*GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG KĨTHUẬT NHÂN LIÊN HỢP... Vì x>0 nên biểu thức còn lại luôn dương... Nhận xét: ví dụ trên đặt ra 1 câu hỏi tại sao lại liên hợp căn thức 2x
Trang 1*GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG KĨ
THUẬT NHÂN LIÊN HỢP.
Ta đã biết: (123)(1444442444443)
B
n n n
n A
n n
b ab ba
a b a b
a − = − −1+ −2+ + −2+ −1
Khi đó: A và B gọi là 2 biểu thức liên hợp của nhau.
Ví dụ:
a+b và a-b là 2 biểu thức liên hợp của nhau vì:(a+b)(a−b) =a2−b2
3
b ab
a + + là 2 biểu thức liên hợp của nhau vì:
(3 a− 3 b) (3 a2 + 3 ab+ 3 b2)=a−b
Ta thấy các biểu thức liên hợp của thường xuất phát từ các Hằng đẳng thức
đáng nhớ, do vậy ta nên ghi nhớ các tính chất quan trọng sau:
→
−
=
−
a )( ) 2 2
(
b a
b a b a
+
−
=
− ( + + )→
−
=
3
) (a b a ab b
b
3
3 3
b ab a
b a b
a
+ +
−
=
−
( + )→ +
−
=
4
) )(
b
a ( a b)( a b)
b a b
a
+ +
−
=
−
4 4 4 4
b a b
ab a
b a b
ab a
, , 0 ,
, 0
, ,
2 2
2 2
∀
>
+
±
→
∀
>
+
−
∀
>
+ +
Ta thường áp dụng các tính chất trên vào việc đưa phương trình vô tỷ cho
trước thành phương trình tích đơn giản hơn
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(*) 3
3 4
4 2 1
2x2+x+ + x2− x− = x2+ x+
Nhận xét: ta thử liên hợp 2 biểu thức có căn
(*)⇔( 2x2+x+ 1 − x2+ 3x+ 3)+ 2x2− 4x− 4 = 0
3 3 1
2
2 2 0
4 4 2 3 3 1
2
3 3 1
2 2
2 2
2 2
2 2
=
−
− + + + + + +
−
−
⇔
=
−
− + + + + +
+
+ +
− +
+
x x x
x
x x x
x x
x x
x
x x x
x
3 3 1
2
1 2
2 2
+ + + + + +
−
−
x x x
x x
biểu thức còn lại luôn dương) Vậy phương trình có 2 nghiệm: x= 1 ± 3
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(*) 1
2 3 2 1
2x− + x2− x− = x+
Đk: x≥ 1 / 2
Trang 2Như ví dụ 1, ta thử liên hợp 2 biểu thức có chứa căn:
( 2 1 1) 2 3 2 0
(*) ⇔ x− − x+ + x2 − x− =
1 1
2
1 2
0 ) 1 2 )(
2 ( 1 1
2
2
=
+ + + +
−
−
⇔
= +
− + + +
−
−
x x
x x
x x
x
x
Suy ra: x=2 (Vì x>0 nên biểu thức còn lại luôn dương).
Ví dụ 3: Giải phương trình:
( 3x+ 1 − x+ 2) ( 3x2+ 7x+ 2 + 4)= 4x− 2
Đk: x≥ − 1 / 3, PT đã cho tương đương với:
=
=
=
⇔
=
− +
− +
−
⇔
= +
− +
− + + +
−
⇔
=
− + + +
+ + +
−
⇔
−
= + + + +
+
+
−
2
1
2
/
1
0 2 2 2
1 3
)
1
2
(
0 2 2 1 3 2 4 ) 4 )(
1 3 (
)
1
2
(
0 2 2 1
3
4 ) 4 )(
1 3 ( )
1
2
(
) 1 2 ( 2 4 2 7 3 2 1
3
1
x
x
x
x x
x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x
x
So điều kiện, kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm
Ví dụ 4: Giải phương trình:
4 2 1 18
16
2x2+ x+ + x2− = x+
Đk:
≥
−
≥ + +
0 1
0 18 16
2
2
2
x
x x
, phương trình đã cho tương đương với:
+ + +
+
=
−
=
⇔
=
− + + +
+
−
−
⇔
+ +
− +
=
−
) 2 ( 18 16 2 4 2 1 2
1
0 1 18 16 2 4 2
1 2
1
) 1 ( 18
16 2 4 2 1
2 2
2
2
2 2
2 2
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x
Cộng (1) và (2) theo vế ta được phương trình:
7
32 57 3 0
73 64 7
2 8
4
1
= + +
−
≥
⇔ +
=
x x
x x
x
So điều kiện, kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm:
=
7
32 57 3
; 1
; 1
S
Ví dụ 5: Giải bất phương trình:
3 2 5 3
x
Trang 3Đk: x≥2 BPT đã cho tương đương với:
2
3 0
5 3 2
1 1
) 3 2 ( 3 2 5 3 2
2
3
≥
⇔
≥
− +
− +
−
⇔
−
≤
− +
−
−
x x
x x
x x
x
Kết hợp với điều kiện đã cho ta có nghiệm của BPT là: S= [ 2 ; +∞ )
Ví dụ 6: Giải phương trình:
1 4
3x4− x3 = − +x2 3
VP là một hằng đẳng thức quen thuộc:
3
4
1 2
1 1
4
3x − x = − +x +x + +x
1 1
1 2
) 4
3
(
2
2 2 2 2
2
+ +
+ + +
−
=
−
⇔
x
x x x x x
x
0 1
1
1 2
4
3
2
2 2
2
+ +
+ + + +
−
⇔
x
x x
x x
x
Nhận thấy:
1 1 6
2 5 1 1
3
2 3 1
1
1 2
4
3
2
2 2 2 2
2
2 2
+ +
+ +
− + +
−
= +
+
+ + +
+
−
x
x x
x x
x x
x
x
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất: x=0
Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1 2 3 2
2 3 4 3 2
)
2
3 2
2 2
1 1
)
3
)
2
1 1 2
1
)
x
x x
( 5 2) (1 7 10) 3
)
Những ví dụ trên áp dụng cho các phương trình đơn giản mà người làm dễ phát hiện, đó cũng là bước đầu tiên trong phương pháp này, tức là ta nên liên hợp 2 biểu thức chứa căn nếu xuất hiện nhân tử chung thì bài toán được giải quyết, ngược lại nếu không xuất hiện nhân tử chung thì ta có thể tiếp tục 1 trong 2 hướng sau:
***Phương pháp hệ số bất định:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(*) 0 2 7 2 5 3
2x+ + x+ + x2+ x+ =
Đk: x≥−3/2
Rõ ràng khi liên hợp 2 biểu thức chứa căn ta không thấy xuất hiện nhân tử chung Ta sẽ giải phương trình (*) như sau:
( 2x+ 3 − 1) (+ x+ 5 − 2)+ 2x2 + 7x+ 5 = 0
Trang 4( ) 2 5 0 1
2 5
1 1
3 2
2 1
0 ) 5 2 )(
1 ( 2 5
1 1
3 2
2 2
−
=
⇒
=
+ + + +
+ + + +
⇔
= + +
+ + +
+ + + +
+
⇔
x x
x x
x
x x
x
x x
x
(vì x≥ − 3 / 2nên 2x+5>0) Vậy phương trình có 1 nghiệm: x= -1.
Nhận xét: ví dụ trên đặt ra 1 câu hỏi tại sao lại liên hợp căn thức 2x+ 3và 1? Tại sao lại liên hợp căn thức x+ 5và 2?
Quy tắc: nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ thì khi dùng lượng liên hợp
trước hết ta sẽ nhẩm nghiệm hữu tỷ đó (dùng máy tính), giả sử là a, sau đó lần lượt thế giá trị a vào các căn thức, giá trị nhận được chính là lượng liêp hợp với các căn thức đó Phương pháp này gọi là Hệ số bất định.
Ta thử giải lại ví dụ trên: 2x+ 3 + x+ 5 + 2x2+ 7x+ 2 = 0 (*)
-Bước 1: nhẩm được nghiệm: x= -1
-Bước 2: thay x=-1 vào căn thức 2x+ 3ta được giá trị bằng 1, nên 2x+ 3
và 1 là 2 biểu thức liên hợp của nhau, tương tự thay x=-1 vào căn thức
5
+
x ta được giá trị bằng 2, vậy x+ 5 và 2 là hai biểu thức liên hợp của nhau Do đó ta mới có bước: ( 2x+ 3 − 1) (+ x+ 5 − 2)+ 2x2 + 7x+ 5 = 0 rồi giải tương tự như trên Thử xét ví dụ 2:
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(*) 0
35 4
Đk: x≤ 4
Nhẩm được nghiệm: x= -5, lưu ý dấu "-" trước căn thức thứ 2.
Vẫn làm như vd trên:
0 6
3 4
1 4
3 2 ) 3 (
1 )
5
(
0 ) 6 )(
5 ( 3 4
5 4
3 2 )
3
(
5
0 ) 6 )(
5 ( 3 4
9 4
4 3 2 )
3
(
8 3
0 30 3
4 2 3
(*)
3
3
3
2 3
=
− + +
−
+ +
− +
− +
⇔
=
− + + +
−
+ + +
− +
−
+
⇔
=
− + + +
−
−
−
− +
− +
−
+
−
⇔
= + +
−
−
−
− +
−
⇔
x x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x x
x
x x
x
x
x x x
x
Vì x≤ 4 < 6nên 6-x>0 Vậy phương trình có 1 nghiệm x=-5.
Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
5 1 10 3 3 25
)
3
1
)
0 2 3 6
1 )
3 x2 x− + 3 x+ +x3− x2− =
Trang 5***Phương pháp gọi số hạng vắng:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(*) 1
3 4 3
2 1
2x2−x− + x2 − x− +x2− x− = x−
Đk: x≥3
Phương trình này có nghiệm nhưng là nghiệm vô tỷ, không nhẩm được, do
đó phương pháp hệ số bất định không khả thi, ta sẽ làm như sau:
1 3
2
1 )
1 ( 1 2
1 2
3
0 2 3 1
3 2
) 1 ( 3 2 )
1 ( 1 2
) 1 ( 1
2
0 2 3 1
3 2 )
1 ( 1 2
(*)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
=
−
−
⇒
=
+
− +
−
−
+ + +
−
−
−
−
⇔
=
−
− +
− +
−
−
−
−
−
− + + +
−
−
+
−
−
−
⇔
=
−
− +
−
−
−
− + +
−
−
−
⇔
x x x
x x x
x x x
x
x x x x
x
x x
x x
x
x
x x
x
x x x x
x x
x x
Giải phương trình này, so điều kiện, kết luận phương trình có 1 nghiệm:
2
17
3 +
=
x
Nhận xét: bài toán này vẫn giải bằng phép nhân biểu thức liên hợp nhưng
biểu thức liên hợp không là hằng số mà là biểu thức chứa x Những biểu thức như vậy được gọi là "số hạng vắng".
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(*) ) 1 ( 3 1 1
2 1 2
5x2+ x+ + x2+ + x− = x+
Đk: x≥1
2 0
1 1
1 )
1 ( 1 2 ) 1 2 ( 1 2 5
)
2
(
0 1 1
2 )
1 ( 1 2
) 1 ( 1 2 ) 1 2 ( 1 2
5
) 1 2 ( 1 2
5
0 1 1 )
1 ( 1 2 ) 1 2 ( 1 2 5
(*)
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
=
⇔
=
+
−
+ + + +
+ + + + +
−
⇔
= +
−
− + + + +
+
− + + + + + +
+
− +
+
⇔
=
−
− + +
− + +
+
− + +
⇔
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x=2.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
9
2
+
= +
x
Đk: x≥ − 9 ;x≠ 0
18
9 3
) 9 (
9
2
−
=
⇔
= +
⇔ +
= + +
⇔ +
=
+ +
+
−
x
x
x
So điều kiện, ta kết luận phương trình đã cho có 1 nghiệm: x= -9
Như vậy: khi gặp một phương trình vô tỷ, ta có thể giải bằng phép nhân liên
Trang 6hợp, trước hết ta thử nhẩm nghiệm của phương trình, nếu được nghiệm hữu
tỷ ta áp dụng phương pháp hệ số bất định, nếu phương trình có nghiệm vô tỷ thì ta nên thử liên hợp các biểu thức chứa căn với nhau trước, nếu vẫn không được thì chuyển qua phương pháp gọi số hạng vắng hoặc giải bằng phương pháp khác.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình:
2 − x− x− x−x2 ≤x−
Đk: 0 ≤x≤ 1 / 5
2 2 3 2
2 3 0 1
6
0 ) 1 ( 2
1 5
1
2 1
6
) 1 ( 2
1 2 4
5
1
1 6
2
) 1 ( 2 5
1
2
(*)
2
2 2
2 2
2
2
+
≤
≤
−
⇔
≤ +
−
⇒
≤
− +
+
− +
− +
−
⇔
− +
− +
−
≤
− +
−
+
−
⇔
−
−
≤
−
−
−
⇔
x x
x
x x
x x x x
x
x x
x x x x x x
x x
x x
x x x
Kết hợp với điều kiện ban đầu, suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm:
2 2 3
0 ≤x≤ −
Ví dụ 5: Giải phương trình:
0 27 4
1 2 9
( )
5 0
5 2 5 2 2 1 2
5 2 9
4 9 4
1
1 2 5 2
2
0 25 4
2 1 2 1 9 4 1 2
3
2 3
=
⇒
= +
− + +
−
− +
− +
−
+
−
−
⇔
=
− +
−
− +
−
−
−
⇔
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
PT
Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1) x+ 9 + 2x+ 1 + x+ 4 + 3x+ 1 +x= 7
2)3 x+ 6 + x+ 9 + 2x2 + 30x+ 97 = 0
3)2( 2x2+x+ 1 − x+ 2 −x− 1)+ x2+ 3x+ 8 = 0
4 9
1 2
2
2
=
− + + + +
+
+ +
+
x x x
x
x x
5) x2 +x+ 19 + 7x2 + 22x+ 28 + 13x2 + 43x+ 37 = 3 3 (x+ 3 )
1
2 1
3
2
+
− + + +
x
x x x
x
7) x2+x+ 2 + 2x2+ 3 >x(2 −x) ( 3x+ 1 + 4x+ 1)
8)(3x+ x− 1) (1 + 3x− 1 − 4x2−x)≥ 3x+ 4x2− 3x
HẾT.