mô hình số giải hệ phương trình nước nông hai chiều trên lưới không cấu trúc. một số kiểm nghiệm và ứng dụng

Thực tế cho thấy việc mô phỏng dòng chảy nước nông hai chiều, có hoặc không xét đến các tính chất gián đoạn trong dòng chảy, trong các điều kiện địa hình phức tạp khác nhau như các khu đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC

Nguyễn Tất Thắng

MÔ HÌNH SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NÔNG HAI

CHIỀU TRÊN LƯỚI KHÔNG CẤU TRÚC

MỘT SỐ KIỂM NGHIỆM VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI – 2005

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC

Nguyễn Tất Thắng

MÔ HÌNH SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NÔNG HAI

CHIỀU TRÊN LƯỚI KHÔNG CẤU TRÚC

MỘT SỐ KIỂM NGHIỆM VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Dương Ngọc Hải

HÀ NỘI – 2005

Mục lục

Mở đầu 5

Chương 1 Tổng quan 8

1.1 Các mô hình toán học và một số khái niệm 8

1.2 Các đối tượng vật lý 9

1.2.1 Cấu trúc hình học của khối nước 9

1.2.2 Các tính chất của chất lỏng 9

1.2.3 Các dạng ứng xử trong dòng chảy 10

1.2.4 Các lực ngoài 11

1.3 Hệ phương trình nước nông hai chiều 11

1.4 Các nhóm số hạng và ý nghĩa vật lý của chúng 15

1.4.1 Gia tốc địa phương 15

1.4.2 Gia tốc convective (số hạng convective) 15

1.4.3 Độ dốc của mặt thoáng 16

1.4.4 Lực do ứng suất gió bề mặt 16

1.4.5 Ma sát đáy 16

1.4.6 Các lực khối 17

1.5 Một số dạng dẫn xuất của hệ phương trình nước nông hai chiều 17

1.5.1 Dạng trong hệ tọa độ Decard (theo các biến u, v và h) 17

1.5.2 Dạng khác trong hệ tọa độ Decard (theo các biến qx, qy và h) 18

1.5.3 Dạng bảo toàn 18

1.6 Một số tính chất của hệ phương trình nước nông hai chiều 19

1.7 Các tính chất của nghiệm của hệ phương trình nước nông hai chiều 19

1.7.1 Số các điều kiện giải (điều kiện biên và điều kiện ban đầu) 20

1.7.2 Dạng của các điều kiện biên và điều kiện ban đầu 20

1.7.3 Yêu cầu đối với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu 20

1.8 Về phương pháp số giải hệ phương trình nước nông hai chiều 21

1.9 Phương pháp thể tích hữu hạn (FVM) 22

1.10 Phương pháp của Godunov 24

1.11 Lưới không cấu trúc và các phương pháp sinh lưới không cấu trúc 25

1.11.1 Yêu cầu chung của lưới không cấu trúc 25

1.11.2 Các phương pháp sinh lưới không cấu trúc đã được phát triển 26

1.11.3 Một số phương pháp đang được phát triển 31

Chương 2 Giải số hệ phương trình nước nông hai chiều không dừng, không có gián đoạn bằng phương pháp sai phân trên lưới không cấu trúc 33

2.1 Hệ phương trình nước nông hai chiều không dừng tổng quát 33

2.2 Phương pháp sai phân trên lưới không cấu trúc 33

2.3 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu 38

2.3.1 Biên cứng 38

2.3.2 Biên mềm 38

2.3.3 Điều kiện ban đầu 38

2.4 Cách giải hệ phương trình sai phân 39

2.5 Cấu trúc chương trình 39

2.5.1 Các thủ tục tính toán chính 40

2.5.2 Sơ đồ khối mô đun tính toán 41

2.6 Kiểm định chương trình với số liệu thí nghiệm dòng chảy tràn 41

2.6.1 Mô tả thí nghiệm 42

2.6.2 Các thông số mô phỏng 45

2.6.3 Một số kết quả tính toán so sánh 47

2.6.4 Nhận xét 48

2.7 áp dụng cho bài toán dòng chảy lũ tràn do vỡ đê giả định 49

2.7.1 Mô tả bài toán 49

2.7.2 Các thông số mô phỏng 50

2.7.3 Một số kết quả mô phỏng 51

2.7.4 Nhận xét 56

Chương 3 Giải số hệ phương trình nước nông hai chiều không dừng, có xét đến gián đoạn sử dụng phương pháp Godunov với xấp xỉ hàm dòng kiểu Roe 57

3.1 Phương pháp Godunov với xấp xỉ Roe cho bài toán một chiều 57

3.2 Tổng quát hóa cho hệ phương trình nước nông hai chiều 62

3.2.1 Sơ đồ sai phân 63

3.2.2 Xử lý thành phần ma sát tại biên cứng 68

3.3 Chương trình tính toán dòng chảy hai chiều có xét đến gián đoạn 72

3.3.1 Chương trình tính toán 72

3.3.2 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu 72

3.3.3 Các thủ tục tính toán chính 73

3.3.4 Sơ đồ khối mô đun tính toán 74

3.4 Kiểm định chương trình với thí nghiệm dòng chảy có gián đoạn 74

3.4.1 Mô tả thí nghiệm 74

3.4.2 Các thông số mô phỏng 75

3.4.3 Kết quả tính toán so sánh 75

3.4.4 Nhận xét 78

3.5 Bài toán dòng chảy trong kênh hình chữ nhật, đáy phẳng 79

3.5.1 Mô tả bài toán 79

3.5.2 Tính toán so sánh với mô hình DuFlow 81

3.5.3 Nhận xét 84

3.6 Bài toán dòng chảy trong sông địa hình phức tạp có công trình 85

3.6.1 Mô tả bài toán 85

3.6.2 Tính toán so sánh với mô hình Telemac 87

3.6.3 Nhận xét 89

Kết luận 91

Danh mục công trình của tác giả 93

Tài liệu tham khảo 93

Tiếng Việt 93

Tiếng Anh 93

Bên cạnh các hạn chế của mô hình dòng chảy nước nông một chiều thì tính phức tạp cùng khối lượng tính toán lớn của các mô hình giải số dòng chảy ba chiều

mà trong một số trường hợp mô hình dòng chảy nước nông hai chiều là lựa chọn phù hợp Việc mô hình hoá các dòng chảy nước nông dựa trên việc giải số hệ phương trình Saint Venant hai chiều đã và đang được nghiên cứu, ứng dụng ở nhiều nơi trên thế giới cũng như ở Việt Nam Thực tế cho thấy việc mô phỏng dòng chảy nước nông hai chiều, có hoặc không xét đến các tính chất gián đoạn trong dòng chảy, trong các điều kiện địa hình phức tạp khác nhau như các khu đô thị, các miền thoát

lũ với sự có mặt của các công trình trong miền tính nhằm phục vụ các yêu cầu tính toán dự báo, quy hoạch phòng chống lũ lụt đã đặt ra nhu cầu phát triển các mô hình giải số hệ phương trình nước nông hai chiều trên lưới không cấu trúc do tính mềm dẻo, thích ứng cao của nó Cùng với sự phát triển của kỹ thuật tính toán cũng như khả năng của máy tính, các phương pháp số sử dụng lưới tính toán không cấu trúc cũng như các phương pháp sinh lưới không cấu trúc ngày càng được phát triển mạnh

Có hai phương pháp số thường sử dụng lưới không cấu trúc giải hệ phương trình nước nông hai chiều là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp thể tích hữu hạn (FVM) Phương pháp FEM một mặt phức tạp về lập trình, chi phí lập trình và khối lượng tính toán lớn, mặt khác trong các nghiên cứu hiện tại, trong

trường hợp hai chiều, phương pháp này cũng mới chỉ dừng ở mức độ áp dụng đối với lưới tam giác nên dường như xu hướng hiện nay trên thế giới là sử dụng phương pháp FVM [7] So với phương pháp FEM, phương pháp FVM không những đòi hỏi khối lượng tính toán ít hơn mà còn cho các sơ đồ bảo toàn với các tính chất bắt gián

