái (phải) Vành R là Noether nếu R là Noether trái và phải Vành R là Artin trái (phải) nếu R thỏa mãn điều kiện dây xích giảm trên các ideal trái (phải) Vành R là Artin nếu R là Artin trái và phải

1.24 Định nghĩa:

Module A được gọi là thỏa mãn điều kiện tối đại (tối tiểu) trên các

module con nếu mọi tập con khác rỗng của các module con của A chứa một phần tử tối đại (tối tiểu) (theo quan hệ bao hàm của lí thuyết tập hợp)

1.25 Định lí:

Module A thỏa mãn điều kiện dây xích tăng (giảm) trên các module con

khi và chỉ khi A thỏa mãn điều kiện tối đại (tối tiểu) trên các module con

Chứng minh:

Giả sử A thỏa mãn điều kiện tối tiểu trên các module con và A1 ⊃ A2⊃…

⊃ An là dây xích các module con Khi đó tập hợp {Ai | i ≥ 1} có phần tử tối tiểu là An Do đó với mọi i ≥ n, ta có An ⊃ Ai (suy ra từ giả thiết) và An ⊂ Ai (do An tối tiểu), vì vậy Ai = An với mọi i ≥ n Vậy A thỏa mãn điều kiện dây xích giảm

Ngược lại, giả sử A thỏa mãn điều kiện dây xích giảm và S là tập hợp khác rỗng của các module con của A Khi đó tồn tại Bo ∈ S Nếu S không có phần tử tối tiểu thì với mỗi module con B nằm trong S, tồn tại ít nhất một module con B’ trong S sao cho B ⊃ B’ và B ≠ B’ Với mỗi B trong S, chọn B’ như trên, khi đó ta định nghĩa ánh xạ f: S  → S cho bởi B α B’ Theo định

lí đệ qui 1.10, tồn tại hàm số ϕ: N → S sao cho ϕ(0) = Bo và ϕ(n +1) = f(ϕ(n)) = ϕ(n)’ Vì vậy nếu Bn ∈ S, kí hiệu là ϕ(n), thì tồn tại dãy Bo, B1, … sao cho Bo ⊃ B1 ⊃ B2 ⊃ … và Bo ≠ B1 ≠ B2 ≠ … Điều này trái với điều kiện dây xích giảm Do đó S phải có phần tử tối tiểu, suy ra A thỏa mãn điều kiện tối tiểu

Phần chứng minh cho dây xích tăng và điều kiện tối đại tương tự

1.26 Định lí:

Cho 0  → A →f B →g C  → 0 là dãy khớp ngắn các module Khi đó B thỏa mãn điều kiện dây xích tăng (giảm) trên các module con khi và chỉ khi A và C cũng thỏa mãn điều kiện đó

C thì g-1(C1) ⊂ g-1 (C2) ⊂ g-1(C3)⊂ … là dây xích các module con của B Do đó tồn tại n nguyên dương sao cho g-1(Ci) = g-1(Cn) với mọi i ≥ n Vì g là toàn cấu nên Ci = Cn với mọi i ≥ n Vậy C thỏa mãn điều kiện dây xích tăng Ngược lại, giả sử A và C thỏa mãn điều kiện dây xích tăng và B1 ⊂ B2⊂ B3 là dây xích của các module con của B Với mỗi i, đặt Ai = f-1(f(A) ∩ Bi và Ci = g(Bi) Gọi fi = fAi và gi = gBi Dễ thấy với mọi i, dãy 0  →Ai

Nhân tử của chuỗi là các module thương Ai/Ai+1 (i = 0 (n – 1))

Hai chuỗi bình thường là tương đương nếu có sự tương ứng một – một giữa các nhân tử không tầm thường mà các nhân tử tương ứng đó đẳng cấu module với nhau

Chuỗi hợp thành của A là chuỗi bình thường A = Ao ⊃ A1 ⊃ … ⊃ An mà mỗi nhân tử Ak/Ak+1 (k = 0 (n – 1)) là các module khác không và không có module con thật sự

1.30 Định lí Jordan – Holder

Bất kì hai chuỗi hợp thành nào của module A cũng tương đương

1.31 Định lí:

Module khác không A có chuỗi hợp thành khi và chỉ khi A thỏa mãn cả

hai điều kiện dây xích tăng và dây xích giảm trên các module con

1.32 Hệ quả:

Nếu D là thể thì vành MatnD của các ma trận vuông cấp n trên D vừa là vành Artin và vừa là vành Noether

§2 VÀNH ĐƠN VÀ VÀNH NGUYÊN THỦY

(i) Module (vành) đơn thì khác không

(ii) Mỗi module A trên vành R có đơn vị là unita Module unita A trên vành

R có đơn vị thì RA ≠ 0, suy ra A đơn khi và chỉ khi A không có module con thật sự

(iii) Mỗi module đơn A là cyclic, tức là A = Ra với a là phần tử khác không thuộc A Thật vậy, vì A đơn nên Ra (0 ≠ a ∈ A) và B = {c ∈A | Rc = 0} là các module con của A chỉ có thể bằng 0 hoặc A Vì RA ≠ 0 (do A đơn ) nên B

≠ A, suy ra B = 0 Vậy A = Ra

Tuy nhiên một module cyclic thì chưa chắc đơn, chẳng hạn Z – module cyclic Z6

(iii) Ideal trái I của vành R là tối tiểu nếu I ≠ 0 và với mọi ideal trái J sao cho 0 ⊂ J ⊂ I thì J = 0 hoặc J = I Ideal trái I của vành R thỏa RI ≠ 0 là R – module trái đơn khi và chỉ khi I là ideal tối tiểu

2.2 Định nghĩa:

Ideal trái I của vành R là chính qui nếu tồn tại e ∈ R sao cho r – re ∈ I với mọi r ∈ R Ideal phải I của vành R là chính qui nếu tồn tại e ∈ R sao cho

Giả sử module trái A đơn, tức là A = Ra (với 0 ≠ a ∈ A)

Xét ánh xạ φ: R  → A, xác định bởi r α ra Dễ thấy φ là toàn cấu, đặt Kerφ = I là ideal (cũng là module con) của R, theo định lí 1.2 ta được R/I

≅ A = Ra Vì A = Ra nên a = ea với e ∈ R, do đó ra = rea với r ∈ R hay (r - re)a = 0 Vậy r – re ∈ Kerφ = I, suy ra I chính qui Mỗi module con của R/I có dạng J/I, với J là ideal trái chứa I Nhưng R/I ≅ A và A đơn nên R/I không có module con thật sự, suy ra I tối đại

Ngược lại, giả sử I là ideal trái tối đại chính qui và A ≅ R/I, ta chứng minh R(R/I) ≠ 0 Thật vậy nếu R(R/I) = 0 thì với mọi r ∈ R ta có r(e + I) = I (với e ∈ R), do đó re ∈ I Vì r – re ∈ I nên r – re + re ∈ I, suy ra r ∈ I, tức là I

= R (trái với tính tối đại của I) Vậy R(R/I) ≠ 0 hay RA ≠ 0 Mỗi module con của R/I có dạng J/I, trong đó J là ideal trái của R chứa I, nhưng vì I tối đại nên R/I không có module con thực sự Vì vậy A không có module con thực sự, do đó A là module trái đơn

2.4 Định lí:

Giả sử B là tập con của module trái A trên vành R, khi đó:

a(B)={r ∈ R | rb = 0, ∀ b ∈ B} là ideal trái của R

Nếu B là module con của A thì a(B) là ideal của R

* a(B) gọi là linh hóa tử trái của B Linh hóa tử phải của module phải được

định nghĩa tương tự

Chứng minh:

Dễ thấy a(B) là ideal trái của R Nếu B là module con của A ,với r ∈ R, s

∈ a(B), với mọi b ∈ B, ta có (sr)b = s(rb) = 0 (vì rb ∈ B), vì vậy sr ∈ a(B), suy

ra a(B) là ideal phải của R Vậy a(B) là ideal của R

2.5 Định nghĩa:

Module (trái) A là khớp nếu a(A) = 0 Vành R là nguyên thủy (trái) nếu tồn tại một R-module trái khớp đơn

