Các lớp toán tử mờ có ngưỡng và chương trình fuzzy rules miner_báo cáo thực tập tốt nghiệp

Sau đó, một số kếtquả về các lớp toán tử mờ có ngưỡng t-chuẩn, t-đối chuẩn, và kéo theo đã được xemxét trong [9-13].. Phần tiếp theo là các khái niệm về toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng, đ

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn thày giáo Bùi Công Cường đã giúp đỡ em rấtnhiều trong quá trình tìm kiếm tài liệu cũng như hoàn thành báo cáo của mình Sựchỉ bảo tận tình của thày trong suốt quá trình từ những ý tưởng ban đầu cho đến khibáo cáo được hoàn thành là trợ giúp lớn nhất đối với em

Sau đó, em xin chân thành cảm ơn các thày, cô giáo đã giảng dạy em, đặcbiệt là các thày, cô giáo của khoa Toán Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa

Hà Nội Những kiến thức thu nhận được từ các thày, cô đã hỗ trợ em rất nhiều trongquá trình hoàn thành báo cáo này

Em cũng xin cảm ơn các bạn học cùng lớp Toán Tin-KSTN K45, Đại họcBách Khoa Hà Nội, các anh chị và các bạn thuộc Seminar Lý thuyết mờ và MạngNơron, những đóng góp của mọi người đã giúp em có thể hoàn chỉnh được báo cáo

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới cha mẹ, chị gái của em, sự cổ vũđộng viên của mọi người là động lực rất lớn giúp em có thể hoàn thành được báocáo này

Em xin phép được sử dụng cụm từ “chúng tôi” trong báo cáo bao gồm em

và mọi nguời

MỤC LỤC

GIỚI THIỆU 4

TOÁN TỬ MỜ CÓ NGƯỠNG 7

2.1 Toán tử mờ 9

2.1.1 Phủ định 9

2.1.2 T-chuẩn 9

2.1.3 T-đối chuẩn 10

2.1.4 Kéo theo 10

2.2 Toán tử mờ có ngưỡng 11

2.2.1 t-chuẩn có ngưỡng 11

2.2.2 Đẳng cấu giữa các t-chuẩn có ngưỡng 19

2.2.3 t-đối chuẩn có ngưỡng và bộ ba De Morgan có ngưỡng 23

2.2.4 Kéo theo có ngưỡng 27

2.2.5 Các toán tử mờ tham số 29

2.3 Kết luận 38

LUẬT KẾT HỢP MỜ 39

3.1 Giới thiệu 39

3.2 Mô tả bài toán 44

3.2.1 Thuộc tính và cơ sở dữ liệu 44

3.2.2 Từ 44

3.2.3 Mệnh đề 45

3.2.4 Luật kết hợp 47

3.2.5 t-chuẩn có ngưỡng và độ ủng hộ 49

3.3 Không gian tìm kiếm 50

3.3.1 Tìm mệnh đề 50

3.3.2 Tìm luật 52

3.4 Thuật toán 53

3.4.1 Tìm mệnh đề 53

3.4.2 Tìm luật kết hợp 56

3.5 Vấn đề mờ hoá dữ liệu 57

3.5.1 Bài toán phân cụm dữ liệu và phân cụm mờ 58

3.5.2 Thuật toán FCM 60

3.5.3 Phương pháp chia đều 62

3.6 Kết luận 63

Phụ lục A Các toán tử mờ có ngưỡng tham số 64

Phụ lục B Chương trình Fuzzy Rules Miner 77

1 Các Module chương trình 77

1.1 mdiMain 77

1.2 frmFuzzySetFinder 77

1.3 frmDataMiner 78

2 Cấu trúc các file dữ liệu 79

2.1 .CFF 79

2.2 .QDF 79

2.3 .FDF 79

2.4 .TF 79

2.5 .PF 80

2.6 .RF 80

3 Cơ sở dữ liệu chạy thử nghiệm 80

3.1 Mô tả 80

3.2 Kết quả 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

1

GIỚI THIỆU

Khái niệm t-chuẩn có ngưỡng do Dubois, Prade giới thiệu đầu tiên trong [14], sau

đó được Iancu xem xét một cách đầy đủ hơn trong [31] Sau đó, một số kết quả vềcác lớp toán tử mờ có ngưỡng, t-chuẩn, t-đối chuẩn, và kéo theo đã được xem xéttrong [9-13]

Cũng giống như toán tử mờ, toán tử mờ có ngưỡng có một phạm vi ứngdụng rộng lớn tử trong điều khiển học, trong trí tuệ nhân tạo, đặc biệt là trong cácvấn đề về hệ suy diễn và khai phá dữ liệu

Tìm kiếm luật kết hợp là một trong những hướng nghiên cứu quan trọngtrong khai phá dữ liệu [38] Bài toán tìm luật kết hợp boolean được giới thiệu lầnđầu tiên trong [2] Ví dụ cho luật này có thể là như sau: “90% số người mua bơ vàsữa sẽ mua cả bánh mì” Đã có nhiều thuật toán được đưa ra nhằm giải quyết bàitoán này, như Apriori [3], FP-growth [27,23], Eclat [1]…

Bài toán luật kết hợp lượng hoá được nêu ra trong [40] Lấy ví dụ, một luậtkết hợp lượng hoá cho cơ sở dữ liệu với ba thuộc tính về <tuổi,tình trạng hônnhân,số xe> có thể là “<tuổi:30 39> và <đã kết hôn:đúng> → <số xe:2>” Thuật

toán đưa ra trong [40] phân hoạch miền giá trị của các thuộc tính thành các khoảng

và sau đó kết hợp các khoảng rời nhau để cho lời giải của bài toán Thao tác nàythực chất là chuyển bài toán luật kết hợp lượng hoá về bài toán luật kết hợpboolean

Mặc dù phương pháp phân hoạch dữ liệu cũng giải quyết được một số bàitoán tìm luật kết hợp trên cơ sở dữ liệu lượng hoá Tuy nhiên, cũng có một số vấn

đề phát sinh như trong [35] đã chỉ ra Đó là vấn đề mất mát thông tin nếu như cónhiều giá trị tập trung xung quanh các biên của các khoảng Việc chia các giá trị gầnnhau vào các khoảng khác nhau sẽ dẫn tới việc mất thông tin trong các phân tích vềsau Một phương pháp tiếp cận khác là chia miền dữ liệu thành các vùng có chồnglên nhau Khi đó, các phần tử nằm gần biên có thể thuộc nhiều hơn một khoảng, và

sẽ giải quyết được phần nào vấn đề mất mát thông tin tại các lân cận biên Tuynhiên, tiếp cận này vẫn có phần bất hợp lý do việc phần tử gần biên cũng sẽ có vaitrò quan trọng trong việc mô tả đặc trưng của khoảng giống như các phần tử gầntrung tâm

Tất cả những vấn đề trên chủ yếu xuất phát từ việc sử dụng biên rõ ràng đểchia khoảng Từ đó, trong [35] đã đề nghị sử dụng tiếp cận mờ Tập mờ cung cấpthay đổi uyển chuyển giữa các vùng dữ liệu, và vấn đề xuất phát từ biên rõ sẽ đượcloại bỏ Trong [35], các luật kết hợp mờ có dạng, “Nếu X là A thì Y là B”, trong đó