đoạn bởi phương pháp này dựa trên dạng tích phân phương trình bảo toàn [8, 41] Trong một số nghiên cứu bước đầu [1 - 5] học viên cũng đã tìm hiểu, nghiên cứu và áp dụng thử nghiệm các kỹ thuật rời rạc hoá trên cơ sở phương pháp FVM Mục đích của luận văn là: thực hiện các nghiên cứu áp dụng cơ sở lý thuyết, xây dựng và kiểm nghiệm mô hình giải số hệ phương trình nước nông hai chiều trên lưới không cấu trúc theo hai hướng kỹ thuật rời rạc hóa khác nhau Hướng thứ nhất là áp dụng kết hợp phương pháp FVM và kỹ thuật sai phân ngược dòng (upwind) ứng dụng cho các bài toán dòng chảy tràn hai chiều tổng quát không dừng không có gián

pp.38-đoạn Hướng này do một số tác giả Nhật Bản nghiên cứu phát triển [9] Hướng thứ hai là kết hợp phương pháp FVM, phương pháp Godunov với xấp xỉ hàm dòng kiểu Roe giải các bài toán Riemann địa phương, được phát triển cho lưới không cấu trúc Sơ đồ này, có sử dụng kết hợp kỹ thuật sai phân ngược dòng, có khả năng mô phỏng tốt các tính chất gián đoạn của dòng chảy [7] Hướng nghiên cứu này hiện nay đang

được thế giới quan tâm nghiên cứu, ứng dụng [10, 11, 12, 13, 14, 15]

Các mô hình số được nghiên cứu, xây dựng sẽ là cơ sở ban đầu quan trọng cho những ứng dụng thực tế tiếp theo như nghiên cứu đánh giá quá trình lũ tràn hay quá trình lan truyền sóng gián đoạn do vỡ đê, đập trong các miền hai chiều Chúng cũng

có thể được sử dụng để ghép nối với các mô hình một chiều mô phỏng đồng thời diễn biến lũ trong sông (dòng chảy một chiều) và quá trình lũ ở bãi sông hay các miền thoát lũ (dòng chảy hai chiều) Đồng thời chúng cũng có thể là cơ sở cho một

số ứng dụng khác có liên quan trong lĩnh vực môi trường như khi ghép nối với các bài toán về mô phỏng chất lượng môi trường nước sông ngòi, ao hồ hoặc các bài toán về bồi xói, vận chuyển bùn cát v.v

Nội dung của luận văn gồm các phần chính sau:

• Phần Mở đầu gồm các giới thiệu chung về đề tài, các nghiên cứu liên quan,

về lưới không cấu trúc

• Chương 2 trình bày kỹ thuật rời rạc hoá trên cơ sở phương pháp FVM kết hợp với phương pháp sai phân ngược dòng áp dụng cho hệ phương trình nước nông hai chiều không dừng, không có gián đoạn, sơ đồ khối chương trình tính toán của phương pháp, kết quả kiểm nghiệm mô hình này bằng cách so sánh kết quả tính toán với số liệu thí nghiệm dòng chảy tràn theo mô hình khu vực đô thị và kết quả áp dụng thử nghiệm mô phỏng lũ tràn do

vỡ đê giả định vào khu vực Hà Nội

• Chương 3 trình bày kỹ thuật rời rạc hoá trên cơ sở phương pháp FVM kết hợp với phương pháp Godunov với xấp xỉ hàm dòng kiểu Roe trên cạnh, kỹ thuật xử lý số hạng nguồn áp dụng cho hệ phương trình nước nông hai chiều dạng bảo toàn có xét đến tính chất gián đoạn có thể tồn tại trong dòng chảy, sơ đồ khối chương trình tính toán của phương pháp, kết quả kiểm nghiệm mô hình (so sánh với số liệu thí nghiệm dòng chảy có gián đoạn do

vỡ đập tức thời của CADAM) và các kết quả áp dụng mô hình này tính toán dòng chảy hai chiều trong sông

• Phần cuối là một số kết luận và những vấn đề cần nghiên cứu tiếp Phần này ghi nhận tóm tắt những thu nhận chính của luận văn và nêu một số vấn đề, theo ý kiến của tác giả, có thể là đối tượng của các nghiên cứu tiếp theo Ngoài ra còn có danh mục Tài các liệu tham khảo liên quan đến chủ đề của luận văn

Chương 1 Tổng quan

1.1 Các mô hình toán học và một số khái niệm

Các phương trình nước nông đã và đang trở thành một công cụ phổ biến cho việc mô hình hóa các bài toán kỹ thuật và môi trường có liên quan đến các dòng chảy không dừng Các phương trình nước nông được bắt nguồn từ những nghiên cứu

từ thế kỷ XIX của nhà toán học người Pháp Barrè de Saint Venant [16] Mặc dù các phương trình đó là những mô tả đã được đơn giản hóa của một hiện tượng phức tạp, chúng đã chứa đựng các đặc tính quan trọng nhất chi phối chuyển động không dừng của chất lỏng Với sự xuất hiện của các thế hệ máy tính hiện đại kết hợp với các kỹ thuật tính toán ngày càng hiệu quả, nghiệm của các phương trình đó ngày nay đã có thể hiểu rõ và mô tả khá chính xác

Vấn đề lớn nhất đối với các phương trình nước nông là chúng có thể chứa đựng các nghiệm không liên tục Đặc tính phi tuyến của các phương trình cũng hàm chứa rằng các nghiệm giải tích của những phương trình đó chỉ hạn chế trong một số trường hợp bài toán rất đặc biệt Hệ quả là các phương pháp số cần phải được sử dụng để thu nhận các nghiệm xấp xỉ

Các phương pháp giải số hệ phương trình nước nông với các kỹ thuật truyền thống, chẳng hạn như sử dụng sơ đồ Preissmann, đã được nghiên cứu nhiều [17] Có nhiều sơ đồ số khác nhau, sử dụng các tính chất của các hệ hyperpolic, đã được phát triển để giải quyết một cách chuẩn xác các tính chất không liên tục trong dòng chảy

mà vẫn cho nghiệm chuẩn xác trong các miền nghiệm trơn Những sơ đồ đó đã và

đang được phát triển cho các hệ định luật bảo toàn tổng quát chẳng hạn như các phương trình Euler cho động học các chất khí Gần đây hơn, các kỹ thuật đó đã được

áp dụng vào giải số các phương trình nước nông

Trong các mô hình “bắt” gián đoạn các sơ đồ hiện thường hay được sử dụng hơn là các sơ đồ ẩn Đối với các phương trình phi tuyến, chẳng hạn các phương trình nước nông, việc sử dụng sơ đồ ẩn tạo ra hệ các phương trình đại số phi tuyến Trong

trường hợp đó hoặc là thủ tục giải lặp sẽ được sử dụng để giải các phương trình đó hoặc là toán tử ẩn sẽ được tuyến tính hóa để tránh tiêu tốn thời gian với thủ tục giải lặp Đối với các bài toán dòng chảy dừng, các sơ đồ ẩn được tuyến tính hóa tạo ra những thuận lợi rất lớn so với các sơ đồ hiện [18] Đối với các bài toán dòng chảy không dừng, tính ổn định và chính xác có thể không được đảm bảo do việc tuyến tính hóa và do bị hạn chế bởi điều kiện CFL [18] Mặc dù vậy các sơ đồ hiện cũng

có sự phụ thuộc vào sự hạn chế thông thường của số Courant, do vậy thường các sơ

đồ hiện tính toán rất lâu nên chúng còn cần được nghiên cứu giảm thiểu thời gian tính toán

1.2 Các đối tượng vật lý

Khi xem xét dòng chảy nước nông ta tuân theo các quy ước sau [19, pp.1-3]:

1.2.1 Cấu trúc hình học của khối nước

Cấu trúc hình học của khối nước được đặc trưng bởi:

• Mặt thoáng

• Độ dốc đáy thoải, nếu gọi α là góc nghiêng thì tan( )α ≈α và không có bất

kỳ sự biến đổi đột ngột nào đối với địa hình đáy

• Nước nông: độ sâu cột nước (h) nhỏ hơn rất nhiều so với bước sóng hoặc chiều dài đặc trưng của khối nước L Nhìn chung h/L cỡ 10 -3 đến 10 -4

• Kích cỡ không gian theo chiều ngang từ cỡ 1m đến cỡ 1000km

1.2.2 Các tính chất của chất lỏng

• Tính liên tục: các tính chất cơ học và vật lý của chất lỏng không đạt đến giá trị vô hạn hoặc chứa đựng bước nhảy ở bất kỳ một điểm rời rạc nào

• Tính nhớt: với dòng chảy phân tầng, chất lỏng có thể được mô tả một cách xấp xỉ như là chất lỏng Newton trong đó nhớt phân tử đóng vai trò quan trọng Với các dòng chảy rối, chất lỏng là phi Newton và được đặc trưng bởi nhớt rối

của mật độ của nước tính khiết là 1000kg/m 3 , nước biển là 1025kg/m 3

• Tính đẳng hướng: các tham số tính chất vật chất, ví dụ như hệ số nhớt à , không thay đổi theo hướng

1.2.3 Các dạng ứng xử trong dòng chảy

Dòng chảy dừng có thể được xem như là giới hạn của dòng chảy không dừng dưới các điều kiện ngoài cố định khi thời gian tăng vô hạn Trong tính toán dòng chảy nước nông thường ta sử dụng một mặt phẳng nằm ngang như là mặt phẳng tọa

độ và bỏ qua tính cong của vỏ trái đất

Do tính nông, vận tốc theo phương ngang trên trục thẳng đứng được coi là có một phân bố thống nhất một cách tương đối do vậy trung bình hóa theo chiều sâu là

có thể áp dụng được Do đó mà dòng chảy ba chiều có thể được đơn giản hóa như dòng chảy hai chiều trong mặt phẳng bằng việc tích phân vận tốc ngang theo phương thẳng đứng để nhận được giá trị trung bình theo chiều sâu và bằng việc bỏ qua ảnh hưởng của vận tốc theo phương thẳng đứng

Dòng chảy thường là xoáy, trong đó các sự kết hợp, truyền tải, khuếch tán và tiêu tán xoáy có thể xảy ra một cách đồng thời và liên tục Nhiệt độ thường được coi như hằng số do quá trình sinh nhiệt do ma sát và quá trình truyền nhiệt là có thể bỏ qua Nếu có sự thay đổi nhiệt độ ta cũng không xét đến sự biến đổi mật độ, độ nhớt

và tính dẫn nhiệt do vậy trường dòng chảy được tách khỏi trường nhiệt độ, chúng có thể được tính toán riêng rẽ

Cao trình mặt thoáng biến thiên đều với độ cong nhỏ, do đó so sánh với gia tốc trọng trường thì gia tốc theo phương thẳng đứng có thể được bỏ qua Điều này cũng

• Lực hấp dẫn là lực chính chi phối dòng chảy

• Lực quán tính Coriolis do chuyển động quay của trái đất quanh trục

• Lực gây ra thủy triều

• Các lực ma sát giữa dòng chảy và đáy Sự tiêu tán năng lượng cơ học do nhớt rối và nhớt phân tử cũng có thể đuợc kết hợp vào trong số hạng này

• Lực ứng suất gió do trường gió trên mặt thoáng

• Lực gradient áp suất do trường áp suất khí quyển trên mặt thoáng

Ba lực đầu tiên ở trên là lực khối, giá trị của chúng liên quan đến mật độ nước trong khi các lực còn lại phụ thuộc vào diện tích mặt thoáng của khối nước được nghiên cứu

1.3 Hệ phương trình nước nông hai chiều

Các phương trình thủy động lực học 3 chiều tổng quát mô tả động lượng và tính liên tục của chất lỏng không nén được với mật độ hằng số và không xét đến sức căng bề mặt có thể được biểu diễn như sau [20]:

z y x x

p z

u w y

u v

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

1

y zy yy

z y x y

p z

v w y

v v

∂

∂+

∂

∂+

1

z zz yz

z y x z

p z

w w y

w v

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

1

trong đó u, v, w là các giá trị tương ứng khi chiếu vectơ vận tốc lên các trục tọa độ x,

y, z; ρ là mật độ nước; p là áp suất thủy tĩnh của nước; F x , F y và F z là các thành

phần theo phương x, y, z của lực khối trên mỗi đơn vị khối lượng; τ là ứng suất trượt với các quy ước sau: chỉ số dưới đầu tiên chỉ hướng pháp tuyến với mặt phẳng đang

được xét, chỉ số dưới thứ hai chỉ hướng của ứng suất

Các phương trình tổng quát trên mô tả cho cả hai hiện tượng dòng chảy phân

tầng và dòng chảy rối Đối với dòng chảy rối các thành phần u, v và w biểu diễn vận

tốc trung bình trong khoảng thời gian đủ nhỏ Các ứng suất trượt biểu diễn như ở trên bao gồm cả ứng suất nhớt và ứng suất Reynold phát sinh từ sự đối lưu động lượng của các chuyển động rối Để ngắn gọn chỉ các biểu thức ứng suất trượt trong phương trình (1.2) được trình bày dưới đây Các biểu thức ứng suất trượt trong các phương trình (1.3) và (1.4) được định nghĩa hoàn toàn tương tự

trong đó à là hệ số nhớt động học của nước; u’, v’ và w’ là các dao động của các

thành phần vận tốc quanh giá trị trung bình tương ứng của chúng và dấu ngoặc chỉ

sự trung bình hóa trong một khoảng thời gian đủ nhỏ Trong các phương trình ở trên các nhóm số hạng thứ nhất và thứ hai trong các vế phải của các phương trình biểu diễn ứng suất nhớt và ứng suất Reynold tương ứng

Hình 1.1 Sơ đồ biểu diễn dòng chảy nước nông trong hệ tọa độ Decard 3 chiều Các điều kiện biên động học sau đây được định nghĩa cho các phương trình

v x

u t

ư

=

∂

∂+

∂

∂+

v x

u t

=

∂

∂+

∂

∂+

thành phần vận tốc ở mặt đáy theo các phương x, y và z; R là lượng mưa; F là tốc độ

thẩm thấu qua đáy

Các phương trình dòng chảy hai chiều được thu nhận bằng việc trung bình hóa các phương trình (1.1) – (1.4) theo chiều sâu sử dụng các điều kiện biên động học (1.8 và 1.9) cùng một số giả thiết [21] và các phương trình hai chiều sẽ có dạng:

( ) R(x y t) (F x y t)

y

q x

ηηξηξ

ηξβ

ηξβ

x x

y x xy x

x

x

x x

g

R u y

q q x

q

t

q

ư+

ηηξηξ

ηξβ

ηξβ

y y

y x xy y

y

y

y y

g

R v x

q q y

q

t

q

ư +

trong đó g là gia tốc trọng trường; q là lưu lượng dòng chảy trên mỗi đơn vị chiều

rộng; τ là ứng suất trượt trên mặt thoáng; ξ τ là ứng suất trượt tại mặt đáy; β là hệ η

số hiệu chỉnh động lượng để xét đến ảnh hưởng của tính không đồng nhất của phân

bố vận tốc; các hệ số dưới x và y là chỉ số chỉ phương

Đối với dòng chảy phân tầng, ứng suất nhớt chiếm ưu thế và có thể bỏ qua ứng suất Reynold Phương trình cho ứng suất trượt tại biên mặt đáy khi đó được xác định

trong đó f là hệ số cản trở dòng chảy Đối với dòng chảy phân tầng, hệ số cản dòng

chảy được định nghĩa bởi phương trình Darcy-Weisbach như sau:

trong đó K 0 là tham số nhám bề mặt và Re là số Reynolds của dòng chảy

Đối với dòng chảy rối, ứng suất Reynolds chiếm ưu thế và ứng suất nhớt có thể

bỏ qua Lực ứng suất trượt trên biên có thể xấp xỉ bởi phương trình Manning như sau:

( ) ( 2 2) 2

3

2

y x

biên được cho ở trên chỉ được xem như là một xấp xỉ Các hệ số K 0 và n thường được

xác định bằng cách chuẩn hóa hay hiệu chỉnh theo các số liệu đo đạc Bảng giá trị của hai tham số đó trong mối liên hệ với các điều kiện bề mặt có thể được tìm thấy trong nhiều tài liệu chuyên khảo (ví dụ theo [22])

Lực ứng suất trượt trên mặt thoáng thường được tạo ra bởi hai yếu tố: mưa và gió Trong khi ảnh hưởng của gió đối với dòng chảy trên mặt đất có thể được bỏ qua thì ảnh hưởng của mưa là đáng kể Khi các hạt mưa rơi vào dòng nước đang chảy, chúng ảnh hưởng đến mặt thoáng của dòng chảy và tạo ra rối trong dòng chảy Những yếu tố đó có thể gây mất mát năng lượng và làm gia tăng sức cản dòng chảy [23] Những ảnh hưởng đó là lớn hơn đối với dòng chảy nước nông phân tầng nhưng

lại nhỏ hơn đối với dòng chảy nước sâu và dòng chảy rối Khi nước trở nên sâu hơn

và dòng chảy trở nên rối hơn thì ảnh hưởng của mưa đến sức cản dòng chảy có thể

theo các phương x và y trong hệ tọa độ Decard

1.4 Các nhóm số hạng và ý nghĩa vật lý của chúng

1.4.1 Gia tốc địa phương

Các số hạng quán tính địa phương, ví dụ ∂u ∂t, biểu diễn tốc độ thay đổi theo thời gian của vận tốc ở bất kỳ một điểm cố định nào và là những số hạng duy nhất thể hiện tính không dừng của của dòng chảy [19, pp.26]

1.4.2 Gia tốc convective (số hạng convective)

Các biểu thức gia tốc convective, ví dụ u∂u ∂x, biểu diễn ảnh hưởng của gradient theo không gian của vận tốc đang được truyền tải theo dòng chảy Người ta cũng đã chỉ ra rằng các số hạng đó cũng quyết định sự hình thành và truyền tải xoáy Tổng của các số hạng gia tốc địa phương và gia tốc convective chính là đạo hàm vật chất thể hiện gia tốc tổng thể của hạt chất lỏng, biểu thức tổng được gọi là

số hạng quán tính Bằng việc loại bỏ số hạng gia tốc convective, hệ phương trình trở thành tuyến tính Xấp xỉ này phù hợp trong trường hợp số Reynold nhỏ Thực nghiệm chứng tỏ rằng xấp xỉ như vậy thoả mãn tính ổn định tính toán Tuy nhiên cơ

gradient áp suất và độ dốc đáy, ⎟

∂

∂

x x

h

Phần thứ nhất biểu diễn gradient áp

suất do biến thiên độ sâu, phần thứ hai biểu diễn ảnh hưởng của địa hình đáy, mà nó

thể hiện tác động như một lực ngoài Theo dạng này thì có thể coi h là một ẩn trong

tất cả các phương trình Nhưng trong các tính toán thực tế chúng thường được tích hợp vào trong biểu thức, ∂z ∂x, để cực tiểu hóa các sai số do rời rạc hóa, do độ dốc của mặt thoáng là thường nhỏ hơn rất nhiều so với độ dốc đáy [19, pp.26-27]

1.4.4 Lực do ứng suất gió bề mặt

Các biểu thức ứng suất gió trên bề mặt, ví dụ τξx, biểu diễn lực kéo sinh ra bởi gió thổi trên bề mặt Tác động của ứng suất gió tỷ lệ nghịch với độ sâu khối nước do vậy mà thành phần này có vai trò quan trọng trong dòng chảy nước nông [19, pp.28-29]

1.4.5 Ma sát đáy

Các số hạng liên quan đến nhám ở đáy, ví dụ τηx, có ảnh hưởng phi tuyến làm chậm dòng chảy Thông thường nhám đáy được ước lượng sử dụng các công thức thực nghiệm hoặc bán thực nghiệm như:

• Công thức thủy lực: trong trường hợp hệ phương trình Saint-Venant một

chiều, biểu thức nhám có thể được biểu diễn bằng gS f với S f là độ nhám thủy lực Giả thiết rằng lực ma sát đáy trong dòng chảy hở hai chiều không dừng có thể được ước lượng bằng cách liên hệ tương tự tới công thức này, các công thức chi tiết có thể được tìm thấy trong [19, pp.31-34]

• Lực quán tính Coriolis: sinh ra do chuyển động quay của trái đất

• Lực sinh ra thủy triều: đây là lực hấp dẫn vũ trụ theo định luật Newton Lực này tác động lên khối nước và chủ yếu sinh ra do tác động của mặt trăng và mặt trời Ngoại trừ các khối nước lớn như biển và đại dương thì lực sinh ra thủy triều nhìn chung có thể bỏ qua được [19, pp.34-36]

1.5 Một số dạng dẫn xuất của hệ phương trình nước nông hai chiều

1.5.1 Dạng trong hệ tọa độ Decard (theo các biến u, v và h)

( ) ( )=0

∂

∂+

hu

t

x bx ax b

h x

z g x

p x

h g y

u v

∂

∂+

h y

z g y

p y

h g y

v v

Các lực ngoài ở vế phải của hai phương trình cuối cùng được ký hiệu ngắn gọn

bởi F x và F y ; áp suất khí quyển trên mặt thoáng được ký hiệu là p a; Ta có thể thấy

xuất hiện vấn đề lựa chọn biến độc lập là h hay z Do cao trình đáy có thể biến đổi

rất mạnh và do độ dốc đáy được xấp xỉ bởi các hằng số theo từng đoạn trong phương pháp sai phân nên sai số chứa đựng trong xấp xỉ sai phân cho các biểu thức g∂z b ∂x

v.v., thường lớn hơn nhiều so với các sai số khác Điều này có thể gây sai số lớn và

có thể gây mất ổn định tính toán Do vậy các đạo hàm riêng theo không gian của h trong phương trình động lượng có thể được viết lại như đạo hàm của z trong khi h

vẫn được sử dụng trong tất cả các số hạng khác

y x x

x

h g h

q y h

q h

q x h

y y x

y

h g h

q y h

q h

q x h

Thuận lợi của dạng này là do các biến q x và q y (thay vì u và v) là các dòng được

sử dụng trong định luật bảo toàn vật chất và cũng là các đại lượng vật lý được bảo toàn trong bảo toàn động lượng Mặt khác khi viết theo dạng này phương trình liên tục trở thành tuyến tính và do đó tính bảo toàn có thể được bảo đảm dễ dàng hơn trong các tính toán

1.5.3 Dạng bảo toàn

Một hệ các định luật bảo toàn với 3 biến độc lập (w, F, G) có thể được viết

dưới dạng bảo toàn như sau:

S y

h

q q h

và

T y y

y x

q

h g h

q h

q q

2 2

(1.28)

trong đó F, G là các dòng truyền tải Một dạng bảo toàn của các phương trình nước

nông có thể được viết lại dưới dạng thông thường Nhưng một dạng thông thường có thể không thể viết lại được dưới dạng bảo toàn

Thuận lợi chính của dạng bảo toàn của các phương trình nước nông bao gồm [19, pp.45]:

• Có một mối quan hệ gần gũi giữa định luật bảo toàn, hệ đối xứng và hệ hyperbolic, điều đó rất có ích trong các nghiên cứu lý thuyết dựa trên các

hệ hyperbolic

1.6 Một số tính chất của hệ phương trình nước nông hai chiều

Các nghiên cứu lý thuyết được trình bày chi tiết trong [19, pp.60-106] Có thể tổng kết các tính chất cơ bản của hệ phương trình nước nông hai chiều như sau: các tính chất toán học của hệ phương trình nước nông hai chiều là tương tự với các phương trình Euler trong động học chất khí Một số các tính chất khác biệt có thể

