tập hút lùi đối với một lớp phương trình parabolic suy biến

Một cách tiếp cậnbài toán này đối với một hệ động lực tán xạ là phân tích sự tồn tại và cấutrúc của tập hút toàn cục global attractor của nó.. Để nghiên cứu bài toán 0.1, ta sẽ sử dụng k

đại học quốc gia hà nội

tr-ờng đại học khoa học tự nhiên

đại học quốc gia hà nội

tr-ờng đại học khoa học tự nhiên

Mục lục

Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt 3

1 Không gian hàm và các định nghĩa 9

1.1 Không gian hàm và toán tử 9

1.2 Tập hút lùi (Pullback attractors) 11

1.3 Một số bổ đề, định lý 14

1.3.1 Bổ đề Gronwall 14

1.3.2 Bổ đề Gronwall đều 15

2 Sự tồn tại nghiệm yếu 17 2.1 Đặt bài toán 17

2.1.1 Các giả thiết của bài toán 17

2.1.2 Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán 18

2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán 19

3 Sự tồn tại của D− tập hút lùi trong Hµ(Ω)T Lp(Ω) 28 3.1 Các bổ đề 28

3.2 Định lý 37

Tài liệu tham khảo 40

Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt

Trong khóa luận này, để cho ngắn gọn, ta dùng kí hiệu: |.|2, (.,.), kukµ, ((., ))µ,làm chuẩn và tích vô hướng trong L2(Ω) và Hµ(Ω); tương tự, ta dùng |.|plàm chuẩn trong Lp(Ω) Ta cũng thường sử dụng ký hiệu sau:

ΩM = Ω(u(t) ≥ M ) = {x ∈ Ω : u(x, t) ≥ M }

Lời mở đầu

Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các hệ động lực là một trongcác vấn đề quan trọng nhất của vật lý toán hiện đại Một cách tiếp cậnbài toán này đối với một hệ động lực tán xạ là phân tích sự tồn tại và cấutrúc của tập hút toàn cục (global attractor) của nó Đó là một tập đóng, bịchặn, bất biến và hút tất cả các tập bị chặn Tập hút toàn cục chứa đựngnhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ động lực đang xét Tuy nhiên,tập hút toàn cục chỉ áp dụng được cho các trường hợp ôtônôm, trong khirất nhiều quá trình có ngoại lực phụ thuộc vào thời gian Do đó, cần phải

mở rộng khái niệm tập hút cho các hệ động lực không ôtônôm Việc mởrộng nghiên cứu về tập hút đã dẫn đến khái niệm tập hút đều (uniformattractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm bị chặn khi thời gian t tiến ra

vô hạn, và sau đó là khái niệm tập hút lùi (pullback attractor) cho trườnghợp quỹ đạo nghiệm bất kỳ khi thời gian t tiến ra vô hạn

Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi đối với mộtlớp phương trình parabolic suy biến:

(0.1)với Ω là một miền bị chặn trong RN (N ≥ 3) có chứa gốc tọa độ, uτ ∈ L2(Ω)

là hàm cho trước, 0 < µ ≤ µ∗ là tham số, µ∗ = (N −22 )2 là hằng số lớn nhất

thỏa mãn bất đẳng thức Hardy:

µ∗Z

ut − ∆u − µ

|x|2u + f (u) = g(t, x),bài toán (0.1) đã được nghiên cứu trong bài báo [1] Trong đó, các tác giả

đã nghiên cứu về sự tồn tại toàn cục và sự phụ thuộc của dáng điệu nghiệmcủa các phương trình vào tham số µ Trong luận văn này, tác giả tiếp tụcnghiên cứu bài toán (0.1) trong trường hợp hàm ngoại lực là g(t, x) và hàmphi tuyến f = f (u, t) Hàm phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn các điềukiện sau:

Để nghiên cứu bài toán (0.1), ta sẽ sử dụng không gian Hµ(Ω), 0 ≤ µ ≤ µ∗,được định nghĩa như là bao đóng của C∞0 (Ω) với chuẩn

Phương pháp được sử dụng ở khóa luận này được mô tả như sau: Trướctiên ta sử dụng phương pháp compact hóa [9] để chứng minh sự tồn tạitoàn cục của một nghiệm yếu và sử dụng đánh giá tiên nghiệm để chỉ ra

sự tồn tại của một họ các D- tập hấp thụ lùi bB = {B(t) : t ∈ R} trong

Hµ(Ω)T Lp(Ω) cho quá trình nói trên Do tính compact của phép nhúng

Hµ(Ω) ,→ L2(Ω), quá trình nói trên là D- tiệm cận compact lùi trong L2(Ω).Điều này kéo theo sự tồn tại của một D- tập hút lùi trong L2(Ω) Trongquá trình chứng minh sự tồn tại của D- tập hút lùi trong Lp(Ω) và trong