“X là A” được gọi là phần tiền tố của luật, “Y là B” được gọi là phần hệ quả củaluật X và Y là các tập thuộc tính của cơ sở dữ liệu, A và B là các tập từ mô tả X và

toán luật kết hợp mờ, vấn đề mờ hóa dữ liệu đầu vào, đồng thời xem xét ứng dụng chuẩn có ngưỡng vào việc bài toán luật kết hợp mờ.

t-Phần phụ lục cuối báo cáo cung cấp các lớp toán tử mờ có ngưỡng có tham

số, mô tả về chương trình Fuzzy Rules Miner cài đặt thuật toán F-Apriori, cấu trúccác file dữ liệu đầu vào và các kết quả chạy thử nghiệm chương trình

2

TOÁN TỬ MỜ CÓ NGƯỠNG

Sự ra đời của công nghệ tính toán mờ xuất phát từ các giới thiệu về tập mờ củaZadeh năm 1965 [41] Hiện nay, có thể nói, công nghệ tính toán mờ là một trongnhững lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh mẽ nhất, được đánh dấu bằng sự ra đờicủa hàng loạt phương pháp và kỹ thuật ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.Việc tích hợp các kỹ thuật của lôgíc mờ với các phương pháp phân tích khác ngàycàng diễn ra mạnh mẽ Lôgíc mờ được ứng dụng rộng rãi để giải quyết rất nhiều bàitoán của khoa học ứng dụng Những lĩnh vực có thể kể ra ở đây là vận trù học, hỗtrợ quyết định, điều khiển, nhận dạng mẫu, kinh tế, quản lý, xã hội học, mô hìnhthống kê, máy học, thiết kế cơ khí, chế tạo, phân lớp, suy luận, thu nhận thông tin,quản lý cơ sở dữ liệu, chẩn đoán y tế, hệ cơ sở tri thức

Đặc biệt, trong lĩnh vực xử lý tri thức, công nghệ tính toán mờ tỏ ra vôcùng hiệu quả Do tri thức thường con người thường được biểu diễn bằng các thểhiện ngôn ngữ, bằng các câu hỏi, các phát biểu về thế giới đang xét Vấn đề đối vớiviệc xử lý tri thức là không chỉ ở việc liên kết các tri thức, các phát biểu về thế giớiđang xét, mà còn ở việc đánh giá sự đúng đắn của chúng Lôgíc hình thức cổ điển

cho phép chúng ta đánh giá một phát biểu về thế giới là hoặc đúng, hoặc sai Tuynhiên, trong thực tế, đánh giá một phát biểu chỉ có đúng hoặc sai là rất khó nếukhông muốn nói là phi thực tế Lấy ví dụ: đối với các tri thức dạng “Áp suất cao”,

“Thể tích nhỏ”, “Quả táo đỏ”, việc xác định một cách chính xác trị chân lý củachúng là không hay một là rất khó khăn do các từ “cao”, “nhỏ”, hay “đỏ” hoàn toàn

có tính chất mờ hồ Từ đó, Zadeh đã mở rộng lôgíc mệnh đề thành lôgíc mờ, trong

đó, mỗi mệnh đề P sẽ được gán cho một trị chân lý υ(P), là một giá trị trong đoạnP), là một giá trị trong đoạn[0,1], biểu diễn mức độ đúng đắn của mệnh đề đó Hay

Để có thể tiến hành các thao tác lôgíc trên các mệnh đề, chúng ta cần phải

có các phép toán lôgíc mờ Đó chính là các phép toán t-chuẩn tương ứng với phéphội, t-đối chuẩn ứng với phép tuyển, và phép kéo theo mờ

Bên cạnh đó, ngưỡng cũng là khái niệm hết sức tự nhiên trong các bài toáncủa thế giới thực Những suy luận có sử dụng ngưỡng là rất hay gặp trong đời sống.Lấy ví dụ, trong công tác chẩn đoán bệnh nhân Nếu một số thông số đầu vào đạt

chúng ta phải có những suy luận khác với khi các giá trị này chưa đạt giá trịngưỡng Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các toán tử mờ có ngưỡng sửdụng làm công cụ cho quá trình trích rút các luật mờ

Mở đầu của các nghiên cứu về toán tử mờ có ngưỡng chính là t-chuẩn cóngưỡng Khái niệm t-chuẩn có ngưỡng do Dubois, Prade giới thiệu đầu tiên trong[14], sau đó được Iancu xem xét một cách đầy đủ hơn trong [31] Sau đó, một số kếtquả về các lớp toán tử mờ có ngưỡng t-chuẩn, t-đối chuẩn, và kéo theo đã được xemxét trong [9-13] Chương này sẽ nhắc lại các khái niệm về toán tử mờ, toán tử mờ

có ngưỡng, lớp toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng Đồng thời, chúng tôi sẽ tiến hànhxem xét một số tính chất đại số của các lớp này Phần cuối chương là các xem xétgiải tích đối với các lớp toán tử mờ tham số nhằm làm tiền đề cho việc tạo ra cáctoán tử mờ có ngưỡng tham số

Trước hết, chúng ta bắt đầu bằng việc tìm hiểu về các toán tử mờ và một sốtính chất đặc trưng của chúng.

Toán tử mờ là những phép toán trên lôgíc mờ, nghĩa là những phép toán trên các giátrị lôgíc của các mệnh đề Như thế, một cách tổng quát, các phép toán trên đoạn[0,1] đều có thể là toán tử mờ Trong phần này chúng ta sẽ tìm nhắc lại các địnhnghĩa và một số tính chất của các phép toán lôgíc cơ bản, đó là phép phủ định, phéphội hay t-norm, phép tuyển hay t-conorm

2.1.1 Phủ định

Định nghĩa 2.1.1[28].

i) Hàm n : [0,1] → [0,1] được gọi là hàm phủ định nếu nó không tăng đồng

thời n(P), là một giá trị trong đoạn0) = 1 và n(P), là một giá trị trong đoạn1) = 0

ii) Một hàm phủ định được gọi là phủ định chặt nếu nó giảm chặt.

iii) Một hàm phủ định được gọi là phủ định mạnh nếu nó là phủ định chặt,

đồng thời n(P), là một giá trị trong đoạnn(P), là một giá trị trong đoạnx)) = x với mọi x  [0,1]

Định lý 2.1.1[28] n là phép phủ định chặt nếu và chỉ nếu tồn tại f thuộc Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ) sao

cho n(P), là một giá trị trong đoạnx) = f-1(P), là một giá trị trong đoạn1-f(P), là một giá trị trong đoạnx))

Ở đây, ta chú ý η = 1 - x là một hàm phủ định chặt, và biểu diễn của n trongđịnh lý có thể được viết thành n(P), là một giá trị trong đoạnx) = f-1(P), là một giá trị trong đoạnη(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx))) f khi đó được gọi là hàm sinh của

2.1.2 T-chuẩn

Định nghĩa 2.1.2[28] Một hàm T : [0,1]×[0,1] → [0,1] được gọi là một t-chuẩn

(P), là một giá trị trong đoạntương ứng với phép hội trong lôgíc mệnh đề), nếu nó có tính giao hoán, kết hợp,

i) Một t-chuẩn được gọi là liên tục nếu nó liên tục theo từng biến.

ii) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn Archimedean nếu nó liên tục, đồng thời:

T(P), là một giá trị trong đoạnx,x) < x với mọi x  (P), là một giá trị trong đoạn0,1)

iii) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn chặt nếu nó là Archimedean, đồng thời:

không tồn tại x, y  (P), là một giá trị trong đoạn0,1) sao cho T(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = 0

iv) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn nilpotent nếu nó là Archimedean, đồng

thời: tồn tại x, y  (P), là một giá trị trong đoạn0,1) sao cho T(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = 0

2.1.3 T-đối chuẩn

Định nghĩa 2.1.3[28] Một hàm S : [0,1]×[0,1] → [0,1] được gọi là một t-đối chuẩn

(P), là một giá trị trong đoạntương ứng với phép tuyển) nếu nó có tính giao hoán, kết hợp, đơn điệu không giảm

Kết quả sau đây cho ta thấy mối tương quan giữa t-chuẩn và t-đối chuẩn

Định lý 2.1.2[28] S là t-đối chuẩn nếu và chỉ nếu tồn tại t-chuẩn T và phủ định

mạnh n sao cho S(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = n(P), là một giá trị trong đoạnT(P), là một giá trị trong đoạnn(P), là một giá trị trong đoạnx),n(P), là một giá trị trong đoạny))) với mọi x,y  [0,1]

Cặp (P), là một giá trị trong đoạnT,S) được gọi là đối ngẫu nhau qua phủ định mạnh n.

