toán cao cấp và phương pháp dạy học môn toán ở tiểu học

Tập hợp các lớp tương đương phân biệt của X đối với quan hệ R được gọi là... Định nghĩa Quan hệ hai ngôi ≤ trên tập hợp X được gọi là một quan hệ thứ tự... Định nghĩa Cho tập hợp X đượ

ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA

NGUYỄN GIA ĐỊNH NGUYỄN TRỌNG CHIẾN – NGUYỄN THỊ KIM THOA

HƯỚNG DẪN ÔN THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

2

LỜI NÓI ĐẦU

Để đáp ứng yêu cầu nâng cao chất lượng đào tạo, Trung tâm Đào tạo

từ xa – Đại học Huế đã tổ chức biên soạn các tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt

nghiệp cho tất cả các ngành đào tạo của trung tâm Cuốn sách Hướng dẫn

ôn thi tốt nghiệp đại học ngành Giáo dục Tiểu học (phần Toán cao cấp và Phương pháp dạy học môn Toán ở tiểu học) là một trong số các tài liệu đó

Cuốn tài liệu được biên soạn trên cơ sở đề cương ôn thi tốt nghiệp dành cho sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học đã được Trung tâm Đào tạo từ

xa – Đại học Huế ban hành Tài liệu bao gồm hai phần:

Phần I: Toán cao cấp

Phần II: Phương pháp dạy học môn Toán ở tiểu học

Mỗi phần đều được trình bày theo hai mục: Tóm tắt lí thuyết (theo yêu cầu của đề cương ôn tập) và câu hỏi, bài tập kèm theo hướng dẫn cách giải nhằm giúp sinh viên có thể chủ động tự ôn tập theo tài liệu hướng dẫn này Mục Tóm tắt lí thuyết trình bày những kiến thức và kĩ năng cơ bản mà sinh viên cần ghi nhớ để vận dụng vào giải các bài tập Sinh viên được phép

sử dụng các kiến thức và kĩ năng cơ bản này để làm bài tập và bài thi tốt nghiệp mà không cần phải chứng minh lại Mục Bài tập trình bày các dạng toán cơ bản mà sinh viên cần biết cách giải Đây là các bài tập để sinh viên luyện tập và làm cơ sở để giảng viên tham khảo khi xây dựng đề thi

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng tài liệu này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Ban Giám đốc Trung tâm Đào tạo từ xa – Đại học Huế và các tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành của bạn đọc, đặc biệt là đội ngũ giảng viên, sinh viên của Trung tâm

để tiếp tục hoàn thiện tài liệu này

Trân trọng cảm ơn

Các tác giả

4

Phần I

TOÁN CAO CẤP

6

Cho hai tập hợp X và Y Một quan hệ hai ngôi từ X đến Y là một tập

con R của tích Descartes X × Y Ta nói phần tử x X∈ có quan hệ R với phần

tử y Y∈ nếu ( , )x y ∈ và viết là xRy Đặc biệt, nếu R R⊂ X2 thì ta nói Rlà một quan hệ hai ngôi trên X

1.1.2 Định nghĩa

Cho R là một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X Khi đó ta nói:

- R có tính phản xạ nếu ∀ ∈x X xRx, ;

- R có tính đối xứng nếu ∀x y X xRy, ∈ , ⇒yRx;

- R có tính phản đối xứng nếu ∀x y X xRy, ∈ , và yRx⇒ = ; x y

- R có tính bắc cầu, nếu ∀x y z X xRy, , ∈ , và yRz⇒xRz

3) Quan hệ “bao hàm” (⊂) trên tập hợp P ( )X gồm tất cả các tập hợp

con của X là một quan hệ hai ngôi có các tính chất: phản xạ, phản đối xứng

dụ 1.1.3 là những quan hệ tương đương

1.2.2 Định nghĩa

Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp X và a ∈ X Tập

hợp {x X xRa∈ | } được gọi là lớp tương đương của a (theo quan hệ R), kí hiệu là a hay [ ]a hay C(a)