được chỉ ra gồm:

• Các phương trình nước nông thường chứa đựng các số hạng không thuần nhất ở vế phải (số hạng nguồn), trong số đó số hạng độ dốc đáy có thể đóng một vai trò rất quan trọng Độ sâu cột nước tại các nút kề nhau của lưới tính toán có thể khác nhau rất lớn mặc dầu mặt thoáng gần như phẳng

• Đối với dòng chảy nước nông, với giả thiết áp suất thủy tĩnh và tính không dẫn nhiệt ta không cần đến phương trình năng lượng

• Hình dạng của biên cứng được cho trong các bài toán dòng chảy nước nông thường có dạng rất phức tạp theo địa hình thực tế

• Trong tính toán dòng chảy nước nông, cỡ về thời gian và không gian thường khá lớn

1.7 Các tính chất của nghiệm của hệ phương trình nước nông hai chiều

Dưới các điều kiện biên (không gian và thời gian) khác nhau một hệ các phương trình có thể là đặt chỉnh (well-posed) hoặc không đặt chỉnh và các nghiệm nếu có cũng có thể rất khác nhau Do vậy sự thiết lập đúng đắn của điều kiện biên là rất quan trọng Các dòng chảy chất lưu có hai kiểu biên: biên nội (sóng gián đoạn, các gián đoạn tiếp xúc) và biên ngoài Biên ngoài có thể được phân chia thành:

• các biên vật lý (các biên tự nhiên hoặc là các biên cứng)

• các biên nhân tạo (các biên mở) chẳng hạn như giao diện với cột nước xung quanh

1.7.1 Số các điều kiện giải (điều kiện biên và điều kiện ban đầu)

Số các điều kiện ban đầu bằng với bậc cao nhất của đạo hàm theo thời gian trong hệ Đối với hệ phương trình nước nông chúng ta chỉ cần một điều kiện ban đầu cho các biến bảo toàn Số lượng các điều kiện biên cho một vùng dòng chảy hai chiều nhất định cần được xác định dựa trên lý thuyết đặc trưng [19, pp.110-112]

1.7.2 Dạng của các điều kiện biên và điều kiện ban đầu

Đối với hệ phương trình nước nông hai chiều, điều kiện ban đầu có thể là phân

bố của mực nước và vận tốc trung bình theo chiều sâu được cho trên miền tính tại

một thời điểm ban đầu t=t 0 Thường rất khó đòi hỏi dữ liệu ban đầu chuẩn xác do vậy chúng có thể được ước lượng bằng các kết quả tính toán thô Tuy vậy nếu dữ liệu được cho không phù hợp thì khi đó hoặc là bài toán không có nghiệm hoặc là tính toán sẽ không ổn định Do vậy thường người ta làm như sau: một trạng thái tĩnh thường được sử dụng như là điều kiện ban đầu ở một thời điểm trước nào đó, sau đó

dữ liệu ban đầu mong muốn ở thời điểm t 0 có thể nhận được thông qua một tính toán chuyển đổi

Các điều kiện biên trong động học chất lỏng thường được cho theo hai dạng sau: giá trị của các biến tại đó được cho trước (điều kiện Dirichlet) hoặc ràng buộc

đối với đạo hàm của các biến tại biên (điều kiện Neumann) [19, pp.112-115]

1.7.3 Yêu cầu đối với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu

Như đã được tổng kết [19, pp.115-118], các yêu cầu nói chung như sau:

• Số lượng và dạng của các điều kiện biên và điều kiện ban đầu phải đảm bảo tính đặt chỉnh của bài toán

• Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu phải phù hợp với nhau, ngược lại hoặc là không tồn tại nghiệm hoặc tính toán không ổn định

• Một điều kiện biên mở phải thoả mãn rằng nghiệm trên miền tính phải

trùng khớp với nghiệm nguyên thủy hay nghiệm trên toàn miền lớn

1.8 Về phương pháp số giải hệ phương trình nước nông hai chiều

Hiện nay có nhiều mô hình số khác nhau đã được sử dụng để mô phỏng dòng chảy nước nông hai chiều [25] Để ứng dụng chúng trong thực tế một số vấn đề cần lưu ý gồm: vấn đề rối trong dòng chảy, mô tả địa hình và miền tính, dữ liệu để xác

định các tham số tính toán, kích cỡ bài toán và những khó khăn của phương pháp tính [26] Mô hình cần có khả năng mô tả tương tác giữa dòng chảy chính với các vùng dòng chảy tràn, các miền khô, ướt bất kỳ trong miền tính với tính chất khô ướt

là thay đổi theo thời gian Một cách lý tưởng một mô hình giải số hệ phương trình nước nông ứng dụng cho các miền tính toán thực tế cần có các đặc tính sau:

• Khả năng xử lý tốt trên các miền địa hình phức tạp

• Mô phỏng được các dòng chảy êm hoặc các dòng chảy xiết

• Mô phỏng được các dòng chảy dừng và không dừng

• Mô phỏng được các dòng chảy có gián đoạn và không có gián đoạn

• Khả năng xử lý tốt các miền khô, ướt trong miền tính

• Khả năng mô phỏng được các công trình trong miền tính

• Khả năng xử lý được các dòng chảy từ ngoài vào miền tính

Có thể kể ra một số các nghiên cứu có nhiều đóng góp cho sự phát triển của mô phỏng dòng chảy hai chiều cho các lưu vực sông gồm [27, 28, 29, 30, 31] Các nghiên cứu trên hoặc sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) hoặc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Chú ý rằng dạng vi phân của các phương trình nước nông không đúng ở các gián đoạn (tại đó nghiệm không khả vi), ngược lại dạng tích phân của các phương trình nước nông đúng cả ở phần gián đoạn và không gián đoạn của dòng chảy Do đó chúng ta nên sử dụng dạng tích phân để rời rạc hóa

hệ phương trình nước nông [32]

Gần đây phương pháp thể tích hữu hạn (FVM) được ứng dụng nhiều Phương pháp này được giới thiệu lần đầu tiên trong nghiên cứu [33, 34] cho trường hợp

nghiệm hai chiều phụ thuộc thời gian của các phương trình Euler Phương pháp FVM tận dụng được các ưu điểm của cả hai phương pháp FDM và FEM như sau:

• Phương pháp FVM có thể được xem như là phương pháp FDM ứng dụng cho dạng bảo toàn của các phương trình bảo toàn viết trong hệ tọa độ bất

kỳ Do vậy phương pháp này có thể được áp dụng đối với bất kỳ hệ lưới không cấu trúc nào tương tự như phương pháp FEM và cần ít công sức tính toán hơn so với phương pháp FEM

• Phương pháp FVM dựa trên dạng tích phân của phương trình bảo toàn và có thể xử lý tốt các gián đoạn

Các dòng chảy nước nông không phải luôn luôn trơn và liên tục mà có thể biến

đổi rất nhiều theo không gian, chẳng hạn như dòng chảy trong lòng sông có thể khác rất nhiều dòng chảy ở bãi sông Chúng có thể biến đổi đột ngột theo thời gian, như xảy ra sóng gián đoạn khi mở cửa cống hay khi vỡ đê đập Các bài toán dòng chảy liên quan đến sự thay đổi đột ngột của dòng chảy theo thời gian và theo không gian thuộc về nhóm các bài toán Riemann [8, pp.125] do vậy ta cần một sơ đồ rời rạc, bảo toàn giải bài toán Riemann Đối với việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán Riemann, cách làm thường là tổng quát hóa lời giải chính xác của bài toán Riemann trong trường hợp tuyến tính cho trường hợp phi tuyến Các lời giải bài toán Riemann xấp xỉ bao gồm: phương pháp phân chia vector dòng (FVS) [35, 36], phương pháp phân chia sai phân dòng (FDS) [12, 37, 39] và sơ đồ Osher [32, 38]

1.9 Phương pháp thể tích hữu hạn (FVM)

Trong phương pháp này sơ đồ rời rạc hoá được xây dựng trên cơ sở của các

định luật bảo toàn dạng tích phân Đây là điểm khác với phương pháp sai phân hữu hạn truyền thống Các công thức cho các biến được xây dựng sao cho tính bảo toàn

