định lý grobman - hartman cho hệ nhị phân mũ không đều

xii 2 Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp thời gian rời rạc xiv 2.1 Ánh xạ liên hợp cho ánh xạ.. xxvii 3 Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trần Thị Ngoan

ĐỊNH LÝ GROBMAN - HARTMAN CHO HỆ NHỊ

PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trần Thị Ngoan

ĐỊNH LÝ GROBMAN - HARTMAN CHO HỆ NHỊ

PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lê Huy Tiễn

Hà Nội - 2012

Mục lục

1.1 Nhị phân mũ đều v

1.2 Khái niệm nhị phân mũ không đều vi

1.2.1 Định nghĩa và ví dụ vii

1.2.2 Các tính chất của hệ nhị phân mũ không đều ix

1.2.3 Không gian con ổn định và không ổn định x

1.3 Một số kiến thức chuẩn bị xii

1.3.1 Tính liên tục H¨older xii

1.3.2 Định lý điểm bất động xii

1.3.3 Bổ đề Gronwall-Bellman xii

2 Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp thời gian rời rạc xiv 2.1 Ánh xạ liên hợp cho ánh xạ xiv

2.1.1 Khái niệm dãy các toán tử nhị phân mũ không đều xiv

2.1.2 Sự tồn tại ánh xạ liên hợp tô-pô xviii

2.2 Tính chính quy H¨older của ánh xạ liên hợp xxiv

2.2.1 Tính chính quy H¨older của ánh xạ liên hợp xxiv

2.2.2 Chuẩn Lyapunov xxv

2.2.3 Chứng minh tính chính quy H¨older của ánh xạ liên hợp xxvii 3 Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp thời gian liên tục xxxiii 3.1 Ánh xạ liên hợp cho dòng xxxiii

3.1.1 Phép quy về trường hợp rời rạc xxxiv3.1.2 Chứng minh định lý Grobman-Hartman xxxvi3.2 Tính chính quy H¨older của ánh xạ liên hợp cho dòng xl

ii) ||X(t)(I − P )X−1(s)|| ≤ Ke−α(s−t) với s ≥ t.

Định nghĩa trên tương đương với các Mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2 Phương trình (1.1) có nhị phân mũ đều khi và chỉ khi Rn = S ⊕U

và tồn tại K, α > 0 sao cho:

i) ||X(t)X−1(s)x|| ≤ Ke−α(t−s)||x|| với t ≥ s, x ∈ S,

ii) ||X(t)X−1(s)y|| ≤ Ke−α(s−t)||y|| với s ≥ t, y ∈ U

Mệnh đề 1.3 Phương trình (1.1) có nhị phân mũ đều khi và chỉ khi tồn tại

họ các phép chiếu P (t) thỏa mãn sup

Sau đây, chúng ta phát biểu định lý Grobman-Hartman cho trường hợp tô-nôm

ô-Định lý 1.4 ([13]) Xét phương trình

và phương trình

x0 = Ax + f (x), x ∈ Rnsinh ra dòng ϕt, trong đó ||f (x) − f (y)|| ≤ L||x − y||

Giả sử σ(A) ∩ iR = ∅, tức là (1.2) có nhị phân mũ đều Khi đó, tồn tại đồngphôi H trong lân cận mở của gốc tọa độ sao cho

1.2 Khái niệm nhị phân mũ không đều

Hệ nhị phân mũ không đều là trường hợp mở rộng của hệ nhị phân mũ đều

và ta hãy xem sự khác nhau và giống nhau căn bản của chúng

1.2.1 Định nghĩa và ví dụ

Cho X là không gian Banach, hàm toán tử A : J → B(X) là một hàm liêntục trong khoảng mở J ⊂ R, và B(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trênX

Xét bài toán giá trị ban đầu

T (t, s) = T (t, r)T (r, s) (1.5)Định nghĩa 1.6 Phương trình (1.4) có nhị phân mũ không đều trên J nếu tồntại họ phép chiếu P : J → B(X) với

P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s) ∀t ≥ s, (1.6)

và tồn tại các hệ số

a < 0 ≤ b, a, b ≥ 0, D1, D2 ≥ 1 (1.7)sao cho

||T (t, s)P (s)|| ≤ D1ea(t−s)+a|s|

||T (s, t)Q(t)|| ≤ D2e−b(t−s)+b|t| (1.8)trong đó Q(t) = Id − P (t)