θv(u) = v vàθv(w) = 0 với w là phần tử cơ sở bất kì thì θv ∈ R) Vì vậy Ru =

V, với u là vector khác không trong V, do đó V không có R – module con thật sự Vì R có đơn vị nên RV ≠ 0, suy ra V là R – module đơn Nếu θV = 0 với

θ ∈ R thì θ = 0, suy ra a(V) = 0, vì vậy V là R – module khớp và R là nguyên thủy Nếu V hữu hạn chiều trên D thì R đơn (suy ra từ định lí 1.21)

2.8 Định nghĩa:

Cho V là một không gian vector (trái) trên thể D Vành con R của vành các tự đồng cấu HomD(V,V) được gọi là vành trù mật của các tự đồng cấu của V (hoặc là vành con trù mật của HomD(V,V)) nếu với mọi số nguyên

dương n, mọi tập con độc lập tuyến tính {u1, u2, … , un} của V, mọi tập con bất

kì {v1, v2, , vn} của V, tồn tại φ ∈ R sao cho φ(ui) = vi (i = 1 n)

Ví dụ:

HomD(V,V) là vành con trù mật của chính nó Thậy vậy, nếu {u1, u2, … , un} là tập con độc lập tuyến tính của V thì tồn tại cơ sở U của V chứa u1, u2, … , un (định lí 1.20) Nếu v1, v2, , vm ∈ V thì ánh xạ φ: V  → V xác định bởi

φ(ui) = vi và φ(u) = 0 với u ∈ U\{u1, u2, … , un} là một phần tử của HomD (V,V) Trong trường hợp số chiều hữu hạn, HomD(V,V) là một vành con trù mật của chính nó

2.9 Định lí:

Giả sử R là vành trù mật của các tự đồng cấu của không gian vector V trên thể D Khi đó R là vành Artin trái khi và chỉ khi dimDV là hữu hạn, trong trường hợp này R = HomD(V,V)

Chứng minh:

Nếu R là vành Artin trái và dimDV vô hạn thì tồn tại tập con độc lập tuyến tính vô hạn {u1, u2, ….} của V Suy ra V là HomD(V,V) - module trái và cũng là R - module.Với mọi n ∈ N*, đặt In là linh hóa tử trong R của tập {u1,

u2, … , un} Từ định lí 2.4, ta có I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ … là dây xích giảm các ideal trái của R Gọi w là phần tử khác không bất kì của V Vì {u1, u2, … , un+1} là tập độc lập tuyến tính với mọi n và R trù mật nên tồn tại φ ∈ R sao cho φ(ui) = 0, (i = 1 n) và φ(un+1) = w ≠ 0 Suy ra φ ∈ In nhưng φ ∉ In+1 Vì vậy 1 2

2.10 Bổ đề (Schur):

Cho A là module đơn trên vành R và B là R - modul Khi đó:

(i) Mỗi đồng cấu R-module khác không f : A → B là đơn cấu

(ii) Mỗi đồng cấu R-module khác không g : B → A là toàn cấu

(iii) Vành các tự đồng cấu D = HomR(A,A) là thể

Chứng minh:

Đặt n = dimDV

Nếu n = 0 thì V = 0 và a ≠ 0 (vì a ∈ A\V) Do A đơn nên A = Ra, suy ra tồn tại r ∈ R sao cho a = ra ≠ 0 và rV = r0 = 0

Giả sử dimDV = n > 0 và bổ đề đúng với số chiều nhỏ hơn n Đặt {u1, u2,

… , un-1, u} là một cơ sở của V và W là không gian vector (n -1) chiều sinh bởi {u1, u2, … , un-1} (W = 0 nếu n = 1) Khi đó V = W ⊕ Du W không là R – module con của A nhưng linh hóa tử trái I = a(W) trong R của V là ideal trái của R (định lí 2.4), do đó Iu là module con của A Vì u ∈ A\W nên theo giả thiết qui nạp tồn tại r ∈ R sao cho ru ≠ 0 và rW = 0, tức r ∈ I = a(W), dẫn đến

