hệ động lực ngẫu nhiên ẩn rời rạc và áp dụng

Trong trường hợp này, chúng ta đang tiếp cận với cái gọi là phươngtrình sai phân ẩn, ở đó có thể xẩy ra một số thành phần của số hạng có chỉ số cao nhất không giải được hoàn toàn theo cá

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TS Nguyễn Hữu Dư và TS Nguyễn Hồng Hải

Các số liệu, kết quả nêu trong Luận án là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Vũ Tiến Việt

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới GS-TS Nguyễn Hữu Dư và NCVCC-TS Nguyễn Hồng Hải Các thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi vượt qua nhiều khó khăn trong học tập, nghiên cứu khoa học cũng như trong cuộc sống

Tôi xin trân trọng cảm ơn toàn thể các Thầy, Cô và cán bộ trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia

Hà Nội Những người đã dạy dỗ, giúp đỡ tôi trong suốt nhiều năm qua, từ khi tôi là một học sinh A0, đến khi là sinh viên đại học, sau là một học viên cao học rồi là một nghiên cứu sinh

Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên giúp đỡ tôi trong cuộc sống để tôi có thể hoàn thành luận án này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn riêng GS-TSKH Nguyễn Duy Tiến và GS-TS Nguyễn Quý Hỷ đã động viên và tạo những điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này

Tác giả

1.1.1 Chỉ số của ma trận và của chùm hai ma trận 11

1.1.2 Khai triển Jordan và khai triển Kronecker 12

1.1.3 Một vài tính chất của bộ ba các ma trận 13

1.1.4 Nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose của một ma trận 16

1.2 Số mũ Lyapunov và Định lý ergodic nhân tính (MET) 18

1.2.1 Số mũ Lyapunov 18

1.2.2 Định lý ergodic nhân tính (MET) 19

Chu.o.ng 2 Đồng chu trình suy biến với chỉ số 1 và số mũ

2.1 Giới thiệu 22

2.2 Tính giải được của phương trình sai phân ẩn chỉ số 1 23

2.2.1 Phương trình sai phân ẩn thuần nhất với hệ số hằng 23

2.2.2 Phương trình sai phân không Autonom có chỉ số 1 24

2.2.3 Phép chiếu chuẩn tắc 28

2.2.4 Toán tử Cauchy 29

2.3 Phương trình sai phân ẩn với hệ số ngẫu nhiên 30

2.3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình (2.3.1) với n ≥ 0 30

2.3.2 Nghiệm của phương trình sai phân ẩn lùi 33

2.4 Tính chất động lực 35

2.5 Số mũ Lyapunov và Định lý ergodic nhân tính 38

2.6 Kết luận 49

Chu.o.ng 3 Phương trình sai phân ẩn chỉ số 2 50 3.1 Giới thiệu 50

3.2 Phương trình sai phân ẩn với chỉ số 2 mềm 51

3.3 Tính giải được của phương trình sai phân ngẫu nhiên ẩn tuyến tính chỉ số 2 56

3.4 Định lý ergodic nhân tính đối với phương trình sai phân ngẫu nhiên ẩn tuyến tính chỉ số 2 67

3.4.1 Nghiệm của bài toán Cauchy với phương trình tiến 68 3.4.2 Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình lùi 69 3.4.3 Tính chất đồng chu trình của nghiệm 71

3.4.4 Định lý ergodic nhân tính 74

3.5 Các ví dụ minh hoạ 77

3.6 Kết luận 81

Kết luận và các hướng nghiên cứu tiếp theo 91 Các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 93

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN

ind(A, B) : chỉ số của cặp ma trận (A, B)

Jf: không gian các điều kiện ban đầu cho bài toán với n > 0

Jb: không gian các điều kiện ban đầu cho bài toán với n < 0

M † : Nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose của ma trận M

N n : nhân của toán tử tuyến tính A n

N 1,n : nhân của toán tử tuyến tính ker G n

N : tập hợp số tự nhiên

N0 = N ∪ {0} : tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 0

Nk : tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng k

λ[x]: số mũ Lyapunov của nghiệm xuất phát từ X(t, x)

0 : véctơ không trong không gian tương ứng đang xét.L

i.i.d: Độc lập, cùng phân phối

PTSPÂTT: Phương trình sai phân ẩn tuyến tínhSVD: Khai triển theo giá trị kì dị

Mở đầu

Phương trình sai phân là công cụ mạnh để mô tả sự phát triển của

hệ đang nghiên cứu được quan sát trên những khoảng thời gian cách đều

nhau và giá trị tại thời điểm thứ n được biểu diễn truy hồi qua các giá trị trong quá khứ trước n Vì thế, lý thuyết phương trình sai phân là đối

tượng được nhiều nhà nghiên cứu và ứng dụng quan tâm vì nó xuất hiện ởnhiều lĩnh vực khác nhau trong toán học cũng như trong ứng dụng thực tế

và các khoa học khác, chẳng hạn trong giải tích số, lý thuyết điều khiển,

lý thuyết trò chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp, khoahọc máy tính, lý thuyết mạch, lý thuyết lượng tử, di truyền học, kinh tếhọc, tâm lý học và xã hội học Thí dụ, xét quá trình phát triển của quần

thể có cấu trúc tuổi trong một hệ sinh thái nào đó Nếu gọi x n+1 là véctơ

cấu trúc của quần thể tại thời điểm năm n + 1 (tức số lượng cá thể ở từng lứa tuổi của quần thể tại năm n + 1) thì x n+1 là một hàm của véctơ cấu

trúc quần thể x n tại thời điểm năm trước đó Sự liên hệ này được mô tả

bởi hệ thức x n+1 = f (x n , n), n ∈ N0 Trong trường hợp mối liên hệ này làtuyến tính thì phương trình có dạng

trong đó d là tuổi cao nhất đạt được của quần thể; f i là tỷ lệ sinh cá thể mới

của một cá thể có tuổi i; s i là tỷ lệ sống sót của tuổi i với i = 1, 2, , d − 1

(xem [33])

