MÔ HÌNH hóa với PHƯƠNG PHÁP TÍCH cực TRONG dạy học TOÁN

Toán học hóa các tình huống thực tế mô hình hóa Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tế như trên, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức l

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

TS VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG và PGS TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

MÔ HÌNH HÓA VỚI PHƯƠNG PHÁP TÍCH CỰC TRONG DẠY HỌC TOÁN

(TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG GIÁO VIÊN)

CHƯƠNG 1

MÔ HÌNH HÓA

I KHÁI NIỆM MÔ HÌNH HÓA

I.1 Toán học hóa các tình huống thực tế (mô hình hóa)

Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tế như trên,

người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống Quá trình này gọi là quá trình mô hình hóa toán học (mà dưới đây, để ngắn gọn, chúng tôi sẽ gọi là mô hình hóa)

Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này

Quá trình mô hình hóa toán học được mô tả qua 4 bước

Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan

trọng nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta phải tuân theo

Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn

ngữ toán học cho mô hình trung gian Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều

mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng

Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước

hai Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp

Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba Ở đây người ta phải

xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia

Ở bước này có thể xảy ra một trong hai khả năng :

Khả năng 1 : Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế

Khi đó chỉ cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật toán đã

sử dụng, kết quả thu được

Khả năng 2 : Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế

Lúc này phải tìm nguyên nhân Có thể đặt ra những câu hỏi sau :

- Các kết quả tính ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không ?

Để trả lời, người ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán đã sử

dụng Ở đây, người ta tạm chấp nhận rằng mô hình toán học (và cũng có nghĩa là mô hình trung gian) xây dựng như vậy là thỏa đáng

- Mô hình toán học xây dựng như thế đã thỏa đáng chưa ? Nếu chưa thì phải xây dựng lại Với loại câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mô hình trung gian đã xây dựng, nhưng phải xem xét lại mô hình toán học đã lựa chọn

- Mô hình trung gian xây dựng có phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế không ? Nếu không thì cần phải rà soát lại bước một xem có yếu tố, qui luật nào bị bỏ sót không

- Các số liệu ban đầu (các thông số, hệ số) có phản ánh đúng thực tế không ? Nếu không thì phải điều chỉnh lại một cách nghiêm túc và chính xác

Hai câu hỏi cuối đặt ra cho mô hình trung gian đã được xây dựng

Quá trình mô hình hóa có thể được tóm lược qua sơ đồ sau :

Như thế, mô hình hóa toán học là quá trình cấu trúc lại vấn đề cần giải quyết nhờ những khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp Quá trình ấy được thực hiện thông qua việc xây dựng mô hình phỏng thực tế bằng cách “cắt tỉa” – hay ngược lại, bổ sung thông tin

- để có thể gắn vấn đề ban đầu với các quy trình toán học Trong bước tìm kiếm mô hình phỏng thực tế này người ta thường phải thực hiện những việc như đặt giả thuyết, tổng quát hóa, hình thức hóa,… Bài toán toán học cuối cùng được xây dựng phải đại diện trung thực cho bối cảnh thực tế

Trở lại với bài toán nêu trong ví dụ 1 ở trên

giác Vùng chiếu sáng của đèn là một hình tròn mà điểm đặt cột đèn là tâm Vấn đề là phải đặt cây đèn sao cho toàn bộ tam giác nằm trong hình tròn

kiến thức về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác các đường trung trực để giải bài toán : dựng hai đường trung trực của hai cạnh tam giác Giao điểm của hai đường trung trực

là tâm của đường tròn

viên là tù, thì lời giải này không hợp lý vì cây đèn sẽ nằm ra ngoài công viên Nếu ba góc của tam giác đều nhọn thì vẫn còn phải biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có vượt quá bán kính chiếu sáng của đèn không

HỆ THỐNG NGOÀI TOÁN HỌC

Câu hỏi liên quan đến hệ thống Câu trả lời cho câu hỏi ban đầu

Rút gọn hệ thống

(giữ lại những thông tin thỏa đáng)

Mô hình trung gian

(duy trì mối liên hệ về ngữ nghĩa đối với hệ thống mà

ta tìm cách mô hình hóa)

Trình bày lại các câu hỏi Câu trả lời

cho bài toán toán học

MÔ HÌNH TOÁN HỌC

Giải bài toán

Như vậy là cần phải biết hình dạng, các kích thước của tam giác và bán kính chiếu sáng của

