GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA.

BÀI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA. A.ĐẶT VẤN ĐỀ. 1.Lý do khách quan: Toán học là môn khoa học, toán học có vai trò rất quan trọng, là chìa khóa cho các ngành khoa học khác, toán học đa dạng và phong phú, mỗi nội dung toán học đều có những đặc trưng và áp dụng của nó. Cùng với sự phát triển của đất nước, thời kì công nghiệp hóa hiện đại hóa, phát triển và hội nhập thì việc tiếp thu khoa học hiện đại của thế giới. Do sự phát triển vượt bậc của khoa học kĩ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng, đòi hỏi ngay từ việc học của trò phải có kiến thức vững vàng, những lập luận chặt chẽ. Những người hướng dẫn các em tiếp thu kiến thức là những thày, cô giáo đang trực tiếp giảng dạy các em, nhà trường không thể luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được, điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức cần thiết cho bài học, để vận dụng vào làm bài tập. Qua nhiều năm là giáo viên giảng dạy trên lớp tôi thấy rằng việc truyền thụ kiến thức cho các em mới chỉ là một chiều, là chỉ mới chỉ cho các em thấy cái đúng, lời giải đúng, mà chưa chỉ cho các em tìm cái sai trong khi làm toán mà các em hay gặp để các em suy nghĩ sâu sắc hơn cho học sinh, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo. Trong nội dung này tôi chú ý tới vấn đề đòi hỏi học sinh khắc phục những sai lầm mà các em hay mắc phải khi làm toán, cụ thể trong chương I Đại số 9. Từ đó các em làm tốt hơn cho các nội dung học sau, và các môn học khác. 2.Lý do chủ quan: Trong chương trình đại số lớp 9 THCS phần kiến thức về căn bậc hai, căn bậc ba, tôi thấy học sinh còn mắc rất nhiều sai sót khi trình bày một bài toán, có những lỗi sai mà lẽ ra các em không đáng mắc phải, nhưng vì sao như vậy đó là một câu hỏi của tôi, làm thế nào để các em trình bày một bài toán được tốt mà ít mắc sai lầm, và ít bị bỏ quên các điều kiện như vậy. Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học tại trường THCS .Tôi phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn yếu, lời giải toán còn thiếu nhiều và chưa chắt chẽ theo tư duy toán học do nhiều nguyên nhân như năng lực tư duy ngôn ngữ, khả năng chuyển thể từ ngôn ngữ văn học thành các quan hệ toán học, chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai, hay có sự nhầm lẫn, hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích …Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là cần thiết, giúp các em có một sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức khi học căn bậc hai, tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này. Qua nghiên cứu tài liệu, thực tế giảng dạy và học hỏi đồng nghiệp tôi rút ra kinh nghiệm Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai nhằm tránh những sai lầm đáng tiếc của học sinh.

GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA.

A.ĐẶT VẤN ĐỀ.

1.Lý do khách quan:

Toán học là môn khoa học, toán học có vai trò rất quan trọng, là chìa khóacho các ngành khoa học khác, toán học đa dạng và phong phú, mỗi nội dung toánhọc đều có những đặc trưng và áp dụng của nó Cùng với sự phát triển của đấtnước, thời kì công nghiệp hóa hiện đại hóa, phát triển và hội nhập thì việc tiếp thukhoa học hiện đại của thế giới Do sự phát triển vượt bậc của khoa học kĩ thuật,kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng, đòi hỏi ngay từ việc họccủa trò phải có kiến thức vững vàng, những lập luận chặt chẽ Những người hướngdẫn các em tiếp thu kiến thức là những thày, cô giáo đang trực tiếp giảng dạy các

em, nhà trường không thể luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhậtđược, điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tựmình tìm kiếm những kiến thức cần thiết cho bài học, để vận dụng vào làm bài tập.Qua nhiều năm là giáo viên giảng dạy trên lớp tôi thấy rằng việc truyền thụ kiếnthức cho các em mới chỉ là một chiều, là chỉ mới chỉ cho các em thấy cái đúng, lờigiải đúng, mà chưa chỉ cho các em tìm cái sai trong khi làm toán mà các em haygặp để các em suy nghĩ sâu sắc hơn cho học sinh, phát huy tính tích cực chủ động,sáng tạo

Trong nội dung này tôi chú ý tới vấn đề đòi hỏi học sinh khắc phục những sai lầmmà các em hay mắc phải khi làm toán, cụ thể trong chương I Đại số 9 Từ đó các

em làm tốt hơn cho các nội dung học sau, và các môn học khác

2.Lý do chủ quan:

Trong chương trình đại số lớp 9 THCS phần kiến thức về căn bậc hai, căn bậc

ba, tôi thấy học sinh còn mắc rất nhiều sai sót khi trình bày một bài toán, có nhữnglỗi sai mà lẽ ra các em không đáng mắc phải, nhưng vì sao như vậy đó là một câuhỏi của tôi, làm thế nào để các em trình bày một bài toán được tốt mà ít mắc sailầm, và ít bị bỏ quên các điều kiện như vậy

Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học tại trường THCS Tôiphát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn yếu, lờigiải toán còn thiếu nhiều và chưa chắt chẽ theo tư duy toán học do nhiều nguyênnhân như năng lực tư duy ngôn ngữ, khả năng chuyển thể từ ngôn ngữ văn họcthành các quan hệ toán học, chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thựchiện các phép toán về căn bậc hai, hay có sự nhầm lẫn, hiểu sai đầu bài, thực hiệnsai mục đích …Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh đượcsự nhầm lẫn đó là cần thiết, giúp các em có một sự am hiểu vững chắc về lượngkiến thức khi học căn bậc hai, tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toáncao hơn sau này

Qua nghiên cứu tài liệu, thực tế giảng dạy và học hỏi đồng nghiệp tôi rút ra kinh

nghiệm " Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài

toán về căn bậc hai" nhằm tránh những sai lầm đáng tiếc của học sinh.

B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

I Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu:

Khi dạy học sinh về căn thức bậc hai, tôi thấy học sinh còn lúng túng khitrình bày bài toán về căn bậc hai, tôi rất băn khoăn làm thế nào để học sinh làm tốtđược bài tập, không sai sót

Trước thời gian đó nhiều em học sinh đi thi về cho rằng mình làm tốt bài, xongđiểm chưa được cao, chưa tối đa, lỗi vì đâu

Khi kiểm tra 15 phút của 32 em học sinh lớp 9A của trường THCS trong nội dungđầu năm học về căn thức bậc hai tôi thấy học sinh còn mắc khá nhiều lỗi sai mà lẽ

ra các em không mắc phải, khi điều tra và thống kê tôi thấy kết quả không nhưmong muốn

Nội dung kiểm tra

Câu 1 Tìm các căn bậc hai của các số sau

II.Phạm vi nghiên cứu:

Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “Nhóm sai lầm” mà học sinh thườngmắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chương I –Đại số 9.Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lậpluận sai, hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác Từ đó định hướngcho học sinh phương pháp giải toán về căn bậc hai

III Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh lớp 9 THCS, học sinh giỏi lớp 9 tại đơn vị trường tôi đang trực tiếpgiảng dạy

IV Phương pháp nghiên cứu:

1 Đối với giáo viên:

- Nghiên cứu tài liệu, lựa chọn các bài tập để minh họa hợp lý từ đó gúp học sinh

nắm được cách làm

-Tổ chức cho học sinh được bồi dưỡng để triển khai đề tài

-Sử dụng các phương pháp :

+ Phương pháp điều tra

+ Phương pháp thống kê

+Phương pháp so sánh đối chứng

+ Phương pháp phân tích tổng hợp

- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp

- Dạy học thực tế trên lớp để đúc rút kinh nghiệm

- Thông qua học tập bồi dưỡng các chu kì GDTX

- Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên có kinh nghiệm của trườngtrong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân trong những nămgiảng dạy tại trường THCS

- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiêncứu vào thực tiễn giảng dạy, nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinhthường mắc phải khi giải toán

2 Đối với học sinh:

-Làm bài tập giáo viên giao, các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập có liênquan đến nội dung đề tài

-Sau khi giáo viên hướng dẫn qua các ví dụ thì phải nắm chắc và biết vận dụng vào

làm các bài toán cùng loại

V: NỘI DUNG KINH NGHIỆM" Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm

thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai"

1 Cơ sở lí thuyết:

-Định nghĩa về căn bậc hai số học

Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

-Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn

A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC.

Từ bài tập 16(SGK-t12 đại số lớp 9 tập 1) Đố Hãy tìm chỗ sai trong phép

chứng minh"Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây

Lời giải.

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam) Ta có

m2 +V2 =V2 +m2

Cộng cả hai vế với -2mV, ta có

Từ đó ta có 2m =2V, suy ra m=V Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!)