Phương trình sai phân cũng được gặp khi áp dụng phương pháp saiphân hữu hạn, phương pháp Euler hiện để tìm nghiệm xấp xỉ bằng số củaphương trình đạo hàm riêng hoặc phương trình vi phân khi ta không thểtìm được nghiệm giải tích của hệ

trong đó f là một hàm nào đó Nghiệm của phương trình sai phân (0.0.3)

có thể tính dễ dàng nhờ phương pháp truy hồi, tức tính lần lượt với n =

1, 2, 3,

Các kết quả về phương trình sai phân liên quan đến các bài toán giảinghiệm, tính ổn định, điều khiển được, điều khiển tối ưu, số mũ Lia-punov cùng các ứng dụng là rất phong phú và được trình bày rất nhiềutrong các sách cũng như tạp chí (xem các tài liệu [6, 7, 26, 36, 27, 28, ]).Đối với phương trình (0.0.2), nếu ta có thể giải số hạng có chỉ số cao

nhất x n+1 như là một hàm của các biến còn lại (ít nhất là về mặt địaphương) thì phương trình (0.0.2) có thể chuyển về phương trình (0.0.3) và

ta dễ dàng giải được nghiệm của nó Trong trường hợp 1 chiều (tức x n lấy

giá trị vô hướng) thì theo định lý hàm ẩn, điều kiện đủ để giải được như vậy

n = 0, −1, −2, , và ta cũng không thể giải số hạng có chỉ số thấp theo

số hạng cao hơn nếu A n là các ma trận suy biến

Trong trường hợp này, chúng ta đang tiếp cận với cái gọi là phươngtrình sai phân ẩn, ở đó có thể xẩy ra một số thành phần của số hạng có chỉ

số cao nhất không giải được hoàn toàn theo các thành phần còn lại Vì thế

ta không thể ngay lập tức dùng phương pháp truy hồi để giải nghiệm cũngnhư xét các tính chất của nghiệm Như vậy, để nghiên cứu phương trình(0.0.2), ta cần tiếp cận theo phương pháp mới Phương trình sai phân ẩn

cũng còn được gọi với nhiều tên khác nhau như là phương trình sai phân

kỳ dị (xem [8, 31]) hoặc hệ mô tả (descriptor) (xem [39]) Phương trình

sai phân ẩn thường xuất hiện trong lý thuyết xác suất, các bài toán sắphàng, trong nghiên cứu mạch điện, trong các bài toán thống kê, trong kinh

tế, xã hội (chẳng hạn như mô hình kinh tế Leontief, mô hình phát triểndân số Leslie), bài toán điều khiển tối ưu hệ suy biến rời rạc, v.v (xem[20, 21, 23])

Nghiên cứu phương trình sai phân ẩn thực chất là nghiên cứu bài toánđặt không chỉnh (ill-posed problems) Vì thế để nghiên cứu được các tínhchất định tính và định lượng của hệ đòi hỏi chúng ta có các cách tiếp cậnđặc biệt và đưa vào các giả thiết lên các hệ số của phương trình

Dạng đơn giản nhất của phương trình sai phân ẩn là phương trình saiphân ẩn tuyến tính (PTSPÂTT)

A n x n+1 = B n x n + q n , n ∈ N, (0.0.4)

trong đó A n và B n là các hàm ma trận cấp d × d với giả thiết A n suy biến.Phương trình sai phân ẩn (0.0.4) có thể xem là sự tuyến tính hóa của hệ(0.0.2) Nó cũng có thể xem là là kết quả thu được khi ta sai phân hóaphương trình sai phân đại số tuyến tính

A(t) ˙x(t) = B(t)x(t) + q(t) t ∈ [0, T ],

là đối tượng được quan tâm nghiên cứu rất nhiều trong những năm gầnđây (xem [20, 21, 38, ])

Trường hợp các ma trận hệ số A n và B n là các ma trận hằng, phươngtrình autonom (0.0.4) sẽ trở thành

Ax n+1 = Bx n + q n ,

trong đó A ∈ C d×d suy biến, đã được nghiên cứu tương đối đầy đủ vàđược tổng kết trong [20, 21, 23] Theo [20, 21], bài toán giá trị ban đầu cho

phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (tức là q n = 0) có nghiệm duy

nhất khi và chỉ khi cặp ma trận A, B chính quy, tức đa thức det(λA + B)

không đồng nhất bằng 0 Với giả thiết này ta có thể sử dụng khai triểnKronecker để dễ dàng tách được một số thành phần của nghiệm ra để xâydựng được một phương trình sai phân tuyến tính thông thường; các thànhphần còn lại liên hệ với nhau bằng một biểu thức đại số Nhờ mối ràngbuộc đại số này, chúng ta có thể giải các biến còn lại theo các biến cóliên hệ với phần sai phân thường Tiếp đến sử dụng phương trình sai phânthường ta giải được các biến còn lại

Tuy nhiên dễ thấy là phương pháp này không thể thực hiện được nếu

A n hoặc B n biến thiên theo thời gian vì khi đó nếu sử dụng khai triểnKronecker, nhân của các ma trận bị biến thiên theo thời gian và vì vậy cácthành phần sai phân thường cũng sẽ thay đổi nên không thể tiếp tục lậpluận được như trên Để khắc phục điều đó, Bondarenko và các cộng sự,trong [16, 17, 18], đã xét một lớp đặc biệt của phương trình sai phân ẩn

có dạng

T n x n+1 + x n = f n ,

trong đó T n là ma trận suy biến và đã thiết lập tính giải được của PTSPÂTT

và bài toán giá trị biên tuần hoàn cho một lớp đặc biệt PTSPÂTT

Đối với trường hợp hệ không autonom tổng quát, nhóm nghiên cứu củachúng tôi tìm cách tiếp cận khái niệm chỉ số của phương trình sai phân

ẩn (một khái niệm đã được đưa ra trong phương trình vi phân đại số bởiM¨arz [29]) Khái niệm chỉ số ở đây thể hiện độ suy biến của ma trận hệ

số của phương trình Nói một cách hình tượng, nó là “khoảng cách” giữa

phương trình sai phân ẩn và phương trình sai phân thường Nhờ khái niệmchỉ số ta có thể tách phương trình sai phân ẩn thành một hệ gồm mộtphương trình sai phân thường và một ràng buộc đại số Cách tiếp cận mớinày đã thu được một số kết quả tốt cho phương trình sai phân ẩn tuyếntính không dừng Cách tiếp cận này cũng được giới kĩ thuật quan tâm

khi CSA’s Internet Database Service đưa công trình [34] vào CSA Civil

Engineering Abstracts.