Bộ ba (P), là một giá trị trong đoạnT,n,S) được gọi là bộ ba De Morgan.

Một t-đối chuẩn được gọi là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent nếu đốingẫu của nó là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent tương ứng

2.1.4 Kéo theo

Định nghĩa 2.1.4[19] Một hàm I: [0,1]×[0,1]→[0,1] là một hàm kéo theo nếu thoả

các tính chất sau:

i) I(P), là một giá trị trong đoạnx,y) ≥ I(P), là một giá trị trong đoạnu,y) nếu x ≤ u

ii) I(P), là một giá trị trong đoạnx,y) ≥ I(P), là một giá trị trong đoạnx,v) nếu y ≥ v

iii) I(P), là một giá trị trong đoạn0,x) = 1

iv) I(P), là một giá trị trong đoạnx,1) = 1

v) I(P), là một giá trị trong đoạn1,0) = 0

Trong thực tế, người ta thường sử dụng các hàm kéo theo được định nghĩadựa trên các toán tử khác như t-chuẩn, t-đối chuẩn và hàm phủ định Ta có các kếtquả sau:

Mệnh đề 2.1.3[19] Cho S là t-đối chuẩn, n là hàm phủ định chặt, thế thì I(P), là một giá trị trong đoạnx,y) =

S(P), là một giá trị trong đoạnnx,y) là một hàm kéo theo

Mệnh đề 2.1.4[19] Cho T là t-chuẩn, thế thì I(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = supz{T(P), là một giá trị trong đoạnx,z) ≤ y} là hàm kéotheo

Phần tiếp theo là các khái niệm về toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng, đồngthời chúng tôi cũng sẽ nhắc lại một số tính chất của các toán tử mờ sau đó xem xét

mở rộng sang t-chuẩn có ngưỡng

T(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α) = 

kh¸c hîp

: ) y , x (P), là một giá trị trong đoạn t

α y , α x : ) y , x (P), là một giá trị trong đoạn t

2

y x

1

Định nghĩa 2.2.2 Lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng là tập các t-chuẩn có

ngưỡng được xác định như sau:

tr êng

Ta có thể thấy, việc xác định một t-chuẩn có ngưỡng tương ứng với việc

Ta cũng gọi T(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α) là t-chuẩn có ngưỡng liên tục, Archimedean, chặt,

ta có thể thấy t-chuẩn có ngưỡng Archimedean có thể chia làm ba loại:

i) t-chuẩn có ngưỡng chặt

ii) t-chuẩn có ngưỡng nilpotent

Ta có kết quả sau thu được trực tiếp từ định nghĩa

T(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α) ≥ t2(P), là một giá trị trong đoạnx,y)

Trong các bài toán cụ thể, nói chung, miền ngưỡng α được đưa ra dựa trên

ý kiến của các chuyên gia, chúng phụ thuộc vào thế giới đang được xem xét Sauđây, chúng tôi sẽ xem xét về các phương pháp để xây dựng các lớp t-chuẩn có

t1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) ≥ t2(P), là một giá trị trong đoạnx,y) với mọi x,y

Trước hết, ta nhắc lại phương pháp sử dụng hàm sinh, trong [28], sau đó, ta

sẽ xem xét mở rộng cho t-chuẩn có ngưỡng với cặp hàm sinh

Ký hiệu

i) Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ) là tập các tự đẳng cấu của J, nghĩa là tập các song ánh J → J, bảo

toàn thứ tự

Ký hiệu

z1  z2 = max(P), là một giá trị trong đoạnz1,z2) z1  z2 = min(P), là một giá trị trong đoạnz1,z2)

Định lý 2.2.2[28] Cho t là t-chuẩn Archimedean nếu và chỉ nếu tồn tại f tăng chặt:

[0,1] → [0,1], với f(P), là một giá trị trong đoạn1) = 1, sao cho:

t(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = f-1(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx)f(P), là một giá trị trong đoạny)  f(P), là một giá trị trong đoạn0))hàm f được xác định duy nhất sai khác một số mũ dương

Hàm f ở trên được gọi là hàm sinh nhân tính của t-chuẩn Archimedean t.

Ta cũng có thể thấy, nếu t là t-chuẩn chặt thì f(P), là một giá trị trong đoạn0) = a = 0, còn nếu t là t-chuẩnnilpotent, ta có f(P), là một giá trị trong đoạn0) > 0

Bên cạnh việc biểu diễn các t-chuẩn Archimedean thông qua hàm sinhnhân tính, chúng ta cũng có thể sử dụng hàm sinh cộng tính để xây dựng các t-chuẩn này [28]

Định lý 2.2.3 [28] Cho t là t-chuẩn Archimedean nếu và chỉ nếu tồn tại hàm g liên

tục, giảm chặt: [0,1] → [0,∞], với g(P), là một giá trị trong đoạn1) = 0, sao cho:

t(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = g-1(P), là một giá trị trong đoạng(P), là một giá trị trong đoạnx)+g(P), là một giá trị trong đoạny) g(P), là một giá trị trong đoạn0))hàm g xác định duy nhất sai khác một hằng số nhân dương

Hàm g được gọi là hàm sinh cộng tính của t-chuẩn t Và nếu t là t-chuẩn

chặt, ta có g(P), là một giá trị trong đoạn0) = ∞, nếu t là t-chuẩn nilpotent, ta có g(P), là một giá trị trong đoạn0) < ∞ Kết quả sau cho tamối tương quan giữa hàm sinh nhân tính và hàm sinh cộng tính

Mệnh đề 2.2.4 [28] Cho t là t-chuẩn Archimedean với g là hàm sinh cộng tính, thế

thì f(P), là một giá trị trong đoạnx) = e-g(P), là một giá trị trong đoạnx) là hàm sinh nhân tính của t

Ký hiệu

tf là t-chuẩn sinh bởi hàm sinh nhân tính (P), là một giá trị trong đoạncộng tính) f.

