thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích

Trong khi xem xét đến các tính chất của các ánh xạ ta thường mở rộng miền xác định để từ đó xác định được các ánh xạ mới vừa bảo toàn được các tính chất vốn có của ánh xạ đã cho vừa được

Lời Cảm Tạ

∗∗∗∗∗

Được sự phân công của bộ môn cùng với niềm hứng thú của bản thân, tôi nhận đề tài luâïn văn tốt nghiệp từ những ngày đầu năm học Đây là một vấn đề tương đối mới lạ, suốt một thời gian dài, nguồn tài liệu mà tôi tìm được vẫn còn nhiều hạn chế Có những lúc tôi nghĩ rằng mình phải bỏ cuộc vì không biết phải tiếp tục như thế nào, nhưng rồi được các thầy cô nhiệt tình chỉ dạy và bạn bè đôïng viên ủng hộ, tôi đã quyết tâm đi hết chẵng đường dang dở

Đến nay luận văn “Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian

giải tích” đã được hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy

Cô trong bộ môn Toán đã cung cấp cho em những kiến thức quí báu trong bốn năm ở trường đại học Đẵc biệt, em xin ghi nhớ công ơn của thầy Lê Hồng Đức đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt em trong suốt thời gian thực hiện đề tài Đồng thời, em cũng chân thành cảm ơn cô Trần Thị Thanh Thúy đã sửa chữa những sai sót trong bản luận văn và cô Lại Thị Cẩm đã động viên, giúp đỡ em

Xin cảm ơn các anh chị, các bạn sinh viên đã nhiệt tình ủng hộ tôi hoàn thành luận văn này

Trần Hoài Ngọc Nhân

PHẦN MỞ ĐẦU

I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Giải tích hàm là một môn học được quan tâm nhiều trong chương trình giải tích ở đại học Giải tích hàm thường xem xét đến các tính chất của các họ ánh xạ nào đó Trong khi xem xét đến các tính chất của các ánh xạ ta thường mở rộng miền xác định để từ đó xác định được các ánh xạ mới vừa bảo toàn được các tính chất vốn có của ánh xạ đã cho vừa được xác định trên các tập hợp lớn hơn, thậm chí trên cả không gian Việc mở rộng để được các ánh xạ mới trên cơ sở các ánh xạ đã cho thường được gọi là thác triển các ánh xạ.Trong việc thác triển các ánh xạ, chúng ta thấy người ta thường quan tâm đến việc thác triển các ánh xạ liên tục Vì muốn xem xét một cách toàn diện theo một trình tự phức tạp của các không gian chứa tập xác định của ánh xạ ban đầu nên em đã quyết định

chọn đề tài “Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích”

II/ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:

Tập trung nghiên cứu khả năng thác triển của các ánh xạ Trong những điều kiện nào thì các ánh xạ có thác triển bảo toàn tính liên tục? Ứng dụng của việc thác triển ? Hệ thống việc thác triển liên tục trong các không gian bắt đầu từ không gian các số thực đến không gian mêtric, không gian tôpô và không gian định chuẩn để thấy được sự so sánh trong các không gian

III/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

Luận văn đã sắp xếp, hệ thống lại các kết quả về thác triển các ánh xạ liên tục trong các không gian từ đơn giản đến phức tạp nhằm đưa ra một cách nhìn toàn diện hơn về quá trình thác triển các ánh xạ liên tục Cụ thể các vấn đề đã được trình bày theo một quan điểm thống nhất:

² Xây dựng một hệ thống lí thuyết về thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian

² Chứng minh và làm sáng tỏ một số chứng minh, các kết quả đã biết

² Bài tập được giới thiệu sau mỗi chương có mối liên kết chặt chẽ với lí thuyết và tạo thành một chuỗi, bài sau sử dụng kết quả của bài trước

² Các kết quả phổ biến nhiều sách đã trình bày, sinh viên chỉ nhắc lại hoặc nêu hướng chứng minh

IV/ PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN NGHIÊN CỨU:

Phương pháp nghiên cứu:

Các phương pháp chính được sử dụng là tổng hợp, phân tích và so sánh

² Tổng hợp: Tổng hợp các kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, trình bày lại theo cách riêng

² Phân tích: Trên cơ sở kiến thức đã học và đọc tài liệu đi sâu phân tích làm rõ vấn đề

² So sánh: Sử dụng phương pháp so sánh để thấy được sự khác biệt của vấn đề thác triển liên tục trong từng không gian cụ thể

Phương tiện nghiên cứu:

Các sách về giải tích của các tác giả trong và ngoài nước, tìm kiếm các kết quả được công bố từ internet

V/ CÁC BƯỚC THỰC HIỆN:

² Tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, tóm tắt các các kết quả có liên quan

² Phân loại theo từng nhóm, soạn dàn ý và tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn để viết thành đề cương

² Tiếp tục tham khảo tài liệu để bổ sung, đồng thời phân tích làm rõ, dần hoàn chỉnh theo từng phần

VI/ CÁC THUẬT NGỮ ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN:

Các thuật ngữ trong luận văn chủ yếu được sử dụng từ các giáo trình Để thống nhất, sinh viên dùng từ hàm để chỉ một ánh xạ có tập đích là tập hợp số (thực hoặc phức), từ hàm số chỉ một ánh xạ có tập nguồn và tập đích đều là các tập hợp số

VII/ NỘI DUNG LUẬN VĂN:

Luận văn gồm có 4 chương, sau mỗi chương là phần bài tập có liên quan

² Chương mở đầu Kiến thức chuẩn bị Nhắc lại một số khái niệm, định

lí đã được học trong giải tích cổ điển, trong không gian mêtric, không gian tôpô và không gian định chuẩn, tạm thời chấp nhận một vài định lí mà cách chứng minh quá phức tạp

² Chương 1 Thác triển ánh xạ liên tục trong giải tích cổ điển Trình bày một số kết quả thác triển liên tục trong giải tích cổ điển

² Chương 2 Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian mêtric Trình bày một số kết quả thác triển liên tục đặc trưng của không gian mêtric Trong chương này ta nghiên cứu, chứng minh điều kiện cần và đủ để có thể thác triển một ánh xạ liên tục (liên tục đều), trường hợp đặc biệt là các định lí của Tietze

và Uryson về thác triển một hàm liên tục, bị chặn trên một không gian con đóng Phần bài tập sẽ tổng quát một số nội dung đã được nghiên cứu trong chương 1

² Chương 3 Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian tôpô Nhiều sự kiện trong không gian mêtric không phụ thuộc vào khoảng cách mà chỉ phụ thuộc vào họ các tập hợp mở trong không gian ấy Vì vậy ta sẽ thác triển ánh xạ liên tục trong môït không gian tổng quát lớn hơn không gian mêtric, đó là không gian Tôpô Ta tìm tôpô cho không gian nguồn hoặc không gian đích làm cho ánh xạ liên tục, điều kiện để một ánh xạ liên tục trên tập con đóng (hay trù mật) của không gian có thác triển liên tục, nhờ vào sự compact hóa theo Alecxandrop để thác triển liên tục, bước đầu làm quen với sự compact hóa theo Stone − Cech

² Chương 4 Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian định chuẩn

Tìm hiểu việc thác triển trong không gian định chuẩn bảo toàn tính tuyến tính liên tục, lướt qua cách chứng minh định lí Hahn −Banach, chủ yếu nghiên cứu các ứng dụng và mở rộng, đồng thời cũng tìm hiểu việc thác triển một ánh xạ tuyến tính liên tục không âm

VIII/ GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI:

Nội dung luận văn tập trung nghiên cứu các vấn đề cơ bản nhất, nhiều ứng dụng rộng rãi của các vấn đề lí thuyết vào từng trường hợp cụ thể đã bị bỏ qua và việc tổng quát các kết quả cũng dừng lại ở một mức độï nhất định