Khái niệm về chỉ số 1 của PTSPÂTT với hệ số biến thiên theo thời gian(0.0.4) được đưa vào lần đầu bởi GS Phạm Kỳ Anh và được TS Lê CôngLợi trình bày trong luận văn Thạc sỹ của mình Trong luận văn này, tácgiả [TS Lê Công Lợi] đã đưa ra giả thiết khá nặng là các không gian hạch

ker A n của toán tử A n là bất biến theo n Sau đó, trường hợp ker A n biến

thiên theo n được nghiên cứu lần đầu tiên trong bằng cách sử dụng khai

triển kỳ dị của các ma trận [12, 34] Tính giải được của hệ cũng như bàitoán biên nhiều điểm đã được nghiên cứu trong [7, 9, 10, 8, 11, 4, 34].Muộn hơn, khái niệm về chỉ số cũng được mở rộng cho phương trình

sai phân ẩn phi tuyến dạng f n (x n+1 , x n) = 0 (xem, chẳng hạn, trong [11]).Hơn nữa, khái niệm về nửa chỉ số và chỉ số lạ cũng được nêu trong cáccông trình [13, 2, 4, 34] để nghiên cứu tính giải được của hệ

Các phương pháp trình bày ở các công trình trên dựa chủ yếu vào khai

triển kỳ dị của các ma trận A n Đây là phương pháp dễ hiểu nhưng hơicồng kềnh trong cách trình bày và khó áp dụng cho chỉ số cao hơn Mộttrong những mục tiêu của luận án này là trình bày lại khái niệm chỉ số 1một cách có hệ thống trong bài báo [I] nhờ nghiên cứu các phép chiếu lên

các không gian hạch và phép đẳng cấu tuyến tính giữa các ker A n Cáchtrình bày như vậy cho phép chúng ta có cách nhìn tổng quát hơn tiến trìnhphát triển của nghiệm và cho phép chúng ta có thể định nghĩa chỉ số caohơn cho hệ phương trình sai phân ẩn cũng như nghiên cứu tính giải đượccủa nó

Ngoài bài toán về tính giải được theo điều kiện ban đầu của phươngtrình có chỉ số 1, nhiều bài toán khác đối với phương trình sai phân ẩn vớichỉ số 1 cũng được quan tâm Ta có thể kể ra ở đây lý thuyết Floquet, lúcđầu được thiết lập cho phương trình vi phân tuyến tính (xem [22, 25]), sau

đó được xây dựng cho phương trình sai phân tuyến tính (xem [6, 41]), vàphương trình vi phân đại số (xem [32]), được mở rộng cho phương trìnhsai phân tuyến tính ẩn (trong [11, 12]) Từ đó khảo sát được tính ổn địnhnghiệm của phương trình sai phân ẩn chỉ số 1 tuyến tính, tựa tuyến tínhcũng như phi tuyến, đặc biệt là cho lớp các phương trình tuần hoàn Cùngvới việc nghiên cứu lý thuyết Floquet, trong [7], các tác giả đã nghiên cứumối quan hệ giữa phương trình vi phân đại số và phương trình sai phânđại số có chỉ số 1 Các bài toán điều khiển cho hệ có các hệ số hằng đãđược Campbell ([20, 21]), và Dai ([23]) xem xét

Bài toán về tính ổn định của pương trình sai phân ẩn cũng được quan

tâm Trong [8], các tác giả đã đưa ra các khái niệm ổn định, P − ổn định

và sử dụng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định củanghiệm tầm thường của phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn có chỉ

số 1 Tuy nhiên đáng tiếc là lý thuyết số mũ Lyapunov, một trong nhữngcông cụ mạnh để nghiên cứu tính ổn định của các hệ tuyến tính, lại chưađược đề cập đến trong lý thuyết phương trình sai phân ẩn

Công thức tính bán kính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phântuyến tính ẩn chỉ số 1 với hệ số hằng có nhiễu cũng đã được đưa ra trong

[24] Đối với hệ không autonom, công thức tính bán kính ổn định trong l p

đã được thiết lập trong [30]

Tuy nhiên cho đến nay hầu hết các công trình nghiên cứu sai phân ẩnchỉ xét các hệ số là những hàm tất định Điều này rõ ràng không phải lúcnào cũng phù hợp với việc mô tả các bài toán thực tế vì sự hoạt động của

hệ thông thường chịu nhiều tác động của các yếu tố ngẫu nhiên Vì thếtrong khi sử dụng phương trình sai phân để mô tả hệ thì các yếu tố ngẫunhiên này phải được chú ý đến

Mục đích của luận án này là nghiên cứu một lớp phương trình sai phân

ẩn tuyến tính thuần nhất chịu nhiễu ngẫu nhiên khi các ma trận A n và B n

trong phương trình (0.0.4) là các quá trình dừng Các nhiễu ngẫu nhiêntác động vào hệ dưới dạng nhiễu ồn thực (real noise), tức là các nhiễu

là một quá trình dừng Khái niệm "ồn thực" được đưa ra đầu tiên bởi

V I Oseledets vào năm 1968 trong bài báo rất nổi tiếng [36] Sau đó đãđược nhóm nghiên cứu của GS Arnold về Hệ động lực ngẫu nhiên (RandomDynamical Systems) ở Bremen (Đức) đã đề cập nhiều (xem [14]) Các côngtrình của nhóm nghiên cứu của nhóm GS Arnold đề cập nhiều đến số mũ