Mỗi phần tử của một lớp tương đương gọi là một đại biểu của lớp tương đương đó

1.2.3 Mệnh đề

Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp X Khi đó mọi lớp

tương đương đều khác rỗng và hai lớp tương đương bất kì hoặc rời nhau hoặc trùng nhau

1.2.6 Định nghĩa

Cho X là một tập hợp và Rlà một quan hệ tương đương trên X Tập hợp các lớp tương đương phân biệt của X đối với quan hệ R được gọi là

(Kí hiệu A để chỉ số phần tử của A) Dễ dàng chứng minh được R

là một quan hệ tương đương trên P ( )X Các lớp tương đương theo quan hệ

R là: C0 = ∅ (tập hợp con của { } X không có phần tử nào),

P ( )X theo quan hệ R là P( ) /X R={C C C C C0, ,1 2, ,3 4}

2) Cho n là một số nguyên lớn hơn 1 và xét quan hệ hai ngôi sau trên

tập Z các số nguyên và gọi là quan hệ đồng dư môđulô n:

∀ ∈Z ≡ ⇔ − là bội số của n

Dễ dàng chứng minh được ≡(mod n) là một quan hệ tương đương

trên Z Với mỗi x∈Z, tồn tại duy nhất hai số nguyên q và r sao cho

x qn r= + với 0 r n≤ < và khi đó x r≡ (mod )n Do đó các lớp tương đương theo quan hệ này là 0={qn q| ∈ Z , } 1={qn+1|q∈ Z , , }

n− = qn n+ − q∈ Z Tập hợp thương của Z theo quan hệ đồng dư

môđulô n là {0, 1, ,… n−1} và thường kí hiệu là Zn, mỗi phần tử Zn gọi là một số nguyên môđulô n

1.3 QUAN HỆ THỨ TỰ

1.3.1 Định nghĩa

Quan hệ hai ngôi ≤ trên tập hợp X được gọi là một quan hệ thứ tự

nếu nó thỏa mãn các tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Khi đó ta

nói X là tập được sắp thứ tự bởi ≤ Nếu x≤ y, ta nói x đứng trước y Nếu x≤y

và x≠ y thì ta viết x< y Tập con Y ⊂X được gọi là được sắp thứ tự toàn phần

(hay được sắp thự tự tuyến tính) nếu với mọi ,x y Y∈ , ta có x≤ yhoặc y≤ x Trong trường hợp ngược lại ta nói Y được sắp thứ tự bộ phận

Quan hệ này có hai tính chất: phản đối xứng và bắc cầu, nhưng không

có tính chất phản xạ (ta không có 0 | 0 ) Vì vậy, quan hệ chia hết không phải

là một quan hệ thứ tự trên N Tuy nhiên, quan hệ chia hết lại là một quan hệ

thứ tự trên tập N các số tự nhiên khác không Ở đây, quan hệ chia hết sắp *thứ tự bộ phận tập N *

Khi đó, X n được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ D Quan hệ này

được gọi là quan hệ thứ tự từ điển

Phần tử nhỏ nhất của tập hợp tất cả các phần tử chặn trên của A (nếu

có) gọi là cận trên của A , kí hiệu là sup A ;