Vậy a, b coi là số mũ Lyapunov, còn a và b đặc trưng cho tính không đều của

hệ nhị phân mũ

Nhận xét 1.7 Như vậy từ hai định nghĩa về nhị phân mũ đều và nhị phân mũkhông đều thì ta thấy hệ nhị phân mũ không đều có thêm một lượng mũ a|s|hoặc b|t| Thực chất nhị phân mũ không đều tổng quát hơn nhị phân mũ đềurất nhiều Chẳng hạn, một hệ hữu hạn chiều chỉ cần có một số mũ Lyapunov cóphần thực âm là hệ có nhị phân mũ không đều ([8, Định lý 10.6])

Ta cũng có thể định nghĩa thêm về hệ nhị phân mũ không đều mạnh với các

hệ số

a ≤ a < 0 ≤ b ≤ b và a, b > 0 (1.9)

Định nghĩa 1.8 Ta nói hệ (1.4) là một nhị phân mũ không đều mạnh trong

J nếu tồn tại một họ phép chiếu P (t) thỏa mãn (1.6) và tồn tại các hệ số thỏamãn (1.9) sao cho

||T (t, s)P (s)|| ≤ D1ea(t−s)+a|s|, ||T (s, t)P (t)|| ≤ D1e−a(t−s)+a|t|,

||T (t, s)Q(s)|| ≤ D2eb(t−s)+b|s|, ||T (s, t)Q(t)|| ≤ D2e−b(t−s)+b|t|

(1.10)

Nhận xét 1.9 Rõ ràng một nhị phân mũ không đều mạnh là một nhị phân

mũ không đều nhưng ngược lại chưa chắc đúng

Tuy nhiên bất đẳng thức thứ ba trong (1.10) không thỏa mãn nếu b 6= +∞

Do đó (1.11) không là một nhị phân mũ không đều mạnh

Tiếp theo ta xét một ví dụ để phân biệt nhị phân mũ không đều và nhị phân

U (t, s) = e−wt+ws+at cos t−as cos s−a sin t+a sin s,

V (t, s) = ewt−ws−at cos t+as cos s+a sin t−a sin s.Toán tử tiến hóa của hệ (1.12) là

T (t, s)(u, v) = (U (t, s)u, V (t, s)v)

Giả sử P (t) là phép chiếu P (t)(u, v) = u Thì P thỏa mãn điều kiện (1.6).

Ta chỉ ra tồn tại D sao cho

U (t, s) ≤ De(−w+a)(t−s)+2a|s| với t ≥ s, (1.13)và

V (s, t) ≤ De−(w+a)(t−s)+2a|t| với t ≥ s (1.14)Đầu tiên ta viết lại U (t, s) như sau:

U (t, s) = e(−w+a)(t−s)+at(cos t−1)−as(cos s−1)+a(sin s−sin t) (1.15)Với t, s ≥ 0 thì từ (1.15) có

U (t, s) ≤ e2ae(−w+a)(t−s)+2as.Hơn nữa nếu t = 2kπ, s = (2l − 1)π với k, l ∈ N thì

U (t, s) = e(−w+a)(t−s)+2as (1.16)Với t ≥ 0, s ≤ 0 thì từ (1.15) suy ra

U (t, s) ≤ e2ae(−w+a)(t−s).Cuối cùng nếu s ≤ t ≤ 0 thì từ (1.15) suy ra

U (t, s) ≤ e2ae(−w+a)(t−s)+2a|t| ≤ e2ae(−w+a)(t−s)+2a|s|.Kết hợp với (1.13) với D = e2a và việc chứng minh cho V (t, s) trong (1.14)

là hoàn toàn tương tự

Hơn nữa nếu t = −2kπ, s = −(2l − 1)π thì

V (s, t) = e−(w+a)(t−s)+2a|t| (1.17)Vậy từ (1.13), (1.14) thì hệ (1.12) là hệ nhị phân mũ không đều Nhưng takhông thể bỏ e2a|s| và e2a|t| bằng cách cho D hoặc w − a đủ lớn nên hệ (1.12)không là nhị phân mũ đều

1.2.2 Các tính chất của hệ nhị phân mũ không đều

Giả sử phương trình trên có nghiệm t ∈ J và T (t, s) là toán tử tiến hóa Giả

sử phương trình trên là một nhị phân mũ không đều Ta nói nhị phân là vữngnếu với B đủ nhỏ trong hệ