MỤC LỤC

Chương mở đầu Kiến thức chuẩn bị

1 1 Trong giải tích cổ điển 1

2 Không gian mêtric 1

3 Không gian tôpô 5

4 Không gian định chuẩn 8

Chương 1 Thác triển ánh xạ liên tục trong giải tích cổ điển 14

Bài tập chương 1 17

Chương 2 Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian mêtric 18

§1 Thác triển ánh xạ liên tục 18

§2 Thác triển hàm liên tục 21

§3 Thác triển ánh xạ liên tục đều 26

Bài tập chương 2 27

Chương 3 Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian tôpô 31

§1 Thác triển ánh xạ liên tục 31

§2 Thác triển hàm liên tục 35

§3 Compact hóa theo Alecxandrop 40

Bài tập chương 3 42

Chương 4 Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian định chuẩn 51

§1 Thác triển toán tử tuyến tính liên tục 51

§2 Định lí Hahn − Banach 54

§3 Mở rộng định lí Hahn – Banach 58

§4 Thác triển ánh xạ tuyến tính liên tục không âm 61

Bài tập chương 4 66

PHẦN NỘI DUNG

Chương mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ trình bày sơ lược các khái niệm cơ bản với nội dung tối thiểu cần thiết cho các chương sau Các chứng minh đều không được đưa vào, người đọc có thể tìm thấy trong các tài liệu tham khảo

1/ Trong giải tích cổ điển:

1.1/ Hàm số liên tục:

Định nghĩa: Cho hàm số f : A → R

² f được gọi là liên tục tại điểm x0∈ A nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ A, |x − x0| ≤δ ta có |f(x) − f(x0)| ≤ε

² f được gọi là liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi điểm x0∈ A

1.2/ Hàm số liên tục đều:

Định nghĩa: Hàm số f : A → R được gọi là liên tục đều trên A nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x, x’ ∈ A, |x − x’| ≤δ ta có |f(x) − f(x’)| ≤ε

1.3/ Đường thẳng số mở rộng:

Định nghĩa: Ta thêm vào R hai phần tử phân biệt không thuộc R, ký hiệu là + ∞ và − ∞ Ta mở rộng các phép toán +, và quan hệ thứ tự ≤ lên

R được gọi là đường thẳng số mở rộng

2/ Không gian mêtric:

2.1/ Mêtric trên một tập hợp:

Định nghĩa: Cho tập hợp X tùy ý Ánh xạ d : X × X → R được gọi là một mêtric (khoảng cách) trong X nếu:

2.2/ Khoảng cách giữa các tập hợp:

Định nghĩa: Cho không gian mêtric (X, d) và A, B là hai tập con khác rỗng của X Khi đó:

d(A, B) = inf{d(x, y): x ∈ A, y ∈ B}

được gọi là khoảng cách giữa các tập A và B

2.3/ Không gian con:

Định nghĩa: Cho không gian mêtric (X, d), E ⊂ X, E ≠ φ Với mỗi cặp phần tử x, y ∈ E ta đặt dE(x, y) = d(x, y) Khi đó dE là một mêtric trên E được gọi là mêtric trên E cảm sinh bởi mêtric d

Không gian mêtric (E, dE) được gọi là không gian mêtric con của không gian mêtric (X, d)

2.4/ Không gian mêtric tích:

Định nghĩa: Cho hai không gian mêtric (X, dX) và (Y, dY)

Khi đó X × Y = {(x, y): x ∈ X, y ∈ Y} là không gian mêtric với mêtric d((x1, y1), (x2, y2)) = d2X(x1;x2)+d2Y(x1;x2), trong đó (x1, y1), (x2, y2) ∈ X × Y

Không gian mêtric X × Y được gọi là không gian mêtric tích của các không gian mêtric X và Y

2.5/ Sự hội tụ trong không gian mêtric:

2.5.1/ Định nghĩa: Cho không gian mêtric (X, d) Dãy {xn} ⊂ X được gọi là hội tụ về một điểm a ∈ X nếu limd(xn, a) = 0 Khi đó x được gọi là giới hạn của dãy {xn} Ký hiệu: limxn = a hoặc xn→ a

2.5.2/ Định lý: Giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất

2.6/ Lân cận:

Định nghĩa: Cho không gian mêtric (X, d), x0∈ X, ε > 0

² Tập S(x0, ε ) = {x ∈ X : d(x, x0) < ε }được gọi là hình cầu mở tâm x0

bán kính ε

² Tập S[x0, ε] = {x ∈ X : d(x, x0) ≤ ε }được gọi là hình cầu đóng tâm

x0 bán kính ε

² Cho A ⊂ X Tập A được gọi là một lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại ε > 0 sao cho S(x, ε) ⊂ A

2.7/ Các loại điểm:

Định nghĩa: Cho không gian mêtric (X, d), x ∈ X, A ⊂ X

² x được gọi là điểm trong của tập A nếu ∃ε > 0 : S(x, ε) ⊂ A

² x được gọi là điểm dính của tập A nếu ∀ε > 0 : S(x, ε) ∩ A ≠φ

² x được gọi là điểm giới hạn của tập A nếu tồn tại ε > 0 sao cho S(x, ε) ∩ (A \ {x}) ≠φ

2.8/ Tập mở, tập đóng:

2.8.1/ Định nghĩa: Cho không gian mêtric (X, d), A ⊂ X

² A được gọi là tập mở nếu mọi điểm x ∈ A đều là điểm trong của A

² A được gọi là tập đóng nếu X \ A là tập mở

2.8.2/ Định lý: x là điểm dính của tập A ⇔ tồn tại dãy {xn} ⊂ A thỏa mãn xn→ x

2.8.3/ Định lý: A là tập đóng ⇔ A chứa mọi điểm giới hạn của A

2.8.4/ Định lý: (Tính chuẩn tắc của không gian)

Với mọi cặp tập hợp đóng rời nhau A và B trong không gian mêtric (X, d) đều tồn tại cặp tập hợp mở G và H rời nhau sao cho A ⊂ G và B ⊂ H

2.9/ Phần trong, bao đóng:

2.9.1/ Định nghĩa: Cho không gian mêtric (X, d), A ⊂ X

² Phần trong của tập A là tập hợp tất cả các điểm trong của A

Ký hiệu: IntA

² Tập đóng bé nhất trong X chứa A được gọi là bao đóng của A

Ký hiệu: A

2.9.2/ Định lý: d(x, A) = 0 ⇔ x ∈A

2.10/ Tập hợp trù mật:

Định nghĩa: Cho không gian mêtric (X, d), A ⊂ X, B ⊂ X

² Nếu B ⊂ A thì A được gọi là trù mật trong B

² Nếu A = X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X

2.11/ Không gian đầy:

Định nghĩa: Cho không gian mêtric (X, d)

² Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy khi và chỉ khi với mọi ε > 0,

tồn tại N sao cho: ∀m, n > N ⇒ d(xm, xn) < ε

² Không gian mêtric X được gọi là không gian đầy nếu mọi dãy

Cauchy trong X đều hội tụ

² Tập E ⊂ X được gọi là không gian đầy nếu không gian con (E, dE)

là không gian đầy

2.12/ Ánh xạ liên tục:

2.12.1/ Định nghĩa: Cho hai không gian mêtric (X, dX), (Y, dY) và ánh

xạ f : X → Y

² f được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ X, dX(x, x0) < δ⇒ dY(f(x), f(x0)) < ε

² f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x thuộc X

² f được gọi là liên tục đều nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x, x’∈ X, dX(x, x’) < δ⇒ dY(f(x), f(x’)) < ε

2.12.2/ Định lý: Cho hai không gian mêtric (X, dX), (Y, dY) và ánh xạ

f : X → Y Khi đó f liên tục tại x0 khi và chỉ khi:

∀{xn} ⊂ X, xn→ x0⇒ f(xn) → f(x0) 2.12.3/ Định lý: Cho ánh xạ f : X → Y

Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

a/ f liên tục trên X

b/ Nếu G là tập mở trong Y thì f− 1(G) là tập hợp mở trong X

c/ Nếu G là tập đóng trong Y thì f− 1(G) là tập hợp mở trong X

2.12.4/ Định lý: Với mọi tập hợp A ≠φ, hàm khoảng cách d(x, A) liên

tục đều

2.12.5/ Định lý: Giới hạn của một dãy ánh xạ liên tục hội tụ đều là

một ánh xạ liên tục

2.12.6/ Định lý: Cho {Xi}i là các không gian mêtric và ánh xạ

f : T → ∏∞

= 1

X xác định trên không gian T Đặt f(t)= (x1(t), x2(t),… , xi(t),… ) thì

xm là ánh xạ từ T tới Xm Khi đó điều kiện cần và đủ để ánh xạ f liên tục là các

ánh xạ xm liên tục với mọi m = 1, 2,…

2.13/ Ánh xạ đồng phôi:

Định nghĩa: Cho hai không gian mêtric (X, dX), (Y, dY) Nếu ánh xạ

f : X → Y là một song ánh, f liên tục và f− 1 liên tục thì f được gọi là một phép

đồng phôi từ X vào Y

Khi đó các không gian X và Y được gọi là đồng phôi với nhau

2.14/ Ánh xạ k − Lipsit:

Định nghĩa: Cho hai không gian mêtric (X, dX), (Y, dY)

Ánh xạ f : X → Y được gọi là ánh xạ k − Lipsit nếu:

∀x, x’ ∈ X , dX(x, x’) < δ⇒ dY(f(x), f(x’)) < k.dX(x, x’)

2.15/ Tập bị chặn:

Định nghĩa: Cho M ⊂ (X, d)

M được gọi là bị chặn nếu tồn tại S(x, ε) ⊃ M

3/ Không gian tôpô:

3.1/ Không gian tôpô:

Định nghĩa: Cho một tập hợp X ≠ φ Họ τ các tập con nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu:

Tập hợp X cùng với tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô Ký hiệu: (X, τ)

² Họ τ = {φ, X} là một tôpô trên X (X, τ) được gọi là không gian tôpô thô

² Họ τ = {A | A ⊂ X} là một tôpô trên X (X, τ) được gọi là không gian tôpô rời rạc

3.2/ So sánh các tôpô:

Định nghĩa: Cho τ1, τ2 là hai tôpô trên X Ta nói τ1 là yếu (nhỏ, thô) hơn τ2, hay nói cách khác τ2 là mạnh (lớn, mịn) hơn τ1 nếu τ1⊂ τ2

Ký hiệu: τ1≤τ2

3.3/ Tập mở, tập đóng, lân cận:

3.3.1/ Định nghĩa: Cho (X, τ) là không gian tôpô

² Tập G ⊂ X được gọi là tập mở trong (X, τ) nếu G ∈τ

² Tập F ⊂ X được gọi là tập đóng trong (X, τ) nếu X\F ∈τ

² Cho A ⊂ X và V ⊂ X V được gọi là một lân cận của tập hợp A nếu tồn tại G ∈τ : A ⊂ G ⊂ V Nếu A = {x} thì V được gọi là một lân cận của điểm

x Nếu V là tập mở thì V là lân cận mở của A

² Họ tất cả các lân cận của x trong (X, τ) được gọi là hệ lân cận của

x

Ký hiệu: Vx

3.3.2/ Định lý: G là tập mở nếu và chỉ nếu G là lân cận của mọi điểm thuộc G

3.4/ Các loại điểm, phần trong, bao đóng:

3.4.1/ Định nghĩa: Cho không gian mêtric (X, d), x ∈ X, A ⊂ X

² x được gọi là điểm trong của tập A nếu tồn tại G ∈τ : x ∈ G ⊂ A

² x được gọi là điểm ngoài của tập A nếu tồn tại G ∈ τ : x ∈ G ⊂ X\A

² x được gọi là điểm biên của tập A nếu với mọi V ∈ Vx⇒ V ∩ A ≠φ

a/ intA là tập mở lớn nhất chứa trong A

b/ x ∈ A ⇔ x là điểm dính của A

3.5/ Tập hợp trù mật:

Định nghĩa: Cho (X, τ), A ⊂ X, B ⊂ X

² Nếu B ⊂ A thì A được gọi là trù mật trong B

² Nếu A = X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X

3.6/ Cơ sở tôpô:

Định nghĩa: Cho (X, τ) Họ B ⊂τ được gọi là một cơ sở tôpô của X nếu như với mọi x ∈ X, và mọi V ∈ Vx đều tồn tại B ∈ B : x ∈ B ⊂ V

Cơ sở tôpô B được gọi là đếm được nếu B gồm một số đếm được (hay không quá đếm được) những tập mở

3.7/ Cái phủ:

Định nghĩa: Họ U các tập hợp nào đó được gọi là một cái phủ của tập

B nếu hợp tất cả các tập thuộc U chứa B

Nếu tất cả các tập thuộc U là mở (đóng) thì U được gọi là một phủ mở (đóng) của tập B

3.8/ Ánh xạ liên tục:

3.8.1/ Định nghĩa: Cho hai không gian tôpô (X, τX), (Y, τY) và ánh xạ

f : X → Y

² f được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mỗi lân cận W của f(x0)

(trong Y) đều tồn tại một lân cận V của x0 (trong X) sao cho f(V) ⊂ W

² f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x thuộc X

3.8.2/ Định lý: Cho hai không gian tôpô (X, τX), (Y, τY) và ánh xạ

f : X → Y Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

a/ f liên tục

b/ Nếu G là tập mở trong Y thì f− 1(G) là tập hợp mở trong X

c/ Nếu G là tập đóng trong Y thì f− 1(G) là tập hợp mở trong X

d/ Với mọi tập hợp A ⊂ X ta đều có: f( A ) ⊂ f(A)

3.8.3/ Định lý: Cho ba không gian tôpô (X, τX), (Y, τY), (Z, τZ) và hai

ánh xạ liên tục f : X → Y, g : Y → Z Khi đó ánh xạ tích h = g o f : X → Z là ánh

xạ liên tục

3.9/ Ánh xạ đồng phôi:

Định nghĩa: Cho hai không gian tôpô (X, dX), (Y, dY) Ánh xạ

f : X → Y được gọi là một phép đồng phôi từ X vào Y nếu f là một song ánh, f

liên tục và f− 1 liên tục Khi đó các không gian X và Y được gọi là đồng phôi với

nhau

3.10/ Các tiên đề tách:

Định nghĩa:

² Không gian tôpô X được gọi là T0 − không gian (không gian

Komogorov) nếu với mọi cặp điểm khác nhau của không gian luôn tồn tại lân

cận của một trong hai điểm không chứa điểm kia

² Không gian tôpô X được gọi là T1 − không gian (không gian

Frechet) nếu với mọi cặp điểm x, y khác nhau của không gian luôn tồn tại một

lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x

² Không gian tôpô X được gọi là T2 − không gian (không gian

Housdorff, không gian tách) nếu với mọi cặp điểm bất kì khác nhau của không

gian luôn có các lân cận rời nhau

² Không gian tôpô X được gọi là không gian chính qui nếu với mỗi

điểm x thuộc X và mỗi tập đóng F không chứa x luôn tồn tại lân cận U của x và

lân cận V của F sao cho U ∩ V = φ

Nếu X là không gian chính qui và X là T1− không gian thì X được gọi

là T3− không gian

² Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc nếu với hai

tập đóng bất kì A, B rời nhau trong X luôn tồn tại tập U mở chứa A và tập V mở

chứa B sao cho U ∩ V = φ

Nếu X là không gian chuẩn tắc và X là T1− không gian thì X được gọi là T4− không gian

3.11/ Không gian compact:

3.11.1/ Định nghĩa: Cho không gian tôpô (X, τ) và A ⊂ X

² X được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều tồn tại phủ con hữu hạn

² A được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A đều tồn tại phủ con hữu hạn

3.11.2/ Định lý: Mỗi tập con đóng của không gian compact đều là compact

3.12/ Không gian compact địa phương:

Định nghĩa: Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian compact địa phương nếu mỗi x thuộc X đều tồn tại một lân cận đóng và compact

3.13/ Không gian liên thông:

Định nghĩa: Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian liên thông nếu chỉ có φ và X là hai tập vừa đóng vừa mở trong X

4/ Không gian định chuẩn:

4.1/ Không gian tôpô tuyến tính:

4.1.1/ Định nghĩa: Tập X được gọi là một không gian tôpô tuyến tính trên trường số thực R hoặc trên trường số phức C, nếu:

i/ X là một không gian tuyến tính,

ii/ X là một không gian tôpô (với tôpô τ),

iii/ Với tôpô τ, phép cộng và phép nhân với một số của trường R hoặc

C là liên tục

Từ đây ta ký hiệu K là trường số thực R hoặc trường số phức C

4.1.2/ Định lý: Với mỗi x0∈ X, phép tịnh tiến:

f(x) = x + x0là một phép đồng phôi của X lên chính nó Đặc biệt nếu U là một cơ sở lân cận của gốc, thì U + x0 là cơ sở lân cận của x0