Phần tử lớn nhất của tập hợp các phần tử chặn dưới của A (nếu có)

gọi là cận dưới của A, kí hiệu là inf A

1.3.4 Chú ý

Phần tử lớn nhất hay nhỏ nhất (nếu có) của A là duy nhất

Nếu A có phần tử lớn nhất thì đó cũng là phần tử tối đại duy nhất

Tương tự, nếu A có phần tử nhỏ nhất thì đó cũng là phần tử tối tiểu duy nhất

Cận trên của A thuộc A khi và chỉ khi nó là phần tử lớn nhất của A

Tương tự, cận dưới của A thuộc A khi và chỉ khi nó là phần tử nhỏ nhất

của A

1.3.5 Định nghĩa

Cho tập hợp X được sắp thứ tự bởi quan hệ ≤ Ta nói X được sắp

thứ tự tốt bởi quan hệ này nếu mọi tập con khác rỗng của X đều có phần tử

phần tử nhỏ nhất và cũng là phần tử tối tiểu duy nhất là 1, các phần tử tối đại

là 7, 8, 9, 10, 11,12 Cận trên của A trong N * là BCNN(1,2,4,6,7,8,9,10,11,12 )

và cận dưới của A trong N * là 1

2) Xét tập được sắp thứ tự P ( )X bởi quan hệ bao hàm (" "⊂ , trong )

( )N*,| không phải là tập sắp thứ tự tốt vì tập con A={2,3,5} không có phần tử nhỏ nhất

BÀI TẬP VÀ LỜI GIẢI

1 Xác định xem quan hệ R trên tập Z các số nguyên có tính phản xạ, đối

xứng, phản đối xứng, bắc cầu không? Với xRy nếu và chỉ nếu:

2 Cho tập hợp X ={0,1, 2,3, 4,5}⊂ N Hãy liệt kê tất cả các phần tử của

quan hệ R sau trên X và xét xem quan hệ R có các tính chất nào?

3 Một quan hệ R trên tập X được gọi là quan hệ vòng quanh nếu xRy và yRz kéo theo zRx Chứng minh rằng quan hệ R là phản xạ và vòng quanh nếu và chỉ nếu R là một quan hệ tương đương

Giải

( )⇒ Ta đã có R là phản xạ ∀x y X xRy, ∈ , ⇒xRy yRy∧ ⇒yRx

(do tính vòng quanh), tức là R có tính đối xứng

x y z X xRy yRz zRx xRz

∀ ∈ ∧ ⇒ ⇒ , tức là R có tính bắc cầu Vậy R là một quan hệ tương đương

( )⇐ R là một quan hệ tương đương nên R có tính phản xạ

x y z X

∀ ∈ xRy yRz∧ ⇒xRz⇒zRx, tức là R có tính vòng quanh

4 Cho L0 là một đường thẳng cho trước trong mặt phẳng R2 Một quan hệ

R trên tập L tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng R2 được xác định như sau:

R có tính đối xứng và bắc cầu, nhưng R không có tính phản xạ Do

đó R không là một quan hệ tương đương Tuy nhiên, nếu L là tập các

đường thẳng trong mặt phẳng R2 cắt L0 thì R là một quan hệ tương đương trên L

5 Cho M là một tập hợp khác rỗng, a M∈ Trên X =P( )M , ta định nghĩa quan hệ hai ngôi như sau:

( ) { , 2|

Với mỗi A X∈ , nếu a A∉ thì (A B, )∈ ⇔ = nghĩa là lớp R A B

tương đương A={ }A và nếu a A∈ thì (A B, )∈ ⇔ ∈ nghĩa là lớp R a B

tương đương A={B X a B∈ | ∈ } Do vậy tập thương của X theo quan hệ

6 Gọi X là tập hợp các hàm thực biến số thực Chứng tỏ quan hệ R sau

là quan hệ tương đương trên X :

có tính chất bắc cầu Vậy R là quan hệ tương đương

7 Xét quan hệ hai ngôi R trên N2 như sau:

( ) ( ) 2 ( ) ( )

1, 1 , 2, 2 , 1, 1 2, 2 1 2 2 1

(m n, ) 2

∀ ∈N , lớp tương đương

(m n, ) (={ m n', ')∈N2| 'm n− = −' m n}

Tập hợp thương là N2/R={ (m n, ) (| m n, )∈N2} và chính là tập Z các số nguyên

8 Trên Z N , xét quan hệ hai ngôi sau: × *

nên z n1 3 = z n3 1=0 hay (z n R z n , nghĩa là 1, 1) ( 3, 3) R có tính bắc cầu Vậy