Lyapunov và phân hoạch Oseledets của hệ (0.0.4) khi A n là ma trận đồngnhất Tuy nhiên, trong các kết quả này, các tác giả đều phải giả thiết là

các ma trận B n không suy biến với xác suất 1 Đây là một giả thiết khánặng đặt lên các hệ số, nhất là khi chúng ta muốn xét bài toán tổng quát

với A n không nhất thiết là ma trận đồng nhất

Vào năm 1983, H Furstenberg and Y Kifer trong bài báo [28] đã đặt

thêm giả thiết B n là dãy độc lập, cùng phân phối khi A n là các ma trậnđồng nhất Với giả thiết này, các tác giả đã chứng minh được là, thay cholọc ngẫu nhiên (tức các không gian con ngẫu nhiên), chúng ta có thể sửdụng các không gian không ngẫu nhiên để tạo thành một lọc (sau này ta

hay gọi là lọc Furstenberg - Kifer) Tuy vậy tác giả vẫn phải giữ giả thiết

B n không suy biến với xác suất 1

Trong luận án này, chúng tôi muốn nghiên cứu số mũ Lyapunov của hệ

(0.0.4) với giả thiết là các ma trận A n và B n không nhất thiết khả nghịch

và cũng mong muốn nhận được các kết quả tương tự Việc giải phóng giảthiết về tính khả nghịch của các hệ số đòi hỏi chúng ta phải có cách tiếpcận mới Khái niệm chỉ số sẽ là công cụ tốt để giúp cho chúng ta giải quyết

bài toán này Khó khăn chính ở đây là ngay cả khi ta giả thiết (A n , B n)

là các dãy độc lập thì các phương trình dẫn xuất nhận được khi tách cácthành phần sai phân thường của hệ có thể không có các hệ số độc lập Hơnnữa, khi định nghĩa chỉ số cao thường phải dựa vào việc lựa chọn các phépchiếu phù hợp, nên cần chứng minh tính đúng đắn của định nghĩa là nókhông phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu

Với mục đích như vậy, các vấn đề chính được giải quyết ở trong bảnluận án này là:

1 Đưa các khái niệm về chỉ số 1 và chỉ số 2 Về mặt ý tưởng, chỉ số 2

được xem là chỉ số 1 của chỉ số 1 Sau đó, nghiên cứu bài toán giải

được của hệ (0.0.4) bằng cách chỉ ra sự tồn tại nghiệm; đồng thời đưa

ra các công thức biểu diễn nghiệm trong trường hợp các chỉ số 1 và

2 Đồng thời đưa các điều kiện để cho nghiệm của hệ lập thành mộtđồng chu trình (cocycle) và chứng minh tính chất động lực của chúng

2 Nghiên cứu các số mũ Lyaponov của hệ, đưa ra các phân hoạch kiểuFurstenberg - Kifer và chứng minh Định lý ergodic nhân tính (MET)cho trường hợp hệ (0.0.4) có chỉ số 1 và 2

Ngoài các phần bắt buộc gồm Danh mục các ký hiệu, Mở đầu, Kếtluận, Danh mục các công trình liên quan và Tài liệu tham khảo, luận ánđược chia thành 3 chương với cấu trúc như sau:

Chương 1 dành cho kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôiđiểm lại một số kiến thức cần thiết như khái niệm chỉ số của ma trận; chỉ

số của cặp ma trận, khai triển Kronecker; đưa ra một số nghiên cứu về mốiliên hệ của bộ ba các ma trận Chúng tôi cũng phát biểu định lý ergodicnhân tính cho hệ phương trình sai phân thường ngẫu nhiên

Chương 2 xét tính giải được của bài toán sai phân ẩn với giá trị ban

khi phương trình sai phân ẩn chịu nhiễu ồn thực (tức các ma trận A n và

B n là các quá trình dừng) Phỏng theo phương pháp đã được áp dụngtrong các phương trình sai phân ẩn tất định, chúng tôi đưa ra khái niệmchỉ số 1 của hệ Từ khái niệm chỉ số 1 này, chúng tôi đưa ra công thức giảinghiệm của hệ nhờ việc tách hệ sai phân ẩn thành một phương trình saiphân thường và một biểu thức đại số Việc tách này được xét riêng rẽ cho

trường hợp phương trình sai phân tiến (khi n > 0) và phương trình sai phân lùi (khi n < 0) Tiếp đến, tính chất động lực học của toán tử Cauchy

của nghiệm cũng được chỉ ra nhờ việc kết nối phương trình sai phân tiến vàphương trình sai phân lùi Việc kết nối này thực hiện được nhờ chứng minhrằng các phép chiếu giao hoán được với nhau (xem phương trình (2.4.1)).Phần cuối cùng của chương này là đưa ra phân hoạch kiểu Furstenberg -Kifer của số mũ Lyapunov của các nghiệm của hệ Đây có thể xem là sự

mở rộng thực sự của các công trình trong [14, 26] nói riêng và phương trìnhsai phân ngẫu nhiên nói chung

Chương 3 dành cho việc nghiên cứu phương trình sai phân ẩn tuyến

tính có chỉ số 2 mềm Theo ý tưởng chung, chỉ số 2 là chỉ số 1 của chỉ số

1 Vì vậy, khó khăn cơ bản khi nghiên cứu phương trình sai phân ẩn có chỉ

số 2 là ta phải chứng minh bước thứ 2 không phụ thuộc vào việc chọn cácphép biến đổi của bước thứ nhất Hơn nữa các phép chiếu cũng như các

biểu thức nghiệm của trường hợp chỉ số 2 hết sức phức tạp và đòi hỏi phải

có các phương pháp đặc biệt cũng như nhiều phép biến đổi để đạt được kếtquả Trong chương này, chúng ta đưa ra điều kiện giải được của bài toánCauchy và đưa ra công thức hiển cho nghiệm của nó Mục 3.3 chứng minhtính đồng chu trình của nghiệm trên các hệ động lực ngẫu nhiên Chứngminh định lý ergodic nhân tính đối với phương trình sai phân (0.0.5) được