Từ bài toán đó tôi thấy học sinh bàn luận hứng thú hơn và cũng từ đó tôi đãđưa các bài toán kiểu như vậy cho học sinh làm, nhằm gây hứng thú, đồng thời chỉ

ra một số sai lầm khi làm bài của học sinh

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh học trong chương I đại số lớp 9 thườngmắc một số lỗi sau Sau đây tôi đưa ra một số nội dung lỗi mà học sinh hay mắcphải đồng thời đưa ra cách khắc phục cho học sinh

Dạng 1: sai lầm trong tính toán

Khi làm bài tập học sinh hay sai trong việc tính toán, như nhầm dấu, nhânsai các nội dung này giáo viên khắc phục thường xuyên ở các lớp trước Trongnội dung này ta đề cập đến việc học sinh hay mắc phải nỗi sai khi dử dụng hằngđẳng thức A2 A

Bài toán 1.(SGK/tr10, ĐS 9) Rút gọn biểu thức:

Phân tích sai lầm Ở đây học sinh đã sử dụng hằng đẳng thức trên nhưng

không xét đến biểu thức A, và không vận dụng tốt hằng đẳng thức A2 A

Khắc phục sai lầm Chỉ ra sai cho học sinh và đồng thời lưu ý hằng đẳng

thức A2 A Có nghĩa là:

2

A A nếu A 0( tức là A lấy giá trị không âm)

2

A A nếu A 0( tức là A lấy giá trị âm)

Khi vận dụng cần chú ý tới biểu thức trong dấu căn để biến đổi

Lời giải đúng.

Lời giải sai:

a) Vì x 0 nên ta có x x 2, từ đó ta có

1 1

x x

1 1

x x

Phân tích sai lầm Việc biến đổi của các em cơ bản là tốt, nhưng khi sử

dụng hằng đẳng thức A2 A Thì các em vẫn hay mắc phải, ở bài toán trên, đối

với câu a) học sinh sai ở bước  

2 2

1 1

x x

1 1

x x

1 1

x x

x





 b)Với y >0, ta có y 2 y  1  y 12





Dạng 2: sai lầm trong giải phương trình.

Bai 1 Tìm x, biết:

x  x  (1)

Lời giải sai.

Phân tích sai lầm Sai ở chỗ học sinh mới chỉ lấy một trường hợp, mà khi

giải loại bài tập này cần sử dụng A2 A

Lời giải đúng.

Bài 2: Giải phương trình :

Lời giải sai:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1=0; x2=-3

Phân tích sai lầm Sai ở chỗ với điều kiện x 4 thì vế phải chưa chắc đãkhông âm, vì vậy việc bình phương hai vế đã không đúng vì x2=-3 là bị loại

Khắc phục sai lầm Khi giải dạng toán A B cần lưu ý 2

So sánh điều kiện x=-3 (bị loại) , x=0 (TM)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x=0

Bài 3: Giải phương trình.

( 1) ( 2) 2 ( 3)

x x  x x  x x (1)

Lời giải sai:

Phương trình đã cho vô nghiệm trong khoảng x<0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Phân tích sai lầm Sai ở đây là khi x=0 phương trình đã cho vẫn tồn tại, như

vậy học sinh đã vô tình chia cả hai vế cho biểu thức chứa ẩn và làm mất nghiệmcủa phương trình

Khắc phục sai lầm.Không được chia hai vế phương trình cho một biểu thức

chứa ẩn khi chưa kiểm tra biểu thức đó bằng 0 có là nghiệm phương trình không.Cần lưu ý AB  A B. Khi A0 ;B0

AB  A Bkhi A0 ;B0

Lời giải đúng.

+ Khi x=0 thỏa mãn phương trình , vậy x=0 là một nghiệm của phương trình

+ Khi x>0

(1) x x  1  x x  2 2  x x  3  x 1  x 2 2  x 3

Điều kiện x 3 khi đó ta có

Phương trình đã cho vô nghiệmtrong khoảng x<0

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x=0

Bài 4 Giải phương trình x 1  5x 1  3x 2

Lời giải sai:

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

So với điều kiện x 1thì x= 12

11là nghiệm phương trình Phân tích sai lầm Sai ở chỗ các em đã bình phương hai vế phương trình mà

chưa chú ý đến điều kiện là hai vế phương trình phải cùng dấu việc sử dụng kiếnthức a b  a2 b2( khi a,b cùng dấu )

Khắc phục sai lầm Khi bình phương hai vế của một phương trình học sinh

cần chú ý đến hai vế phải cùng dấu nghĩa là a b  a2 b2( khi a,b cùng dấu )

Lời giải đúng.

Điều kiện xác định của phương trình là x 1.(1)

Chuyển vế, ta có x 1  5x 1  3x 2  x 1  5x 1  3x 2

Bình phương hai vế của phương trình được

x 1 5  x  1 3x 2 2 15  x2  13x 2

Rút gọn thành 2-7x=2 15x2  13x 2 ( *)

Đến đây có hai cách giải

Cách 1: Với điều kiện 2 7 0 2

x  không thỏa mãn điều kiện (1), loại

Giá trị x 2 2 không thỏa mãn điều kiện (2), loại

Vậy phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Phân tích sai lầm Tuy bài làm tưởng như là đúng, nhưng sai ở đây là học

sinh đã cho vào trong dấu căn biểu thức      

(x-2) chưa thể khẳng định là biểu thức dương, nên kết quả bài toán là không đúng

Khắc phục sai lầm Khi đưa một thừa số vào trong dấu căn phải vận dụng

Với A 0 và B 0 ta có A B  A B2

Với A 0 và B 0 ta có A B  A B2

Lời giải đúng.