4.1.3/ Định nghĩa: Giả sử A là một tập con của không gian tuyến tính X

i/ A được gọi là lồi nếu ∀x∈A,∀y∈A,∀λ,µ≥0 :λ+µ=1, ta đều có A

y

x+µ ∈

ii/ A được gọi là cân nếu ∀x∈A,∀λ: λ ≤1, ta đều có λx∈A,

iii/ A được gọi là tuyệt đối lồi nếu A là lồi và cân,

iiii/ A được gọi là hút nếu ∀x∈X,∃λ>0 saochox∈µA(∀µ:µ ≥λ)

0với

iii/ Tồn tại một lân cận W U ⊂

4.1.7/ Định nghĩa: Một không gian tôpô tuyến tính X được gọi là một không gian lồi địa phương nếu X có một cơ sở gồm các lân cận lồi của điểm gốc

4.1.8/ Định nghĩa: Một sơ chuẩn trên không gian tuyến tính X là một

ánh xạ p : X → R thỏa mãn :

i/ p(αx) = αp(x) (∀x∈X,∀α>0),

ii/ p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) (∀x,y∈X)

4.1.9/ Định nghĩa: Một nửa chuẩn trên không gian tuyến tính X là một

ánh xạ p : X → R thỏa mãn :

a/ Giả sử p là một nửa chuẩn trên X Khi đó, với mọi α > 0, các tập

hợp {x : p(x) < α} và {x : p(x) ≤α } là tuyệt đối lồi và hút

b/ Với mỗi tập A tuyệt đối lồi và hút, đều tương ứng với nửa chuẩn p

được xác định bởi:

p(x) = inf{λ:λ>0,x∈λA}

và đồng thời

{x:p(x)<1}⊂A⊂{x:p(x)≤1}

4.1.12/ Định nghĩa: Nửa chuẩn p xác định bởi p(x) = inf{λ:λ>0,x∈λA},

tương ứng với tập tuyệt đối lồi và hút A được gọi là hàm cỡ hoặc phiếm hàm

Minkowski của tập A

4.1.13/ Định lý:

a/ Giả sử p là một nửa chuẩn trên không gian lồi địa phương X Khi đó

p liên tục ⇔ p liên tục tại 0

b/ Giả sử p là hàm cỡ của tập tuyệt đối lồi và hút U Khi đó:

p liên tục trên X ⇔ U là một lân cận của 0

Đồng thời,

intU = {x : p(x) < 1 },

U = {x : p(x) ≤ 1 },

4.2/ Không gian định chuẩn:

4.2.1/ Định nghĩa: Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường

số thực hay phức K, p là một nửa chuẩn xác định trên X Nếu p thỏa mãn thêm

điều kiện:

p(x) = 0 ⇒ x = 0, thì p được gọi là một chuẩn xác định trên X Khi đó, ta ký hiệu x thay cho p(x) Như vậy, một chuẩn thỏa mãn ba điều kiện:

( x,y X)

yxy

x /iii

;K,

Xxx

x/ii

;0x0x

;Xx0x/

∈

∀+

=≤

+

∈λ

∀

∈

∀λ

=λ

4.2.2/ Định nghĩa: Không gian tuyến tính thực (hay phức) cùng với một

chuẩn xác định trên X được gọi là một không gian định chuẩn thực (hay phức)

Chú ý: Không gian định chuẩn là không gian lồi địa phương và tách

4.2.3/ Định nghĩa: Giả sử X là một không gian định chuẩn Với mọi

x, y ∈ X, ta đặt:

d = x−y , thì d là một khoảng cách trong X Vì vậy, một không gian định chuẩn cũng là một không gian mêtric, và do đó lý thuyết các không gian mêtric áp dụng được cho các không gian định chuẩn

4.2.4/ Định nghĩa: Dãy {xn} trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x0∈ X, nếu:

;0xx

lim n − 0 =

Ký hiệu: xn → x0 hoặc limxn = x0.

4.2.5/ Định nghĩa: Dãy {xn} trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy Cauchy, nếu

∞

→

n ,

4.2.6/ Định nghĩa:

² Chuẩn 1 được gọi là mạnh hơn chuẩn 2 nếu τ1≥τ2

² Các chuẩn 1 và 2 được gọi là tương đương với nhau, nếu τ1 = τ2

4.2.7/ Định lý: Giả sử X là một không gian tuyến tính định chuẩn, A là

một tập lồi mở chứa điểm O, p là phiếm hàm Minkowski của tập A Khi đó:

)yx(

A α +β =α +β

² Toán tử f : X → K được gọi là phiếm hàm tuyến tính trên X

4.3.2/ Định nghĩa: Giả sử A : X→ Y là toán tử tuyến tính

i/ Hạt nhân của A là tập hợp :

KerA = A− 1(0) = {x∈ X : Ax = 0}, ii/ Ảnh của A là tập hợp:

imA = A(X) = {y∈Y : y = Ax, x∈ X}

4.3.3/ Định nghĩa: Toán tử tuyến tính A : X → Y được gọi là một đẳng cấu tuyến tính của X lên Y, nếu KerA = {0} và imA = Y

4.3.4/ Định nghĩa:

² Tập hợp A được gọi là một đa tạp tuyến tính nếu với mọi x, y ∈ A

ta có αx + (−α)y ∈ A

² Cho không gian định chuẩn X và một phiếm hàm tuyến tính f ≠ 0 trên X, c là số thực tùy ý Khi đó đa tạp tuyến tính {x : f(x) = c} được gọi là một siêu phẳng trong X

4.3.5/ Định lý: Nếu một đa tạp tuyến tính V trong một không gian định chuẩn thực X mà không cắt tập hợp lồi mở D thì có một siêu phẳng đóng chứa

V mà không cắt D

4.4/ Toán tử tuyến tính liên tục:

4.4.1/ Định nghĩa: Toán tử tuyến tính A : X→ Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại M > 0 sao cho: Ax ≤M x với mọi x ∈ X Số M nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chuẩn của A Ký hiệu: ||A||

4.4.2/ Định lý: Các mệnh đề sau đây tương đương :

i/ A liên tục (tức là A liên tục tại mọi điểm của X),

ii/ A liên tục tại mọi điểm xo∈ X,

iii/ A liên tục tại 0,

4.6/ Toán tử ngược:

Ta chú ý: Nếu X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng một trường số K, A : X → Y là một song ánh tuyến tính, thì tồn tại ánh xạ ngược

A− 1 : Y → X và A− 1 cũng là một toán tử tuyến tính

² Nếu X, Y là các không gian định chuẩn và A : X → Y là song ánh tuyến tính liên tục từ X lên Y, thì tồn tại toán tử tuyến tính A− 1, nhưng A− 1 có thể không liên tục

4.6.1/ Định nghĩa: Giả sử A là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X lên không gian định chuẩn Y và ánh xạ ngược A− 1 liên tục Khi đó, ta nói A−1 là toán tử ngược của A Đồng thời, A được gọi là phép đồng phôi tuyến tính X lên Y và X, Y gọi là hai không gian đồng phôi tuyến tính với nhau

4.6.2/ Định nghĩa: Giả sử X và Y là các không gian định chuẩn và toàn ánh ϕ : X → Y thỏa mãn:

ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y) (∀ x, y ∈ X; ∀ α, β∈ K)

||ϕ (x)|| = ||x|| (∀ x ∈ X)

Khi đó ϕ là một song ánh tuyến tính, được gọi là môït phép đẳng cấu tuyến tính từ X đến Y, và X, Y được gọi là hai không gian định chuẩn đẳng cấu với nhau

4.6.3/ Định lý: Nếu X là không gian định chuẩn n chiều thì

² X là không gian Banach

² X* là không gian định chuẩn n chiều đồng phôi tuyến tính với X 4.6.4/ Định lý: Hai không gian định chuẩn đồng phôi tuyến tính có thể đồng nhất với nhau

4.7/ Không gian Hilbert:

4.7.1/ Định nghĩa: Không gian tuyến tính X xác định trên trường số K (K = R hoặc C) được gọi là không gian tiền Hilbert nếu với mọi x, y ∈ K, xác định một số (x, y) thỏa mãn các tiên đề sau:

i/ (x, x) ≥ 0 (∀ x ∈ X)

(x, x) = 0 ⇔ x = 0

ii/ (x, y) = (y ,x) (∀ x,y ∈ X)

iii/ (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (∀ x,y, z ∈ X, ∀λ, µ∈ K)

4.7.2/ Định lý: Không gian tiền Hilbert là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn (x ,x)

4.7.3/ Định nghĩa: Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert

Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert X

Khi đó tồn tại x0∈ X sao cho:

f(x) = (x, x0) (x ∈ X) Phần tử x0 được xác định duy nhất và x = f 0

Chương 1 THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRONG GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN

1/ Thác triển hàm số liên tục:

Giả sử f là một hàm số liên tục trên X, và A ⊂ X Hiển nhiên hàm số fA

thu hẹp của f lên A là liên tục

Ta đặt bài toán ngược lại: Cho A ⊂ X và hàm số h liên tục trên A Tồn tại hay không hàm số f xác định trên X sao cho h = fA ? Nếu tồn tại hàm số f như vậy thì f được gọi là thác triển của h trên X, ngoài ra nếu f liên tục thì f được gọi là thác triển liên tục của h trên X

Ví dụ 1.1: Xét hai hàm số f : R → R

ta thấy không thể thác triển liên tục f và g trên toàn bộ đoạn [0, 1] *

Trong một trường hợp khác bài toán thác triển cũng không có lời giải:

Định lý 1.3: Nếu hàm số f(x) liên tục nhưng không liên tục đều trên tập bị chặn E ⊂ R thì hàm số này không thể thác triển liên tục trên R

Chứng minh

Giả sử f được thác triển trên R thì nó cũng được thác triển trên E , lúc đó thác triển của f sẽ liên tục đều trên E và do đó cũng liên tục đều trên E ⊂ E (trái giả thiết)

Như vậy: Một hàm số không liên tục đều trên tập bị chặn E ⊂ R thì không thể thác triển liên tục trên R *

Để bài toán thác triển có lời giải, cần phải đặt một số điều kiện đối với hàm số ban đầu:

Định lý 1.3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục đều trên tập bị chặn E ⊂ R thì có thể thác triển liên tục trên R

Ta chứng minh f(x) có giới hạn khi x → x0

Cho {xk} ⊂ E, xk→ x0 Xét dãy {f(xk)}, dãy này là dãy Cauchy trong R vì

Nếu khoảng kề (α, β) hữu hạn:

Đặt:

f (x) = f(α) +

α

−β

α

−

x (f(

β) − f(α)) với mọi x ∈ (α, β) Nếu khoảng kề (α, β) vô hạn (chẳng hạn (α , + ∞)):

Đặt:

f (x) = f(α) Dễ thấy hàm số f xác định, liên tục khắp nơi trên (− ∞, + ∞) và f E = f, suy ra f là thác triển liên tục của f trên R *

2/ Thác triển đồng thời các hàm số liên tục:

Giả sử ta đã có thác triển f , g của hai hàm số f và g, trong một miền nào đó ta lại có f = g Như vậy thác triển một hàm số dẫn tới khái niệm thác triển đồng thời nhiều hàm số

Vấn đề 2.1: Cho E, F là hai tập đóng không giao nhau trên R, f : E → R,

g : F → R là hai hàm số liên tục trên R Ta xây dựng hàm số f liên tục, vừa là thác triển của f vừa là thác triển của g

Vì E, F là hai tập hợp đóng, E ∩ F = φ nên E, F không có điểm dính chung, suy ra d(x, F) + d(x, E) ≠ 0

Đặt

)E,x(d)F,x(d

)E,x(d)x(g)F,x(d)x()x(

++

=

Khi đó:

f (x) = g(x) với x ∈ F

f (x) = f(x) với x ∈ E

Vì f, g, d liên tục nên f liên tục

Vậy f là thác triển liên tục đồng thời của f và g *

Định lý 2.2: Trên R cho trước một họ đếm được các tập đóng đôi một

không giao nhau Ek, trong đó E1 chứa các điểm dính của Υ

Giả sử tồn tại hàm số f sao cho f (x) = f (x) k ∀x ∈ E , k k ∈ N*

Gọi x0∈ E1 là điểm dính của Υ

trong lân cận này tìm được các điểm mà tại đây f (x) đủ bé (vì fi → 0 khi

i → ∞), nhưng trong lúc đó trong lân cận bất kì của x0 hàm số f (x) sai khác

|f1(x)| không đáng kể, điều này chứng tỏ hàm số f (x) gián đoạn tại x0∈ E1, suy

ra f1 gián đoạn tại x0 (vô lý)

Như vậy không tồn tại f là thác triển của mọi fk *

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Bài 1: Trên R cho n tập đóng đôi một rời nhau E1, E2, … , En và fk : Ek → R là các hàm số liên tục (k = 1, , n) Hãy xây dựng hàm số f liên tục trên R là thác triển đồng thời của các fk

)E,x(

d)

x(f)x(

≠

≠

=∑ (x ∈ R)

Khi đó: f (x) = f (x) với mọi k = 1, … , n k f = |Ek f k

Vì fk, d liên tục với mọi k = 1, … , n nên f liên tục

Vậy f là thác triển liên tục đồng thời của các fk *

Bài 2: Trên R cho trước một họ đếm được các tập đóng đôi một không

giao nhau E , trong đó mỗi tập không chứa điểm dính của hợp các tập còn lại k

p)

x(f

Bài 3: Cho f là một hàm số liên tục trên R+ Giả sử f(x) có một giới hạn

hữu hạn l khi x dần ra + ∞ Khi đó:

Vì f[0,x0] bị chặn nên tồn tại M0 sao cho với mọi x0 ∈ [0, x0] ta có

| f(x) | ≤ M0

Vậy với mọi x ∈ R+ ta có: | f(x) | ≤ sup( M0 , ε + l ), tức là f bị chặn trên R+

(2) Giả sử ϕ là hàm số tăng nghiêm ngặt, bị chặn và liên tục từ [0, 1) vào

R+ Khi đó hàm hợp F = f oϕ liên tục trên [0, 1) và tiến đến b khi x → 1 Ta

thác triển F thành hàm liên tục trên [0, 1] bằng cách đặt F(1)= b

Ta có: [0, 1] là compact nên F đạt được các cận của nó Vì các cận ( khác

Nhận xét:

Nếu f là một hàm số liên tục trên khoảng (a, +∞) sao cho f(x) dần ra + ∞ khi x tiến đến + ∞ thì f bị chặn dưới và đạt được cận dưới

Bài 4: Cho f là một hàm số liên tục trên đoạn I = [a, b] với f(a) ≠ f(b)

Chứng minh rằng, với mọi số thực r nằm giữa f(a) và f(b) đều tồn tại một số

thực c với a < c < b sao cho f(c) = r

Chứng minh

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f(a) < f(b)

Giả sử tồn tại r sao cho:

Vì f liên tục ⇒ g liên tục

Hơn nữa ta có: g− 1(r) = f− 1(r) = φ

Mà U = (− ∞, r), V = (r, + ∞) là các tập con mở của R nên g− 1(U) và

g− 1(V) cũng là các tập mở của R

Vì g− 1(r) = φ nên ta có g− 1(U) = R \ g− 1(V), suy ra g− 1(U) đóng

Do a∈ g− 1(U) nên g− 1(U) ≠ φ

Mặt khác b ∉ g− 1(U) nên g− 1(U) ⊂ R và g− 1(U) ≠ R

Như vậy g− 1(U) là tập con thực sự của R, vừa mở vừa đóng Điều này vô

lý vì R chỉ có 2 tập con vừa mở vừa đóng là R và φ

*

Chương 2 THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

§1 THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC

Vì R là một không gian mêtric với khoảng cách thông thường nên một số định lý đã phát biểu ở chương 1 có thể tổng quát cho không gian mêtric Nói chung, trong không gian mêtric, để bài toán thác triển có lời giải, cần phải đặt một số điều kiện đối với hoặc không gian con A ⊂ X, hoặc ánh xạ h, và đôi khi cả với không gian Y

