Nhưng rõ ràng trong 2 phương trình trên Đenta không phải số chính phương hay nói cách khác ta không thể phân tích thành nhân tử.. Câu hỏi đặt ra ở đây là tại sao lại biết nhân pt2 với 2
Trang 1Sau đây chúng ta sẽ tham khảo thêm một phương pháp mới để giải các hệ phương trình có dạng tổng quát sau:
⎪
⎪
⎨
⎧
= + + + +
+ +
= + + + + + +
⎪
⎪
⎨
⎧
= + + +
= + + +
0 ' ' ' ' '
' '
0
0 ' '
' '
0
3 2
2 3
3 2 2
3
2 2
2 2
h y g x e y d xy c y x b x a
h gy ex dy cxy y bx ax
d y c xy b x a
d cy bxy ax
Và những hệ tương tự như vậy
V
Víííí d d dụ ụ ụ 1: 1: Gi Giả ả ảiiii h h hệệệệ ph ph phươ ươ ương ng ng tr tr trìììình: nh:
⎪
⎪
⎨
⎧
= + + +
= + + +
) 2 ( 0
1 3
) 1 ( 0
3 2 2 2
2 2
y y xy
x y xy x
Thông thường đối với hệ này ta sẽ đưa 1 trong 2 phương trình của hệ về phương trình bậc 2 rồi lập Đenta để phân tích thành nhân tử (khi đenta là số chính phương) Nhưng rõ ràng trong 2 phương trình trên Đenta không phải
số chính phương hay nói cách khác ta không thể phân tích thành nhân tử
Thử lấy pt(1)+2.pt(2) ta được:
0 2 6 2 2 3 2 2
2 2
2 2
2
= + + + + +
⇔
= + + + + + + +
y y x y x
y y xy x y xy x
Phương trình này có: ∆ =(4y+ 3)2 − 4(4y2+ 6y+ 2)= 1
Do đó: ⎢
⎣
⎡
−
−
=
−
−
=
2 2
1 2
y x
y x
Từ đây ta tiếp tục giải 2 hệ cơ bản để tìm nghiệm của hệ ban đầu Câu hỏi đặt ra ở đây là tại sao lại biết nhân pt(2) với 2 mà không phải số nào khác, rồi lại cộng với pt(1) mà không phải là trừ?
Đây là một phương pháp không mới nhưng cơ sở để thực hiện phương pháp này lại khá mới và thú vị Tôi không nêu tổng quát các bước giải, mà chỉ xét
ví dụ nhưng cũng đủ để các bạn nhận ra được quy tắc chung đó.
V
Víííí d d dụ ụ ụ 2: 2: Gi Giả ả ảiiii h h hệệệệ ph ph phươ ươ ương ng ng tr tr trìììình: nh:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
−
=
− +
= +
) 2 ( 1 3 25
57 3 4
) 1 ( 5
1
2
2 2
x y x
x
y x
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH.
Trang 2Bước nháp:
Lấy pt( 2 ) +α.pt( 1 ); (α∈R) và biến đổi ta được phương trình:
25
1137 308
20 4
2 4
16 9
25
57 5 4
4 1 9
(*) 0
25
57 5 1
3 4
0 25
57 3
3 4 5
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
+ +
+
− +
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
− + +
− +
=
∆
⇒
=
+
− + + + + +
⇔
=
− + + + +
− +
α α
α α
α
α α
α
α α
α
α α
y y
y y y
y y x y x
y x xy x
y x
Ta sẽ tìm giá trị của anpha để Đenta là số chính phương Và anpha không nhất thiết phải nguyên hoặc phải dương, ta có mẹo nhỏ để biết giá trị anpha:
2
1 2
9 0
4 16
9 − α− α2 ≥ ⇔ − ≤α ≤
Thử ngay ta thấy
2
1
=
α thỏa mãn vì:
2
5
36 25
1296
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
Như vậy ta đã rõ hệ số cần nhân vào phương trình (1) của hệ Vậy khi trình bày vào bài làm ta sẽ ghi:
Lấy ( 1 ) ( 2 )
2
1
pt
pt + và biến đổi ta được phương trình:
25
119 2
1 6 9
0 50
119 2
1 1 3 2 9
2 2
2 2
=
− + + + +
⇔
=
− + +
+ +
y y x y x
y y x y x
(Để cho nhanh, ta thế anpha vào pt(*) ở trên)
5
36 25
1296
=
∆
⇒
=
∆