đề cập đến ở Mục 3.4 Ở đây, chúng ta cũng chỉ ra rằng không gian Rd cóthể được chia thành tổng trực tiếp của các không gian con Rd = Lτ i=0 W i,

trong đó W0,LW i là các không gian con đo được và bất biến đối với phép

biến đổi bảo toàn độ đo θ Hơn nữa, với mọi i = 1, 2, , τ và với mọi

x ∈ W i \ {0}, ta có nghiệm X n (ω, x) của bài toán (0.0.5) có cùng số mũ

Lyapunov

Luận án này được viết dựa trên các bài báo [I] và [II], cùng một vài kếtquả áp dụng từ những bài báo đó

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Cho M là ma trận cấp d × d Ta biết rằng {ker M n } n là dãy tăng còn

{im M n } n là dãy giảm theo n Do R d là không gian hữu hạn chiều nên tồn

tại số 1 ≤ k ≤ d để ker M k−1 6= ker M k = ker M k+1 Người ta đã chứng

minh được rằng đồng thời khi đó ta cũng có im M k−1 6= im M k = im M k+1

Số k như vậy được gọi là chỉ số của ma trận M và ký hiệu k = ind M Cho (A, B) là một cặp ma trận Cặp ma trận (A, B) được gọi là chính

quy nếu đa thức q(x) = det(xA + B) 6≡ 0 Khi đó tồn tại c ∈ C sao cho q(c) 6= 0 Điều này kéo theo ma trận cA + B khả nghịch Ta định nghĩa chỉ

số của cặp ma trận (A, B) là

ind(A, B) = ind¡(cA + B) −1 A¢.

Người ta đã chứng minh rằng ind(A, B) không phụ thuộc vào cách chọn

số phức c Tương tự ta định nghĩa

ind(B, A) = ind¡(cB + A) −1 B¢.

Chú ý rằng nói chung thì ind(B, A) 6= ind(A, B).

1.1.2 Khai triển Jordan và khai triển Kronecker

Khai triển Jordan

Cho A là ma trận vuông cấp d Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch V để

có khai triển Jordan sau đây

Khai triển kỳ dị của một ma trận

Với mỗi ma trận A bất kỳ, ta luôn tìm được hai ma trận trực giao U và V

sao cho

A = U diag(σ1, σ2, , σ k , 0, , 0)V > ,

trong đó σ1, σ2, , σ k là các giá trị riêng của ma trận A > A xếp theo thứ tự

giảm dần

Khai triển Kronecker của một cặp ma trận

Ma trận N được gọi là lũy linh cấp r nếu N r−1 6= O nhưng N r = O.

Từ định nghĩa ta thấy ma trận lũy linh cấp 1 là ma trận O Ma trận

J i , i = 1, 2, , m, trong khai triển Jordan (1.1.1) là lũy linh khi và chỉ khi

λ i = 0

Cho (A, B) là cặp ma trận với ind(A, B) = k Khi đó người ta chứng minh tồn tại các ma trận trực giao U và V và số nguyên không âm r sao

có N = O còn nếu ind(A, B) = 2 thì N 6= O nhưng N2 = O Việc tìm các

ma trận U, V và M, N để có biểu diễn (1.1.2) gọi là khai triển Kronecker của cặp ma trận (A, B) Các ma trận này có thể tìm được nhờ khai triển

kỳ dị và khai triển Jordan của các ma trận (chi tiết xem [15])

Cho bộ ba ma trận cùng cấp (A, A, B) Giả sử rằng rank A = rank A = k Khi đó ta có dim ker A = dim ker A Vì các không gian ker A và ker A là

các không gian có cùng số chiều (hữu hạn) nên luôn tồn tại phép biến đổi

tuyến tính T ∈ GL(R d ) sao cho hạn chế của nó T | ker A là một đẳng cấu giữa

ker A và ker A Toán tử T có thể được xác định như sau: cho Q (tương ứng,

Q) là phép chiếu lên ker A (tương ứng lên ker A); sử dụng khai triển Jordan

cho các ma trận Q và Q ta tìm được các ma trận không suy biến V và V sao cho Q = V Q(0)V −1 và Q = V Q(0)V −1 , trong đó Q(0) = diag(0, I d−k)

Khi đó T có thể xác định theo biểu thức T = V V −1

Đặt S = {x : Bx ∈ im A} và xét một toán tử chiếu Q lên ker A Chúng

ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.1.1 Các khẳng định sau đây là tương đương

(a) S ∩ ker A = {0},

(b) ma trận G = A + BT Q là không suy biến,

(c) Rd = S ⊕ ker A.

Chứng minh.

(a)=⇒ (b): Xét vector x ∈ R d sao cho (A + BT Q)x = 0 Điều này tương đương với B(T Q)x = A(−x), kéo theo T Qx ∈ S Vì S ∩ ker A = {0} và

T Qx ∈ ker A nên chúng ta suy ra T Qx = 0, tức là Qx = 0 Từ đây chúng

ta suy ra Ax = 0, có nghĩa là x ∈ ker A, kéo theo x = Qx = 0, tức là ma trận G = A + BT Q không suy biến.

Bây giờ chúng ta xét x ∈ S ∩ ker A, tức là x ∈ S và x ∈ ker A Vì

x ∈ S nên tồn tại z ∈ R d sao cho Bx = Az = AP z, và vì x ∈ ker A nên

T −1 x ∈ ker A Do đó T −1 x = QT −1 x Chúng ta có (A + BT Q)T −1 x =

(A + BT Q)P z, điều này có nghĩa là T −1 x = P z Từ đây suy ra rằng

T −1 x = 0 Vậy x = 0 Khẳng định (c) được chứng minh.

