một số định lý duy nhất trong lý thuyết nevanlina

MỞ ĐẦUViệc nghiên cứu các tính chất của hàm giới hạn của dãy các hàm xácđịnh trên một tập hợp nào đó trong Rn đã và đang được nhiều nhà toánhọc quan tâm và nghiên cứu mở rộng từ miền tro

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Đình Sang,

Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - ĐHQGHN.

Hà Nội - 2012

để tôi có nền tảng kiến thức để thực hiện luận văn này.

Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn tới thầy giáo hướng dẫn là PGS

TS Nguyễn Đình Sang, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và tạo điều kiện

về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, cổ vũ động viên vàđóng góp cho tôi nhiều ý kiến quý báu trong cuộc sống, công việc và họctập nói chung cũng như trong quá trình thực hiện luận văn này

Xin chúc mọi người sức khỏe, đạt được nhiều thành tích cao trong côngtác, học tập và nghiên cứu khoa học và gặt hái thêm nhiều thành côngtrong cuộc sống

Học viên: Dương Thanh Mi

2 Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình 182.1 Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình

một biến 182.2 Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình

nhiều biến 232.3 Các ví dụ 242.4 Định lý Cartan về tính chỉnh hình của giới hạn của dãy các

tự đẳng cấu 28

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

• Hol(Ω): vành các hàm chỉnh hình trên miền Ω

• Ck(Ω): không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên Ω

• H(ω, Ω) (hoặc Hol(ω, Ω)): tập các ánh xạ chỉnh hình từ ω vào Ω

• ∆ := {z ∈ C : |z| < 1}: đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức

MỞ ĐẦU

Việc nghiên cứu các tính chất của hàm giới hạn của dãy các hàm xácđịnh trên một tập hợp nào đó trong Rn đã và đang được nhiều nhà toánhọc quan tâm và nghiên cứu mở rộng từ miền trong không gian một chiềuđến không gian nhiều chiều Trong giải tích phức, các nhà toán học quantâm đến tính chỉnh hình của hàm giới hạn (điểm hoặc đều) của dãy cáchàm chỉnh hình Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quảMontel, H Cartan, W F Osgood [7], K R Davidson [2], S Krantz [4],

về chủ đề này

Bố cục của luận văn bao gồm hai chương:

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giảitích phức Các khái niệm cơ bản như khái niệm hàm chỉnh hình, sự hội tụđiểm, sự hội tụ đều, Đồng thời, chúng tôi cũng giới thiệu các kết quả cổđiểm của Montel, Ascoli-Arzela, Runge, Stone-Weierstrass, về tính chỉnhhình của hàm giới hạn và các tiêu chuẩn cho sự hội tụ đều Những kiếnthức này sẽ là cơ sở cho việc nghiên cứu ở chương sau

Chương II : Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình.Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các kết quả của W F Osgood,

S Krantz, về tính chỉnh hình của hàm giới hạn Kết quả chính là chỉ rarằng hàm giới hạn điểm của dãy các hàm chỉnh hình là chỉnh hình trongmột tập con mở trù mật của miền xác định Các ví dụ cụ thể về tính chỉnhhình của hàm giới hạn cũng được trình bày để minh họa Ngoài ra, chúngtôi cũng giới thiệu định lý Cartan về giới hạn đều của dãy các tự đẳng cấu.Kết Luận :

Luận văn đã làm được những vấn đề sau đây

1 Chứng minh tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnhhình một biến bị chặn điểm bởi một hàm khả tích nào đó và chứngminh tính chỉnh hình trên tập mở trù mật của hàm giới hạn của mộtdãy hàm chỉnh hình nhiều biến hội tụ điểm

2 Đưa ra một số ví dụ về dãy hàm hội tụ điểm thì giới hạn của nó cóthể không chỉnh hình

3 Chứng minh định lý mở rộng Cartan cho miền không bị chặn

Vì điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn không thểtránh khỏi những thiếu sót Mong nhận được sự góp ý của Thầy Cô vàbạn bè

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω là một miền trong mặt phẳng phức C, hàm

Giá trị giới hạn đó được gọi là đạo hàm phức của hàm f (z) tại z0

Hàm f (z) được gọi là C - khả vi trong Ω nếu nó C - khả vi tại mọi

z0 ∈ Ω

Định nghĩa 1.1.2 Hàm f (z) được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z0 ∈ C

nếu nó là C - khả vi tại một lân cận nào đó của z0 Hàm f (z) được gọi làchỉnh hình trong miền Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm z thuộc miền Ω.Tập hợp mọi hàm chỉnh hình trong miền Ω, ký hiệu là H(Ω)