R là một quan hệ tương đương

11 Cho f là một đơn ánh từ tập X vào tập N các số tự nhiên Chứng

minh rằng quan hệ R được xác định bởi:

Đối với quan hệ thứ tự bao hàm " " ⊂ trên P( )X \∅, phần tử tối đại duy nhất cũng như phần tử lớn nhất là X , các phần tử tối tiểu là các tập con

b) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu của A và B

c) Tìm các phần tử cận trên đúng, cận dưới đúng của A và B

và UCLN(2,3, 4,5)= 1

14 Tập A được gọi là sắp thứ tự đầy đủ bởi quan hệ thứ tự ≤ nếu mọi tập con khác rỗng của A bị chặn trên đều có cận trên

a) Chứng minh rằng tập sắp thứ tự tốt là tập sắp thứ tự đầy đủ

b) Chứng tỏ rằng N và R sắp thứ tự đầy đủ bởi quan hệ ≤ thông

thường nhưng Q sắp thứ tự không đầy đủ bởi ≤

Giải

a) Giả sử A được sắp thứ tự tốt bởi ≤ và B là một tập con tùy ý khác rỗng của A bị chặn trên Khi đó tập C gồm các chặn trên của B là tập con khác rỗng của A Vì vậy, C có phần tử nhỏ nhất c và c chính là cận trên đúng của B Do đó A được sắp thứ tự đầy đủ bởi ≤

b) N là tập được sắp thứ tự tốt bởi quan hệ ≤ thông thường, nên theo

Câu a) N được sắp thứ tự đầy đủ bởi quan hệ này

Theo nguyên lí về cận của tập các số thực R, mọi tập con khác rỗng của R bị chặn trên thì có cận trên đúng Do đó R được sắp thứ tự đầy đủ bởi

quan hệ ≤

Xét tập B={q∈Q0< <q 2} thì B≠ ∅ và có chặn trên trong Q

Nếu B có cận trên đúng là c thì sẽ dẫn đến vô lí vì giữa c và 2 có vô số

hữu tỉ (tính chất trù mật của Q trong R)

nếu g x( )= thì 1 f x h x( ) ( )= f x( ); nghĩa là ta có fRh , do đó Rcó tính bắc cầu

Vì vậy, R là một quan hệ thứ tự trên M Nếu X chỉ có một phần tử

Chương 2

ÁNH XẠ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2.1 KHÁI NIỆM VÀ CÁC TÍNH CHẤT

Vậy một ánh xạ hoàn toàn được xác định bởi tập nguồn, tập đích và

giá trị tại mọi phần tử của tập nguồn Vì lí do đó, đẳng thức f = giữa hai g ánh xạ xảy ra khi và chỉ khi f và g có cùng tập nguồn, cùng tập đích và

( ) ( )

f a =g a với mọi a thuộc tập nguồn

Cho ánh xạ :f A→ Tập hợp B { (a f a, ( ) )a A∈ } gọi là đồ thị của ánh xạ f , kí hiệu G f

4) Cho các ánh xạ , , :f g h R→R xác định bởi f x( )= (giá trị x

tuyệt đối của x), g x( )=[ ]x (phần nguyên của x), h x( )= −x [ ]x (phần lẻ của x), trong đó phần nguyên của x là số nguyên [ ]x thỏa mãn