(c)=⇒ (a): Hiển nhiên Bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 1.1.2 Giả sử ma trận G không suy biến Khi đó các quan hệ sau

là đúng đắn:

(i) P = G −1 A, với P = I − Q. (1.1.3)

(iii) Q := T QGe −1 B là toán tử chiếu lên ker A dọc theo S. (1.1.5)

(iv) Nếu Q là phép chiếu lên ker A, thì

Điều này có nghĩa là eQ là một phép chiếu lên ker A Từ chứng minh phần

(c) của Bổ đề 1.1.1 suy ra eQ là một phép chiếu lên ker A dọc theo S.

(iv) Vì T −1 Qx ∈ ker A với mọi x nên

1.1.4 Nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose của một

ma trận

Chúng ta nhắc lại một vài ký hiệu của nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose

của ma trận Cho M là một ma trận d × d Nếu det(M ) 6= 0 thì ma trận nghịch đảo M −1 tồn tại Trong trường hợp det(M) = 0, nhiều khái niệm

về nghịch đảo của M được đưa ra (thí dụ nghịch đảo Drazin) Ở đây chúng tôi trình bày khái niệm nghịch đảo suy rộng kiểu Moore-Penrose Ma trận

X được gọi là nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose (gọi tắt là nghịch đảo

suy rộng) của M nếu thoả mãn các hệ thức

(i) MXM = M, (ii) XMX = X, (iii) (MX) > = MX, (iv) (XM ) > = XM.

Nghịch đảo suy rộng của ma trận M được kí hiệu là M † Trong [19] người

ta đã chứng minh được rằng ma trận nghịch đảo suy rộng M † của ma trận

M tồn tại và duy nhất Nếu M là ma trận không suy biến thì M † = M −1

Với mỗi số α, chúng ta ký hiệu

Sử dụng dạng Jordan của ma trận (xem [19]), chúng ta có

Bổ đề 1.1.3 λ là một giá trị riêng bội d của ma trận M khi và chỉ khi

λ † là giá trị riêng bội d của ma trận nghịch đảo suy rộng M †

Bổ đề 1.1.4 Với mọi ma trận M chúng ta có (MM >)† = (M >)† M † , và

ker(MM >)† trùng với ker MM >

Một số tính chất khác của ma trận nghịch đảo suy rộng:

δ&0 (A > A + δI) −1 A > = lim

δ&0 A > (AA > + δI) −1;hoặc tính bằng phương pháp lặp

A i+1 = 2A i − A i AA i ,

trong đó A0 = αA > với 0 < α < 2/σ2

1(A) Ký hiệu σ1(A) là giá trị kỳ dị lớn nhất của ma trận A.

Trên thực tế người ta định nghĩa nghịch đảo suy rộng cho ma trận chữnhật Tuy nhiên trong luận án này chúng tôi chỉ giới hạn định nghĩa chocác ma trận vuông (Xem [15, 19])

1.2 Số mũ Lyapunov và Định lý ergodic nhân

được gọi là số mũ Lyapunov của hàm f Số mũ Lyapunov của một hàm

được sử dụng để so sánh tốc độ tăng của hàm với các hàm mũ Thậy vậy,

dễ dàng thấy rằng với mọi ² > 0 tồn tại hằng số K sao cho

Vì Rd là không gian hữu hạn chiều nên λ[x] chỉ lấy hữu hạn giá trị Ta sắp

xếp các giá trị của nó theo thứ tự tăng dần

0 = d0 = dim V0, d i = dim V i − dim V i−1 , i = 1, 2, , k.

Các số d i tương ứng được gọi là bội của số mũ Lyapunov λ i

Một trong những kết quả quan trọng của hệ động lực ngẫu nhiên là định

lý ergodic nhân tính (MET) (1) Định lý này được chứng minh đầu tiênbởi V.I Oseledets năm 1968 trong [36] Các kết quả liên quan đến lĩnh vựcnày đã được trình bày hệ thống trong [14] Sau đây ta phát biểu tóm tắtđịnh lý này

Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất thoả mãn điều kiện chuẩn (xem [37]), và θ : (Ω, F, P ) → (Ω, F, P ) là một phép biến đổi P -bảo toàn

và khả nghịch, tức là P{θ −1 C} = P(C) với mọi C ∈ F Giả sử B(·) là

một biến ngẫu nhiên lấy giá trị trong không gian GL(Rd) gồm các ma trận

không suy biến cấp d × d Xét dãy biến ngẫu nhiên B0, B1, , B n , với

(1) Multiplicative Ergodic Theorem.

λ −1 > λ −2 > · · · > λ − k − với bội tương ứng d −1, d −2, , d − k −

ln kB(·)k và ln kB −1 (·)k ∈ L1(Ω, F, P ) và phép biến đổi θ là ergodic Khi

(iii) Tồn tại một phân hoạch các không gian đo được E i (ω), i = 1, 2, , k,

bất biến đối với phép biến đổi θ, sao cho

Chương 2 Đồng chu trình suy biến với chỉ số 1

và số mũ Lyapunov

Cho đến nay, trong lý thuyết hệ động lực trên T = R hoặc T = Z, người

ta chỉ đề cập đến các dòng ngẫu nhiên Φ(t, ω) t∈T không suy biến, tức là

với mỗi t ∈ T , ánh xạ Φ(t, ω) là một phép đồng phôi hầu chắc chắn theo

ω Điều này hạn chế những áp dụng của nó trong mô hình phát triển dân

số hay mô hình kinh tế Trong chương này chúng tôi đưa ra những nghiêncứu bước đầu về hệ động lực ngẫu nhiên suy biến bằng cách xét phươngtrình sai phân ẩn ngẫu nhiên tuyến tính Các kết quả nhận được ở đây cóthể xem là một hướng tổng quát hóa Định lý ergodic nhân tính 1.2.1.Chương 2 được cấu trúc như sau Trong Mục 2.2 chúng ta sẽ làm quenvới tư tưởng chính để phân tích hệ sai phân ẩn bằng cách xét phương trìnhsai phân với hệ số hằng Khái niệm chỉ số 1 được đưa vào trong Mục 2.3cho hệ biến thiên theo thời gian Bằng việc sử dụng khái niệm chỉ số 1 nàychúng ta đưa ra điều kiện giải được của bài toán Cauchy và đưa ra côngthức hiển cho nghiệm của nó Mục 2.4 chứng minh tính đồng chu trình củanghiệm trên các hệ động lực ngẫu nhiên Chứng minh của định lý ergodicnhân tính đối với phương trình sai phân (2.2.5) được đề cập đến ở Mục2.5 Ở đây, chúng ta chỉ ra rằng không gian Rd có thể được chia thành các

