TÍCH cực hóa QUÁ TRÌNH học tập môn TOÁn ma trận và định thức

Cuốn sách này có một tầm nhìn quốc tế và được viết ra nhằm giúp các đọc giả khám phá những điều lý thú của toán học trong cuộc sống hằng ngày, phát triển kỹ năng đối với toán học và tìm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN 

TÍCH CỰC HÓA QUÁ TRÌNH HỌC TẬP

MÔN TOÁN

ĐỀ TÀI NHÓM 04:

Nhóm sinh viên lớp 4B thực hiện:

Nguyễn Thị Hải Khánh

Nguyễn Hữu Cảnh

Lê Thị Thùy Trang

Trương Thị Phương Nhi

Huế, 2014

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

TỔNG QUÁT 2

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ THUẬT NGỮ 2

NHỮNG ỨNG DỤNG TRONG CUỘC SỐNG THỰC TẾ 5

Những hình ảnh kỹ thuật số 5

Sự bay của tàu con thoi 5

Quần thể sinh học 6

Thiết kế xe hơi 6

KẾT LUẬN 8

TÀI LIỆU THAM KHẢO 9

LỜI MỞ ĐẦU

Real - Life Math là cuốn sách của hai tác giả K Lee Lerner và Brenda Wilmoth Lerner dành cho đọc giả ở nhiều lứa tuổi, đặc biệt là lứa tuổi trung học Cuốn sách này

có một tầm nhìn quốc tế và được viết ra nhằm giúp các đọc giả khám phá những điều

lý thú của toán học trong cuộc sống hằng ngày, phát triển kỹ năng đối với toán học và tìm hiểu những ứng dụng trong thực tế

Các bài viết trong cuốn sách này được viết một cách dễ hiểu và gây sự tò mò

cho đọc giả qua các chủ đề của toán học Và chúng tôi chọn chủ đề là “Ma trận và

định thức” nhằm góp phần tìm hiểu rõ hơn về ma trận, định thức và các ứng dụng của

nó trong thực tế, giúp các bạn sinh viên muốn nghiên cứu sâu hơn, nâng cao hơn kiến thức về ma trận và định thức

5 3 9

9 1 9

4 0 5

2 10 2

5 2 7

TỔNG QUÁT

Trong toán học, ma trận là một nhóm các con số được sắp xếp trong một hình chữ nhật Từ để chỉ nhiều hơn một ma trận gọi là matrices Xử lý ma trận trong toán học được gọi là ma trận đại số hay đại số tuyến tính Ma trận là một trong những ứng dụng rộng rãi nhất trong tất cả các công cụ toán học Chúng được sử dụng để giải quyết các vấn đề trong thiết kế máy móc, bố trí các tuyến đường của các công ty dầu khí và vận tải để vận chuyển hiệu quả, chơi các trò chơi cạnh tranh trong chiến tranh

và kinh doanh, vẽ bản đồ, dự báo động đất, chụp ảnh bên trong cơ thể, dự đoán được hai mùa thời tiết ngắn hạn và sự thay đổi của khí hậu toàn cầu, và hàng ngàn các mục đích khác

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ THUẬT NGỮ.

Ma trận thường được chứa trong dấu ngoặc vuông bao quanh chúng Ma trận được mô tả như trong Hình 1: Ma trận với bốn số hoặc "phần tử" Một cột trong ma trận là một hàng dọc các con số: Trong ma trận này, 3 và 7 tạo thành cột đầu tiên, còn

5 và 4 tạo thành cột thứ hai Một dòng trong ma trận là một hàng ngang các con số: Trong ma trận này, 3 và 5 tạo thành hàng đầu tiên, còn 7 và 4 tạo thành hàng thứ hai

Ma trận được đặt tên theo chiều dài và chiều rộng của chúng Trong ví dụ này, ma trận

có chiều dài là hai phần tử và chiều rộng là hai phần tử, do đó nó là một ma trận cấp

2 2 Ma trận trong Hình 2 có chiều dài là ba phần tử và chiều rộng là năm phần tử,

do đó nó là một ma trận cấp 3 5

Hình 1: Một ma trận với bốn số hoặc “phần tử”

Hình 2: Ma trận 3 5

Một ma trận phẳng có thể được viết trên các ô vuông của một bàn cờ, như ở hai

ví dụ này, được gọi là hai chiều bởi vì chúng ta cần hai con số để nói vị trí mỗi phần tử của ma trận Ví dụ, số "10" trong ma trận cấp 3 5 sẽ chỉ ra được "dòng 2, cột 4"