Hµ(Ω)T Lp(Ω), để khắc phục các khó khăn do thiếu các kết quả về phépnhúng, ta sử dụng phương pháp tiệm cận đánh giá tiên nghiệm đã đượckhởi đầu trong [11] cho các phương trình ôtônôm

Cấu trúc của khóa luận gồm ba chương:

- Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về khái niệm cũng như các kếtquả về không gian và tập hút lùi đối với phương trình parabolic phi tuyến

- Chương 2: Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.1)

- Chương 3: Chứng minh sự tồn tại của D− tập hút lùi trong Hµ(Ω)T Lp(Ω)(trong trường hợp f (u, t) không phụ thuộc vào t)

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn chắc chắn vẫn còn nhiều thiếusót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và đồng nghiệp

để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2011

Chương 1

Không gian hàm và các định nghĩa

Với mỗi 0 ≤ µ ≤ µ∗, ta định nghĩa không gian Hµ(Ω) như là một bao đóngcủa C∞0 (Ω) với chuẩn:

với mọi u ∈ C∞0 (Ω) Do đó dẫn tới các phép nhúng liên tục sau, khi 1 ≤

q < 2 và 0 ≤ s < 1:

Hµ(Ω) ,→ W01,q(Ω), Hµ(Ω) ,→ H0s(Ω) (1.3)Hơn nữa, vì W01,q(Ω) được nhúng compact trong H0s(Ω) với mỗi q = q(s)thích hợp, và H0s(Ω) được nhúng compact trong L2(Ω), ta có các phépnhúng compact sau:

Hµ1(Ω) ,→ L2(Ω), Hµ(Ω) ,→ H0s(Ω), 0 ≤ s < 1 (1.4)

Nhắc lại rằng phép nhúng W1,q ,→ Lp(Ω) là liên tục với 1 ≤ p ≤ N −qN q và

q < N Khi đó, đặt p∗ = N −qN q với 1 ≤ q < 2, thì từ (2.3) suy ra phép nhúngliên tục Hµ(Ω) ,→ Lp(Ω) đúng với mọi 1 ≤ p ≤ p∗ Bây giờ ta xét bài toánbiên sau đây

Để có thể áp dụng thác triển Friedrichs của các toán tử đối xứng (xem[13])

ta nhắc lại biến đổi bất đẳng thức Hardy trong [12]:

|x|2u Từ đó suy ra ˜A là một toán tử dương liên hợp

và không gian năng lượng XE bằng với Hµ(Ω) vì XE là không gian mở rộngcủa D( ˜A) = C∞0 (Ω) với tích vô hướng

với AE : Hµ(Ω) → Hµ−1(Ω) là thác triển mạnh, (Hµ−1(Ω) là không gian đốingẫu của Hµ(Ω) ), và A = −∆ − µ

|x|2 là thác triển Friedrichs của ˜A với miềnxác định là

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử (X,d) là một không gian metric Với A, B ⊂ X,

ta định nghĩa nửa khoảng cách Hausdorff giữa A và B bởi

U (t, s)U (s, τ ) = U (t, τ ) với mọi t ≥ s ≥ τ, τ ∈ R

Định nghĩa 1.2.3 Quá trình {U (t, τ )} được gọi là liên tục norm-to-weaktrên X nếu U (t, τ )xn hội tụ yếu tới U (t, τ )x khi xn hội tụ mạnh tới x trong

X, với mọi t ≥ τ, τ ∈ R

Bây giờ ta nhắc lại một phương pháp để kiểm tra một quá trình là liêntục norm-to-weak.