không gian con tuyến tính đo được W i sao cho Rd = Lτ i=0 W i, trong đó với

mọi i, không gian W0

L

W i là bất biến Hơn nữa trên W i , nghiệm (x(n))

của bài toán (2.2.5) có cùng số mũ Lyapunov Chúng tôi cũng giới thiệumột ví dụ để minh hoạ cho lý thuyết được nêu trong chương này

với A là ma trận suy biến, cặp ma trận (A, B) chính quy.

Trước hết ta sử dụng khai triển Kronecker của cặp ma trận (A, B)

y(n + 1) = Cy(n), (2.2.3)

Nz(n + 1) = z(n), (2.2.4)

trong đó

V −1 x(n) =

Ã

y(n) z(n)

!

.

Dễ dàng nhận thấy phương trình (2.2.4) có nghiệm duy nhất z(n) ≡ 0 còn phương trình (2.2.3) có nghiệm y(n) = C n−1 y0 với y(0) = y0 ∈ R k Vớicách giải như trên, ta đã phân tích phương trình (2.2.1) thành một hệ gồmphương trình sai phân thường (2.2.3) và hệ thức đại số (2.2.4) Hơn nữa,nghiệm của (2.2.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu

Rõ ràng cách phân tích đã trình bày ở trên với hệ số hằng không thể áp

dụng được khi ker A n biến thiên theo n Đối với hệ không autonom đòi hỏi

phải có cách tiếp cận khác với những giả thiết nào đó Trong chương nàychúng ta nghiên cứu phương trình sai phân ẩn (2.2.5) với giả thiết bổ sung

là phương trình có chỉ số 1 Xét bài toán giá trị ban đầu







A n x(n + 1) = B n x(n), x(0) = x ∈ R d , n = 0, 1, 2, (2.2.5)

Nếu các ma trận A n khả nghịch thì ta có thể nhân 2 vế của (2.2.5) với A −1 n

để nhận được phương trình sai phân thường Tuy vậy, ngay cả trường hợp

khi có giả thiết về tính khả nghịch của A n, tất cả các nghiên cứu trước đây

đều xét bài toán (2.2.5) cho trường hợp sai phân tiến, tức là n ≥ 0 Để xét phương trình sai phân lùi (khi n ≤ 0), ta phải bổ sung thêm giả thiết các

ma trận B n không suy biến Theo hiểu biết của chúng tôi thì chưa ai đặt

vấn đề nghiên cứu hệ động lực của bài toán này với chỉ số n ∈ Z Vì thế, ở

chương này chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu bài toán giải được cũng nhưcác tính chất động lực học của nghiệm của phương trình (2.2.5) trong bối

cảnh cả A n và B n có thể là những ma trận suy biến Chúng ta sẽ áp dụng

kỹ thuật được nêu trong [34] cho phương trình sai phân nhưng sẽ đượctrình bày lại một cách ngắn gọn và hệ thống hơn

Trước hết ta giả thiết rank A n là hằng theo n Một hệ quả của điều này

là số chiều dim ker A n của dãy ma trận A n sẽ là hằng số với mọi n ∈ N.

Đây là giả thiết hết sức quan trọng trong việc nghiên cứu hệ (2.2.5) Lý

do chính để phải đưa ra giả thiết này là vì khi A n suy biến, số chiều của

không gian nghiệm sẽ phụ thuộc vào rank A n Nếu số chiều của không gian

nghiệm ở bước thứ n+1 lớn hơn ở bước thứ n thì nó sẽ làm xuất hiện phân

nhánh hoặc hàm đa trị Ngược lại, nếu số chiều của không gian nghiệm ở

bước thứ n + 1 nhỏ hơn ở bước thứ n thì đến lúc nào đấy số chiều của nó

phải hằng do không gian nghiệm hữu hạn chiều Vì thế cho đến nay, chưa

có một kỹ thuật nào khả dĩ cho phép giải phương trình sai phân ẩn (2.2.5)

nếu rank A n thay đổi theo n Do đó, để tìm nghiệm của phương trình này giả thiết rằng rank A n là một hằng số là một điều kiện tiên quyết

Vì các không gian hữu hạn chiều có cùng số chiều sẽ đẳng cấu với nhau

nên với mỗi n, tồn tại phép biến đổi tuyến tính T n ∈ GL(R d) sao cho

T n | ker A n là một phép đẳng cấu tuyến tính giữa ker A n và ker A n−1 Cho Q n

là một phép chiếu lên ker A n Ký hiệu

S n := {z : B n z ∈ im A n }.

Chúng ta đưa ra định nghĩa sau

Định nghĩa 2.2.1 Phương trình sai phân ẩn (2.2.5) được gọi là có chỉ số

G n := A n + B n T n Q n

không suy biến với mọi n > 0.

Ta nhận thấy rằng trong biểu thức (2.2.6), khi n = 0 sẽ không có nghĩa.

Vì vậy để định ý cho việc trình bày ta tìm một ma trận A −1 sao cho

rank A −1 = rank A0 và S0 ∩ ker A −1 = {0}.