Dưới đây cho ta một kết quả đơn giản, cần dùng cho bài toán thác triển:

Định lý 1.7: Giả sử f và g là 2 ánh xạ liên tục từ không gian mêtric X vào

không gian mêtric Y Khi đó tập hợp

A = { x ∈ X : f(x) = g(x) } là đóng trong X

Chứng minh

Giả sử x0 là điểm dính của A, suy ra tồn tại dãy {xn} ⊂ A, limxn = x0

Ta có: limf(xn) = limg(xn), do đó f(x0) = g(x0)

Như vậy x0∈ A, chứng tỏ A là tập đóng *

Hệ quả 1.7.1: Cho f và g là hai ánh xạ liên tục từ không gian mêtric X

vào không gian mêtric Y Nếu D là tập con trù mật của X và f(x) = g(x) ∀x ∈ D

Định lý 1.8: Cho A trù mật trong không gian mêtric X, f là một ánh xạ

liên tục từ A vào trong không gian mêtric Y Điều kiện cần và đủ để tồn tại một ánh xạ liên tục f : X → Y là thác triển của f trên X, là với mọi x ∈ X, tồn tại giới hạn lim (z)

A z

; x

z → ∈ trong Y

Khi đó ánh xạ f là duy nhất

Chứng minh

a/ Điều kiện cần:

Giả sử f tồn tại

Vì A = X nên với mọi x ∈ X, tồn tại (zn) ⊂ A sao cho zn→ x

Vì f liên tục và f = f trên A nên

b/ Điều kiện đủ:

Giả sử giới hạn lim (z)

A z

; x

z → ∈ tồn tại với mọi x ∈ X

Ta xác định f : X → Y

x α f (x) = lim (z)

A z

; x

Khi đó, nếu x ∈ A thì f (x) = f(x), vậy f là thác triển của f

Ta chứng minh f liên tục

Giả sử x ∈ X và dãy (xn) ⊂ X, xn→ x

Theo định nghĩa của f, ta có:

f(xn) = lim (z)

A z ; x

Mà zn∈ A, nên theo định nghĩa của f ta có:

Như vậy ánh xạ f liên tục

Vì A là trù mật trong X, nên theo hệ quả 1.7.1, nếu f tồn tại thì f là duy

Nhận xét: Một số các hàm liên tục trên R có thể xem là thác triển của

các hàm liên tục liên tục trên tập số hữu tỷ Q trù mật trong R, ví dụ như hàm số mũ thực là thác triển liên tục của hàm số mũ hữu tỷ

1 nếu x ∈ A

−1 nếu x ∈ B

§2 THÁC TRIỂN HÀM LIÊN TỤC

Trong phần này ta nêu lên hai định lý về thác triển hàm liên tục, đó là

định lý Tietze và định lý Tietze − Uryson Trước hết ta phát biểu hai bổ đề:

Bổ đề 2.1: Cho A và B là hai tập hợp đóng rời nhau trong không gian

mêtric X Khi đó tồn tại một hàm thực f liên tục trên X và thỏa các điều kiện

sau:

Ø f(x) = (2.1)

Ø −1 < f(x) < 1 nếu x ∉ A ∪ B (2.2)

Chứng minh

Vì A và B là hai tập hợp đóng rời nhau nên d(x, A) + d(x, B) ≠ 0 ∀x ∈ X

Xét hàm f : X → R được xác định bởi công thức

Mặt khác vì d liên tục nên f liên tục *

Bổ đề 2.2: Nếu f là một hàm thực liên tục xác định trên một tập hợp con

đóng F của không gian mêtric X sao cho | f(x) | ≤ M (≠ 0) thì tồn tại một hàm

liên tục g xác định trên toàn bộ không gian X và thỏa mãn các điều kiện sau:

Khi đó A và B là các tập hợp đóng và rời nhau

Hàm g(x) =

3

1 M [ d(x, A) – d(x, B) ] / [ d(x, A) + d(x, B) ] (x ∈ X) thỏa mãn các điều kiện đòi hỏi của bổ đề 2.1 *

Định lý 2.3: (Định lý thác triển Tietze)

Mọi hàm thực f liên tục trên một tập con đóng F của không gian mêtric X đều có một thác triển liên tục trên X, tức là tồn tại một hàm thực f liên tục trên

X thỏa mãn f (x) = f(x) với mọi x ∈ F

Ngoài ra, nếu f bị chặn:

| f(x) | ≤ M ( ≠ 0 ) với mọi x ∈ F (2.3) thì

x(

n n

Khi n = 0, ta đặt g0(x) = 0 với mọi x ∈ X, bất đẳng thức (2.5) được suy ra từ bất đẳng thức (2.3)

Trường hợp n > 0: Trong giả thiết của bổ đề 2.2, ta thay M bằng M

)x(

g thì ta được hàm gn+1 liên tục trên X và thỏa mãn các điều kiện:

3

2)x(

Đặt:

g hội tụ đều trong không gian

X Theo định lý 2.12.5 ( phần chuẩn bị ) thì f là hàm liên tục

Hơn nữa, từ (2.5) suy ra f (x) = f(x) với mọi x ∈ F

Do (2.7), ta có:

M3

2M)x(g)

x(g)

vì vậy bất đẳng thức (2.4) cũng được thỏa mãn

Như vậy định lý đã được chứng minh cho trường hợp hàm f bị chặn

Nếu hàm f không bị chặn thì ta xét phép đồng phôi h : R → (–1, 1) được xác định bởi h(x) =

π2 arctgx (x ∈ R) Hàm g = h of là liên tục và bị chặn, vì thế, theo phần đã chứng minh, tồn tại hàm liên tục g trên X sao cho:

g (x) = h[f(x)] với mọi x ∈ F, và | g (x) | < 1 với mọi x ∈ X

Đặt f (x) = h− 1[g (x)] (x ∈ X ) thì f liên tục

Với x ∈ F ta có:

f (x) = h− 1[h(f(x))] = f(x)

Như vậy f là thác triển liên tục của f trên X *

Định lý 2.4: (Định lý thác triển Tietze – Uryson):

Cho A là một tập con đóng của không gian mêtric X và f : A → R là một hàm liên tục, bị chặn Khi đó tồn tại một hàm liên tục f : X → R là thác triển

của f thỏa mãn:

)y(sup)x(

sup

A y X

A y X

;x(d

)y

;x(d)y(inf

A

y ∈ nếu x ∈ X \ A

Từ bất đẳng thức 1 ≤ f(y) ≤ 2 với mọi y ∈ A và định nghĩa của d(x, A), ta suy ra 1 ≤ f (x) ≤ 2 với mọi x ∈ X \ A

Ta chứng minh f liên tục tại mọi điểm x ∈ X

Ø Nếu x ∈ int(A) : vì f liên tục nên f liên tục

Ø Nếu x ∈ X \ A:

Ta viết:

)A,x(d

)x(h)x( = trong đó h(x) = inf( (x)d(x,y))

h(x’) ≤ h(x) + 2ε

⇒ h liên tục trên X \ A

⇒ f liên tục trên X \ A

Ø Nếu x ∈ A \ A :

Vì f liên tục trên A nên với ε > 0 tùy ý, chọn được r > 0 sao cho:

| f(y) – f(x) | ≤ε khi y ∈ A ∩ B(x, r) Đặt

C = A ∩ B(x, r), D = A \ C

² Nếu x’ ∈ X \ A và d(x, x’) ≤

4r , thì với mọi y ∈ D, ta có:

d(x’, y) ≥ d(x, y) – d(x, x’) ≥ 3 4rVậy:

4

r3)y

;'x(d)y(inf

⇒ | f (x’) – f(x) | ≤ε khi x’∈ X \ A và d(x, x’) ≤

4r

² Nếu x’∈ A, d(x, x’) ≤ 4r , thì | f (x’) – f(x) | = | f(x’) – f(x) | ≤ε

⇒ f liên tục trên X

2/ Trường hợp f là ánh xạ liên tục và bị chặn, sup (y)

1

A y A

y ∈ − ∈ , β = sup (y) inf (y)