[ ]x ≤ ≤x [ ]x + Khi đó, 1

0 0

f R+=idR+ , g R=idR, h R=0

2.1.3 Định nghĩa

Cho :f A→ là một ánh xạ, B x A∈ , X là một tập con của A và Y

là một tập con của B Khi đó ta nói

• f x là ảnh của ( ) x bởi f

• f X( )={f a( )∈B a X∈ } là ảnh của X tạo bởi f

• f− 1( )Y ={a A f a∈ ( )∈Y} là tạo ảnh hay nghịch ảnh của Y bởi f

Đặc biệt, với b B f∈ , − 1( ) { }b ={a A f a∈ ( )=b} và viết đơn giản là

2.2.2 Định nghĩa

Ánh xạ :f A → gọi là một toàn ánh nếu với mọi B b B∈ tồn tại a A∈

sao cho b= f a( ) hay f A( )= Người ta còn gọi toàn ánh f là ánh xạ từ B A

lên B

2.2.3 Định nghĩa

Ánh xạ :f A → gọi là một song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa toán B

ánh, nghĩa là với mỗi b B∈ tồn tại duy nhất a A∈ sao cho b= f a( )

2.2.4 Thí dụ

1) Cho A là một tập hợp và B là một tập con của A Khi đó ánh xạ đồng nhất id A của A là một song ánh, phép bao hàm id A B là một đơn ánh

h A→C cho bởi h a( )=g f a( ( ) ) và được gọi là ánh xạ hợp thành (hay

ánh xạ tích) của f và g , kí hiệu g f hay gọn hơn là gf

1) Nếu f và g là các đơn ánh thì g f là đơn ánh

2) Nếu f và g là các toàn ánh thì g f là toàn ánh

3) Nếu f và g là các song ánh thì g f là song ánh

g B→ và A g được xác định duy nhất bởi f

Ánh xạ ngược của f thường được kí hiệu là f− 1

Quy tắc cộng có thể phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp như sau: Nếu A1, A2,…,A n là các tập hữu hạn đôi một rời nhau, khi đó số phần tử của hợp các tập hợp này là

A ∪A ∪ ∪… A = A + A + + A

2.4.1.2 Quy tắc nhân

Giả sử một nhiệm vụ nào đó gồm hai công đoạn Công đoạn thứ nhất

có thể thực hiện bằng n1 cách, công đoạn thứ hai có thể thực hiện bằng n2

cách sau khi công đoạn thứ nhất được thực hiện, khi đó sẽ có n n1 2 cách thực hiện nhiệm vụ này

Quy tắc nhân có thể phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp như sau: Nếu A1, A2, … ,A n là các tập hữu hạn Khi đó số phần tử của tích Descartes

1 2 n

A ×A × ×… A là

1 2 n 1 2 n

A A× × ×… A = A A A 2.4.1.3 Thí dụ

1) Một sinh viên có thể chọn bài thực hành máy tính từ một trong ba danh sách tương ứng có 23, 15 và 19 bài Vì vậy, theo quy tắc cộng có

23 15 19 57+ + = cách chọn bài thực hành

2) Người ta có thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng đường bằng một chữ cái và một số nguyên dương không vượt quá 100 Bằng cách như vậy có bao nhiêu chiếc ghế có thể ghi nhãn khác nhau?

Thủ tục ghi nhãn cho những chiếc ghế gồm hai việc, gán một trong

26 chữ cái và sau đó gán một trong 100 số nguyên dương Quy tắc nhân chỉ ra rằng có 26 100 2600× = cách khác nhau để gán nhãn cho những chiếc ghế Như vậy nhiều nhất ta có thể gán nhãn cho 2600 chiếc ghế

3) Có bao nhiêu ánh xạ từ một tập A có m phần tử vào một tập B có

n phần tử?