được thoả mãn Có thể trình bày tóm tắt phương pháp FVM như dưới đây [19, pp.241-242]

Đầu tiên phương pháp được xây dựng cho phương trình dạng w t + f x =g Lấy tích phân trên miền con thời gian và không gian (t n,t n+1)x(x iư 2,x i+ 2) cho ta:

n i

i i

i

t t i t

t i x

x n x

x

ư +

ư

ư +

+

1 1

2

2 2

2

2 2

Theo lý thuyết giá trị trung bình, lựa chọn một giá trị trung bình của w trên

khoảng (iư 1 2 ,i+ 1 2),w=w i, khi đó chúng ta có wdx w x w i x

x x

f Biểu diễn tích phân của số hạng đó trên khoảng (t n,t n+1) bởi một

trung bình có trọng số theo thời gian sẽ có dạng f dt ( ) f f n t

i

n i t

t i

+

2 2

1

θθ

Sơ đồ FVM, phương trình (1.29) là hiện và tương đương với một sơ đồ sai phân

hữu hạn bảo toàn khi θ = 0, một sơ đồ ẩn khi 0 <θ < 1, và một sơ đồ ẩn hoàn toàn

khi θ = 1

Các thuận lợi của phương pháp FVM có thể được thấy rõ ràng hơn trong

trường hợp bài toán nhiều chiều và lưới không cấu trúc

Một miền tính toán phẳng với dạng hình học phức tạp được phân chia một cách

tuỳ ý thành các tứ giác (Hình 1.2), được gọi là các thể tích hữu hạn Các đỉnh của

các tứ giác hoặc là có thể được phân bố tuỳ ý (lưới không cấu trúc) hoặc là được ký

hiệu như là các nút của một lưới cong (lưới có cấu trúc) Tuy nhiên chỉ có các toạ độ

của các đỉnh và các tâm của các tứ giác được sử dụng trong tính toán do vậy không

cần thiết phải viết các phương trình vi phân theo dạng toạ độ cong

Giả thiết rằng định luật bảo toàn dạng vi phân được viết như sau:

F H

Σ Γ

Σ

=

ư+

∂

∂

=+

∂

∂

e e

e e

e

Fd Hdx

Gdy wd

t Nds H G wd

phẳng và biên ABCDA của thể tích hữu hạn và N là véc tơ đơn vị hướng ra ngoài

của Γe Lấy các giá trị trung bình của w và F trên Σe ký hiệu bởi w e và F e Ký hiệu

diện tích của Σe là A và các dòng hướng ra ngoài qua cạnh AB bởi E AB, hay chính là

tích phân đường dọc theo đường AB của tích vô hướng của véc tơ (G,H) và véc tơ N

của biến bảo toàn w

Hình 1.2 Một thể tích điều khiển (control volume) trong phương pháp FVM Phương pháp này có các thuận lợi sau:

• Nguyên lý đơn giản và dễ hiểu

• Có thể sử dụng lưới tính toán rất mềm dẻo phù hợp với các bài toán có dạng hình học phức tạp

• Do định luật bảo toàn dạng tích phân được sử dụng nên nghiệm có thể chấp nhận là dòng chảy trơn hoặc có gián đoạn

2

2 2

+

n

n i

i

t t

i i

+ +

Để tính toán [ ( ) ] 2

2

+ +

n i

w

F sơ đồ Godunov bậc 1 giải bài toán Riemann ở điểm

biên của ô i xác định bởi x i+ 2 với điều kiện ban đầu:

x w

x w

+ +

+ + = n

i

n

i F w w

F

(1.32)(1.33)

Thay thế các biểu thức trên vào phương trình (1.31) cho ta nghiệm cần tìm trong một bước thời gian Nói cách khác trong phương pháp của Godunov ta đã lấy tích phân trên miền (t n,t n+1) (x iư12,i+12) Do vậy để nhận được các nghiệm trung bình trên ô cho mỗi bước thời gian ta chỉ cần tính toán các dòng tại giao diện giữa các ô cho mỗi bước thời gian

1.11 Lưới không cấu trúc và các phương pháp sinh lưới không cấu trúc

Lưới tính toán không cấu trúc được phát triển chủ yếu cho các phương pháp số như phương pháp FEM, FVM hoặc các phương pháp sai phân trên lưới tuỳ ý [40]

Có thể có nhiều dạng khác nhau cho các phần tử lưới như tam giác, tứ giác, lăng trụ, các đa giác và có thể có các liên kết tuỳ ý giữa các nút và giữa các phần tử lưới tạo nên lưới không cấu trúc Tuy vậy dạng duy nhất có thể được sinh lưới hoàn toàn tự

động là tam giác trong trường hợp hai chiều và tứ diện trong trường hợp ba chiều

1.11.1 Yêu cầu chung của lưới không cấu trúc

• Lưới phải chuẩn chẳng hạn không thể có các lỗ rỗng trong một phần tử nào

đó hoặc các cạnh của phần tử không thể tự cắt nhau…

• Lưới phải tuân theo biên của miền tính

• Mật độ của lưới phải điều chỉnh được để cho phép điều chỉnh giữa độ chính xác và thời gian tính toán

• Mật độ của lưới sẽ thay đổi phụ thuộc vào yêu cầu độ chính xác địa phương nhưng sự biến đổi này phải là trơn để làm giảm hay loại bỏ khuếch tán số

Có một số đòi hỏi về hình dạng của các phần tử, nhìn chung các phần tử càng

đều góc càng tốt chẳng hạn như phần tử là các tam giác đều, tứ diện đều v.v Các phần tử bị méo nhiều chẳng hạn các tam giác dài hay mỏng, tứ diện bẹp… có thể dẫn tới các vấn đề về ổn định số

Tam giác trong miền hai chiều hay tứ diện trong miền ba chiều có thể được sử dụng để thể hiện tốt các biên có hình dạng đặc biệt và cho phép một quá trình thay

đổi tiệm tiến kích cỡ của các phần tử và không gây nên sự bóp méo quá đáng Thêm nữa có những phương pháp sinh lưới hoàn toàn tự động khi phần tử là tam giác hoặc

tứ diện

1.11.2 Các phương pháp sinh lưới không cấu trúc đã được phát triển

Một số phương pháp sinh lưới phổ biến đã được phát triển nhiều gồm:

• Phương pháp phân chia và ánh xạ (Decomposition and mapping), về cơ bản

là phương pháp phân chia đa khối trong mỗi khối sử dụng phép nội suy TFI (TransFinite Interpolation)

• Phương pháp xếp chồng một lưới chuẩn lên miền tính sau đó tiến hành làm phù hợp (chỉnh sửa) các phần tử biên

• Phương pháp tịnh tiến biên (advancing front)

• Phương pháp sử dụng phép phân chia tam giác Delaunay (Delaunay triangulation)

• Các phương pháp ít phổ biến hơn như các phương pháp sinh lưới lai có và không có cấu trúc, phương pháp làm mịn lưới

Trong số đó các phương pháp phổ biến nhất là Delaunay triangulation và phương pháp Advancing front

Dưới đây là một số giới thiệu ngắn gọn về mỗi phương pháp:

• Decomposition and mapping: Đây là phương pháp được phát triển sớm nhất

và vẫn đang được sử dụng trong nhiều phần mềm chia lưới Miền tính toán

được phân chia một cách tương tác với nhau thành các miền nhỏ Sau đó các miền riêng biệt được chia lưới sử dụng một phương pháp ánh xạ nào đó

Đó có thể là các phương pháp nội suy hay phương pháp sử dụng hàm cơ sở [41]

• Các phương pháp dựa trên các lưới cơ sở (Grid Based Methods): Trong các phương pháp này một lưới tam giác hay lưới hình chữ nhật được chồng lên miền tính chùm qua các biên Sau đó lưới sẽ được “cắt xén”, căn chỉnh để phù hợp với miền tính Cuối cùng các nút trên các cạnh biên được dịch chuyển đặt lên biên của miền tính và nếu cần thiết thì các tứ giác sẽ được phân chia thành các tam giác (Hình 1.3)