1) Phương trình (1.18) là nhị phân mũ không đều trên mỗi khoảng mở J ,2) ||B(t)|| ≤ δe−2ϑ|t| với ϑ < e, với mọi t ∈ J

Nếu δ đủ nhỏ thì hệ (1.19) cũng là nhị phân mũ không đều trên J với hệ số c, ϑ

và D thay bởi ec, 2ϑ và 4D eD

1.2.3 Không gian con ổn định và không ổn định

Giả sử hệ phương trình tuyến tính v0 = A(t)v là nhị phân mũ không đều trênkhoảng mở J ⊂ R Xét hai không gian con tuyến tính

E(t) = P (t)X, F (t) = Q(t)X, (1.20)với mỗi t ∈ J Chúng ta tương ứng gọi E(t) và F (t) lần lượt là không gian con

ổn định và không ổn định tại thời điểm t Rõ ràng là

X = E(t) ⊕ F (t) với mỗi t ∈ J

và dim E(t), dim F (t) là không phụ thuộc vào thời điểm t

Nghiệm của (1.18) có thể được viết dưới dạng

v(t) = (U (t, s)ξ, V (t, s)η) ∈ E(t) × F (t), ∀t, s ∈ J, t ≤ s (1.21)trong đó v(s) = (ξ, η) và

U (t, s) := T (t, s)P (s) = T (t, s)P (s)2 = P (t)T (t, s)P (s)

V (t, s) := T (t, s)Q(s) = T (t, s)Q(s)2 = Q(t)T (t, s)Q(s)

Từ (1.20) ta có thể dễ dàng suy ra rằng

U (t, s)E(s) = E(t) và V (t, s)F (s) = F (t)với mỗi t, s ∈ J

Trong trường hợp đặc biệt, nếu không gian con ổn định và không gian ổnđịnh không phụ thuộc vào t, tức là E(t) = E, F (t) = F với mọi t, thì toán tử

T (t, s) phải có dạng tương ứng với tổng trực tiếp E ⊕ F :

α(t) = inf{||x − y|| : x ∈ E(t), y ∈ F (t), ||x|| = ||y|| = 1} (1.23)Mệnh đề 1.14 Với mọi t ∈ J ta có:

• Nếu α = 1 thì f thỏa mãn điều kiện Lipschitz.

• Nếu α = 0 thì f bị chặn

1.3.2 Định lý điểm bất động

Định nghĩa 1.15 Giả sử X là không gian metric với khoảng cách d Ánh xạ

f : X → X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0 ≤ θ < 1 sao cho

d(f (x), f (y)) ≤ θd(x, y) với mọi x, y ∈ X

Điểm x0 ∈ X gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f (x0) = x0

với mọi t ∈ [a, b], thì cũng trên khoảng đó ta có

y(t) ≤ λ(t) +

tZaλ(s)µ(s)e

tRsµ(τ )dτ

ds

Nếu λ(t) = λ là một hằng số thì

y(t) ≤ λe

tRa

µ(s)ds

.Như vậy chương 1 tôi đã trình bày khái niệm nhị phân mũ đều và nhị phân

mũ không đều, so sánh hai khái niệm này Tôi cũng đưa ra các tính chất củanhị phân mũ không đều mà không chứng minh, bởi mục tiêu chính của luận văn

là chỉ ra sự tương đương tô–pô giữa hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệphương trình vi phân không thuần nhất

2.1.1 Khái niệm dãy các toán tử nhị phân mũ không đều

Giả sử X là không gian Banach, B(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặntrong X Trước hết ta xét nhị phân mũ không đều rời rạc hay trường hợp nhịphân mũ không đều cho dãy các toán tử Xét một số điều kiện sau:

F1: Tồn tại toán tử tuyến tính khả nghịch Am ∈ B(X), m ∈ Z với nghịchđảo A−1m ∈ B(X).