đèn Tìm hiểu những thông tin bổ sung này rồi lại chuyển về bài toán toán học …

I.2 Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa

Để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh, không thể coi nhẹ việc dạy học cách thức

xây dựng mô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra Đối với các

nhà toán học, mô hình ấy thường là chưa tồn tại, hoặc đã tồn tại nhưng không cho phép giải quyết mọi trường hợp, hay ngược lại, không mang đến lời giải tối ưu cho một lớp các trường hợp đặc biệt nào đó Việc tìm ra mô hình mới của họ thường dẫn đến một phát minh mới (một khái niệm, một định lý mới) Song đối với giáo viên thì mô hình ấy đã tồn tại Điều đó dẫn

đến chỗ việc dạy học có thể được tổ chức theo hai tiến trình:

- Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm hay định lý, công thức)

→ Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học

- Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức → Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một

mô hình toán học phù hợp

Tiến trình dạy học thứ nhất, gọi là dạy học mô hình hóa, tiết kiệm được thời gian nhưng lại

làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó làm mất nghĩa của tri thức Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rất tự nhiên học sinh sẽ không lưỡng lự gì và hướng ngay đến việc xây dựng một mô hình toán học phù hợp với tri thức vừa đưa vào Liệu vượt

ra khỏi bối cảnh ấy, họ có thể xây dựng được mô hình toán học phù hợp hay không ?

Tiến trình thứ hai, bản chất là dạy học toán thông qua dạy học mô hình hóa, cho phép khắc

phục khiếm khuyết này Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từ quá trình nghiên cứu các vấn đề thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện giải quyết vấn đề Người

ta gọi đây là dạy học bằng mô hình hóa

Với những điểm lý luận vừa trình bày trên thì rõ ràng dạy học bằng mô hình hóa và dạy học

mô hình hóa là một con đường để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh Như vậy, để

đạt được mục đích dạy học toán thì cần thiết phải tính đến vấn đề mô hình hóa trong dạy học

II THỰC TẾ GIẢNG DẠY :

Ví dụ 1 1 : Kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức hàm số”

Bài tập số 3 tr.30 SGK toán 9 tập 2 :

“Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc

v của gió, tức là F= av 2 (a là hằng số) Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2m/s thì lực tác động lên cánh buồm của một con thuyền bằng 120N (Niu-tơn)

a Tính hằng số a

b Hỏi khi v=10m/s thì lực F bằng bao nhiêu? Cùng câu hỏi này khi v=20m/s = ?

1 Đinh Quốc Khánh (2008), Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông

c Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000N Hỏi con thuyền có thể đi trong gió bão với vận tốc gió 90km/h hay không ?”

Phân tích:

Kĩ thuật:

- Thay giá trị của F (với F là lực gió tác động lên cánh buồm) và v đã cho ban đầu vào công thức F=av2 để tìm a

- Với a vừa tìm được, lần lượt thay v=10 & v=20 vào công thức ta F = 30v2 để tìm F

- Nhận xét gió bão có vận tốc 90 km/h = 25m/s nên so sánh với kết quả đã tìm được ở trên để kết luận

Nhận xét :

Kĩ thuật chỉ tương ứng với bước 3, trong bốn bước giải cần tiến hành để thực hiện mô hình hóa toán học

Các bài tập có nội dung thực tiễn được đưa vào SGK toán 9 đều được viết dưới dạng một bài toán, việc của học sinh chỉ là giải toán Không có bài tập nào yêu cầu thực hiện bước 1 và bước 2 - bước chuyển từ hệ thống hay tình huống ngoài toán học vào trong mô hình toán học

Kết luận 1 : Vấn đề mô hình hóa toán học đã không được tính đến ở lớp 9

Ví dụ 2 2 : Kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức và tính giá trị hàm số”

Bài tập 25 tr.54 SGK toán 10 nâng cao:

Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìn đồng đối với 10km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các kilômét tiếp theo Một hành khách thuê taxi đi quãng đường x kilômét phải trả y nghìn đồng Khi đó, y là một hàm số đối với x, xác định với mọi x ≥ 0

a Hãy phát biểu y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng ứng với đoạn [0;10], và khoảng (10; +∞)

b Tính f(8), f(10), f(18)

Phân tích :

Kĩ thuật:

- Xác định yêu cầu bài toán: Tìm công thức hàm mô tả tổng số tiền cần trả theo quãng

đường đã đi”

- Tìm các đại lượng liên quan và thiết lập mối liên hệ:

+ Khi quãng đường đã đi nhỏ hơn 10km thì: Tổng số tiển phải trả bằng số kilômét đã đi×6 ngàn

+ Khi quãng đường đã đi lớn hơn 10km thì số tiền phải trả gồm hai khoản:

Khoản 1: Trong 10km phải trả với giá 6 ngàn đồng cho mỗi kilômét nên

số tiền phải trả cho 10km đầu là 60 ngàn Khoản 2: Trong (x−10) km tiếp theo phải trả với giá 2,5 ngàn/km

2 Đinh Quốc Khánh (2008), Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông

- Tìm công thức mô tả mối liên hệ giữa các đại lượng này:

Gọi f (x) là số tiền phải trả theo quãng đường x

Khi 0≤ x ≤10 thì số tiền phải trả là : f (x)= 6x

Khi x >10 thì số tiền phải trả là : f (x)= 60 + 2,5(x−10)= 2,5x+ 35

a Vậy hàm số phải tìm là : ( ) = 6 ế 0 ≤ ≤ 10 2,5 + 35 ế > 10

b Từ công thức trên suy ra:

f (8)= 6.8= 48; f (10)= 6.10= 60

f (18)= 2,5.18+25= 80

Nhận xét :

Kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ nói trên tương ứng với bước 1, bước 2 và bước 3 của quá

trình mô hình hóa

Kết luận 2 : Vấn đề mô hình hóa có mặt trong dạy-học hàm số ở lớp 10

III MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

III.1 Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10 3

Bài toán thực nghiệm 1 :

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày Mỗi

kg thịt bò chứa 800 đơn vị prôtêin và 200 đơn vị lipit Mỗi kg thịt lợn (heo) chứa 600 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1

kg thịt lợn; giá của 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kg thịt mỗi loại để chi phí là thấp nhất mà vẫn đảm bảo dinh dưỡng trong một ngày

Mục đích: Việc xây dựng bài toán thực tế này nhằm tìm hiểu xem quá trình mô hình hóa theo

cách trình bày của SGK có thực sự được HS lĩnh hội tốt hay không? Thông qua đó sẽ biết mức độ thực hành các bài toán dạng này của HS đến đâu? GV, HS có đặt nặng mô hình hóa trong dạy học hay không?

Bài toán thực nghiệm 2 :

Mỗi tuần, Marry làm vòng cổ và hoa tai để bán Lợi nhuận thu được từ một vòng cổ là 3 USD, một đôi hoa tai là 2 USD Trong quá trình sản xuất, Marry có đặt ra giới hạn về số lượng và lợi nhuận cho sản phẩm của mình Có thể xem các điều kiện của Marry đặt ra là một hệ bất phương trình Dưới đây

là đồ thị biểu thị miền nghiệm của hệ bất phương trình này (đa giác ABCDE):

+ Trục Ox cho biết số lượng vòng cổ, trục Oy cho biết số lượng hoa tai

+ Hình chữ nhật tạo bởi 4 đường thẳng d 1 , d 2 , d 3 , d 4 cho biết giới hạn về số lượng mỗi sản phẩm mà Marry sản xuất trong 1 tuần

+ Đường thẳng d 5 cho biết điều kiện về tổng số lượng sản phẩm mà Marry sản xuất trong 1 tuần + Đường thẳng d 6 cho biết điều kiện về lợi nhuận thu được của Marry

3 Đỗ Hữu Nhân (2013), Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10

a/ Cho biết các điều kiện mà Marry đặt ra là gì:

+ Giới hạn mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu?

+ Tổng số lượng sản phẩm Marry có thể sản xuất tối đa trong một tuần là bao nhiêu? + Lợi nhuận mà Marry đề ra thấp nhất là bao nhiêu?

b/ Hãy lập một hệ bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trên đồ thị (đa giác ABCDE)

Mục đích: Dạng toán này không xuất hiện trong SGK ĐS 10 nhưng xuất hiện trong phần thực

hành của “Algebra 2” Việc xây dựng bài toán này nhằm đánh giá khả năng phân tích các yếu

tố từ mô hình toán học có sẵn (đồ thị) của HS, khả năng thích ứng với dạng toán mới mà HS chưa gặp bao giờ

III.2 Mô hình hóa trong dạy học Hàm số và đồ thị ở trường phổ thông4

Bài toán 1

Trong trận bóng đá, một cầu thủ đá một trái banh từ mặt đất lên độ cao H mét trong thời gian t giây Các số liệu được thống kê trong bảng sau:

Tại thời điểm t(giây) 0,25 O,5 Chiều cao của quả bóng đạt đươc

4 Đinh Quốc Khánh (2011), Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông

Phiếu số 1:

Câu hỏi 1 Giả sử thủ thành chụp được bóng tại thời điểm t = 0,5giây Xem chiều cao h là

hàm số của thời gian t Xác định hàm số mô tả đường đi của quả bóng từ sau khi cầu thủ sút bóng đến khi thủ thành chụp được?