Hình 1.3 Chồng lưới, cắt xén và phân chia thành các tam giác

• Advancing front: Phương pháp này dựa trên ý tưởng đơn giản như Hình 1.4

và gồm có các bước (i) rời rạc hoá biên (với miền hai chiều là tạo thành một

đa giác với các cạnh nằm trên biên miền tính) Đây được gọi là front ban

đầu (ii) thêm các tam giác hoặc các tứ diện vào miền tính với ít nhất một cạnh hay mặt trên front Trong mỗi bước sẽ cập nhật front mới (iii) khi front trống, chẳng hạn trong miền hai chiều không còn cạnh nào trên front khi đó quá trình chia lưới kết thúc

H×nh 1.4 Ph−¬ng ph¸p Advancing front

• Delaunay triangulation: PhÐp chia l−íi Delaunay triangulation cña mét tËp hîp c¸c ®iÓm cã mét lý thuyÕt ®−îc ph¸t triÓn s©u réng [42] Cho tr−íc mét tËp hîp c¸c ®iÓm rêi r¹c trong mÆt ph¼ng, mét ®a gi¸c Voronoi cña mét

®iÓm P lµ mét miÒn gÇn ®iÓm P h¬n bÊt kú ®iÓm nµo kh¸c Ph©n ho¹ch Voronoi hay ph©n ho¹ch Dirichlet ®−îc t¹o nªn tõ nh÷ng ®a gi¸c Voronoi nh− vËy vµ phÐp chia l−íi tam gi¸c Delaunay sÏ lµ mét song hµnh cña ph©n ho¹ch Dirichlet §iÒu nµy ®−îc minh häa trong H×nh 1.5

H×nh 1.5 PhÐp chia tam gi¸c Delaunay vµ ph©n ho¹ch song hµnh Voronoi hay

Dirichlet

PhÇn tö míi

MÆt míiMÆt ban ®Çu

Tam giác Delaunay có hai tính chất hữu ích có thể áp dụng trong việc chia lưới: (i) Không có điểm nào nằm trong đường tròn ngoại tiếp của bất kỳ một tam giác nào khác Tính chất đường tròn ngoại tiếp “trống” (empty) này được sử dụng trong một số thuật toán chia tam giác Delaunay Tính chất này đúng trong mọi không gian (ii) Trong không gian hai chiều, phép chia tam giác Delaunay cực đại hoá góc nhỏ nhất cho tất cả các phần tử tam giác Tam giác Delaunay là duy nhất trừ trường hợp sự phân bố của các điểm bị suy thoái Trong trường hợp hai chiều, bốn

điểm nằm trên một đường tròn (Hình 1.6)

Hình 1.6 Phân bố của các điểm bị suy thoái

Có nhiều thuật toán cho việc phân chia tam giác Delaunay [42] chủ yếu trong trường hợp hai chiều Tuy nhiên thuật toán được sử dụng phổ biến nhất trong thực hành là thuật toán Bowyer-Watson [43, 44] Thuật toán này thêm các điểm một cách tuần tự vào hệ tam giác Delaunay đã có, thường thì bắt đầu từ một hệ tam giác rất

đơn giản (chẳng hạn là một tam giác lớn) mà nó bao bọc tất cả các điểm sẽ được dùng để tạo hệ lưới tam giác Delaunay Thuật toán được thực hiện theo các bước sau

đây: (i) Thêm một điểm vào hệ tam giác (ii) Tìm tất cả các tam giác đã có, những tam giác mà đường tròn ngoại tiếp của chúng chứa điểm mới (Hình 1.7) Tam giác chứa điểm mới phải được tìm thấy đầu tiên Sau đó các tam giác lân cận của tam giác này sẽ được tìm kiếm và tiếp nữa là đến các tam giác lân cận của các tam giác

đó v.v cho đến khi không một tam giác lân cận nào có đường tròn ngoại tiếp chứa

điểm mới đó (iii) Xoá đi các tam giác đó và luôn cho ta một đa giác lồi (iv) Nối

điểm mới này với tất cả các đỉnh của đa giác lồi này (Hình 1.7)

Hình 1.7 Phép chia tam giác Bowyer-Watson: Các đường tròn ngoại tiếp chứa điểm

mới và hệ tam giác mới nhận được Cũng như tất cả các phương pháp chia tam giác Delaunay khác, thuật toán Bowyer-Watson giả thiết rằng các điểm sẽ được chia là đã biết và do đó chỉ xác định một nửa bài toán sinh lưới Các điểm có thể được sinh trước (pre-generated), chẳng hạn từ các đỉnh của một lưới có cấu trúc xếp chồng lên miền tính với một số cách làm trơn và lọc phân bố điểm này để nhận được hệ tam giác có chất lượng tốt Tuy nhiên phương pháp hữu ích nhất là sinh các điểm đồng thời với sinh hệ tam giác, lựa chọn các điểm để cải thiện chất lượng hệ tam giác [45] Thuật toán sinh lưới được tiến hành gồm các bước sau đây: (i) Thiết lập hệ tam giác ban đầu cho một miền chữ nhật chứa miền tính (ii) Chèn các điểm biên vào hệ tam giác này sử dụng thuật toán Bowyer-Watson (iii) Xắp xếp các tam giác theo chất lượng của chúng, bắt đầu từ chất lượng xấu nhất (iv) Lấy tam giác đầu tiên trong danh sách và chèn một điểm mới vào vị trí tâm đường tròn ngoại tiếp điều này tạo ra trong phép chia tam giác các góc của các phần tử nằm trong khoảng 30o đến 120o trong không gian 2 chiều (v) Chia lại sử dụng thuật toán Bowyer-Watson (vi) Chèn tam giác mới vào danh sách chất lượng nếu chúng không đủ tốt

Phương pháp này cho phép tạo ra một trình sinh lưới rất hiệu quả Lưới không trơn bằng lưới sinh bởi phương pháp Advancing front nhưng thời gian chia thì nhanh hơn Tuy nhiên có thể có những vấn đề về tốc độ, đặc biệt là trong pha ban đầu, khi

có những phần tử lưới quá méo Một biến thể của phương pháp này, tạo lưới trơn hơn, đó là sinh các điểm lưới bên trong bằng phương pháp Advancing front [46]

Đối với vấn đề chia lưới phù hợp với biên, phép chia tam giác Delaunay sinh một tập hợp các điểm và không quan tâm đến các cạnh biên cố định

Hình 1.8 Hệ chia tam giác Delaunay không phù hợp với biên

Có hai cách để ép hệ chia tam giác Delaunay tuân theo biên một cách đúng

đắn Trong trường hợp hai chiều ta có thể định nghĩa hệ chia tam giác Delaunay cưỡng bức [47] Trong một hệ chia tam giác Delaunay cưỡng bức các cạnh được tiền

định nghĩa nằm trong hệ chia tam giác, tính chất đường tròn ngoại tiếp trống được cải tiến để áp dụng chỉ cho những điểm mà có thể nhìn thấy được từ ít nhất một

điểm của tam giác, nơi mà các cạnh được tiền định nghĩa của tam giác được xử lý như là đường mờ trong Hình 1.8 Sự tồn tại của hệ chia tam giác Delaunay cưỡng bức đảm bảo rằng tính có thể có của việc cải tiến một hệ chia tam giác Delaunay tuân theo biên thông qua việc chuyển đổi các cạnh, Hình 1.9, hoặc hơn nữa là chia lại hệ tam giác

Hình 1.9 Chuyển đổi cạnh để tạo một hệ chia tam giác Delaunay cưỡng bức tuân

theo biên

1.11.3 Một số phương pháp đang được phát triển

Có một số phương pháp khác chia lưới không cấu trúc đã và đang được phát triển nhưng nhìn chung các phương pháp này vẫn còn đang trong giai đoạn nghiên cứu thử nghiệm với ít các ứng dụng thực tiễn Dưới đây là một số liệt kê và các chỉ dẫn tham khảo liên quan đến các phương pháp mới này