F2: Tồn tại ánh xạ liên tục fm : X → X, m ∈ Z và hệ số δ > 0 và ϑ ≥ 0 vớimỗi m ∈ Z, ánh xạ Am+ fm là đồng phôi và

||fm||∞ = sup {||fm(x)|| : x ∈ X} ≤ δe−ϑ|m| (2.1)F3: Tồn tại β ≥ 0, với mọi x, y ∈ X ta có

||fm(x) − fm(y)|| ≤ δe−β|m|||x − y||, m ∈ Z (2.2)Nhận thấy rằng điều kiện F1 khá chặt, điều kiện F2 chỉ ra rằng nhiễu fmcủa Am khá nhỏ khi δ đủ nhỏ, còn điều kiện F3 chỉ ra nhiễu fm của Am nhỏtheo nghĩa hằng số Lipschitz nhỏ

Dễ dàng thử được Gm = Am + fm là khả nghịch và nghịch đảo của nó làLipschitz

Hiển nhiên Em ⊕ Fm = X với mọi m ∈ Z Hơn nữa, dim Em và dim Fmkhông phụ thuộc vào m.

và đặt

||(x, y)||0m = ||x||0m+ ||y||0m với mỗi (x, y) ∈ Em× Fm (2.8)

Áp dụng (2.6) ta thấy ||x||0m, ||y||0m là hữu hạn và

Hệ quả 2.2 Với mỗi z ∈ X và m ∈ Z ta có:

||z|| ≤ ||z||0m ≤ 2D

2

1 − e−%e2 max{a,b}|m|||z|| (2.9)Chứng minh Ta có:

||(x, y)|| ≤ ||x|| + ||y|| ≤ ||x||0m+ ||y||0m = ||(x, y)||0m.Mặt khác từ Pm(x, y) = x, Qm(x, y) = y và từ (2.4) ta có:

≤ e(−b+%)(m−n)

2.1.2 Sự tồn tại ánh xạ liên hợp tô-pô

Định lý Grobman-Hartman chỉ ra tương đương tô-pô hệ tuyến tính Am và

hệ nhiễu Am+ fm Vì vậy để xây dựng sự tương đương tô-pô cho hệ nhị phân

mũ không đều cho trường hợp rời rạc, ta sẽ chứng minh theo ba bước sau:

1 Ta xây dựng liên hợp trái theo nghĩa: Tồn tại duy nhất hàm ˆum liên tụcthỏa mãn

Am ◦ ˆum = ˆum+1◦ (Am+ fm) (2.10)

X −−−−→ XAmˆ

2 Ta xây dựng liên hợp phải theo nghĩa: Tồn tại duy nhất ˆvm liên tục thỏamãn

3 Với mỗi m ∈ Z, những hàm trên thỏa mãn

(Am+ fm) ◦ ˆwm = ˆum+1 ◦ (Am+ fm) (2.13)

và chỉ ra sự tồn tại duy nhất hàm liên tục ˆwm thỏa mãn (2.13) để có ˆwm − Idvới mỗi m ∈ Z Điều này cũng chỉ ra sự tồn tại và liên tục của nghịch đảo của

hàm ˆum Dẫn đến fm = 0 ở (2.12) tương ứng với Định lý 2.3 và fm = 0 ở (2.12)tương ứng với Định lý 2.4.

Xét không gian X các dãy u = (um)m∈Z của các hàm liên tục um : X → Xvới

||u||0∞ = sup{||um||0m : m ∈ Z} < ∞, (2.14)

ở đó

||um||0m = sup{||um(x)||0m : x ∈ X}

Khi đó X là một không gian metric đầy đủ với chuẩn trên

Đầu tiên ta chứng minh tương đương tô-pô liên hợp trái

Định lý 2.3 (xem [8]) Giả sử điều kiện F1, F2 thỏa mãn Nếu dãy {Am}m∈Z

là hệ nhị phân mũ không đều với b > 0 và max{a, b} ≤ ϑ, thì tồn tại duy nhấtdãy {um}m∈Z ∈X ∀m ∈ Z ta có:

Am◦ ˆum = ˆum+1◦ (Am+ fm), (2.15)

ở đó

ˆ

um = Id + um.Chứng minh Đặt

Gm = Am+ fmKhi đó phương trình (2.15) tương đương:

Am◦ um− um+1◦ Gm = fm (2.16)

Ta viết

um = (bm, cm), fm = (gm, hm)với giá trị trong Em× Fm Từ điều kiện F1 ta có (2.16) thỏa mãn với mọi m ∈ Znếu và chỉ nếu