)y(inf2)y(sup

A y A

y

A y A

)y(inf

A y A

y

A y

A y A

y

A y A

)y(sup

A y A

y

A y

A y A

y

A y A

sup

A y X

x ∈ = ∈ , inf g(x) infg(y)

A y X

x ∈ = ∈ (2.9) Đặt f =

x ∈ = ∈ và inf (x) inf (y)

A y X

x ∈ = ∈ *

§3 THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC ĐỀU

1/ Thác triển một hàm Lipsit (Lipchitz):

Định lý 3.1: Cho A là một tập con khác rỗng của không gian mêtric (X,

d), f : A → R là một hàm k − Lipsit trên A, f : X → R được xác định như sau:

a/ Vì A ≠φ nên tồn tại a ∈ A

Gọi x ∈ X Với mọi y ∈ A, ta có:

f(y) – f(a) ≥−k.d(a, y)

⇒ f(y) + k.d(a, y) ≥ f(a) + k[d(x, y) – d(a, y)] ≥ f(a) – k.d(a, x)

⇒ f(a) –k.d(a, x) ≤ f (x) ≤ f(a) + k.d(a, x) (3.1)

⇒ f hữu hạn

b/ Trong (3.1) lấy x = a, ta được, f (x) = f(x) ∀x ∈ A,

suy ra f là thác triển của f trên X

c/ Giả sử x, x’∈ X

Với mọi ε > 0, tồn tại y ∈ A sao cho:

f (x’) ≥ f(y) + k.d(x’, y) – ε và f (x) ≤ f(y) + k.d(x, y) Từ đó suy ra:

2/ Thác triển một ánh xạ liên tục đều:

Cuối cùng ta nêu một định lý về sự thác triển ánh xạ liên tục đều trong không gian mêtric đầy đủ (hãy so sánh với định lý 1.8)

Định lý 3.2: Cho không gian mêtric X, A trù mật trong X và f là ánh xạ

liên tục đều từ A vào không gian mêtric đầy đủ Y Khi đó tồn tại ánh xạ liên tục f : X → Y thác triển f

Ánh xạ f là duy nhất và liên tục đều

Chứng minh

Theo giả thiết, ánh xạ f : A → Y là liên tục đều, cho nên với ε > 0 tùy ý, tồn tại δ > 0 sao cho:

∀x, x’ ∈ A, d(x, x’) < δ⇒ d(f(x), f(x’)) < ε Lấy x ∈ X tùy ý Gọi (zn) ⊂ A, zn → x, suy ra tồn tại n0 sao cho với mọi

n ≥ n0 ta có d(zn, x) <

2

δ Vì vậy nếu n, m ≥ n

0 thì d(zn, zm) ≤ d(zn, x) + d(x, zm) <

⇒ {f(zn)} là một dãy Cauchy trong Y đầy đủ

⇒ {f(zn)} có giới hạn

Như vậy với mọi x ∈ X, luôn luôn tồn tại giới hạn lim (z)

A z , x

Theo định lý 1.8, tồn tại ánh xạ liên tục f : X → Yù thác triển f trên X

Mặt khác, giả sử x0, x0’ ∈ X, d(x0, x0’) < δ Gọi (xn), (xn’) ⊂ A, xn → xo và

xn’ → x0’

Chọn n0 đủ lớn, ta thấy rằng nếu n ≥ n0 thì d(f(xn), f(xn’)) < ε

Cho n → ∞, ta được

d( f (x), f (x’)) ≤ε

⇒ f liên tục đều

Nếu ánh xạ f tồn tại thì theo hệ quả 1.7.1, f là duy nhất *

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Bài 1: Hãy tổng quát các kết quả của chương 1 cho không gian mêtric

Giải

Với phương pháp chứng minh hoàn toàn tương tự ta có được các kết quả sau đây:

(1) Cho không gian mêtric X và không gian mêtric đầy Y Nếu ánh xạ

f : E → Y liên tục nhưng không liên tục đều trên tập bị chặn E ⊂ X thì f không thể thác triển liên tục trên X *

(2) Cho hai không gian mêtric X, Y E, F là hai tập đóng không giao nhau

trong X, f : E → Y và g : F → Y là hai ánh xạ liên tục

Khi đó ánh xạ

f : E ∪ F → Y được xác định bởi:

f (x) = (x)

)E,x(d)F,x(d

)F,x(

d

+ + d(x,F) d(x,E)

)E,x(

d

+ g(x) ∀x ∈ E ∪ F

là thác triển liên tục đồng thời của f và g *

(3) Cho hai không gian mêtric X, Y E1, E2, …, En là n tập đóng đôi một rời nhau trong X và fk : Ek→ Y là các ánh xạ liên tục (k = 1, , n)

Khi đó ánh xạ

f : Υ

E → Y được xác định bởi :

)E

;x(

d)

x(f)

x(

là thác triển liên tục đồng thời của các fk *

(4) Cho hai không gian mêtric X, Y và một họ đếm được các tập đóng đôi một không giao nhau Ek ⊂ X, trong đó mỗi tập hợp không chứa điểm dính của hợp các tập còn lại Nếu f : k E k → Y là các ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện chuỗi ∑∞

a nếu x ∈ A

b nếu x ∈ Bf(x) =

d)

x(f

là thác triển liên tục đồng thời của các fk (k = 1, … , n) *

(5) Cho hai không gian mêtric X, Y và một họ đếm được các tập đóng đôi một không giao nhau Ek ⊂ X, trong đóE1 chứa các điểm dính của Υ

Bài 2: Cho A và B là hai tập hợp đóng rời nhau trong không gian mêtric

X Chứng minh rằng tồn tại một hàm thực f liên tục trên X và thỏa các điều

)B,x(d.a)A,x(d.(

Áp dụng định lý Tietze − Uryson ta được hàm f cần tìm *

Bài 4: Cho X là một không gian mêtric và A là một tập hợp con đóng của

X, f là một hàm liên tục từ X vào [a, b] sao cho f(A) ⊂ (a, b) Chứng minh rằng tồn tại hàm liên tục f từ X vào (a, b) sao cho fA = f

Chứng minh

Đặt B = f− 1({a, b}) Khi đó B đóng vì {a, b} đóng và f liên tục

Giả sử tồn tại x ∈ A ∩ B

Vì x ∈ A nên f(x) ∈ (a, b) Điều này vô lý vì x ∈ B, suy ra f(x) = a hoặc f(x) = b

Bài 5: Cho hai không gian mêtric X, Y Giả sử A, B là hai tập đóng trong

không gian mêtric X và f là một ánh xạ từ E = A ∪ B vào Y thỏa mãn fA và fB

là các ánh xạ liên tục Chứng minh rằng f liên tục

Chứng minh

Gọi C là một tập đóng trong Y

Ta có :

f− 1(C) = (fA)− 1(C) ∪ (fB)− 1(C) Theo giả thiết fA và fB là các ánh xạ liên tục nên (fA)− 1(C) là tập đóng trong A và (fB)− 1(C) là tập đóng trong B

Vì A và B là các tập đóng trong X nên (fA)− 1(C) và (fB)− 1(C) là các tập đóng trong X Suy ra f− 1(C) là tập hợp đóng trong X, nên cũng là tập đóng trong

E

Như vậy f là ánh xạ liên tục trên E *

Bài 6: Cho ví dụ chứng tỏ kết quả của bài 5 không còn đúng khi A đóng

Chương 3 THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ

Nhiều sự kiện trong không gian mêtric không phụ thuộc vào khoảng cách mà chỉ phụ thuộc vào họ các tập hợp mở trong không gian ấy Vì vậy ta sẽ thác triển ánh xạ liên tục trong môït không gian tổng quát lớn hơn không gian mêtric, đó là không gian Tôpô

§ 1 THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC

Định lý 1.1: Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là một ánh xạ liên tục từ không gian tôpô (X, τ) vào không gian tôpô (Y, σ), τ’ và σ’ lần lượt là những tôpô trên

X và Y Nếu τ ≤ τ’ và σ’ ≤ σ thì f cũng là một ánh xạ liên tục từ (X, τ’) vào (Y, σ’)