0 ≠ ru ∈ Iu, suy ra Iu ≠ 0 Vì vậy A = Iu (vì A đơn )

Ta chứng minh tồn tại r ∈ R sao cho ra ≠ 0 và rV = 0 Thật vậy, nếu không tồn tại r như vậy ta có thể định nghĩa ánh xạ φ : A  → A như sau

Vì ru ∈ Iu = A nên ta đặt φ(ru) = ra ∈ A Vậy φ được xác định tốt Nếu r1u =

r2u (r1, r2 ∈ I = a(W)) thì (r1 – r2)u = 0, từ đó suy ra (r1 – r2)V = (r1 – r2)(W ⊕Du) = 0, theo giả thiết ta có (r1 – r2)a = 0, vì vậy φ(r1u) = r1a = r2a = φ(r2u) Dễ thấy φ ∈ HomR(A ,A) = D Với mọi r ∈ I, ta có : 0 = φ(ru) – ra = rφ(u) –

ra = r(φ(u) – a) Vì vậy φ(u) – a ∈ W (vì I = a(W)), suy ra a =φu – (φu – a )

∈ Du + W = V hay a ∈ V (vô lí) vì a ∈ A\V

Vậy với a ∈ A\V, tồn tại r ∈ R sao cho ra ≠ 0 và rV = 0

2.12 Định lí (định lí trù mật Jacobson):

Giả sử R là vành nguyên thủy và A là R – module khớp đơn Có thể xem A là một không gian vector trên thể D = HomR(A,A) Khi đó R đẳng cấu với vành trù mật của các tự đồng cấu của D – không gian vector A

Chứng minh:

Với mỗi r ∈ R, ánh xạ αr : A  → A xác định bởi αr(a) = ra là một D – tự đồng cấu của A, tức là αr ∈ HomR(A,A) Với r, s ∈ R, ta có: αr+s = αr + αs và αrs = αrαs Do đó ánh xạ α: R  → HomD(A,A) xác định bởi α(r) = αr là một đồng cấu vành Vì A là R – module khớp nên αr = 0 khi và chỉ khi r ∈a(A) = 0 (vì A khớp) Do đó α là đơn cấu, suy ra R đẳng cấu với vành Imα

của HomD(A,A)

Ta sẽ chứng minh Imα là vành con trù mật của HomD(A,A)

Gọi U = {u1, u2, … , un} là tập con D - độc lập tuyến tính của A,{v1, v2, , vn} là tập con bất kì của A Ta cần tìm αr ∈ Imα sao cho αr(ui) = vi, i = 1 n Với mỗi i, đặt Vi là D - không gian con của A sinh bởi {u1, , ui-1, ui+1, ,

un} Vì U là D - độc lập tuyến tính nên ui ∉ Vi Dùng bổ đề 2.11 ta thấy tồn tại ri ∈ R sao cho riui ≠ 0 và riVi =0 Tiếp tục dùng bổ đề 2.11 cho không gian con không và phần tử khác không riui ta có si ∈ R sao cho siriui ≠ 0 và si0 = 0

Vì siriui ≠ 0 nên R – module con Rriui của A khác không, do A đơn nên Rriui =

A Vì vậy tồn tại ti ∈ R sao cho tiriui = vi

Đặt r = t1r1 + … + tnrn ∈ R Với i ≠ j, ta có ui ∈ Vj, suy ra tjrjui ∈ tj(rjVj ) =

tj0 = 0, αr(ui) = rui = (t1r1 + … + tnrn )ui = t1r1 ui+ … + tnrnui = tiriui = vi (i = 1 n) Vậy tồn tại αr ∈ Imα sao cho αr (ui) = vi (i =1 n) nên Imα là vành trù mật của HomD(A,A)

2.13 Hệ quả:

Nếu R là vành nguyên thủy, D là thể thì hoặc R đẳng cấu với vành các tự đồng cấu của không gian vector hữu hạn chiều trên D, hoặc với mỗi số nguyên dương m, tồn tại vành con Rm của R và một toàn cấu vành Rm

→

 HomD(Vm,Vm), trong đó Vm là không gian vector m chiều trên D

Chứng minh:

Từ định lí 2.12 ta có α: R  →HomD(A,A) là đơn cấu thỏa mãn R ≅

Imα và Imα trù mật trong HomD(A,A) Nếu dimDA = n hữu hạn, từ định lí 2.9 ta có Imα = HomD(A,A), suy ra R ≅ HomD(A,A) Nếu dimDA vô hạn và {u1, u2, } là tập độc lập tuyến tính vô hạn, gọi Vm là D - không gian con m chiều của A sinh bởi {u1, u2, … , um} Dễ thấy Rm = {r ∈ R | rVm ⊂ Vm} là

vành con của R Từ tính trù mật của R ≅ Imα trong HomD(A,A) ta thấy ánh xạ ϕ: Rm  → HomD(Vm,Vm) cho bởi r α αrVm là một toàn cấu

2.14 Định lí (Wedderburn – Artin):

Các điều kiện sau trên vành R – Artin trái là tương đương:

(i) R đơn

(ii) R nguyên thủy

(iii) R đẳng cấu với vành các tự đồng cấu của không gian vector hữu hạn chiều khác không trên thể D

(iv) Với n nguyên dương, R đẳng cấu với vành các ma trận vuông cấp n trên thể D

Chứng minh:

(i) ⇒ (ii)

Ta có I = {r ∈ R | Rr = 0} là ideal của R, vì R đơn nên I = R hoặc I = 0 Nhưng R2 ≠ 0 nên I = 0 (vì I2 = 0) Vì R là vành Artin trái nên tập hợp tất cả các ideal trái khác không của R chứa ideal tối tiểu J Mỗi R – module con của J là ideal trái của R nhưng J là ideal tối tiểu nên J không có module con

Vì J là ideal trái nên J là một R – module trái, do đó a(J) là ideal trái của R

Vì R là vành đơn nên a(J) = 0 hoặc a(J) = R Nếu a(J) = R thì Ru = 0 với u là phần tử khác không thuộc R, suy ra u ∈ I = 0 hay u = 0 (vô lí) Vậy a(J) = 0 và RJ ≠ 0, suy ra J là R – module khớp đơn, suy ra R nguyên thủy (định nghĩa 2.5)

(ii) ⇒ (iii)

Từ định lí 2.12 ta có R đẳng cấu với vành trù mật T của các tự đồng cấu của không gian vector V trên thể D Vì R là vành Artin trái nên theo định lí 2.9 ta suy ra T = HomD(V,V), do đó R ≅ HomD(V,V)

(iii) ⇔ (iv) suy ra từ định lí 1.21

(iv) ⇒ (i) suy ra từ định lí 1.9

2.15 Bổ đề:

Cho V là không gian vector hữu hạn chiều trên thể D Nếu A và B là các module khớp đơn trên vành các tự đồng cấu R = HomD(V,V) thì A và B là đẳng cấu R – module

Chứng minh:

Vành R chứa ít nhất một ideal trái tối tiểu I (suy ra từ định lí 1.21, 1.25 và hệ qủa 1.32) Vì A khớp nên tồn tại a ∈ A sao cho Ia ≠ 0, suy ra Ia là module con của A, do A đơn nên Ia = A

Aùnh xạ θ: I  → Ia, cho bởi i α ia là một toàn cấu R – module khác không, kết hợp bổ đề 2.10, suy ra θ là đẳng cấu hay I ≅ Ia = A Tương tự ta cũng có I ≅ B Vậy A ≅ B

v (do R trù mật) Vì s ∈ R = HomD(V,V) nên g(v) = g(s(u)) = gs(u) = sg(u) = s(du) = sd(u) = ds(u) = dv