Ta có thể thấy, lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng được xác định dựa

trước hết, ta xem xét các kết quả về so sánh giữa hai t-chuẩn Archimedean thôngqua các hàm sinh của chúng

nghĩa là:

g1○g2-1(P), là một giá trị trong đoạnu+v) ≤ g1○g2-1(P), là một giá trị trong đoạnu) + g1○g2-1(P), là một giá trị trong đoạnv)với mọi u, v  [0,g2(P), là một giá trị trong đoạn0)] sao cho u+v  [0,g2(P), là một giá trị trong đoạn0)]

là:

f2○f1-1(P), là một giá trị trong đoạnuv) ≤ f2○f1-1(P), là một giá trị trong đoạnu)f2○f1-1(P), là một giá trị trong đoạnv)với mọi u, v  [f1(P), là một giá trị trong đoạn0),1] sao cho uv  [f1(P), là một giá trị trong đoạn0),1]

Chứng minh: Trước hết, ta xét điều kiện đủ Ta có, giả sử

f2○f1-1(P), là một giá trị trong đoạnuv) ≤ f2○f1-1(P), là một giá trị trong đoạnu)f2○f1-1(P), là một giá trị trong đoạnv)với mọi u, v  [0,f1(P), là một giá trị trong đoạn0)] sao cho uv  [0,f1(P), là một giá trị trong đoạn0)]

Đặt x = f1-1(P), là một giá trị trong đoạnu), y = f1-1(P), là một giá trị trong đoạnv), khi đó

x, y  [0,1], f1(P), là một giá trị trong đoạnx)f1(P), là một giá trị trong đoạny)  [f1(P), là một giá trị trong đoạn0),1] và u = f1(P), là một giá trị trong đoạnx), v = f1(P), là một giá trị trong đoạny)

t1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = f1-1(P), là một giá trị trong đoạnf1(P), là một giá trị trong đoạnx)f1(P), là một giá trị trong đoạny)  f1(P), là một giá trị trong đoạn0))  f2-1(P), là một giá trị trong đoạnf2(P), là một giá trị trong đoạnx)f2(P), là một giá trị trong đoạny)  0) = t2(P), là một giá trị trong đoạnx,y)

Hơn nữa, hiển nhiên, với f1(P), là một giá trị trong đoạnx)f1(P), là một giá trị trong đoạny) ≤ f1(P), là một giá trị trong đoạn0), thì:

t1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = f1-1(P), là một giá trị trong đoạnf1(P), là một giá trị trong đoạnx)f1(P), là một giá trị trong đoạny)  f1(P), là một giá trị trong đoạn0)) = 0 ≤ t2(P), là một giá trị trong đoạnx,y)

sao cho f1(P), là một giá trị trong đoạnx)f1(P), là một giá trị trong đoạny)  [f1(P), là một giá trị trong đoạn0),1] □

Bổ đề 2.2.7 Cho f1, f2 là hai hàm tăng chặt [0,1] → [0,1] với f1(P), là một giá trị trong đoạn1) = f2(P), là một giá trị trong đoạn1) = 1 saocho

f2○f1-1(P), là một giá trị trong đoạnuv) ≤ (P), là một giá trị trong đoạnf2○f1-1(P), là một giá trị trong đoạnu)f2○f1-1(P), là một giá trị trong đoạnv))với mọi u, v  [f1(P), là một giá trị trong đoạn0),1] sao cho uv  [f1(P), là một giá trị trong đoạn0),1] Cho g1, g2 là hai hàm sao cho f1 =1

Ta lại có, với u, v  [g1(P), là một giá trị trong đoạn0),1] sao cho uv  [g1(P), là một giá trị trong đoạn0),1] thì ur 1, vr 1 

[f1(P), là một giá trị trong đoạn0),1] và  r 1

uv  [f1(P), là một giá trị trong đoạn0),1]

Xét u, v  [g1(P), là một giá trị trong đoạn0),1] sao cho uv  [g1(P), là một giá trị trong đoạn0),1], ta có:

g2○g1-1(P), là một giá trị trong đoạnuv) = 2  1  r 1 

1 r 1

2 f uv

f  ≤f 2 f (P), là một giá trị trong đoạnu1))f 2 f 1(P), là một giá trị trong đoạnvr 1))

1 r 1 2 r 1 1 r 1 2

với mọi u, v  [0,g2(P), là một giá trị trong đoạn0)] sao cho uv  [0,g2(P), là một giá trị trong đoạn0)] Cho f1, f2 là hai hàm sao cho g1 =

Hệ quả 2.2.9.

thuộc Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,a1,a2) sao cho

t1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = f1-1(P), là một giá trị trong đoạnf1(P), là một giá trị trong đoạnx)f1(P), là một giá trị trong đoạny)  a1) và t2(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = f2-1(P), là một giá trị trong đoạnf2(P), là một giá trị trong đoạnx)f2(P), là một giá trị trong đoạny)  a2)

[0,1] → [0,∞] sao cho

t1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = g1-1(P), là một giá trị trong đoạng1(P), là một giá trị trong đoạnx)+g1(P), là một giá trị trong đoạny) g1(P), là một giá trị trong đoạn0)) và t2(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = g2-1(P), là một giá trị trong đoạng2(P), là một giá trị trong đoạnx)+g2(P), là một giá trị trong đoạny) g2(P), là một giá trị trong đoạn0))

Các kết quả về các cặp hàm sinh ở đây, sẽ được sử dụng trong việc xâydựng các lớp toán tử mờ có ngưỡng tham số trong phần cuối của tài liệu này.

Ký hiệu

G2 là tập tất cả các cặp hàm sinh nhân tính

Cho r  R+, ký hiệu r(P), là một giá trị trong đoạnx) = xr

Trong G2 xét phép hợp thành (P), là một giá trị trong đoạnf1,f2)○(P), là một giá trị trong đoạng1,g2) = (P), là một giá trị trong đoạnf1○g1,f2○g2) Xét quan hệtương đương ~ giữa các cặp hàm sinh nếu chúng tạo ra cùng một lớp t-chuẩn cóngưỡng đồng dạng Khi đó, theo hệ quả 2.2.9, ta có ~ phân hoạch G2 thành các lớpdạng (P), là một giá trị trong đoạnR+)2(P), là một giá trị trong đoạnf1,f2)

Từ nhận xét trên, ta có các kết quả sau:

(P), là một giá trị trong đoạnR+)2(P), là một giá trị trong đoạnf1,f2) là tương ứng một-một giữa tập các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạngArchimedean và phân hoạch {(P), là một giá trị trong đoạnR+)2(P), là một giá trị trong đoạnf1,f2) : (P), là một giá trị trong đoạnf1,f2)  G2} của G2

Hệ quả 2.2.12 Ánh xạ Tf 1 , f 2 → (P), là một giá trị trong đoạnR+)2(P), là một giá trị trong đoạnf1,f2) là tương ứng một-một giữa tập các lớpt-chuẩn có ngưỡng đồng dạng chặt với phân hoạch {(P), là một giá trị trong đoạnR+)2(P), là một giá trị trong đoạnf1,f2) : (P), là một giá trị trong đoạnf1,f2)  G2} củaG2.