Bổ đề 1.2.4 [14] Giả sử X và Y là hai không gian Banach , X∗, Y∗ là cáckhông gian đối ngẫu tương ứng Giả sử rằng X trù mật trong Y, đơn ánh

i : X → Y liên tục và ánh xạ đối ngẫu i∗ : Y∗ → X∗ là trù mật, {U (t, τ )}

là quá trình liên tục hoặc liên tục yếu trên Y Khi đó {U (t, τ )} là liên tụcnorm-to-weak trên X nếu và chỉ nếu cho t ≥ τ, τ ∈ R, U (t, τ ) ánh xạ mộttập compact của X vào một tập bị chặn của X

Giả sử B(X) là họ tất cả các tập con khác rỗng, bị chặn của X, và D

là một lớp khác rỗng của tập hợp được tham số hóa ˆD = {D(t) : t ∈ R} ⊂B(X)

Định nghĩa 1.2.5 Một quá trình {U (t, τ )} được gọi là D− tiệm cận pact lùi nếu với mọi t ∈ R, với mọi ˆD ∈ D và với mọi τn → −∞, với mọidãy xn ∈ D(τn), dãy {U (t, τn)xn} là compact tương đối trong X

com-Định nghĩa 1.2.6 Một quá trình {U (t, τ )} được gọi là ω − D− giới hạncompact lùi nếu với mọi  > 0, với mọi t ∈ R, với mọi ˆD ∈ D luôn tồn tạimột τ0(D, , t) ≤ t, sao cho

Bổ đề 1.2.7 [7] Một quá trình {U (t, τ )} là D− tiệm cận compact lùi nếu

và chỉ nếu nó là ω − D− giới hạn compact lùi

Định nghĩa 1.2.8 Một họ các tập hợp bị chặn ˆB ∈ D được gọi là D− tậphấp thụ lùi của quá trình {U (t, τ )} nếu với mọi t ∈ R, với mọi ˆD ∈ D, tồntại τ0 = τ0( ˆD, t) sao cho

3 ˆA là D− hút lùi, tức là

lim

với mọi ˆD ∈ D và với mọi t ∈ R;

4 Nếu {C(t) : t ∈ R} là một họ các tập hút đóng thì A(t) ⊂ C(t) với mọi

t ∈ R

Định lý 1.2.10 [7] Giả sử {U (t, τ )} là một quá trình liên tục weak sao cho {U (t, τ )} là D− tiệm cận compact lùi Nếu tồn tại một họcác D− tập hấp thụ lùi ˆB = {B(t) : t ∈ R} ∈ D thì {U(t, τ )} có duy nhấtmột D− tập hút lùi ˆA = {A(t) : t ∈ R} và

1.3 Một số bổ đề, định lý.

1.3.1 Bổ đề Gronwall

Định lý 1.3.1 (Bổ đề Gronwall) Giả sử I là kí hiệu cho một khoảngtrên đường thẳng thực, có dạng [a; ∞) , hoặc [a; b], hoặc [a; b) với a < b.Giả sử β và u là các hàm thực liên tục trên I Nếu u khả vi trong phầntrong Io của I (khoảng I bỏ đi các đầu mút a, b) và thỏa mãn

u0(t) ≤ β (t) u (t) , t ∈ Io,thì u bị chặn bởi nghiệm của phương trình vi phân tương ứng u0(t) =

v0(t) = β (t) v (t) , t ∈ Io,với v (a) = 1, v (t) > 0, ∀t ∈ I Ta có

ddt

1.3.2 Bổ đề Gronwall đều.

Định lý 1.3.2 (Bổ đề Gronwall đều) Giả sử g, h, y là ba hàm sốdương khả tích địa phương trên (t0, +∞) sao cho y’ khả tích địa phươngtrên (t0, +∞) và thỏa mãn:

h (s) ds ≤ a2,

Z t+r t

y (s) ds ≤ a3,∀t ≥ t0, (1.9)trong đó r, a1, a2, a3 là các hằng số dương Khi đó, ta có

y (t + r) ≤ a3

r + a2



ea1, ∀t ≥ t0 (1.10)Chứng minh Giả sử rằng t0 ≤ t ≤ s ≤ t + r Từ (1.8), ta có

Z t+r

t

y (t + r) dt1 ≤

Z t+r t

(y (t1) + a2) ea1dt1

⇒ y (t + r)

Z t+r t

dt1 ≤

Z t+r t

y (t1) dt1 + a2

Z t+r t

là hàm cho trước, 0 < µ ≤ µ∗ là tham số, µ∗ = (N −22 )2 là hằng số lớn nhấtthỏa mãn bất đẳng thức Hardy:

µ∗Z

2.1.1 Các giả thiết của bài toán

Hàm phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn các điều kiện sau:

(F) Hàm f ∈ C1(R × [τ, ∞]) và thỏa mãn:

C1|u|p− k1(t) ≤ f (u, t)u ≤ C2|u|p + k2(t), p ≥ 2,

k1(t) , k2(t) ∈ L∞(R) , k1(t) > 0, ∀t ∈ R, k2(t) > 0, ∀t ∈ R,

∂f (u, t)

∂u ≥ −l, ∀u ∈ R,C(|u|pp− 1) ≤

2.1.2 Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán

Ta kí hiệu

X = L2(τ, T ; Hµ(Ω)) ∩ Lp(τ, T ; Lp(Ω)),

X∗ = L2(τ, T ; Hµ−1(Ω)) + Lp0(τ, T ; Lp0(Ω)),

ở đây p’ là số liên hợp của p và µ ∈ [0, µ∗]

Định nghĩa 2.1.1 Một hàm u(x,t) được gọi là một nghiệm yếu của bàitoán (0.1) trên (τ, T ) nếu và chỉ nếu u ∈ X,∂u∂t ∈ X∗, u |t=τ= uτ với x ∈ Ωhầu khắp nơi và

2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán

|un(t) − um(t)|22 = |un(t0) − um(t0)|22+2

|un(t) − um(t)|2dtdx+2

Từ bổ đề suy ra điều kiện ban đầu của bài toán (0.1) là có nghĩa.

Định lý 2.2.2 Với giả thiết (F)-(G), với mọi τ ∈ R, T > τ, và uτ chotrước, bài toán (0.1) có duy nhất một nghiệm yếu u trên (τ, T ) Hơn nữa,nghiệm u có thể được thác triển lên [τ, +∞) và thỏa mãn bất đẳng thức sau:

ở đây {ej}∞j=1 là các vectơ riêng của toán tử A := −∆ − µ

|x|2Id Ta thu được

un(t) từ việc giải bài toán

 dun

dt , ek

+ hAun, eki + hf (un, t), eki = (g, ek),(un(τ ) , ek) = (uτ, ek), k = 1, , n

Sử dụng định lý Peano,ta thu được sự tồn tại địa phương của un(t) Bâygiờ ta thiết lập một số đánh giá tiên nghiệm cho un(t) Ta có:

mặt khác, do điều kiện (F):

C1|un|p− k1(t) ≤ f (un, t)un, p ≥ 2

⇒Z

Ω

|un|2dx = 1

2λ1,µ |g(t)|22 + λ1,µ

2 |un|22.Suy ra

Nghiệm địa phương có thể thác triển lên [τ, ∞) Thật vậy, từ (2.2), ta suyra

Từ đây suy ra nghiệm địa phương có thể thác triển lên [τ, ∞)

Lấy tích phân hai vế (2.2) trên [τ, t], τ < t ≤ T , ta có

Vì f liên tục nên suy ra f (un, t) → f (u, t) hầu khắp nơi trong Ω × [τ, T ].Mặt khác f (un, t) * η trong Lp0(τ, T ; Lp0(Ω)), nên theo bổ đề 1.3 trong [18,Chương 1], ta có

((u (T ) , ϕ (T )) − (u (τ ) , ϕ (τ ))) −

Z T τ

(u, ϕ0) dt

Z T τ

(u, ϕ0) dt +

Z T τ

Z T τ

Z

Ω

(f (u, t) − g) ϕdxdt = (u (τ ) , ϕ (τ )) Bằng cách áp dụng biến đổi tương tự đối với nghiệm xấp xỉ Galerkin, ta có

−

Z T τ

(un, ϕ0) dt +

Z T τ

+

Z T τ

Z

Ω

(f (un, t) − g) ϕdxdt = (un(τ ) , ϕ (τ )) Cho n → ∞, ta có

Z T τ

Áp dụng bổ đề Gronwall, ta có

|u1(t) − u2(t)|22 ≤ e2l(t−τ )|u1(τ ) − u2(τ )|22.Điều đó suy ra tính duy nhất (nếu u1(τ ) = u2(τ )) và phụ thuộc liên tụccủa nghiệm

Cuối cùng, ta chứng minh bất đẳng thức (2.1) Nhân (0.1) với u rồi lấy tíchphân trên Ω, ta có