Phiếu số 2:

Câu hỏi 2

1) Tính chiều cao quả bóng đạt được tại thời điểm 0,3 giây sau cú đá của cầu thủ

2) Hãy phác thảo đồ thị của hàm số mô tả đường đi của quả bóng, từ lúc được cầu thủ đá cho đến khi thủ thành chụp được bóng, lên mặt phẳng tọa độ

Phiếu số 3:

1) Nhóm hãy thảo luận để thống nhất với nhau về câu trả lời cho câu hỏi 1 của bài toán 2 2) Nhóm hãy nêu lại các bước để tìm biểu thức hàm số trong bài toán 1 và bài toán 2

Bài toán 2

Một đường hầm nhân tạo có hình dáng và kích thước được cho biết như hình bên và chỉ cho phép lưu thông một chiều Một xe tải chở hàng với chiều cao được tính từ mặt đường đến nóc thùng xe là 4,8m

và bề ngang thùng xe là 3,9m

8m

Phiếu số 1:

Câu hỏi 1 Liệu xe tải có được phép qua đường hầm? Giải thích vì sao?

Phiếu số 2:

Câu hỏi 2 Với bề ngang của thùng xe như trên, hỏi xe tải có chiều cao tối đa là bao nhiêu vẫn

có thể qua đường hầm?

III.3 Mô hình hóa với vấn đề tích hợp trong dạy học thống kê

Tình huống 1: Số trung vị với nghĩa là giá trị làm tối tiểu độ lệch5

Câu hỏi 1

Cho các biểu thức sau:

A= + + − + −x 1 x 3 x 2

B= + + − + − + −x 1 x 3 x 2 x 7 5,

a) Xác định giá trị của x để các biểu thức A, B đạt giá trị nhỏ nhất

b) Tính giá trị nhỏ nhất của các biểu thức này

Các em thử tìm nhiều cách khác nhau để giải quyết bài toán

Câu hỏi 2

Xác định số M Mae, be lần lượt là số trung vị của mẫu dữ liệu ở câu a, b:

a) -1 2 3

b) -1 2 3 7,5

Câu hỏi 3

Tính giá trị của biểu thức A tại Mae, biểu thức B tại Mbe:

A= + + − + −x 1 x 3 x 2

B= + + − + − + −x 1 x 3 x 2 x 7 5,

Câu hỏi 4: Thách đố “Ai nhanh hơn”

Cho biểu thức:

,

a) Hãy chỉ ra giá trị của x để biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất

b) Hãy viết một thông báo (thể hiện các bước mà em đã thực hiện) để giải thích cách tìm x ở câu a cho một bạn học sinh trong lớp vắng mặt hôm nay

Câu hỏi 5:

Em hãy thử nêu một vài phát biểu về nghĩa mới của số trung vị?

5 Phạm Thị Tú Hạnh, 2012, Tham số định tâm trong dạy học thống kê ở lớp 10

Tình huống 2 : Tình huống số trung bình với nghĩa vật lý6

Pha 1 :

Mỗi nhóm sẽ được nhận một tấm bìa cứng và một phiếu có in hình của tấm bìa trên nền giấy

kẻ ô

Các em hãy tìm cách xác định một vị trí trên cạnh (cạnh này đã được đánh dấu bằng đường

kẻ màu đỏ) sao cho khi đặt một điểm tựa tại vị trí đó thì tấm bìa này sẽ ở trạng thái cân bằng a) Hãy đánh dấu vị trí cân bằng đó lên tấm bìa

b) Hãy trình bày rõ cách thực hiện của các em

Pha 2 :

Mỗi nhóm sẽ nhận được một phiếu có in hình một biểu đồ hình cột

Người ta đã thu thập dữ liệu thống kê và biểu diễn dữ liệu này bằng một biểu đồ tần số hình cột như trong hình vẽ in trên phiếu nhận được

Em hãy tính số trung bình của tập hợp dữ liệu thống kê

Em hãy đánh dấu trên trục hoành vị trí của số trung bình vừa tìm được

Pha 3 :

Mỗi nhóm nhận được một phiếu có in hình một biểu đồ hình cột

Người ta đã thu thập dữ liệu về cân nặng của một số học sinh (đơn vị tính là kg) và vẽ biểu

đồ để biểu diễn dữ liệu như hình vẽ in trong phiếu nhận được

Em hãy tìm cách chỉ ra cân nặng trung bình của các học sinh này và trình bày cách thực hiện của em

6 Nguyễn Thị Thanh Hoàng, 2011, Biểu đồ trong biểu diễn dự liệu thống kê