• Phương pháp Paving [48]: Đây là phiên bản chia lưới không cấu trúc gồm các phần tử tứ giác hay lục giác của phương pháp Advancing front đã trình

Các tam giác không phù hợp với biên

bày ở trên Thuật toán lấp miền chia lưới bởi các lớp tịnh tiến gồm các tứ giác hoặc lục giác Cần nhiều các quy tắc phức tạp để tránh sự chồng lấn hay sự đụng chạm giữa các phần tử của các lớp khi các lớp phía trước tịnh tiến dần và tiếp xúc với nhau Tuy nhiên phương pháp lại cho ta các phần tử với chất lượng rất tốt ở biên

• Phương pháp Whisker weaving [49]: Đây là một lý thuyết mới rất được quan tâm nhưng có nhiều khó khăn trong việc cài đặt chương trình

• Các phương pháp lai: Có một số phương pháp kết hợp lưới có cấu trúc ở gần biên và lưới không cấu trúc ở các miền còn lại [46] Điều này tạo điều kiện thuận lợi cho việc chia lưới phù hợp tốt với các biên có hình dạng phức tạp Liên quan đến phương pháp tiếp cận này là phiên bản lớp tịnh tiến (advancing layer) của phương pháp Advancing front và phương pháp tịnh tiến theo phương pháp tuyến của phép chèn thêm điểm trong hệ chia tam giác Delaunay, cả hai phương pháp này đều cho lưới có cấu trúc tốt ở gần biên

• Ngoài ra còn có các phương pháp khác có thể tham khảo trong [50]

Chương 2 Giải số hệ phương trình nước nông hai chiều không dừng, không có gián đoạn bằng phương pháp

sai phân trên lưới không cấu trúc

Đây là phương pháp đã được nghiên cứu, phát triển và ứng dụng nhiều trong các tính toán thực tế bởi một số tác giả Nhật Bản [9] Phương pháp sai phân trên lưới không cấu trúc đã tận dụng được những ưu điểm của phương pháp FVM và phương pháp sai phân ngược dòng Các phương pháp này đều có ưu điểm là đơn giản về mặt toán học và dễ áp dụng lập trình Bên cạnh đó lưới tính toán không cấu trúc có tính mềm dẻo cao, có nhiều thuận lợi trong việc mô tả các miền hình học phức tạp

2.1 Hệ phương trình nước nông hai chiều không dừng tổng quát

Hệ phương trình nước nông hai chiều không dừng tổng quát (1.24), (1.25), (1.26) với M =q x, N =q y và một số giả thiết đơn giản hóa được viết như sau [51]: Phương trình liên tục:

h

v u M gn x

H gh y

vM x

h

v u N gn y

H gh y

vN x

2.2 Phương pháp sai phân trên lưới không cấu trúc

Phương pháp sai phân được áp dụng ở đây là kết hợp của phương pháp FVM và

kỹ thuật sai phân ngược dòng trên lưới không cấu trúc [9]

Hình 2.1 Lưới tính toán không cấu trúc và vị trí của các biến

Miền tính toán được chia thành các đa giác lồi với số cạnh tuỳ ý (Hình 2.1) Vị trí của các biến M , N và h trong phương trình sai phân lần lượt được lựa chọn tại trung điểm của các cạnh và tại trọng tâm của các phần tử (Hình 2.1)

Hình 2.2 Thể tích điều khiển (control volume) cho phương trình liên tục

Một cách tổng quát thể tích điều khiển của phương trình liên tục là phần tử bất

kỳ của lưới như Hình 2.2 và biểu thức sai phân của phương trình liên tục (2.1) được viết như sau trên lưới không cấu trúc [9]:

+

n l l

n l

n

n

x N y M A

t

h

trong đó n là bước thời gian; m là số cạnh của đa giác thể tích điều khiển; A là diện

tích của đa giác thể tích điều khiển; M l, N l là thành phần theo phương x và y của lưu lượng đơn vị trên cạnh l của đa giác thể tích điều khiển; ( )∆x l và ( )∆y l là hiệu

3 4

3 4

2 3

2 3

1 2

1 2

4 4 3 3 2 2 1 1

x x x

y y y

x x x

y y y

x x x

y y y

x x x

y y y

l l l l l l l l

của các toạ độ x và y tương ứng ở hai đỉnh của cạnh l

Vì M , N được xác định trên cạnh của các phần tử, chẳng hạn cạnh L (Hình

2.1), nên thể tích điều khiển dùng để xây dựng phương trình sai phân xác định M ,

N được lựa chọn là cả hai phần tử A và B kề với cạnh L Có thể mô tả thể tích điều

khiển áp dụng sai phân phương trình động lượng như Hình 2.3

Hình 2.3 Thể tích điều khiển (control volume) cho phương trình động lượng Biểu thức sai phân trên lưới không cấu trúc cho các phương trình động lượng (2.2) và (2.3) được viết như sau:

( )1 3

2 2

2 2 1

2

~2

~21

+ +

∆

ư

n L

n L

n L

n L

n L x

n L

M M

gn H

h m

m t

2 2 1

2

~2

~2

1

+ +

∆

ư

n L

n L

n L

n L

n L y

n L

N N

gn H

h n

n t

H H

n i

H H

n i

(2.8)

trong đó H i và H j là cao trình mặt nước tương ứng của các phần tử i và j ; (x i ,y i) và

(x j ,y j ) là tọa độ tương ứng của các trọng tâm của phần tử i và phần tử j ; DL là khoảng cách giữa hai trọng tâm của hai phần tử i và j ; h~L là giá trị nội suy của độ

j

i

i

d d d

h

d

h

Hình 2.5 Nội suy độ sâu cột nước tại trung điểm của các cạnh

trong đó h i và h j là độ sâu cột nước trên các phần tử i và j, d i và d j là các khoảng cách

từ trung điểm của cạnh đến các trọng tâm của các phần tử i và j (Hình 2.5)

Phần tử j Cạnh L

Bây giờ biểu diễn chi tiết của các số hạng m1+m2 và n1+n2 trong biểu thức

sai phân của phương trình động lượng sẽ được trình bày Các biểu thức đó được biểu diễn lần lượt như sau với thể tích điều khiển được sử dụng như Hình 2.3

n l l

n l

n l CV

x M v y M u A

n l l

n l

n l CV

x N v y N u A

n

trong đó A CV là diện tích của thể tích điều khiển; m’ là số cạnh của đa giác thể tích

điều khiển; u l và v l là các thành phần theo phương x và y của vận tốc dòng chảy ngang được định nghĩa tại trung điểm của các cạnh l của đa giác thể tích điều khiển;

Mˆ và Nˆ là các thành phần theo phương x và y của lưu lượng đơn vị được định nghĩa

tại trọng tâm của phần tử và được xác định như sau:

=

m m

m

d d

d

M d

M

1 1

=

m m

m

d d

d

N d

N

1 1

1

L

Hình 2.6 Nội suy lưu lượng đơn vị tại tâm của phần tử

trong đó M 1 , M 2 , …, M m , N 1 , N 2 , …, N m là các thành phần của lưu lượng đơn vị

(Hình 2.6) và d 1 , d 2 , …, d m là các khoảng cách từ trung điểm của các cạnh của phần

tử tới trọng tâm của của nó

n l

in

n l

n l

N N

M M

ˆˆ

ˆˆ

n l

out

n l

n l

N N

M M

ˆˆ

n l

out

n l

n l

N N

M M

ˆˆ

ˆˆ

n l

in

n l

n l

N N

M M

ˆˆ

n l

n l

lµ c¸c biªn bao miÒn tÝnh hoÆc còng cã thÓ lµ c¸c biªn néi bao quanh c¸c b·i kh« n»m trong miÒn tÝnh

( ) h gh

N

2.3.3 §iÒu kiÖn ban ®Çu

§iÒu kiÖn ban ®Çu cho m« h×nh cã thÓ ®−îc lÊy tõ c¸c kÕt qu¶ tÝnh to¸n æn