3 5

7 4

2 3

7 9

𝑥

𝑦 = 110

Một ma trận cũng có thể ba chiều: trong trường hợp này, các số được sắp xếp trên các

ô vuông của một bàn cờ, và chỉ đến một số cụ thể bạn phải đặt tên cho hàng của nó, cột của nó, và xếp nó lên bàn cờ Không có giới hạn về số lượng kích thước mà một

ma trận có thể có Chúng ta không thể hình thành hình ảnh của ma trận với bốn, năm, hoặc nhiều kích thước, nhưng chúng đúng như là toán học thực sự

Các con số trong một ma trận có thể biểu thị cho bất cứ điều gì Chúng có thể biểu thị cho độ sáng của các dấu chấm trong một hình ảnh, hoặc tỷ lệ phần trăm của những con cú đốm trong nhóm tuổi khác nhau từ non đến già Một trong những ứng dụng thực tế quan trọng nhất của ma trận là những con số trong ma trận biểu diễn các

hệ số của phương trình tuyến tính Một phương trình tuyến tính là một phương trình bao gồm một tổng các biến (những số chưa biết) nhân với một hệ số (một số đã biết)

Ta có hai phương trình tuyến tính: 2 3 = 11 và 7 9 = 0 Ở đây, những giá trị biến là và và các hệ số là những số nhân của chúng (cụ thể là 2 3 7 và 9) Đồng thời, đó là hai phương trình tạo nên một hệ Hệ các phương trình này còn có thể gọi là

ma trận cấp 2 2, thiết lập bằng ma trận cấp 2 1, được mô tả trong Hình 3

Hình 3 Các giả thiết có trong phương trình ma trận cũng nằm trong các phương trình ban đầu và hầu hết được sắp xếp tương tự trên giấy Thứ duy nhất có thể thay đổi là cách thể hiện thông tin được viết xuống Đối với hệ phương trình phức tạp (với hàng chục hoặc hàng trăm biến, không chỉ có và ), các phương trình ma trận có nhiều tính toán hơn

Để giải được phương trình này, chúng ta phải tìm giá trị và sao cho nghiệm của chúng đúng với phương trình Trong trường hợp này kết quả duy nhất là

= 33, = (Nếu ta gán các giá trị của và trong các phương trình 2 3 = 11 và

7 9 = 0, ta sẽ tìm được giá trị đúng của hai phương trình, không có giá trị và nào khác) Tìm ra cách để giải phương trình ma trận là một trong những ứng dụng quan trọng nhất của máy tính trong khoa học, kỹ thuật và kinh doanh ngày nay, bởi vì hàng ngàn vấn đề thực tế có thể được mô tả bằng các hệ phương trình tuyến tính (đôi

khi hệ rất lớn với ma trận được tạo bởi hàng ngàn hoặc hàng triệu con số) Những chiếc máy tính giải quyết được những phương trình ma trận lớn một cách nhanh chóng, tạo ra nhiều sản phẩm mới và khám phá khoa học một cách hiệu quả

Các quy tắc tính toán ma trận, bao gồm cả giải phương trình ma trận, được mô

tả trong các lĩnh vực toán học gọi là "ma trận đại số" Các ma trận cùng cấp có thể

cộng, trừ hoặc nhân Một số có thể tính được từ ma trận vuông, tức là các ma trận có cùng số hàng và số cột gọi là định thức Mọi ma trận vuông đều có định thức Định thức được tính bằng các yếu tố của ma trận bằng mỗi cách khác nhau và sau đó cộng vào bài toán theo một quy tắc nhất định Ví dụ, quy tắc tính định thức của ma trận cấp

2 2 sau:

[ ] = (Những số nhỏ ở đây gắn liền với biến giúp chúng ta phân biệt chúng) Với ma trận 3 3, quy tắc phức tạp hơn:

=

và các quy tắc càng trở nên phức tạp đối với các ma trận lớn và kích thước lớn hơn nhưng đó không phải là vấn đề, bởi vì máy tính tính toán tốt những định thức này