Hàmf (z)chỉnh hình tại điểm vô cùng nếu hàm ϕ(z) = f (1

Định lý 1.1.2 Giả sử f (z) là một hàm chỉnh hình trong miền hữu hạn

Ω ⊂ C Khi đó trong mỗi lân cận của mỗi điểm z0 ∈ Ω, hàm f (z) đượckhai triển thành chuỗi

tùy ý nằm trong Ω

Chuỗi (1.1) được gọi là chuỗi Taylor của hàm f (z) trong lân cận củađiểm z0

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử f (z) ∈ H(D) Khi đó

1) Điểm z0 ∈ Ω được gọi là không - điểm (hay 0 - điểm) của hàm f (z)

nếu f (z0) = 0

2) Điểm z0 ∈ Ω được gọi là không - điểm bậc m > 0(hay không - điểmcấp m > 0) của hàm f (z) nếu f(n)(z0) = 0, cho mọi n = 1, , m − 1 và

f(m)(z0) 6= 0

Định nghĩa 1.1.5 Hàm f (z) được gọi là hàm phân hình trong Ω ⊂ C

nếu f = g

h trong đó g, h là các hàm chỉnh hình trong Ω và h 6= 0 trong Ω.

Nếu D = C thì ta nói f (z) phân hình trên C hay đơn giản f (z) là hàmphân hình

Định nghĩa 1.1.6 Điểm z0 được gọi là cực điểm cấp m > 0 của hàm

f (z) nếu trong lân cận của z0 hàm f (z) = 1

(z − z0)m.h(z), trong đó h(z)

là hàm chỉnh hình trong lân cận của z0 và h(z0) 6= 0

Nhận xét 1.1.1 Cho Ω là một tập mở trong Cn và f là một hàm biếnphức xác định trên Ω Khi đó, f chỉnh hình trên Ω nếu và chỉ nếu với mỗiđiểm a ∈ Ω tồn tại tương ứng một lân cận U và một chuỗi :

hội tụ tới f (z) với z ∈ U Ký hiệu tập các hàm chỉnh hình trên Ω bởi H(Ω)

Định nghĩa 1.1.7 Cho Ω là một tập mở trong Cn và f = (f1, , fm) :

Định nghĩa 1.1.9 Giả khoảng cách Kobayashi dΩ được định nghĩa bởi

dΩ(p, q) = inf

γ

Z 1 0

K(γ(t), γ0(t))dt,

trong đó infimum được lấy trên tất cả các đường cong trơn γ : [0, 1] → Ω

sao cho γ(0) = p, γ(1) = q

Định nghĩa 1.1.10 Miền Ω ⊂ Cn được gọi là miền hyperbolic nếu dΩ

là một khoảng cách Miền hyperbolic Ω gọi là hyperbolic đầy nếu Ω là đầytheo khoảng cách dΩ

Định nghĩa 1.1.11 Cho Ω là một đa tạp phức và Aut(Ω) là nhóm củatất cả các ánh xạ song chỉnh hình từ Ω vào Ω Chúng ta nói rằng Ω có tínhchất (IM ) nếu tồn tại một metric ρ trên Ω sao cho ρ sinh ra tô pô của

Omega và ρ bất biến dưới Aut(Omega) ( nghĩa là ρ(x, y) = ρ(f (x), f (y))

với mọi x, y ∈ D và với mọi f ∈ Aut(Ω))

Định nghĩa 1.1.12 Cho Ω là một tập mở liên thông (miền) trong Cn Một ánh xạ f : Ω → Ω được gọi là tự đồng cấu chỉnh hình nếu tồn tại mộtánh xạ chỉnh hình g: Ω → Ω sao cho g ◦ f = id,f ◦ g = id ( id là ánh xạđồng nhất trên Ω)

Nếu D là một miền bị chặn trong Cn, chúng ta ký hiệu Aut(Ω) là tậptất cả tự đẳng cấu trên Ω Aut(Ω) là một nhóm Một dãy fn ⊂ Aut(Ω)

hội tụ nếu và chỉ nếu dãy {fn} hội tụ đều trên mọi tập con compact của

Ω tới một phần tử f ∈ Aut(Omega)