Điều kiện: 2 0 2

2 0

x

x x

Ta có y2+4y+3=0 nên y1=-1, y2 =-3 Do y<0 nên từ (2) suy ra x<2

Với y=-1, thay vào (3) đượcx2-4=1 Do x<2 nên x= 5

Với y=-3, thay vào (3) đượcx2-4=9 Do x<2 nên x= 13

Vậy phương trình có hai nghiệm là  5;  13

Bài 6 Giải phương trình.

3 2x  1 3 x  1 (1)

Lời giải sai.

Lập phương hai vế, ta được 2x   1 x 33 x x(2  1).3 2x  1 3 x  1 (2)

Thay 3 2x  1 3 x 1 Vào (2) ta có 3x+1+33 x x  (2 1) 1 (3)

Phân tích sai lầm Các phương trình (1) và (2) tương đương, nhưng các

phương trình (2) và (3) không tương đương Từ (2) suy ra được (3), nhưng từ (3)không suy ra được (2)

Khắc phục sai lầm Khi tìm được nghiệm của phương trình (3) là 0 và -1,

phải thử lại các giá trị đó vào (1) để chọn ra nghiệm của (1)

Lời giải đúng.

Lập phương hai vế, ta được 2x   1 x 33 x x(2  1).3 2x  1 3 x  1 (2)

Thay 3 2x  1 3 x 1 Vào (2) ta có 3x+1+33 x x  (2 1) 1 (3)

Thử lại x1=0 thỏa mãn (1)

x2=-1 không thỏa mãn (1), loại

Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x=0

Dạng 3: sai lầm trong giải bất phương trình

Bài 1 Tìm x để biểu thức x 2 1 có nghĩa :

Lời giải sai.

2 1

x  có nghĩa khi x2    1 0 x2   1 x 1

Phân tích sai lầm Tuy học sinh đã vận dụng đúng kiến thức A có nghĩakhi A0, nhưng việc giải bất phương trình, kết hợp nghiệm của bất phương trìnhlại sai

Khắc phục sai lầm khi dạy nội dung này cần chú ý hướng dẫn cho học sinh

và phân tích kĩ nội dung giải bất phương trình và kết hợp nghiệm.

Lời giải đúng.

2 1

x  có nghĩa khi x2    1 0 x2   1 x 1 hoặc x < -1

Cũng có thể làm như sau x 2 1có nghĩa khi

Bài 2 Tìm x để biểu thức sau x 1 x 3 có nghĩa

Lời giải sai.

biểu thức x 1 x 3 có nghĩa khi(x-1)(x+3) 0 1 0

1

3 0

x

x x

Phân tích sai lầm Trong trường hợp này học sinh khi làm bài đã chỉ nghĩ

đến trường hợp tích hai thừa số dương là một số dương, mà không nghĩ đến haithừa số cùng âm thì tích cũng là một số dương

Khắc phục sai lầm Khi dạy nội dung này cần chú ý đến A.B0 khi và chỉkhi A;B cùng dấu, có hai trường hợp A;B cùng dương hoặc cùng âm

Lời giải đúng.

Biểu thức x 1 x 3 có nghĩa khi(x-1)(x+3) 0 1 0

1

3 0

x

x x

 



 

 Vậy biểu thức có nghĩa khi x 1 hoặc x -3

Đôi khi trong bài tập này còn có học sinh đã xét hai trường hợp như trên nhưng lạikết hợp nghiệm sai, vì vậy giáo viên phải lưu ý cho học sinh việc kết hợp nghiệmhệ bất phương trình

Bài 3 Tìm x, biết.

x  1 0

Lời giải sai.

Lời giải sai :

Điều kiện của bất phương trình là: 19

Vậy bất phương trình có nghiệm x>9

Phân tích sai lầm Cũng giống như bài 4 phần (sai lầm khi giải phương trình), học sinh sau khi đặt điều kiện cho bất phương trình sau đó bình phương hai

về, chưa xét xem hai vế không âm

Khắc phục sai lầm Khi đặt xong điều kiện cho bất phương trình có nghĩa,

trước khi bình phương cần xét đến hai vế của phương trình, khi hai vế không âm,sau đó bình phương hai vế không âm của bất phương trình

Lời giải đúng.

Điều kiện của bất phương trình là: 19

Dạng 4: sai lầm thường gặp trong giải bài toán cực trị

Bài1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Phân tích sai lầm Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khảng định

( A có tử số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất) mà chưa nhận xéttử và mẫu là các số dương