Các kết quả trên cho ta thấy tương ứng giữa các lớp t-chuẩn có ngưỡngđồng dạng với các lớp cặp hàm sinh nhân tính Sau đây là các kết quả cho ta tươngứng giữa các cặp hàm sinh với các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Trước hết, taxét bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.13 Cho (P), là một giá trị trong đoạna1,a2)  (P), là một giá trị trong đoạn0,1)2 Khi đó, một lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng sẽ

có duy nhất một cặp hàm sinh nhân tính (P), là một giá trị trong đoạnf1,f2) sao cho f1(P), là một giá trị trong đoạna1) = a1 và f2(P), là một giá trị trong đoạna2) = a2

tử (P), là một giá trị trong đoạnr1,r2)(P), là một giá trị trong đoạnf1,f2) trong (P), là một giá trị trong đoạnR+)2(P), là một giá trị trong đoạnf1,f2) sao cho r 1

1

f (P), là một giá trị trong đoạna1) = a1 và r 2

2

f (P), là một giá trị trong đoạna2) = a2 Giả sử f1(P), là một giá trị trong đoạna1) =

1

□

Từ bổ đề trên, ta có các kết quả sau:

Mệnh đề 2.2.14 Cho a1,a2  (P), là một giá trị trong đoạn0,1), ký hiệu G a 1 , a 2 = {(P), là một giá trị trong đoạng1,g2)  G2 : g1(P), là một giá trị trong đoạna1) = a1 và

g2(P), là một giá trị trong đoạna2) = a2} Khi đó, ánh xạ (P), là một giá trị trong đoạng1,g2) → Tg 1 , g 2 là tương ứng một một giữa Ga 1 , a 2 vàtập các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean

Hệ quả 2.2.15 Ký hiệu Auta 1 , a 2(P), là một giá trị trong đoạnJ) = Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ)  Ga 1 , a 2 Khi đó, ánh xạ (P), là một giá trị trong đoạng1,g2) →

Sau đây, ta sẽ xét biểu diễn của các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng

[b1,1] và [b2,1] tương ứng, với b1, b2  (P), là một giá trị trong đoạn0,1) Khi đó, với a1,a2 thuộc (P), là một giá trị trong đoạn0,1) cho trước,

tồn tại duy nhất cặp (P), là một giá trị trong đoạnr1,r2) thuộc (P), là một giá trị trong đoạnR+)2 sao cho r 1

1

b = a1 và r 2

2

Hệ quả 2.2.16 Cho (P), là một giá trị trong đoạna1,a2) thuộc (P), là một giá trị trong đoạn0,1)2 Khi đó (P), là một giá trị trong đoạng1,g2) → T g 1 , g 2 là tương ứng

các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng nilpotent

2.2.2 Đẳng cấu giữa các t-chuẩn có ngưỡng

Trước hết, ta xem xét một kết quả trong [28] và một số hệ quả

Định lý 2.2.17[28] Cho t là t-chuẩn, f thuộc Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ), khi đó tf(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = f-1(P), là một giá trị trong đoạnt(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx),f(P), là một giá trị trong đoạny))cũng là t-chuẩn Hơn nữa, nếu t là t-chuẩn liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent thì

đẳng cấu giữa chúng

Hệ quả 2.2.18 Cho T(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α) là t-chuẩn có ngưỡng, khi đó

Tf(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α’) := f-1(P), là một giá trị trong đoạnT(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx),f(P), là một giá trị trong đoạny),α) = 





)) y (P), là một giá trị trong đoạn f ), x (P), là một giá trị trong đoạn f t (P), là một giá trị trong đoạn f

α ) y (P), là một giá trị trong đoạn f , α ) x (P), là một giá trị trong đoạn f : )) y (P), là một giá trị trong đoạn f ), x (P), là một giá trị trong đoạn f t (P), là một giá trị trong đoạn f

2 1

y x

1 1

là t-chuẩn có ngưỡng α’ := f-1(P), là một giá trị trong đoạnα) = (P), là một giá trị trong đoạnf-1(P), là một giá trị trong đoạnαx),f-1(P), là một giá trị trong đoạnαy)) Hơn nữa, nếu T là t-chuẩn có

ngưỡng liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp tương ứng

Chứng minh: Từ định lý 2.2.17, ta có

t1’(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = f-1(P), là một giá trị trong đoạnt1(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx),f(P), là một giá trị trong đoạny))) và t2’(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = f-1(P), là một giá trị trong đoạnt2(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx),f(P), là một giá trị trong đoạny)))

là các t-chuẩn

t1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) ≥ t2(P), là một giá trị trong đoạnx,y)  t1’(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = f-1(P), là một giá trị trong đoạnt1(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx),f(P), là một giá trị trong đoạny))) ≥ f-1(P), là một giá trị trong đoạnt2(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx),f(P), là một giá trị trong đoạny))) = t2’(P), là một giá trị trong đoạnx,y), vậy

Tf(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α’) là t-chuẩn có ngưỡng

Các tính chất của T(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α’) tương ứng với các tính chất của t1’, t2’, tương

hàm f và f được gọi là đẳng cấu giữa chúng

= {Tf(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α’) : α’ = f-1(P), là một giá trị trong đoạnα), α  [0,1)} cũng là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng

liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp tương ứng

-1(P), là một giá trị trong đoạnαx) và f-1(P), là một giá trị trong đoạnαy) cũng biến thiên từ 0 tới 1 Từ đó ta có T f cũng là lớp t-chuẩn có

hệ quả 2.2.18 □

nhau thông qua hàm f và f được gọi là đẳng cấu giữa chúng

Bây giờ chúng ta sẽ xét một vài tính chất về các đẳng cấu giữa các t-chuẩn

Mệnh đề 2.2.20 Cho hai t-chuẩn có ngưỡng: T1(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α1) = (P), là một giá trị trong đoạnt1

1,t1

2,α1)(P), là một giá trị trong đoạnx,y) và

T2(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α2) = (P), là một giá trị trong đoạnt2 ,t2,α2) Nếu h là đẳng cấu giữa t1 , t2 và là đẳng cấu giữa t1 và t2,đồng thời h(P), là một giá trị trong đoạnα1x) = α2x, h(P), là một giá trị trong đoạnα1y) = α2y, thì h là đẳng cấu giữa T1 và T2

Chứng minh mệnh đề này được suy trực tiếp từ định nghĩa

(P), là một giá trị trong đoạnt2

1,t2

1,

Chứng minh: Phần nếu là kết quả trực tiếp của mệnh đề 2.2.20 Sau đây chúng ta

xét phần chỉ nếu

Xét T1(P), là một giá trị trong đoạnx,y,(P), là một giá trị trong đoạn0,0)) = t1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) thuộc T 1, theo định nghĩa, tồn tại T2(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α)thuộc T 2 sao cho h(P), là một giá trị trong đoạnT1(P), là một giá trị trong đoạnx,y,(P), là một giá trị trong đoạn0,0)) = T2(P), là một giá trị trong đoạnh(P), là một giá trị trong đoạnx),h(P), là một giá trị trong đoạny),α), vậy α = (P), là một giá trị trong đoạnh(P), là một giá trị trong đoạn0),h(P), là một giá trị trong đoạn0)) = (P), là một giá trị trong đoạn0,0).Nghĩa là T2(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α) = t2(P), là một giá trị trong đoạnx,y), nghĩa là h là đẳng cấu giữa t1 và t2.

Tương tự, xét trường hợp khi ngưỡng α = (P), là một giá trị trong đoạn1,1), ta cũng có h là đẳng cấu

Ký hiệu:

i) Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,t1,t2) là tập các đẳng cấu giữa hai t-chuẩn t1,t2

Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất về tự đẳng cấu

Định nghĩa 2.2.5 Xét f thuộc Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ)

i) f gọi là tự đẳng cấu của t-chuẩn t nếu và chỉ nếu f(P), là một giá trị trong đoạnt(P), là một giá trị trong đoạnx,y)) = t(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx),f(P), là một giá trị trong đoạny)) vớimọi x,y

ii) f gọi là tự đẳng cấu của t-chuẩn có ngưỡng T nếu và chỉ nếu f(P), là một giá trị trong đoạnT(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α) =T(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx),f(P), là một giá trị trong đoạny),f(P), là một giá trị trong đoạnα))

iii) f gọi là tự đẳng cấu của lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng nếu và chỉnếu T = {T(P), là một giá trị trong đoạnx,y,α) : α  [0,1]2} = {f-1(P), là một giá trị trong đoạnT(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx),f(P), là một giá trị trong đoạny),α’) : α’  [0,1]2}

Ký hiệu

i) Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,t) là tập các tự đẳng cấu của t

ii) Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,T) là tập các tự đẳng cấu của T

Trên Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ), xác định phép toán hợp thành Từ [28] ta đã biết Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ) cùngvới phép toán hợp thành lập thành một nhóm Từ [12], ta có Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,T) là nhóm con

Mệnh đề 2.2.22 Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,T) là nhóm con của Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,T).