Định nghĩa 1.1.13 Giả sử M là một đa tạp phức

• Dãy {fk}∞k=1 ⊂ Hol(∆, M ) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗitập compact K ⊂ ∆ và với mỗi tập compact L ⊂ M, tồn tại số

j0 = j(K, L) sao cho fj(K) ∩ L = ∅ với mọi j ≥ j0

• M được gọi là taut nếu mọi dãy

{fk}∞k=1 ⊂ Hol(∆, M )

chứa một dãy con hội tụ hoặc một dãy con phân kì compact

Định nghĩa 1.1.14 Ta nói rằng dãy các hàm {fn} xác định trên miền

Ω ⊂ Rn hội tụ đều trên các tập con compact của Ω đến hàm giới hạn f

xác định trên Ω nếu với bất kì tập con compact K b Ω dãy hàm {fn |K}

hội tụ đều đến hàm f |K trên K, tức là

lim

n→∞sup

K

|fn(x) − f (x)| = 0

Định nghĩa 1.1.15 Ta nói rằng họ hàm F xác định trên miền Ω ⊂ Rn

là đồng liên tục nếu với mỗi x0 ∈ Ω ta có khẳng định sau đây:

Với  > 0, tồn tại δ > 0 chỉ phụ thuộc vào  và x0 sao cho

|f (x) − f (x0)| < 

với mọi x ∈ Ω thỏa mãn |x − x0| < δ và với mỗi f ∈ F

Định nghĩa 1.1.16 Ta nói rằng họ hàm F xác định trên miền Ω ⊂ Rn

là bị chặn điểm nếu với mỗi x0 ∈ Ω tập hợp

{f (x0) : f ∈ F }

bị chặn

Định lý Arzela-Ascoli cổ điển cho ta một tiêu chuẩn cần và đủ để một

họ hàm hội tụ đều Định lý này được phát biểu và chứng minh trong cácgiáo trình cơ sở về Giải tích hàm

Định lý 1.1.3 (Arzela-Ascoli) Giả sử F là họ các hàm liên tục trên miền

Ω ⊂ Rn Khi đó, dãy bất kì trong F hội tụ đều trên các tập con compactcủa Ω nếu và chỉ nếu họ F là đồng liên tục và bị chặn điểm

Định nghĩa 1.1.17 Hàm chỉnh hình f xác định trên đĩa đơn vị ∆ đượcgọi là hàm Schlicht nếu f là đơn ánh, f (0) = 0 và f0(0) = 1, tức là hàm

f có thể viết dưới dạng tổng của chuỗi

1.2 Một số định lý về xấp xỉ

Đối với hàm liên tục trên đoạn [a, b] ⊂ R, một câu hỏi được đặt ra rằng

liệu có thể xấp xỉ đều trên [a, b] bởi các đa thức (một biến) hay không?Định lý sau đây khẳng định rằng mỗi hàm liên tục có thể xấp xỉ đầu bởicác đa thức

Định lý 1.2.1 (Stone-Weierstrass) Mỗi hàm liên tục f trên tập compact

K ⊂ Rn đều tồn tại dãy đa thức {Pn} hội tụ đều trên K đến hàm f.Chứng minh Chứng minh định lý Stone-Weierstrass được trình bày trongcác sách cơ bản về Giải tích hàm

Đối với trường hợp hàm chỉnh hình trong miền phức ta cũng có định lýxấp xỉ Runge Định lý này khẳng định rằng mỗi hàm chỉnh hình có thểxấp xỉ đầu bới các đa thức giải tích

Định lý 1.2.2 (Runge) Giả sử K là tập con compact của mặt phẳng phức

C với phần bù C \ K liên thông Giả sử f là một hàm chỉnh hình trongmột lân cận của K Khi đó, tồn tại dãy các đa thức (biến phức z) hội tụđều đến f trên K

Chứng minh Gọi U là lân cận của K sao cho hàm f chỉnh hình trên U.Khi đó, ta có thể vẽ được một chu tuyến γ trơn từng khúc sao cho định lýCauchy đúng đối với f, nghĩa là:

Tích phân trên được xấp xỉ bởi tổng Riemann Pnj=1f (wj)(wj+1 −

wj)/(wj − z) Do chu tuyến γ bao quanh K nên tổng trên hội tụ đềutrên K Như vây, hàm f có thể xấp xỉ đều bởi các hàm hữu tỷ Để chỉ rahàm f xấp xỉ đều bởi các đa thức trên K ta chỉ cần chỉ ra rằng mỗi hàm

g(z) = (w − z)−1 có thể xấp xỉ đều bởi các đa thức trên K

Thậy vây, khi |w| đủ lớn hơn |z| với mọi z ∈ K chuỗi hình học

Bổ đề 1.3.1 Cho fn : Ω → C, n ∈ N , là một dãy hàm bị chặn với mỗi

điểm của Ω Khi đó với mỗi tập con đếm được A ⊂ Ω tồn tại một dãy con

{gn} của dãy {fn} hội tụ theo từng điểm trong A

Bổ đề 1.3.2 Cho F ⊂ Hol(Ω) là họ các hàm chỉnh hình bị chặn địaphương trong Ω Khi đó với mọi điểm c ∈ Ω và với mỗi ε > 0 tồn tại môtđĩa B ⊂ Ω lân cận của c sao cho:

|f (w) − f (z)| ≤ ε với mọi f ∈ F với mọi w, z ∈ B

Định lý 1.3.3 ( Định lý Montel) Mỗi dãy hàm chỉnh hình {fn}∞n=0 bịchặn địa phương trong Ω có một dãy con hội tụ đều trên tập con compactcủa Ω.