Chứng minh

Giả sử G ⊂ Y là một tập hợp σ’− mở ⇒ G là σ− mở

Vậy theo định lý 3.8.2 ( phần chuẩn bị ) suy ra:

f− 1(G) ⊂ X là τ – mở

⇒ f− 1(G) cũng là τ’ mở

Cũng theo định lý 3.8.2 ( phần chuẩn bị ), ta suy ra f là một ánh xạ liên tục từ không gian tôpô (X, τ’) vào không gian Tôpô (Y, σ’) *

Người ta thường phát biểu kết quả trên như sau: Nếu f là một ánh xạ liên tục của không gian tôpô X (gọi là không gian nguồn của f) vào không gian tôpô

Y (gọi là không gian đích của f ), thì f vẫn còn là một ánh xạ liên tục nếu ta làm

mạnh tôpô của không gian nguồn và giảm nhẹ tôpô của không gian đích

Vì vậy một câu hỏi không tầm thường là:

Ø Giữ nguyên tôpô xuất phát của không gian đích, tìm tôpô yếu nhất của không gian nguồn làm cho ánh xạ f liên tục

Ø Giữ nguyên tôpô xuất phát của không gian nguồn, tìm tôpô mạnh nhất của không gian đích làm cho ánh xạ f liên t ục

Vấn đề này sẽ được khảo sát dưới dạng tổng quát nhất, tức là cho trường hợp không phải một ánh xạ, mà là một họ ánh xạ từ một không gian nguồn vào nhiều không gian đích, hoặc từ nhiều không gian nguồn vào một không gian đích

Định lý sau đây sẽ trả lời câu hỏi thứ nhất:

Định lý 1.2: Giả sử X là một tập hợp tùy ý, Xα (α ∈ Λ) là một họ những không gian Tôpô, và với mỗi α ∈ Λ, ta có ánh xạ fα : X → Xα của tập hợp X vào tập hợp Xα Khi đó tồn tại trên X tôpô τ yếu nhất sao cho tất cả các ánh xạ

fα là τ− liên tục

Do đó nếu Gα i là tập hợp mở trong Xαi(1 ≤ i ≤ n) thì tập hợp

G = n f (G i)

1 i

1

=

− α

Ι là σ− mở trong X

Gọi B là họ tất cả các tập hợp G ⊂ X có dạng trên, suy ra B ⊂σ

Ta xét tôpô τ trên X nhận B làm cơ sở: tập hợp A ⊂ X là τ − mở khi và chỉ khi A là hợp của những tập hợp thuộc B

Hiển nhiên τ≤σ

Mặt khác, từ cách dựng họ B, ta suy ra ánh xạ

fα : X → Xαlà τ− liên tục với mọi α∈Λ

Như vậy ta đã dựng được tôpô yếu nhất τ trên X sao cho tất cả các ánh xạ

fα đều là liên tục *

Sau đây là trả lời của câu hỏi thứ hai

Định lý 1.3: Giả sử X là một tập hợp tùy ý, Xα (α ∈ Λ) là một họ những không gian Tôpô, và với mỗi α ∈ Λ ta có một ánh xạ gα : Xα → X Khi đó tồn tại trên X tôpô ξ mạnh nhất sao cho tất cả các ánh xạ gα là ξ− liên tục

Chứng minh

Nếu trang bị cho X tôpô thô thì hiển nhiên tất cả các gα liên tục

Gọi ξ là họ tất cả các tập hợp G ⊂ X sao cho với mọi α ∈Λ ta có gα− 1(G) là mở trong Xα

Ta thấy ξ là một tôpô trên X

Gọi η là một tôpô trên X sao cho tất cả các gα đều là η − liên tục và

G ⊂ X là η− mở Khi đó gα− 1(G) là mở trong Xα với mọi α ∈Λ

Do đó: G ∈ξ⇒η≤ξ

Vậy ξ là tôpô mạnh nhất sao cho tất cả ánh xạ gα liên tục *

Ta chuyển sang một vấn đề khác:

Cho γ là một cái phủ của không gian tôpô X

Với mọi ánh xạ g : X → Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y, các thu hẹp gA = g|A và gB = g|B (A, B ∈ γ) thỏa gA|A ∩ B = gB|A ∩ B Ta nghiên cứu quá trình ngược lại

Định lý 1.4ù: Cho hai không gian tôpô X, Y và γ là một cái phủ của X Giả sử với mọi A ∈ γ tồn tại một ánh xạ liên tục fA : A → Y sao cho fA|A ∩ B = fB|A ∩ B với mọi B ∈ γ Gọi f : X → Y là ánh xạ được xác định bằng cách đặt f(x) = fA(x) nếu x ∈ A Khi đó ánh xạ f liên tục nếu một trong hai điều kiện sau đây được

thỏa mãn:

a/ γ là phủ đóng và hữu hạn của X

b/ γ là phủ mở của X

Chứng minh

a/ γ là phủ đóng và hữu hạn của X :

Giả sử F là một tập đóng tùy ý trong Y

Gọi A ∈γ:

Vì fA liên tục nên fA − 1(F) là đóng trong A

Vì A đóng trong X nên fA − 1(F) cũng đóng trong X

Mặt khác vì γ hữu hạn nên

f− 1(F) = f (F)

A

1 A

Υ

γ

∈

−

là một tập đóng của X, suy ra f là ánh xạ liên tục

Vậy f là thác triển liên tục đồng thời của các fA (A ∈γ)

b/ γ là phủ mở của X:

Ta chứng minh f liên tục tại mọi điểm trong p của một phần tử A bất kì thuộc γ

Gọi N là một lân cận tùy ý của điểm f(p) = fA(p) ∈ Y

Vì fA liên tục với mọi A ∈ γ nên tồn tại một lân cận M của p trong A sao cho fA(M) ⊂ N

Theo định nghĩa của lân cận, tồn tại một tập mở U của A, với p ∈ U ⊂ M Gọi:

V = U ∩ Int(A)

Vì Int(A) là mở trong X và V là mở trong Int(A) nên V mở trong X

Vì p ∈ V ⊂ M nên ta có:

f(V) = fA(V) ⊂ N

Do đó f liên tục tại p

Như vậy f là thác triển liên tục đồng thời của các fA (A ∈γ) *

f(x) =

§2 THÁC TRIỂN HÀM LIÊN TỤC

Bổ đề 2.1: (Định lý Uryson)

Nếu A và B là hai tập hợp đóng và rời nhau trong không gian tôpô chuẩn

tắc X, thì tồn tại một hàm liên tục f trên X sao cho:

a/ 0 ≤ f(x) ≤ 1 với mọi x ∈ X

b/ f(x) = 0 khi x ∈ A

c/ f(x) = 1 khi x ∈ B

Chứng minh

Áp dụng định lý 3.10.2 ( phần chuẩn bị ) vào tập hợp đóng A và tập hợp

mở X \ B ⊃ A, ta thấy rằng tồn tại một tập hợp mở A1/2 sao cho:

A ⊂ A1/2⊂ A1/2⊂ X\B

Lại áp dụng định lý 3.10.2 ( phần chuẩn bị ) vào các cặp tập hợp A, A1/2

và A1/2, X \ B, ta thấy rằng tồn tại những tập hợp mở A1/4, A3/4 sao cho:

A ⊂ A1/4⊂ A1/4 ⊂ A1/2⊂ A1/2 ⊂ A3/4 ⊂ A3/4⊂ X\B Tương tự ta thấy rằng tồn tại những tập hợp A1/8, A3/8, A5/8, A7/8 sao cho:

A ⊂ A1/8⊂ A1/8⊂ A1/4⊂ A1/4⊂ A3/8⊂ A3/8 ⊂ A1/2⊂ A1/2

⊂ A5/8⊂ A5/8⊂ A3/4⊂ A3/4⊂ A7/8⊂ A7/8⊂ X\B Tiếp tục mãi quá trình lập luận trên ta thấy rằng với mọi số có dạng

A thì tồn tại r0 sao cho x ∉ A , do đó x ro ∉ Ar với mọi r thỏa

0 < r < ro, suy ra tồn tại sup{ r : x ∉ Ar }

Do đó ta có thể xác định hàm f(x) trên không gian X như sau:

0 nếu x ∈ Ι

A sup{ r : x ∉ Ar } nếu x ∉ Ι

A Từ định nghĩa của f(x) ta suy ra:

A với mọi r, vậy f(x) = 1

Ta chứng minh hàm f liên tục tại mọi điểm x0 ∈ X