(bm, cm) = (bm, cm) ∀m ∈ Z

Trong đó

bm = (Bm−1◦ bm−1− gm−1) ◦ G−1m−1 (2.17)

cm = Cm−1−1 ◦ (cm+1◦ Gm+ hm) (2.18)Giả sử u = (um)m∈Z = (bm, cm)m∈Z ∈ X Ta định nghĩa S(u) = (bm, cm)m∈Z.Khi đó để chứng minh định lý ta chứng minh sự tồn tại duy nhất của điểm

cố định của S trong không gian X Hay ta chỉ ra S(X) ⊂ X và S là phép co trong

không gian metric đủ X Ta có Gm là đồng phôi nên (bm, cm) liên tục với mọi

m ∈ Z Mặt khác sử dụng chuẩn Lyapunov trong (2.7), với mỗi z ∈ X ta có

Vậy từ (2.20) và (2.22) ta được S(u) ∈X và vì vậy S : X → X là định nghĩahợp lý.

Ta đi chứng minh S là phép co

Giả sử u1 = (b1,m; c1,m)m∈Z và u2 = (b2,m; c2,m)m∈Z trong X Tương tự nhưquá trình ở (2.19), với mỗi z ∈ X ta có:

ta đi vào Định lý 2.4 và ở Định lý này ta sẽ sử dụng điều kiện F3

Để chứng minh Định lý 2.4 ta sử dụng phương pháp như trong chứng minhĐịnh lý 2.3 Đó là, ta sử dụng định lý điểm bất động để chỉ ra sự tồn tại duynhất của liên hợp phải

Định lý 2.4 (xem [8]) Giả sử điều kiện F1, F2, F3 thỏa mãn với β = ϑ Nếudãy {Am}m∈Z là nhị phân mũ không đều với b > 0 và max{a, b} ≤ ϑ và δ đủnhỏ, thì tồn tại duy nhất (vm)m∈Z ∈ X sao cho với mọi m ∈ Z ta có

ˆ

vm+1◦ Am = (Am + fm) ◦ ˆvm, (2.25)trong đó

ˆ

vm = Id + vm

Chứng minh Phương trình (2.25) tương đương với

và tương tự như quá trình (2.21) ta có ||e||0∞ < ∞ Vì vậy T (v) ∈ X và T : X → X

||T (v1) − T (v2)||0∞ ≤ max{ea+%, e−b+%} + 2θ
||v1 − v2||0∞

Từ % < min{−a, b}, với δ đủ nhỏ thì toán tử T là phép co, hay tồn tại duynhất v ∈ X sao cho T (v) = v Ta đã thu được ánh xạ liên hợp phải

Từ Định lý 2.3 và Định lý 2.4 ta thu được ánh xạ liên hợp tô-pô.

Hệ quả 2.5 Giả sử điều kiện F1, F2, F3 thỏa mãn với β = ϑ Nếu dãy{Am}m∈Z là nhị phân mũ không đều với b > 0 và max{a, b} ≤ ϑ và δ trong(2.1), (2.2) là đủ nhỏ thì ánh xạ ˆum = Id + um và ˆvm = Id + vm, với um nhưtrong Định lý 2.3 và vm như trong Định lý 2.4 là đồng phôi và thỏa mãn

ˆ

um◦ ˆvm = ˆvm ◦ ˆum = Id (2.31)Chứng minh Từ sự liên tục của um trong Định lý 2.3 và vm trong Định lý 2.4chỉ ra điều kiện (2.31) Đặt Gm = Am+ fm Bởi (2.15) và (2.25) ta có

ˆ

um+1◦ ˆvm+1◦ Am = ˆum+1◦ Gm◦ ˆvm = Am ◦ ˆum◦ ˆvm, (2.32)với mọi m ∈ Z Do sup{||ˆum◦ ˆvm− Id||0m : m ∈ Z} < ∞ vì vậy

(ˆum ◦ ˆvm)m∈Z ∈X

Từ (2.32) và sự duy nhất của ánh xạ ˆum và ˆvm trong Định lý 2.3 hoặc Định

lý 2.4 (với nhiễu fm = 0) thì

ˆ

um◦ ˆvm = Id, với mọi m ∈ Z

Vì vậy ˆum và ˆvm là tồn tại nghịch đảo và nghịch đảo liên tục và (2.31) đượcthỏa mãn