Dựa trên mệnh đề 2.2.21 và mệnh đề 2.2.22, ta có kết quả sau:

Hệ quả 2.2.23.

i) Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,t1)  Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,t2)  Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,T)

ii) Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,t1)  Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,t2) = Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,T)

Sau đây, ta sẽ nhắc lại một số kết quả trong [28] cũng như mở rộng củachúng cho t-chuẩn có ngưỡng Chú ý rằng, từ đây về sau, trong các phát biểu vềhàm sinh, nếu không có chú thích gì, chúng tôi chỉ đề cập đến các hàm sinh nhântính

Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ) nào đó nếu và chỉ nếu t là t-chuẩn chặt

Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,T) = f1-1R+f1  f2-1R+f2 với f1, f2  Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ) nào đó, nếu và chỉ nếu T là lớpcác t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng chặt

Định lý 2.2.28[28] Cho tf, tg là t-chuẩn nilpotent r > 0, sao cho g(P), là một giá trị trong đoạn0) = fr(P), là một giá trị trong đoạn0) Khi đó

1

f (P), là một giá trị trong đoạn0)

và g2(P), là một giá trị trong đoạn0) = r 2

2

f (P), là một giá trị trong đoạn0), đồng thời g1-1r1f1 = g2-1r2f2 Khi đó g1-1r1f1 là đẳng cấu duy nhất

Hệ quả 2.2.30 Cho Tf 1 , f 2 và Tg 1 , g 2 là hai lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng hỗn

2

f (P), là một giá trị trong đoạn0),

Định lý 2.2.31[28] Cho t là t-chuẩn nilpotent Khi đó Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,t) = {1}.

hợp) Khi đó Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,T f 1 , f 2 ) = {1}

2.2.3 t-đối chuẩn có ngưỡng và bộ ba De Morgan có ngưỡng

Cho s1, s2 là t-đối chuẩn sao cho s1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) ≤ s2(P), là một giá trị trong đoạnx,y) với mọi x, y thuộc [0,1], β

: ) y , x (P), là một giá trị trong đoạn s

β y , β x : ) y , x (P), là một giá trị trong đoạn s

2

y x

x(P), là một giá trị trong đoạn

kh¸c hîp

tr êng

Tương tự như đối với chuẩn, đối chuẩn có ngưỡng cũng được gọi là

Mệnh đề trên cũng là cơ sở cho việc xây dựng đối chuẩn có ngưỡng từ chuẩn có ngưỡng.

là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng sao cho

S = {n(P), là một giá trị trong đoạnT(P), là một giá trị trong đoạnn(P), là một giá trị trong đoạnx),n(P), là một giá trị trong đoạny),α)) : α  [0,1]2}

và ngược lại

Chứng minh của mệnh đề là đơn giản dựa vào định lý 2.1.2, với chú ý làkhi n(P), là một giá trị trong đoạnx) ≥ αx thì x ≤ n(P), là một giá trị trong đoạnαx) = βx, tương tự cho αy và βy, và khi αx, αy biến thiên từ 0 tới

1 thì βx = n(P), là một giá trị trong đoạnαx) và βy = n(P), là một giá trị trong đoạnαy) biến thiên từ 1 tới 0, tương ứng

Từ [28], ta đã biết, các t-đối chuẩn Archimedean có thể được biểu diễn

= g-1(P), là một giá trị trong đoạng(P), là một giá trị trong đoạnx)g(P), là một giá trị trong đoạny)  b), với g = fn, trong đó f là hàm sinh nhân tính của t-chuẩn t là đối

Sau đây là kết quả về đẳng cấu giữa các t-đối chuẩn có ngưỡng

Chứng minh: Thật vậy, dựa vào định nghĩa và mệnh đề 2.2.34, ta có :

n2(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnn1(P), là một giá trị trong đoạnS1(P), là một giá trị trong đoạnx,y,β1)))) = n2(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnT1(P), là một giá trị trong đoạnn1(P), là một giá trị trong đoạnx),n1(P), là một giá trị trong đoạny),n1(P), là một giá trị trong đoạnβ1))))

= n2(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnT1(P), là một giá trị trong đoạnn1(P), là một giá trị trong đoạnx),n1(P), là một giá trị trong đoạny),α1)))

= n2(P), là một giá trị trong đoạnT2(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnn1(P), là một giá trị trong đoạnx)),f(P), là một giá trị trong đoạnn1(P), là một giá trị trong đoạny)),f(P), là một giá trị trong đoạnα1)))

= n2(P), là một giá trị trong đoạnT2(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnn1(P), là một giá trị trong đoạnx)),f(P), là một giá trị trong đoạnn1(P), là một giá trị trong đoạny)),α2))

= S2(P), là một giá trị trong đoạnn2(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnn1(P), là một giá trị trong đoạnx))),n2(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnn1(P), là một giá trị trong đoạny))),n2(P), là một giá trị trong đoạnα2))

= S2(P), là một giá trị trong đoạnn2(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnn1(P), là một giá trị trong đoạnx))),n2(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnn1(P), là một giá trị trong đoạny))),β2) □

Lớp các bộ ba De Morgan có ngưỡng đồng dạng Archimedean, cũng có thểđược biểu diễn thông qua các cặp hàm sinh đối với t-chuẩn có ngưỡng, hàm sinh đối

,ηg,Sh 1 , h 2 )

Sau đây, chúng ta xét đẳng cấu giữa các bộ ba De Morgan có ngưỡng Cho

q thuộc Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ)

Định nghĩa 2.2.9.

i) q gọi là đẳng cấu giữa hai bộ ba De Morgan có ngưỡng (P), là một giá trị trong đoạnT1,S1,n1) và

ii) q gọi là đẳng cấu giữa hai lớp (P), là một giá trị trong đoạnT 1,S 1,n1) và (P), là một giá trị trong đoạnT 2,S 2,n2) nếu và chỉ nếu

f(P), là một giá trị trong đoạnn1(P), là một giá trị trong đoạnx)) = n2(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx)), hay n1 và n2 đẳng cấu với nhau qua hàm f Như thế, nếu q là đẳng

khi xét các bộ ba De Morgan có ngưỡng, ta chỉ cần xét t-chuẩn và phủ định, tương

tự như trong [28], ta cũng gọi (P), là một giá trị trong đoạnT,n) với T là t-chuẩn có ngưỡng là hệ De Morgan có

Định lý 2.2.37.[28]: Cho (P), là một giá trị trong đoạntf,ηg) và (P), là một giá trị trong đoạntu,ηv) là hai hệ De Morgan đẳng cấu với nhaunếu và chỉ nếu (P), là một giá trị trong đoạntu,ηv) = (P), là một giá trị trong đoạntfh,ηgh) với h  Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ) nào đó, khi đó h-1 là đẳng cấu duynhất giữa chúng