Chứng minh Chọn một tập đếm được và trù mật A ⊂ Ω Tập A là tồntại ví dụ : A là tập tất cả số phức hữu tỉ trong Ω Theo mệnh đề (1.3.1)tồn tại một dãy con {gn} của dãy {fn} hội tụ theo từng điểm trong A.Chúng ta sẽ chứng minh dãy {gn} hội tụ đều trên tập con compact trong

Ω Để chứng minh điều này ta chỉ cần chứng minh dãy {gn} hội tụ liêntục trong Ω, tức là :

lim gn(zn) tồn tại với mọi dãy {zn} ∈ Ω mà lim zn = z∗ ∈ Ω

Thật vậy, giả sử {zn} là dãy bất kỳ trong Ω mà lim zn = z∗ ∈ D Chotrước ε > 0 bất kỳ theo bổ đề (1.3.2), tồn tại một đĩa B ⊂ Ω lân cậncủa z∗ sao cho |gn(w) − gn(z)| ≤ ε/3 với mọi n và mọi w, z ∈ B Do A

là tập trù mật trong Ω nên tồn tại một điểm a ∈ A ∩B Theo giả thiết

lim zn = z∗ nên tồn tại n1 ∈ N sao cho zn ∈ B với mọi n ≥ n1

Từ đó ta có:

|gm(zm) − gn(zn)| ≤ |gm(zm) − gm(a)| + |gm(a) − gn(a)| + |gn(zn) − gn(a)|

≤ 2ε/3 + |gm(a) − gn(a)| với mọi n, m ≥ n1

Do {gn} hội tụ theo từng điểm trong A, a ∈ A nên tồn tại lim gn(a),vẫn với ε > 0 đã cho tồn tại n2 sao cho |gm(a) − gn(a)| ≤ ε/3 với mọi

n, m ≥ n2

Vậy ta có |gm(zm) − gn(zn)| ≤ ε với mọi n, m ≥ max{n1, n2} Do đódãy {gn(zn)} là dãy Cauchy và do đó tồn tại lim gn(zn)

Chương 2

Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình

chỉnh hình một biến

Trước hết, ta biết rằng hàm giới hạn đều của dãy các hàm chỉnh hìnhxác định trên một miền phẳng cũng chỉnh hình Kết quả này đúng trêntập con mở trù mật của miền Cụ thể ta có định lý sau đây nói về tínhchỉnh hình của hàm giới hạn điểm của dãy các hàm chỉnh hình xác địnhtrên miền phẳng

Định lý 2.1.1 Giả sử {fj} là một dãy các hàm chỉnh hình xác định trênmiền Ω trong mặt phẳng phức Giả sử rằng dãy {fj} hội tụ điểm đến hàmgiới hạn f xác định trên Ω Khi đó, f là chỉnh hình trên một tập con mởtrù mật của Ω Hơn nữa, sự hội tụ này là đều trên mỗi tập con compactcủa tập con mở trù mật này

Chứng minh Gọi U là một tập con mở khác rỗng của Ω với bao đóngcompact trong Ω Với mỗi k = 1, 2, · · ·, ta định nghĩa

Bây giờ, ta thấy hiển nhiên rằngU¯ là không gian metric đầy theo metric

Euclid Vì thế, định lý phạm trù Baire nói rằng một tập Sk nào đó bắtbuộc phải trù mật tại đâu đó trong U¯ Điều này có nghĩa rằng S¯

k sẽ chứamột hình cầu (hoặc đĩa) trong U¯ Ta kí hiệu hình cầu này là B Bây giờ,

áp dụng định lý Montel trên B ta tìm được dãy con {fjk} của dãy {fj}

hội tụ đều trên các tập con các tập con compact của B đến hàm giới hạn

g Hiển nhiên, hàm g phải trùng với f Vì vậy, g và f phải chỉnh hình trên

Định lý 2.1.2 Giả sử {fj} là một dãy các hàm điều hòa trên miền phẳng

Ω Giả sử rằng dãy {fj} hội tụ điểm đến hàm giới hạn f trên Ω Khi đó,

f là hàm điều hòa trên tập con mở trù mật của Ω

Chứng minh Ta chứng minh bằng lập luận giống như trong chứng minhkết quả cho trường hợp hàm chỉnh hình Do dãy các hàm điểu hòa trênmiền phẳng bị chặn đều trên trên các các tập con compact đều chứa dãycon hội tụ đều trên các tập con compact Điều này dễ dàng suy ra từ côngthức Poisson Phần còn lại được chứng minh giống như trong chứng minhđịnh lý trên.