Những định thức luôn được sinh viên nghiên cứu trong việc học ma trận đại số, nơi mà chúng có nhiều công nghệ sử dụng trong ma trận đại số Tuy nhiên, ngày nay, chúng ít quan trọng hơn trong lý thuyết ma trận trước lúc phát minh ra máy tính Khoảng một trăm năm trước, tài liệu tham khảo của một nhà toán học lớn đã được công bố rằng chỉ tóm tắt tính chất của định thức phát hiện vào thời kỳ đó: nó đã được điền vào toàn bộ bốn khối lượng Ngày nay, toán học ít liên quan đến định thức hơn

lúc trước Trong một cuốn sách giáo khoa được sử dụng rộng rãi đã nói rằng: "Sau tất

cả mọi thứ, một số đơn có thể gọi chỉ duy nhất trong ma trận"

TỪ KHÓA

Ma trận: Một hình chữ nhật chứa bảng

các biến hoặc số, thường được hiển

thị với dấu ngoặc vuông bao quanh

chúng "Hình chữ nhật" ở đây bao

gồm các cột có độ dài bằng nhau,

nhưng nó không phải là hai chiều

Một phươgn trình ma trận có thể

biểu diễn cho một hệ của nhiều

phương trình tuyến tính

NHỮNG ỨNG DỤNG TRONG CUỘC SỐNG THỰC TẾ.

Những hình ảnh kỹ thuật số.

Máy ảnh kỹ thuật số tạo ra một ma trận các số khi chụp ảnh Tiêu điểm của ống kính máy ảnh của hình ảnh trên bề mặt hình chữ nhật bao phủ bởi ánh sáng nhỏ với

các thiết bị điện tử cảm ứng

Các thiết bị tập trung phát hiện màu sắc và độ sáng của hình ảnh, và thông tin này được lưu như một ma trận các con số trong bộ nhớ của máy ảnh Khi một hình ảnh được tải về từ một máy ảnh đến máy tính và được thay đổi sử dụng phần mềm chỉnh sửa ảnh, nó là đối tượng của các thao tác toán học mô tả bởi ma trận đại số Những

hình ảnh cũng có thể "nén" để chiếm ít bộ nhớ máy tính hoặc truyền trên Internet một

cách nhanh chóng Khi một hình ảnh được nén, sự giống nhau giữa một số các con số trong ma trận ban đầu của nó được sử dụng để tạo ra một ma trận nhỏ hơn, chiếm ít bộ nhớ, nhưng mất đi độ sắc nét của hình ảnh

Sự bay của tàu con thoi

Trong những ngày đầu của chuyến bay, những phi công đẩy và kéo trên một phím điều khiển kết nối với dây dẫn Các dây chạy qua ròng rọc để cánh và bánh lái,

có thể bay Nó sẽ không thể bay một cách phức tạp như tàu con thoi,mà được chỉ đạo không chỉ bằng những mảnh di chuyển của cánh, mà còn 44 máy bay phản lực đẩy, bằng các phương tiện cơ học trực tiếp như thế này Chỉ đạo phải được thực hiện bằng máy tính, để đáp ứng với các phép đo áp lực tay phi hành gia trên điều khiển Trong

Vecto: Một đại lượng gồm độ lớn và

hướng, thường được biểu diễn bởi một mũi tên Trong đó, dộ dài mũi tên biểu diễn cho độ lớn

và hướng của mũi tên chỉ trong không gian

phương pháp này, máy tính của chuyến bay kết hợp các phép đo từ cảm biến phát hiện con tàu đang di chuyển như thế nào với các phép đo từ các điều khiển Các phép đo được cung cấp thông qua các máy tính chuyến bay của tàu con thoi như vectơ, đó là, như ma trận 1, nơi mà các phép đo từ tàu và thí điểm là những con số trong các vectơ Máy tính của tàu thực hiện các tính toán trên các vectơ sử dụng ma trận đại số

để quyết định làm thế nào để di chuyển các bề mặt điều khiển (bộ phận di chuyển của cánh và đuôi) và làm thế nào để bắn các máy bay phản lực tay lái 44

Quần thể sinh học.

Một trong những điều mà các nhà sinh học cố gắng làm là dự đoán quần thể của động vật thay đổi trong tự nhiên Điều này được gọi là nghiên cứu về biến động của quần thể bởi vì trong khoa học hay toán học, bất cứ điều gì đó là đang thay đổi hoặc di

chuyển trong trạng thái “động” Trong quần thể sinh học, một phương trình ma trận

mô tả có bao nhiêu cá thể bị thay đổi trong một giai đoạn cuộc sống sinh sản tiếp theo,

từ năm này sang năm khác Một phương trình ma trận như vậy đã xuất hiện trong các cuộc tranh luận về việc liệu những con cú đốm của Bắc Thái Bình Dương về phía tây (Hoa Kỳ) có đang bị đe dọa hay không Nếu số cá thể non, cá thể trưởng thành và cá thể già của những con cú trong năm được viết như , , và tương ứng (các chữ nhỏ là để đánh dấu năm), và nếu quần thể cho năm tiếp theo, năm 1, được viết như , , và , sau đó các nhà sinh học đã phát hiện ra rằng các phương trình

ma trận sau đây liên quan một quần thể năm tiếp theo:

0 0 33

1 0 0

0 71 94

=

Bằng cách phân tích phương trình này sử dụng các công cụ tiên tiến của ma trận đại số như giá trị riêng, các nhà sinh học đã chỉ ra rằng nếu tỉ lệ gần đây suy giảm của việc mất đi môi trường sống (gây ra bởi việc chặt phá) tiếp tục, cú đốm có thể bị tuyệt chủng Các con cú, giống như tất cả các động vật ăn thịt, cần vùng đất rộng lớn, trong

đó để cho cú đốm, khoảng bốn dặm vuông mỗi cặp sinh sản

Thiết kế xe hơi

Trước những năm 1970, các nhà sản xuất xe thiết kế xe mới bằng cách vẽ ra những bản vẽ đầu tiên, tiếp theo là mô hình vật lý, sau đó những chiếc xe thực tế Từ những năm 1970, họ cũng đã sử dụng một công cụ gọi là máy tính hỗ trợ thiết kế

(CAD) CAD hiện đang được giảng dạy tại nhiều trường trung học, sử dụng phần mềm tinh vi hơn những cái có được trước đây, nhưng các nguyên tắc ứng dụng đều giống nhau Ở máy tính hỗ trợ thiết kế tự động, bước đầu tiên vẫn là một bản vẽ của một họa

sĩ sử dụng trí tưởng tượng của họ - thiết kế cho ra chiếc xe sẽ trông như thế nào, thường vẽ nguệch ngoạc trên giấy Khi một hình ảnh mới đã được đưa ra, bước tiếp

theo là việc tạo ra một mô hình “khung bao bọc” Các mô hình khung bao bọc là một

khối lượng của hệ thống, xác định bởi số được lưu trữ trong ma trận,đó là phác thảo hình dạng của tất cả các phần chính của xe

Các con số xác định tọa độ ba chiều của các điểm trên bề mặt của chiếc xe xác định được hình dạng của nó Mô hình khung dây có thể được tạo ra trực tiếp hoặc bằng cách sử dụng tia laser để quét một mô hình đất sét trong không gian ba chiều Mô hình chiếc xe wireframe được lưu giữ như một bộ sưu tập của nhiều ma trận, mỗi ma trận

mô tả một phần Mô hình này có thể được hiển thị, xoay, và điều chỉnh với vẻ ngoài trông giống thật Quan trọng hơn, bằng cách sử dụng kỹ thuật toán học dựa trên ma trận được gọi là phương pháp phần tử hữu hạn, các công ty xe hơi có thể sử dụng mô hình wireframe thiết kế để dự đoán trước tình huống tai nạn xảy ra và không khí sẽ đi qua nó một cách trơn tru khi nó đang chuyển động (ảnh hưởng đến việc xe sử dụng bao nhiêu khí đốt) Những tính năng có thể thực nghiệm được cải thiện bằng cách thay đổi số trong ma trận chứ không phải bằng cách xây dựng mô hình thử nghiệm đắt tiền

KẾT LUẬN

Qua cuốn sách Real - Life Math và chủ đề “Ma trận và định thức” chúng ta

hiểu được khái niệm của ma trận, định thức; cách gọi tên và cách viết của ma trận; các quy tắc tính định thức; làm quen với các ma trận vuông, phương trình tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính Điều đặc biệt, là các ứng dụng của nó trong cuộc sống như hình ảnh kĩ thuật số, sự bay của tàu con thoi trong không gian, thiết kế xe hơi, … Và hơn cả là những ứng dụng của nó được áp dụng trong quần thể sinh học giúp các nhà sinh học đánh giá số lượng và tìm cách giúp các loài động vật thoát khỏi nguy cơ bị tuyệt chủng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Lay, David C, Linear Algebra and its Applications, tái bản lần thứ hai

New York: Addison - Wesley, 1999

- Strang, Gilbert, Linear Algebra and its Applications, tái bản lần thứ ba

New York: Harcourt Brace Jovanovich College Publishers, 1988