Giả sử A={a a1, , ,2 … a m} Mỗi ánh xạ :f A→ hoàn toàn được xác B

định bởi dãy (f a( ) ( )1 ,f a2 , ,… f a( )m ) trong đó các f a( )i (1 i m≤ ≤ ) được chọn trong số n phần tử của B Vì vậy theo quy tắc nhân, có

m

n n× × × =… n n ánh xạ xác định trên A nhận giá trị trên B

4) Có bao nhiêu đơn ánh từ một tập A có m phần tử vào một tập B

Hoán vị của một tập các đối tượng khác nhau là một cách sắp xếp có

thứ tự các đối tượng này Nếu A là một tập hợp có n phần tử thì một hoán

vị của A chính là một song ánh từ A lên A, người ta gọi đây là một hoán

vị (hay phép thế) bậc n của A Một cách tổng quát, nếu A là một tập hợp tùy ý thì mỗi song ánh từ A lên A cũng được gọi là một hoán vị (hay phép thế) của A

Số các hoán vị bậc n là n n( −1)…2.1=n!

2.4.2.2 Định nghĩa

Một cách sắp xếp có thứ tự r phần tử của một tập hợp n phần tử được gọi là một chỉnh hợp chập r của tập hợp n phần tử

Gọi A n r là số các chỉnh hợp chập r của n phần tử thì

( 1)( 2) ( 1) ( )!

!

r n

Số lộ trình có thể có giữa các thành phố bằng số hoán vị của 7 phần tử

vì thành phố đầu tiên được xác định, nhưng 7 thành phố còn lại có thể có thứ tự tùy ý Do đó có 7! 5040= cách để người bán hàng chọn hành trình của mình

tử thuộc các tổ hợp đó Do đó nếu gọi C n r là số các tổ hợp chập r từ tập hợp

n C

r n r

=

−

Số C n r chính là số tập con r phần tử của tập n phần tử và là số các xâu nhị phân độ dài n có đúng r bit 1 Số C n r còn được gọi là hệ số nhị thức Sở dĩ có tên như vậy là vì nó xuất hiện trong khai triển nhị thức:

a b C a b −

=

C C C − +

a) 2 đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm, nên số giao điểm tối

đa của 12 đường thẳng phân biệt là 2

12

12!

662!10!

C = = b) Hai đường tròn phân biệt có tối đa 2 giao điểm nên số giao điểm tối

đa của 6 đường tròn phân biệt là 2C62=2.15 30=

c) 1 đường thẳng cắt 1 đường tròn tối đa tại 2 điểm nên số giao điểm tối đa của 12 đường thẳng và 6 đường tròn trên là 66 30 12 6 2 240+ + × × =

điểm

2) Một lớp học gồm 20 nam và 11 nữ Hỏi có bao nhiêu cách thành lập một tốp ca gồm 4 nam và 3 nữ sao cho anh A và chị B (trong lớp học đó) không đồng thời có mặt

Số cách chọn 4 nam là C204 và số các chọn 3 nữ là C113, nên số cách chọn tốp ca là C204 ×C113 Số cách chọn 4 nam, trong đó có anh A là C193 và

số cách chọn 3 nữ, trong đó có chị B là C102 Vì vậy, số cách chọn tốp ca theo yêu cầu là C204 ×C113 −C193 ×C102

BÀI TẬP VÀ LỜI GIẢI

1 Tìm miền xác định của các ánh xạ cho bởi các biểu thức sau:

c) Ánh xạ được xác định khi x≥0 và sin x≥0, tức là khi

a) Đơn ánh nhưng không toàn ánh;

b) Toàn ánh nhưng không đơn ánh;

c) Vừa toàn ánh vừa đơn ánh (nhưng khác ánh xạ đồng nhất);

d) Không đơn ánh cũng không toàn ánh

3. Chứng minh các ánh xạ sau là song ánh và tìm các ánh xạ ngược của chúng:

(vì x≥0 nên không chọn e x = −y y2−1) Do đó f là một song ánh và

ánh xạ ngược của nó là f− 1: 1,[ +∞ →] [0,+∞ cho bởi ]

y∈ f X∩ f− S ⇔ ∃ ∈ ∩x X f− S y= f x ⇔ ∃ ∈x X y= f x ∧

( ) ( ) (∃ ∈x f−1 S y, = f x )⇔(y∈f X( ) )∧ ∈(y S)⇔ ∈y f X( )∩ S

7 Giả sử n là một số tự nhiên cho trước, f là một ánh xạ từ tập các

số tự nhiên N đến chính nó được xác định bởi:

neáu neáu

Nếu n>0 thì f là một đơn ánh, nhưng không là toàn ánh Thật vậy,

với k k1, 2∈ N, k1<k2; nếu k k n1< <2 thì f k( )1 = − ≠ −n k1 n k2 = f k( )2 ; nếu