Hom (Vi,Vi) – module khớp đơn Đặt R =

1 D

Hom (V1,V1) và

σ: R  → HomD2(V2,V2) là đẳng cấu (với phép toán rv = σ(r)v với r ∈ R, v

∈ V2, bổ đề 1.12) Khi đó V2 là R – module khớp đơn Dùng bổ đề 2.15 ta thấy tồn tại một đẳng cấu R – module θ : V1  → V2 Với v ∈ V1, f ∈ R ta có θ(f(v)) = fθ(v) = (σ f)(θ(v)), suy ra θfθ-1 = σ (f) là đồng cấu nhóm cộng V2  → V2 Với d ∈ Di, đặt αd : Vi  → Vi là đồng cấu nhóm cộng được xác định bởi x α dx Dễ thấy αd = 0 khi và chỉ khi d = 0 Do đó với f ∈ R

=HomD1(V1,V1) và d ∈ D1 thì fαd = αdf Suy ra:

(θ αdθ-1)(σ f) = θ αdθ-1θfθ-1 = θ αdfθ-1 = θfαdθ-1

= θfθ-1θ αdθ-1 = (σ f)(θ αdθ-1)

Vì σ là toàn cấu, dùng bổ đề 2.16 (với V = V2, g = θ αdθ-1), thì tồn tại d*

∈ D2 sao cho θ αdθ-1 = αd* Đặt β : D1  → D2 là ánh xạ được xác định bởi

β (d) = d* , với d ∈ D1 thì θ αdθ-1 = α β (d)

Ta có β là đơn cấu Thật vậy, nếu d* =β (d) = 0 thì θ αdθ-1 = αd* = 0, vì vậyαd = 0, do đó d = 0 Đổi vai trò của D1 và D2 (tương ứng θ,σ bởi θ-1,

σ-1), với k ∈ D2, d ∈ D1 sao cho θ-1α kθ = αd : V1  → V1 thì αk = θ αdθ-1

= α β (d) Do đó k = β (d), suy ra β là toàn cấu, vì vậy β là đẳng cấu hay D1

≅ D2

Với d ∈ D1 và v ∈ V1 thì θ(dv) = θ αd(v) = α β (d)θ(v) = β (d)θ(v) Do {u1, … , uk} là D1 – độc lập tuyến tính trong V1 khi và chỉ khi {θ(u1), … ,θ(uk)} là D2 – độc lập tuyến tính trong V2 nên ta suy ra

1 D

dim V1 =

2 D

dim V2

Chú ý: Vì vành không không có module đơn nên nó không nguyên thủy

và vì vậy R không là ideal nguyên thủy trái (phải)

3.2 Định nghĩa:

Phần tử a của R được gọi là tựa chính qui trái (phải) nếu tồn tại r ∈ R sao cho r + a + ra = 0 (r + a + ar = 0) Phần tử r được gọi là tựa khả nghịch trái (phải)

Ideal (trái, phải, cả hai phía) I của R được gọi là tựa chính qui trái (phải) nếu mọi phần tử của I đều là tựa chính qui trái (phải)

Ideal của R được gọi là tựa chính qui nếu nó vừa là ideal tựa chính qui trái, vừa là ideal tựa chính qui phải

Chú ý: Kí hiệu roa = r + a + ra

Nếu R có đơn vị thì a tựa chính qui trái (phải) khi và chỉ khi 1 + a là khả nghịch trái (phải)

Chứng minh:

Ta chỉ chứng minh tính chất bên trái, tính chất bên phải được chứng minh tương tự

Giả sử a tựa chính qui trái, khi đó tồn tại r ∈ R sao cho r + a + ra = 0, suy

ra r + a + ra + 1 = 1 hay r(1 + a) + (1 + a) = 1, do đó (r + 1)(1 + a) = 1 Vậy 1 + a khả nghịch trái Ngược lại, nếu 1 + a khả nghịch trái thì tồn tại b ∈ R sao cho b(1 + a) = 1 Đặt r = b – 1 hay b = r + 1 thì (r + 1)(1 + a) = r + a + ra + 1 =

1, do đó r + a + ra = 0 Vậy a tựa chính qui trái

3.3 Định lí:

Nếu R là vành thì tồn tại ideal J(R) của R sao cho:

(i) J(R) là giao của tất cả các linh hóa tử trái của các R – module trái đơn (ii) J(R) là giao của tất cả các ideal trái tối đại chính qui của R