Từ định lý 2.2.37 và mệnh đề 2.2.21, ta có:

Hệ quả 2.2.38 Cho (P), là một giá trị trong đoạnTf 1 , f 2,ηg) và (P), là một giá trị trong đoạnTu 1 , u 2,ηv) là hai lớp các hệ De Morgan cóngưỡng đồng dạng Archimedean đẳng cấu với nhau nếu và chỉ nếu (P), là một giá trị trong đoạnt u 1,t u 2,ηv) = (P), là một giá trị trong đoạnh

f1

Từ [28], ta có kết quả sau về tính không duy nhất của phép phủ định đốivới hai t-chuẩn và t-đối chuẩn đối ngẫu với nhau

Bổ đề 2.2.39[28] Cho (P), là một giá trị trong đoạnt,s,n1) và (P), là một giá trị trong đoạnt,s,n2) là hai bộ ba De Morgan có cùng t-chuẩn vàt-đối chuẩn, khi đó n1n2  Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ,t)

Kết hợp với hệ quả 2.2.23 và mệnh đề 2.2.34., ta có các kết quả sau

Hệ quả 2.2.40 Nếu (P), là một giá trị trong đoạnT,S,n1) và (P), là một giá trị trong đoạnT,S,n2) là hai lớp các bộ ba De Morgan cóngưỡng đồng dạng có cùng lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng và t-đối chuẩn có

Hệ quả 2.2.41 Nếu (P), là một giá trị trong đoạnT,S,n1) và (P), là một giá trị trong đoạnT,S,n2) là hai lớp các bộ ba De Morgan có

2.2.4 Kéo theo có ngưỡng

Tương tự như đối với t-chuẩn và t-đối chuẩn Ta cũng có định nghĩa về kéo theo cóngưỡng dựa trên hai phép kéo theo i1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) ≤ i2(P), là một giá trị trong đoạnx,y) với mọi x,y  [0,1] và ngưỡngγ

I(P), là một giá trị trong đoạnx,y,γ) = 

2

y x

1

γ y γ x : ) y , x (P), là một giá trị trong đoạn i

γ y , γ x : ) y , x (P), là một giá trị trong đoạn i

Ta dễ dàng kiểm chứng được rằng hàm kéo theo có ngưỡng cũng là hàmkéo theo

Sau đây, chúng ta sẽ xét một số kết quả về hàm kéo theo làm tiền đề choviệc tạo phép kéo theo mờ có ngưỡng từ các toán tử mờ khác

Mệnh đề 2.2.42[19] Cho s1 và s2 là hai t-đối chuẩn sao cho s1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) ≤ s2(P), là một giá trị trong đoạnx,y), khi đó

i1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = s1(P), là một giá trị trong đoạnn(P), là một giá trị trong đoạnx),y) ≤ i2(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = s2(P), là một giá trị trong đoạnn(P), là một giá trị trong đoạnx),y)

Mệnh đề 2.2.43[19] Cho t1 và t2 là hai t-đối chuẩn sao cho t1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) ≥ t2(P), là một giá trị trong đoạnx,y), khi đó

i1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = supz(P), là một giá trị trong đoạnt1(P), là một giá trị trong đoạnx,z) ≤ y) ≤ i2(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = supz(P), là một giá trị trong đoạnt2(P), là một giá trị trong đoạnx,z) ≤ y)

Mệnh đề 2.2.44[28] Cho t là t-chuẩn nilpotent, khi đó t có thể biểu diễn dưới dạng

t(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = g-1(P), là một giá trị trong đoạng(P), là một giá trị trong đoạnx) + g(P), là một giá trị trong đoạny) - 1  0) với g  Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ) nào đó

g được gọi là hàm L-sinh của t

Ta đã biết, phủ định mạnh có thể được tạo ra từ hàm η(P), là một giá trị trong đoạnx) = 1 - x và hàmsinh Bên cạnh đó, ta còn có một cách khác để xây dựng phép phủ định dựa vàohàm L-sinh của các t-chuẩn nilpotent [28]

-1(P), là một giá trị trong đoạn1-g(P), là một giá trị trong đoạnx)) là phủ định chặt và được gọi là phủ định tự nhiên của t

Đặc biệt, t-chuẩn nilpotent, và t-đối chuẩn đối ngẫu qua phép phủ định tựnhiên sẽ tạo ra cùng một phép kéo theo.

Mệnh đề 2.2.46 Cho t là t-chuẩn nilpotent có hàm L-sinh g, s là t-đối chuẩn đối

ngẫu với t qua phủ định tự nhiên ηg, khi đó it(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = supz(P), là một giá trị trong đoạnt(P), là một giá trị trong đoạnx,z) ≤ y) = is(P), là một giá trị trong đoạnx,y) =s(P), là một giá trị trong đoạnηg(P), là một giá trị trong đoạnx),y)

Chứng minh: Thật vậy, ta có:

is(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = s(P), là một giá trị trong đoạnηg(P), là một giá trị trong đoạnx),y) = ηg(P), là một giá trị trong đoạnt(P), là một giá trị trong đoạnx,ηg(P), là một giá trị trong đoạny)) = g-1(P), là một giá trị trong đoạn1-g(P), là một giá trị trong đoạnt(P), là một giá trị trong đoạnx,g-1(P), là một giá trị trong đoạn1-g(P), là một giá trị trong đoạny))))

= g-1(P), là một giá trị trong đoạn1-g(P), là một giá trị trong đoạng-1(P), là một giá trị trong đoạng(P), là một giá trị trong đoạnx)+g(P), là một giá trị trong đoạng-1(P), là một giá trị trong đoạn1-g(P), là một giá trị trong đoạny))))-1 0))

= g-1(P), là một giá trị trong đoạn1-(P), là một giá trị trong đoạng(P), là một giá trị trong đoạnx)-g(P), là một giá trị trong đoạny) 0)) = g-1(P), là một giá trị trong đoạnmin(P), là một giá trị trong đoạn1-g(P), là một giá trị trong đoạnx)+g(P), là một giá trị trong đoạny),1))Trong khi đó:

it(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = supz(P), là một giá trị trong đoạnt(P), là một giá trị trong đoạnx,z) ≤ y) = supz(P), là một giá trị trong đoạng-1(P), là một giá trị trong đoạng(P), là một giá trị trong đoạnx)+g(P), là một giá trị trong đoạnz)-1) ≤ y)

= supz(P), là một giá trị trong đoạng(P), là một giá trị trong đoạnx)+g(P), là một giá trị trong đoạnz)-1 ≤ g(P), là một giá trị trong đoạny)) = supz(P), là một giá trị trong đoạng(P), là một giá trị trong đoạnz) ≤ 1-g(P), là một giá trị trong đoạnx)+g(P), là một giá trị trong đoạny))

= g-1(P), là một giá trị trong đoạnmin(P), là một giá trị trong đoạn1-g(P), là một giá trị trong đoạnx)+g(P), là một giá trị trong đoạny),1))

Vậy, ta có đpcm □

2.2.5 Các toán tử mờ tham số

Trong phần này chúng ta sẽ tiến hành khảo sát tính chất giải tích, quan trọng nhất làtính chất thứ tự của một số họ toán tử mờ tham số kinh điển nhằm làm tiền đề choviệc xây dựng các toán tử mờ có ngưỡng tham số