Định lý 2.1.3 Giả sử {fj} là một dãy các hàm chỉnh hình xác địnhtrên miền phẳng Ω Giả sử rằng tồn tại một hằng số M > 0 sao cho

|fj(z)| ≤ M với mọi j và mọi z ∈ Ω Giả sử rằng dãy {fj} hội tụ điểmđến hàm giới hạn f trên Ω Khi đó, f là chỉnh hình trên Ω

Chứng minh Gọi U là một tập con mở của Ω Khi đó, lập luận từ chứngminh định lý 2.1.1 áp dụng trực tiếp trên tập U Vì vậy, hàm giới hạn f

là chỉnh hình trên U Vì tập U được chọn tùy ý nên định lý được chứngminh

Trong trường hợp dãy hàm chỉnh hình bị chặn điểm bởi giá trị của mộthàm khả tích nào đó ta sẽ chỉ ra rằng hàm giới hạn chỉnh hình trên toàn

lớp C0∞(Ω) thỏa mãn f = 1 trên K Khi đó,

Định lý 2.1.5 Giả sử {fj} là một dãy các hàm Schlicht xác định trênđĩa đơn vị D hội tụ điểm Khi đó, hàm giới hạn là chỉnh hình trên Ω.Chứng minh Ta biết rằng hàm Schlicht thỏa mãn ước lượng

|f (z)| ≤ |z|(1 − |z|)−2

với mọi z thuộc đĩa đơn vị D Điều này suy ra rằng fj bị chặn đều trêncác tập con compact của D Do đó, dãy {fj} là chuẩn tắc Vì vậy, tồn tạidãy con {fjk} của dãy {fj} hội tụ đều trên các tập con compact của D

đến hàm giới hạn g Hơn nữa, hàm g chỉnh hình trên D Mặt khác, hàm

g phải trùng với hàm giới hạn điểm Điều này kết thúc chứng minh địnhlý

Theo định lý Stone-Weierstrass, mỗi hàm liên tục trên đoạn [a, b] đều

có thể xấp xỉ đều bởi các đa thức Như vậy, Định lý 2.1.1 không còn đúngđối với dãy hàm giải tích thực Tuy nhiên, nếu dãy hàm giải tích thực thỏamãn thêm điều kiện về độ tăng của tất cả các đạo hàm thì hàm giới hạnvẫn còn giải tích thực Mệnh đề sau chứng tỏ khẳng định này

Mệnh đề 2.1.6 Giả sử {fj}là một dãy các hàm giải tích thực trên khoảng

bị chặn (a, b) Với mỗi l = 0, 1, 2, · · ·, kí hiệu g(l) là đạo hàm bậc l củahàm g Giả sử rằng với mỗi l tồn tại các hằng số K và R sao cho

|fj(l)| ≤ Kl!

R

với mọi j và l Giả sử thêm rằng dãy {fj} hội tụ điểm đến một hàm f nào

đó xác định trên (a, b) Khi đó, f là hàm giải tích thực trên (a, b)

Chứng minh Không mất tổng quát ta có thể giả sử rằng a = −b Cốđịnh số nguyên dương N Sử dụng lập luận dãy đường chéo ta có thểchọn dãy con {fjk} sao cho dãy {fj(l)

k (0)} hội tụ đên số αl khi k → ∞ với

l = 0, 1, 2, · · · , N Với mỗi k, ta có thể viết

l

+ O(xN +1)

Đẳng thức trên đúng với mỗi điểm x ∈ (−a, a) Do N được chọn tùy ýnên f là C∞ and giá trị của hàm f(l) tại mỗi điểm x là giới hạn của dãycon của day {fj(l)(x)} Lập luận này chỉ ra rằng mọi dãy con của dãy {fj}

đều trích ra dãy con với tính chất này Vì vậy, ta có thể kết luận rằng

lim

j→∞fj(l)(x) = f(l)(x)

với mỗi x ∈ (−a, a) và mỗi l = 0, 1, 2, · · ·

Từ giả thiết của mệnh đề ta có

|fj(l)| ≤ Kl!

R