Ta chọn Q −1 là một phép chiếu lên ker A −1 và P −1 = I − Q −1

Nhận xét 2.2.1 Xét trường hợp A n = A và B n = B là các dãy ma trận hằng Khi đó ta thấy hệ (2.2.5) có chỉ số 1 khi và chỉ khi ind(A, B) = 1 Thật vậy, do ind(A, B) = 1 nên N = O (N trong khai triển Kronecker (1.1.2)) Chọn T n = I và phép chiếu lên ker A n có dạng

Bây giờ ta nghiên cứu bài toán Cauchy của phương trình (2.2.5) Giả

sử rằng phương trình (2.2.5) có chỉ số 1 mềm Nhân tương ứng hai vế của

Đặt y(n) = P n−1 x(n) và z(n) = Q n−1 x(n), phương trình (2.2.5) sẽ tương

đương với phương trình

n B n y(n), x(n) = y(n) + z(n), n = 0, 1, 2,

(2.2.7)

Theo cách tách nghiệm như trên, chúng ta thấy phương trình đầu của hệ(2.2.7) là một phương trình sai phân thường Để giải được phương trình

này ta cần có điều kiện ban đầu y(0) = P −1 x(0) Sau đó tìm được z(n)

theo y(n) = P n−1 x(n) nhờ phương trình thứ 2 của (2.2.7) Như thế nghiệm

của (2.2.5) chỉ phụ thuộc theo điều kiện ban đầu P −1 x(0) chứ không phải

theo x(0) Do vậy, ta có thể phát biểu lại điều kiện ban đầu của phương

trình sai phân ẩn tuyến tính (2.2.5) như sau:

P −1 (x(0) − x) = 0, x ∈ R d cho trước (2.2.8)Chúng ta thấy rằng

y(0) = P −1 x(0) = P −1 x =: y0,

chứ không phải điều kiện

x(0) = x

như trong phương trình sai phân thường

Nhận xét 2.2.2 Ta chú ý rằng điều kiện (2.2.8) độc lập với cách chọn

phép chiếu P −1 Thật vậy nếu Q −1 là một phép chiếu khác lên ker A −1 và

không gian S n = {ξ ∈ R d : B n ξ ∈ im A n } Hơn nữa ma trận

nên nó độc lập với việc chọn Q n và T n

Sử dụng phép chiếu chuẩn tắc, ta viết (2.2.5) với n ≥ 0 thành bài toán

Từ biểu thức ta thấy (Φ(n, m)) n≥m thỏa mãn hệ thức sau đây

Φ(n, m) = Φ(n, u)Φ(u, m), với mỗi m < u < n.

2.3 Phương trình sai phân ẩn với hệ số ngẫu

nhiên

Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất thoả mãn điều kiện chuẩn (xem [37]) và θ : (Ω, F, P ) → (Ω, F, P ) là một phép biến đổi P -bảo toàn và khả nghịch Cho A(·) và B(·) là hai toán tử ngẫu nhiên lấy giá trị trong không gian ma trận cấp d × d Chúng ta xét phương trình sai phân ngẫu nhiên

ẩn tuyến tính cùng với điều kiện ban đầu

Ở đây θ n = θ ◦ θ n−1 Phương trình (2.3.1) được gọi là phương trình sai

phân ngẫu nhiên ẩn tuyến tính với nhiễu thực.

Chúng ta sẽ đưa ra định nghĩa chỉ số 1 mềm cho phương trình với hệ

số ngẫu nhiên (2.3.1) Cũng như trong trường hợp tất định, chúng ta luôn

giả thiết rằng rank A(ω) = k với ω ∈ Ω P − h k n Ở đây, k là một hằng

số không ngẫu nhiên (0 ≤ k ≤ d).

n ≥ 0

Nếu ta xét phương trình (2.3.1) trong trường hợp n ≥ 0, ta nhận được

phương trình sai phân ẩn tiến Vì thế để giải phương trình này ta chọn

một phép chiếu đo được Q(ω) lên ker A(ω) Cho T là một biến ngẫu nhiên

nhận giá trị trong GL(Rd ), sao cho T (ω)| ker A(ω) là một đẳng cấu giữa

ker A(ω) và ker A(θ −1 ω) Đặt

S(ω) := {z : B(ω)z ∈ im A(ω)}.

Chúng ta đưa ra định nghĩa sau

Định nghĩa 2.3.2 Phương trình sai phân ẩn tiến (2.3.1) được gọi là có

không suy biến với xác suất 1

Để cho thuận tiện, sau đây chúng ta sẽ đặt

Q n (ω) = Q(θ n ω), P n = I − Q n , A n (ω) = A(θ n ω),

G n (ω) = G(θ n ω), T n (ω) = T (θ n ω) B n (ω) = B(θ n ω).

Nhận xét 2.3.3

1 Định nghĩa 2.3.2 phù hợp với Định nghĩa 2.2.1 trong trường hợp hệ số

ngẫu nhiên Thật vậy, do G(ω) := A(ω) + B(ω)T (ω)Q(ω) không suy biến với xác suất 1 nên ta suy ra G n (ω) cũng không suy biến với xác suât 1 vì θ bảo toàn độ đo.

2 Các kết quả dưới đây vẫn còn đúng nếu Ω chia được thành các tập con

θ-bất biến Ω i , i = 1, 2, , q, sao cho rank A là hằng số trên mỗi Ω i,

và (2.3.2) thoả mãn với ω P − h c c

Để đơn giản cách trình bày chúng ta sẽ lược bỏ ký hiệu ω trong các

công thức nếu không có gì đặc biệt Giả sử rằng phương trình (2.3.1) cóchỉ số 1 mềm Với các ký hiệu đã đưa ra, phương trình (2.3.1) có thể viết

Theo công thức biểu diễn nghiệm (2.2.10) chúng ta thấy nghiệm của phương

trình với điều kiện ban đầu X0 = x tồn tại nếu

Q n−1 (ω)X n (ω) = 0 Điều này kéo theo X n = eP n−1 X n−1 h.c.c Do đó,

phương trình sai phân tiến của phương trình (2.3.1) ứng với n ≥ 0, với điều kiện ban đầu X0 = x ∈ Jf được rút gọn về phương trình sai phân cổ