(iii) J(R) là giao của tất cả các ideal nguyên thủy trái của R

(iv) J(R) là ideal trái tựa chính qui trái chứa mọi ideal trái tựa chính qui trái của R

(v) Phát biểu (i) –(iv) đúng nếu thay từ “trái” bởi từ “phải”

A i i

3.5 Bổ đề:

Cho vành R và K là giao của tất cả các ideal trái tối đại chính qui của R Khi đó K là ideal trái tựa chính qui trái của R

Chứng minh:

Dễ thấy K là ideal trái của R Gọi a ∈ K, đặt T = {r + ra | r ∈ R} Khi đó

T là ideal trái chính qui của R (với e = - a) Nếu T = R thì tồn tại r ∈ R sao cho r + ra = - a hay r + ra + a = 0, suy ra a tựa chính qui trái Nếu T ≠ R thì T chứa trong một ideal trái tối đại chính qui I0 của R (bổ đề 3.4) Vì a ∈ K ⊂ Io nên ra ∈ Io với mọi r ∈ R Do r + ra ∈ T ⊂ Io nên r ∈ Io với mọi r ∈ R, suy ra

R = Io (mâu thuẫn tính tối đại của Io) Vậy T = R, do đó a tựa chính qui trái, suy ra K là ideal trái tựa chính qui trái

3.6 Bổ đề:

Cho R là vành có R- module trái đơn Nếu I là ideal trái tựa chính qui trái

của R thì I chứa trong giao của tất cả các linh hóa tử trái của các R – module trái đơn

Ngược lại, giả sử P là linh hóa tử trái của R – module trái đơn B Dễ thấy

B là R/P – module đơn với (r + P)b = rb (r ∈ R, b ∈ B) Nếu (r + P)B = 0 thì

rB = 0, do đó r ∈ a(B) = P và r + P = 0 trong R/P Vì vậy B là R/P – module khớp nên R/P là vành nguyên thủy trái Suy ra P là ideal nguyên thủy trái của P

= s + (r + a + ra) + s(r + a + ra) = so(roa) = so0 = s

Vậy a là tựa chính qui phải, do đó I tựa chính qui phải

Bây giờ ta chứng minh định lí 3.3

Đặt J(R) là giao của tất cả các linh hóa tử trái của các R – module trái đơn

Nếu R không có R – module trái đơn thì J(R) = R và J(R) là một ideal

Ta cần chứng minh (ii) – (iv) đúng cho ideal trái

Ta thấy rằng R không phải là linh hóa tử của R – module trái đơn A (vì ngược lại thì RA = 0)

Từ định lí 2.3 và bổ đề 3.7 dẫn đến các điều kiện sau là tương đương : (a) J(R) = R

(b) R không có R - module trái đơn

(c) R không có ideal trái tối đại chính qui

(d) R không có ideal nguyên thủy trái

Như vậy, từ qui ước ở trên, ta thấy (ii), (iii), (iv) đúng nếu J(R) = R

(ii) Giả sử J(R) ≠ R và K là giao của tất cả ideal trái tối đại chính qui của R, khi đó K ⊂ J(R) (theo bổ đề 3.5, 3.6) Ngược lại, giả sử c ∈ J(R), từ định lí 2.3 ta có J(R) = ∩a(R/I) (với I là ideal trái tối đại chính qui của R) Với mỗi ideal tối đại chính qui I, tồn tại e ∈ R sao cho c – ce ∈ I Vì c ∈ a(R/I) nên cr

∈ I với mọi r ∈ R, do đó ce ∈ I, suy ra c ∈ I, vì vậy J(R)⊂ ∩I = K Vậy J(R) =

K

(iii) Suy ra từ bổ đề 3.7

(iv) J(R) là ideal trái tựa chính qui trái (suy ra từ (ii) và bổ đề 3.5)

J(R) chứa mọi ideal trái tựa chính qui trái (suy ra bổ đề 3.6)

Để hoàn thành chứng minh ta cần chứng minh (i) - (iv) đúng nếu thay từ

“trái” bởi từ “phải”