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
=
−
=
⇒
15
5 7 15
5 7
y x
y x
Sau đó giải 2 hệ cơ bản ta tìm được nghiệm của hệ
Kết luận (2/5;1/5) và (11/25;2/25) là nghiệm của hệ phương trình
V
Víííí d d dụ ụ ụ 3: 3: Gi Giả ả ảiiii h h hệệệệ ph ph phươ ươ ương ng ng tr tr trìììình: nh:
⎩
⎨
⎧
=
−
−
+
= + +
) 2 ( 1
2 2
) 1 ( 2 2 1
2 2
y y x
y x y
x
Lấy pt( 1 ) +α.pt( 2 ) và gom gọn ta được:
Trang 3( ) ( ) ( )
'
0 1
1 2 1
1
2
2 2
2 2
2 2
=
→ + +
− +
= +
− + +
−
−
−
=
∆
=
− + +
−
− +
−
+
α α α
α α α
α α
α α
α α
y y y
y y
y y
x y
x
Vậy ta chỉ cần cộng 2 phương trình của hệ theo vế
Từ đó ta được:
( 2)( 2 ) 0 4
2 2 2
= +
−
⇔ +
=
x
Từ đó tìm được nghiệm của hệ
V
Víííí d d dụ ụ ụ 4: 4: (VMO (VMO 2004) 2004) 2004) Gi Gi Giả ả ảiiii h h hệệệệ ph ph phươ ươ ương ng ng tr tr trìììình: nh:
⎪
⎪
⎨
⎧
−
= +
−
−
= +
) 2 ( 17
8 8
) 1 ( 49
3
2 2
2 3
x y y xy x
xy x
Lấy pt( 1 ) +α.pt( 2 ) và biến đổi ta được:
2 3
= +
− + +
− +
Đây không còn là phương trình bậc hai nên ta không còn lập đenta như 2 ví
dụ trên được, mà ta sẽ tìm anpha để đưa (*) về phương trình tích
Nhớ lại định lý về nghiệm hữu tỷ của phương trình bậc cao ta sẽ có nghiệm của pt(*) là một trong các giá trị:
{− 1 ; 1 ;α y2− 8α y+ 49}
Dễ thấy x= -1 là 1 nghiệm của hệ, thay x= -1 vào (*) thì ta được:
( 3) 16 48 0 ( 3) ( 16) 0 3
0 49 8
17 8
3 1
2 2
2 2
=
⇒
=
−
−
⇔
= +
−
−
⇔
= +
− +
− +
− +
−
α α
α α
α α
α α
α
y y
y y
y y
Vậy lời giải của bài toán trên là:
Nhân phương trình 2 với 3 rồi cộng với phương trình 1 theo vế ta được phương trình:
( ) ( ( ) ( ) ) ⎢
⎣
⎡
=
−
=
−
=
⇒
=
− + + +
⇔
= +
− + + +
⇔
= +
− + +
− + +
4
; 1
1 0
4 3 1 1
0 49 24 3
2 1
0 49 24 3
51 24 3
3
2 2
2 2
2 2
2 3
y x
x y
x x
y y
x x x
y y
x y y
x x
Kết luận hệ đã cho có 2 nghiệm: (-1;4) và (-1;4)
V
Víííí d d dụ ụ ụ 5: 5: Gi Giả ả ảiiii h h hệệệệ ph ph phươ ươ ương ng ng tr tr trìììình: nh:
⎪
⎪
⎨
⎧
+
= +
+
= +
) 2 ( 3
2 3
2
) 1 ( 2
2
2 2 2 3
2 2
y x y xy x
y xy y x
Vẫn bước quen thuộc:
2x3+ α− y x2 + y2 −α y x+ y α y− y−α =
Nghiệm của pt(*) có thể là 1 trong các giá trị:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
2
; 2
;
;
; 1
;
1 y y y y
Trang 4Và x=y là 1 nghiệm trong số đó Thay x=y vào pt(*):
y2 + α− 1 −α = 0 ⇔ − 1 +α = 0 ⇒α = −
Vậy lời giải của bài toán này là:
+Khi y=0 thì x=0 là 1 nghiệm của hệ
+Khi y khác 0, nhân 2 vế của pt(1) với (-y) rồi cộng với pt(2) ta được:
(x y) (x xy y ) x y
y xy y x x
=
⇒
= +
−
−
⇔
=
− +
−
0
0 2
2
2 2
3 2 2
3
Kết luận hệ có 2 nghiệm: (0;0), (1;1)
(Lưu ý: hệ này là hệ đẳng cấp)
B
BÀ À ÀIIII T T TẬ Ậ ẬP P P T T TỰ Ự Ự LUY LUY LUYỆ Ệ ỆN N.
Giải các hệ phương trình sau:
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
−
=
−
=
−
⎪
⎪
⎨
⎧
+
= +
= +
⎪
⎪
⎨
⎧
= + + + +
= + +
⎪
⎪
⎨
⎧
= + + +
= + + +
y x y
x y
x
y x
y x y
x
y x
x xy y
x
y y x
y y xy
x y xy x
8 4 4
3 2
240 )
4
9 16 3
4
91 )
3
0 13 5 2 5 5
0 35 2
6
)
2
0 1 3
0 3 2 2 )
1
2 2 3
3
4 4
2 2
3 3
2 2
3 2
2
2 2