2.2 Tính chính quy H¨ older của ánh xạ liên hợp

Ta chỉ ra rằng ánh xạ liên hợp tô-pô um và vm trong Hệ quả 2.5 là liên tụcH¨older

2.2.1 Tính chính quy H¨ older của ánh xạ liên hợp

Ta sẽ định nghĩa nhị phân mũ không đều mạnh cho dãy toán tử

Định nghĩa 2.6 Ta nói dãy toán tử tuyến tính (Am)m∈Z là nhị phân mũ khôngđều mạnh nếu tồn tại các phép chiếu Pn ∈ B(X) với n ∈ Z thỏa mãn (2.3) vàtồn tại các hệ số

a ≤ a < 0 ≤ b ≤ b, a, b ≥ 0 và D ≥ 1,

sao cho với mọi m, n ∈ Z, với m ≥ n ta có

Bây giờ ta giả sử rằng có một nhị phân mũ không đều mạnh, và gọi α0 =min{a/a; b/b} Khi đó ta có kết quả cơ bản liên quan tới tính chính quy của ánh

xạ liên hợp trong Hệ quả 2.5

Định lý 2.7 Giả sử điều kiện F1, F2, F3 thỏa mãn với β = 4ϑ Nếu dãycác toán tử tuyến tính (Am)m∈Z là nhị phân mũ không đều mạnh với b > 0 vàmax{a, b} ≤ ϑ thì với mỗi α ∈ (0; α0), với δ trong (2.1), (2.2) là đủ nhỏ (phụthuộc α), với dãy duy nhất (um)m∈Z ∈ X trong Định lý 2.3 và (vm)m∈Z ∈ Xtrong Định lý 2.4 thì tồn tại K > 0 (phụ thuộc α và δ) sao cho

||um(x) − um(y)|| ≤ Ke2 max{a,b}α|m|||x − y||α,

||vm(x) − vm(y)|| ≤ Ke2 max{a,b}α|m|||x − y||α,với mọi m ∈ Z và x, y ∈ X và

||x − y|| ≤ e−2 max{a,b}|m|.Định lý 2.7 là hệ quả của Định lý 2.10 và Định lý 2.11 và Hệ quả 2.9

N = D(1 + e

−%)

với mỗi (x, y) ∈ Em× Fm ta có

||x|| ≤ ||x||∗m ≤ N ea|m|||x|| và ||y|| ≤ ||y||∗m ≤ N eb|m|||y||

Hệ quả 2.8 Với mỗi z ∈ X và m ∈ Z ta có

||z|| ≤ ||z||∗m ≤ 2DN e2 max{a,b}|m|||z|| (2.36)

Ta chỉ ra chuẩn của toán tử tuyến tính tuân theo chuẩn Lyapunov mới

Hệ quả 2.9 Với mỗi m ∈ Z ta có

||Am||∗ := sup

z∈X\{0}

||Amz||∗m+1

||z||∗ m

||A−1m−1v||∗m−1 = ||Bm−1−1 x||∗m−1+ ||Cm−1−1 y||∗m−1,với

Định lý 2.10 Giả sử F1, F2, F3 thỏa mãn với β = ϑ Nếu dãy các toán tửtuyến tính liên tục (Am)m∈Z là nhị phân mũ không đều mạnh với b > 0 vàmax{a, b} ≤ ϑ, với mỗi α ∈ (0, α0) Lấy δ đủ nhỏ (phụ thuộc vào α), do đó tồntại K > 0 (phụ thuộc α và δ) sao cho mọi m ∈ Z và x, y ∈ X với ||x − y||∗m < 1

ta có

||vm(x) − vm(y)||∗m ≤ K (||x − y||∗m)α.Chứng minh Giả sử K > 0 và α ∈ (0, 1) Xét tập con Xα ∈ X là tập các dãy(vm)m∈Z thỏa mãn

max{||dm(x) − dm(y)||∗m; ||em(x) − em(y)||∗m} ≤ K (||x − y||∗m)α,

với mọi m ∈ Z, x, y ∈ X, ||x − y||∗m < 1

Ta cóXα là đóng với chuẩn ||·||0∞trong (2.14) Ta chỉ ra ánh xạ co T :X → Xtrong Định lý 2.4 thỏa mãn T (Xα) ⊂ Xα Giả sử hệ số % > 0 trong chuẩnLyapunov từ (2.33), (2.34) được chọn là đủ nhỏ và thỏa mãn