Đặt J1(R) là giao của các linh hóa tử phải của tất cả các R – module phải đơn

Thế thì (i) – (iv) đúng với J1(R) Vì J(R) là ideal tựa chính qui phải bởi (iv) và bổ đề 3.8 nên J(R) ⊂ J1(R) Tương tự J1(R) là tựa chính qui trái nên

J1(R) ⊂ J(R)

Vậy J1(R) = J(R)

Ví dụ:

Nếu R là vành địa phương có ideal tối đại duy nhất là M thì J(R) = M Thật vậy, vì R có đơn vị nên ideal trái của nó chính qui, do đó J(R) ≠ R Vì ideal M không chứa đơn vị nên J(R) ⊂ M Nếu r ∈ M thì 1 + r ∉ M (vì nếu 1 + r ∈ M thì 1 ∈ M, suy ra M = R (vô lí)) Suy ra 1 + r khả nghịch hay r tựa chính qui, do đó M ⊂ J(R) Vậy J(R) = M

3.9 Định nghĩa:

Vành R được gọi là vành nửa đơn (Jacobson) nếu radical Jacobson J(R) =

0 Vành R được gọi là vành Radical nếu J(R) = R

= 0 Vậy Z là nửa đơn

(iii) Nếu D là thể thì vành đa thức R = D[x1, … , xm] là nửa đơn Thật vậy, nếu

f ∈ J(R) thì f tựa chính qui trái và phải, do đó 1R + f = 1D + f khả nghịch trong

R Vì mọi phần tử khả nghịch trong R đều khác không nên f ∈ D Suy ra J(R) là ideal của D, do D đơn nên J(R) = 0 hoặc J(R) = D Vì -1D không tựa chính qui trái và -1D ∉ J(R) nên J(R) = 0 Vậy R nửa đơn

3.10 Định lí:

Cho vành R

(i) Nếu R nguyên thủy thì R nửa đơn

(ii) Nếu R đơn và nửa đơn thì R nguyên thủy

(iii) Nếu R đơn thì R là vành nguyên thủy nửa đơn hoặc là vành Radical

Chứng minh:

(i) Vì R nguyên thủy nên R có một R – module trái khớp đơn A, suy ra J(R)

⊂ a(A) = 0 (vì J(R) là giao của tất cả linh hóa tử trái) Do đó J(R) = 0 hay R nửa đơn

(ii) Vì R đơn nên R ≠ 0, suy ra tồn tại R – module trái đơn A (vì nếu ngược lại thì theo định lí 2.3 (i) ta có J(R) = R ≠ 0 (vô lí) vì R nửa đơn) Do a(A) là ideal của R, a(A) ≠ R (vì RA ≠ 0 ) nên a(A) = 0 (do R đơn) Suy ra A là R – module khớp đơn Vậy R nguyên thủy

(iii) Vì R đơn nên J(R) = R hoặc J(R) = 0 Nếu J(R) = R thì R là vành radical Nếu J(R) = 0 thì R nửa đơn, kết hợp (ii) suy ra R nguyên thủy

Từ định nghĩa trên, ta có I là nilpotent ideal thì I là nil ideal nhưng ngược lại chưa chắc đúng

Phần tử e ∈ R được gọi là idempotent (luỹ đẳng) nếu e2 = e Tập con {e1, , em} của R là tập idempotent trực giao nếu ei2 = ei với mọi i và eiej = 0 với mọi i ≠ j

3.13 Mệnh đề:

Nếu R là vành Artin trái (phải) thì radical J(R) là nilpotent ideal Do đó mỗi nil ideal trái (phải) của R là nilpotent ideal và J(R) là nilpotent ideal trái (phải) tối đại duy nhất của R

Chứng minh:

Đặt J = J(R), xét dãy giảm các ideal trái J ⊃ J2 ⊃ … Vì R là vành Artin trái nên tồn tại k ∈ N* sao cho Ji = Jk với mọi i ≥ k Ta sẽ chứng minh Jk = 0 Thật vậy, nếu Jk ≠ 0, gọi S là tập tất cả các ideal trái I của R sao cho JkI ≠

0, thì S khác rỗng (vì JkJk = J2k = Jk ≠ 0 ) Vì mỗi dãy giảm các phần tử của S