12

Ω

|u|2dx = 1

2λ1,µ |g(t)|22 + λ1,µ

2 |u|22

ở đây Uµ(t, τ )uτ là một nghiệm yếu của bài toán (0.1) phụ thuộc vào uτ là

dữ liệu ban đầu tại thời điểm τ

Ta định nghiã R là tập hợp tất cả các hàm số r : R → (0, +∞) sao cho

Bổ đề 3.1.1 Giả sử rằng các điều kiện (F) - (G) thỏa mãn và u(t) là một

nghiệm yếu của bài toán (0.1) Khi đó, ta có với mọi t > τ,

kuk2µ+ |u|pp ≤ C(e−λ1,µ (t−τ )|uτ|22 + 1 + e−λ1,µ t

eλ1,µ s|u(s)|22 ≤ eλ1,µ τ |u(τ )|22 + Ceλ1,µ s + C

Z s τ

eλ1,µ r|g(r)|22, ∀s ∈ [τ, t − 1]

(3.6)

C

Z s+1 s

(eλ1,µ r + eλ1,µ r|g(r)|22)dr

≤ eλ1,µ τ |uτ|22 + Ceλ1,µ s+ C

Z s τ

(eλ1,µ r|g(r)|22)dr

+Ceλ1,µ (s+1)+ C

Z s+1 s

Từ bổ đề trên, do tính compact của phép nhúng Hµ(Ω) ,→ L2(Ω), quátrình nói trên là D- tiệm cận compact lùi trong L2(Ω) Điều này kéo theo

sự tồn tại của một D- tập hút lùi trong L2(Ω) Mặt khác, từ bổ đề trên

ta thấy quá trình Uµ(t, τ ) ánh xạ một tập compact trong Hµ(Ω)T Lp(Ω)vào một tập bị chặn trong Hµ(Ω)T Lp(Ω) và do đó, theo bổ đề 1.2.4, quátrình Uµ(t, τ ) là liên tục norm-to-weak trong Hµ(Ω)T Lp(Ω) Vì Uµ(t, τ ) cómột họ các D− tập hấp thụ lùi trong Hµ(Ω)T Lp(Ω), nên để chứng minh

sự tồn tại của D− tập hút lùi, ta chỉ cần chứng minh rằng Uµ(t, τ ) là D−tiệm cận compact lùi Để chứng minh Uµ(t, τ ) là D− tiệm cận compact lùitrong Lp(Ω) ta cần sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề 3.1.2 [8] Giả sử U (t, τ ) là liên tục norm-to-weak trong L2(Ω),

Lp(Ω), và thỏa mãn hai điều kiện sau:

(1) U (t, τ ) là D− tiệm cận compact lùi trong L2(Ω);

(2) Với mọi  > 0, ˆB ∈ D, tồn tại hằng số M = M (, ˆB) và τ0(D, , t) ≤ tsao cho

eλsh (s) ds (3.12)

Bổ đề 3.1.4 Dưới các điều kiện (F) - (G), quá trình Uµ(t, τ ) là D− tiệmcận compact lùi trong Lp(Ω)

Chứng minh Xét điều kiện (2) trong Bổ đề 2.2 Từ điều kiện (F), ta có thểchọn hằng số M đủ lớn sao cho f (u) ≥ ˜C1|u|p−1 trong

Ω2M = Ω (u (t) ≥ 2M ) = {x ∈ Ω : u (x, t) ≥ 2M } Trong phần này, ta kí hiệu

dx

≥ CZ

ddtZ

Ω 2M

(u − M )+

Z

Ω 2M

(u − M )+

p

dx ≤ 1

2 ˜C1Z

p

dxds

+Ce−CMp−2(t1 +r)

Z t 1 +r

t 1

eCMp−2s|g (t)|22ds (3.15)Bây giờ ta đánh giá các số hạng bên vế phải của (3.15) Trước tiên, ta có

eM sh (s) ds ≤ ε

2 (3.19)

với M đủ lớn Kết hợp (3.15), (3.18), (3.19), chọn r = t − t1 > 0, ta có

Z

Ω2M

... nghiệmyếu tồn tập hút lùi toán biên ban đầu lớpphương trình parabolic Những kết đạt q trìnhnghiên cứu toán (0.1) là:

1 Sự tồn nghiệm yếu toán

2 Sự tồn D− tập hút lùi Hµ(Ω)T... bổ đề 3.1.1, q trình Uµ(t, τ ) có họ D− tậphấp thụ lùi Hµ(Ω)T Lp(Ω) Có thể {U (t, τ )} D− tiệmcận compact lùi, tức với t ∈ R, với ˆB ∈ D, với dãy

τn...

Chúng có số hướng để tiếp tục phát triển kết nghiêncứu sang lớp phương trình khác nghiên cứu thêm tính chất củatập hút lùi toán cụ thể Tác giả mong nhận ýkiến đóng góp quý báu thầy cô bạn