1 2

n k≤ <k thì f k( )1 = + ≠ +n k1 n k2 = f k( )2 Ngoài ra, không tồn tại

k∈ N sao cho f k( )= 0

8 Cho hai ánh xạ :f A→ , :B g B→ Chứng minh rằng: C

a) Nếu g f là đơn ánh thì f là đơn ánh

b) Nếu g f là toàn ánh thì g là toàn ánh

c) Nếu g f là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh

d) Nếu g f là toàn ánh và g là đơn ánh thì f là toàn ánh

c) Vì g f là đơn ánh nên theo a) f là đơn ánh Ngoài ra theo giả thiết f là toàn ánh nên f là song ánh Do đó f có ánh xạ ngược f −1 cũng

là song ánh

B

g g id= =g f f− = g f f− nên g là đơn ánh (hợp thành của hai đơn ánh)

d) Vì g f là toàn ánh nên theo b) g là toàn ánh Ngoài ta theo giả thiết g là đơn ánh nên g là song ánh, do đó g có ánh xạ ngược g−1 cũng

{ } { }a1 ∩ a2 ≠ ∅ hay a1=a2 Vậy f là đơn ánh

10. Cho các ánh xạ :f A→ , :B g B→ , C h C: →A Khi đó ta có ba ánh xạ h g f A: → , A g f h C: → , C f h g B: → Chứng minh B

b) Tương tự câu a)

11. Cô dâu và chú rể mời 4 người bạn đứng thành một hàng để chụp ảnh cùng với mình Có bao nhiêu cách xếp hàng nếu:

a) Cô dâu đứng cạnh chú rể?

b) Cô dâu không đứng cạnh chú rể?

c) Cô dâu đứng bên trái chú rể?

6! 240 480.− =

c) Số các cách xếp hàng mà cô dâu đứng bên trái ngay cạnh chú rể là

5! Số các cách xếp hàng mà cô dâu đứng bên trái không cạnh chú rể là

480

2 Do đó số cần tìm là:

4805! 120 240 360

2

12. Một tổ bộ môn của một trường đại học có 16 giảng viên

a) Có bao nhiêu cách chọn một hội đồng gồm 5 thành viên của tổ

b) Có bao nhiêu cách chọn một hội đồng gồm 5 thành viên của tổ sao cho mỗi thành viên được phân công ở một vị trí đã định

c) Trong 16 giảng viên có 7 nữ và 9 nam Có bao nhiêu cách chọn một hội đồng gồm 5 thành viên của tổ nếu trong hội đồng có ít nhất một nữ và ít nhất một nam

4386− 21 126+ =4221

13. Với 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Ta có thể tạo được bao nhiêu số

tự nhiên thỏa mãn một và chỉ một điều kiện trong các điều kiện sau:

Vì a b c d e< < < < nên với 5 chữ số , , , ,a b c d e cho trước, ta chỉ lập

được một số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu Do đó số cần tìm là C95=126

14 a) Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài bằng 10 và có 5 số 0 liền nhau hoặc 5 số 1 liền nhau

b) Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài bằng 8 và có 3 số 0 liền nhau hoặc có 4 số 1 liền nhau

Giải

a) Gọi A là tập hợp các xâu nhị phân có độ dài bằng 10 và có 5 số 0 liền nhau và Blà tập hợp các xâu nhị phân có độ dài bằng 10 và 5 số 1 liền nhau