Ta chú ý rằng, khi xác định một chuẩn có ngưỡng, ta cần xác định hai chuẩn thành phần t1, t2 thoả t1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) ≥ t2(P), là một giá trị trong đoạnx,y) Trước hết, chúng ta đã có các kết quả

t-về so sánh giữa hai t-chuẩn thông qua các hàm sinh và hàm đối sinh của chúng(P), là một giá trị trong đoạnđịnh lý 2.2.5 và 2.2.6), giữa hai t-đối chuẩn thông qua t-chuẩn đối ngẫu tương ứng(P), là một giá trị trong đoạnmệnh đề 2.2.33), giữa hai phép kéo theo xây dựng từ t-chuẩn (P), là một giá trị trong đoạnmệnh đề 2.4.42),giữa hai phép kéo theo xây dựng từ t-đối chuẩn (P), là một giá trị trong đoạnmệnh đề 2.4.43) Bên cạnh đó, ta

có các kết quả bổ sung sau

Mệnh đề 2.2.47 Cho f  Aut(P), là một giá trị trong đoạnJ), khi đó

t1(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = f-1(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx)f(P), là một giá trị trong đoạny)) ≥ t2(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = f-1(P), là một giá trị trong đoạnf(P), là một giá trị trong đoạnx)+f(P), là một giá trị trong đoạny)-1  0)

Chứng minh: Ta có f(P), là một giá trị trong đoạnx),f(P), là một giá trị trong đoạny) ≤ 1, vậy (P), là một giá trị trong đoạn1-f(P), là một giá trị trong đoạnx))(P), là một giá trị trong đoạn1-f(P), là một giá trị trong đoạny)) ≥ 0, do đó f(P), là một giá trị trong đoạnx)f(P), là một giá trị trong đoạny) ≥ f(P), là một giá trị trong đoạnx)+f(P), là một giá trị trong

đoạny)-1, ta có đpcm □

Định lý 2.2.5 và 2.2.6 cho ta điều kiện cần và đủ khi so sánh hai t-chuẩnArchimedean liên tục, tuy nhiên, bên cạnh các điều kiện này, chúng ta còn có cácđiều kiện đủ khác là hệ quả của hai định lý này, mà trong nhiều trường hợp tỏ ra rấthữu dụng khi xác định các t-chuẩn có ngưỡng [34]

kiện sau thoả mãn:

i) Hàm g1○g2-1 : [0,g2(P), là một giá trị trong đoạn0)] → [0,∞] là lõm

ii) Hàm f : (P), là một giá trị trong đoạn0,g2(P), là một giá trị trong đoạn0)] → [0,∞]

f(P), là một giá trị trong đoạnx) :=

x

) x )(P), là một giá trị trong đoạn g g (P), là một giá trị trong đoạn 1 2

1  

là không tăng

iii) Hàm

' g

' g

Hàm g: g(P), là một giá trị trong đoạnx) := ff (P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạnxxff ''(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạnxx))

2 1

1 2

y y 1 x

x 1 1

Mệnh đề 2.2.50 Họ t-chuẩn Dombi là đơn điệu không giảm theo r.

g1(P), là một giá trị trong đoạnx) = 1

r

x

x 1

1

2 r 1



, nghĩa là f(P), là một giá trị trong đoạnx) =

x

) x )(P), là một giá trị trong đoạn g g (P), là một giá trị trong đoạn 1 2 1

r r

y y 1 x x 1 a y y 1 x

x 1 1

hàm sinh cộng tính -ln r r

r ) x 1 (P), là một giá trị trong đoạn a x

x



Mệnh đề 2.2.51 Họ t-chuẩn Jane Doe #1-Hamacher là đơn điệu không tăng theo a,

đơn điệu không giảm theo r

Chứng minh: Rõ ràng họ t-chuẩn Jane Doe #1-Hamacher là đơn điệu không tăng

theo a dựa vào công thức định nghĩa của họ tham số

g1(P), là một giá trị trong đoạnx) = -ln 1 1

1 r r

r

)x1(P), là một giá trị trong đoạnax

x



2 r r

r

)x1(P), là một giá trị trong đoạnax

Định nghĩa 2.2.13 [28] Họ Aczél-Alsina

1 r

r (P), là một giá trị trong đoạn ln y ) ) )

x ln (P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạn

1

e

hàm sinh cộng tính (P), là một giá trị trong đoạn-lnx)r : r > 0

Mệnh đề 2.2.52 Họ t-chuẩn Aczél-Alsina là đơn điệu không giảm theo r

g1(P), là một giá trị trong đoạnx) = (P), là một giá trị trong đoạn ln x ) r 1 và g2(P), là một giá trị trong đoạnx) = (P), là một giá trị trong đoạn ln x ) r 2 tương ứng

Ta có g2-1(P), là một giá trị trong đoạnx) = r 2

2 1

1 a 1 a 1

y x

: a > 0, a ≠ 1; xy : a = 1

phủ định 1-x

hàm sinh nhân tính

1 a

Mệnh đề 2.2.54 Họ t-chuẩn Schweizer là đơn điệu không tăng theo tham số a.

i) g1(P), là một giá trị trong đoạnx) = x -1, ga 1 2(P), là một giá trị trong đoạnx) = x -1, aa 2 2 < a1 < 0 hoặc 0 < a2 < a1

Ta có f(P), là một giá trị trong đoạnx) = gg ''(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạnxx))

2

1 =

ii) g1(P), là một giá trị trong đoạnx) = -lnx, g2(P), là một giá trị trong đoạnx) = xa-1, a < 0

Ta có f(P), là một giá trị trong đoạnx) = gg ''(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạnxx))

2

1

2.2.48

iii) g1(P), là một giá trị trong đoạnx) = 1-xa, g2(P), là một giá trị trong đoạnx) = -lnx, a > 0

Ta có f(P), là một giá trị trong đoạnx) = gg ''(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạnxx))

2

1

2.2.48

Ta có đpcm □.

Định nghĩa 2.2.16 [28] Họ Jane Doe #2

hàm sinh nhân tính

x ln a 1

1



Dựa vào công thức định nghĩa của họ, ta có kết quả sau

Mệnh đề 2.2.55 Họ t-chuẩn Jane Doe #2 là đơn điệu không tăng theo tham số a Định nghĩa 2.2.17 [28] Họ Jane Doe #3

1 a a

y11x11

hàm sinh nhân tính 1-(P), là một giá trị trong đoạn1-x)a : a > 0

Đạo hàm công thức t-chuẩn theo tham số a, ta có kết quả sau

Mệnh đề 2.2.56 Họ t-chuẩn Jane Doe #3 là đơn điệu không tăng theo tham số a Định nghĩa 2.2.18[28] Họ Yager

1 a

x 1

1 a

)x1(P), là một giá trị trong đoạn

hàm sinh cộng tính (P), là một giá trị trong đoạn1-x)a

Mệnh đề 2.2.57 Họ t-chuẩn Yager là đơn điệu không giảm theo tham số a

g1(P), là một giá trị trong đoạnx) =  a 1

x1 và g2(P), là một giá trị trong đoạnx) =  a 2

x

Ta có f(P), là một giá trị trong đoạnx) = gg ''(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạnxx))

Mệnh đề 2.2.58 Họ Jane Doe #4 là đơn điệu không giảm theo tham số a

2 2

1 1

aln)1a(P), là một giá trị trong đoạn

aln)1a(P), là một giá trị trong đoạn





1x)1a(P), là một giá trị trong đoạn

1x)1a(P), là một giá trị trong đoạn

ii) g1(P), là một giá trị trong đoạnx) = 1-x và g2(P), là một giá trị trong đoạnx) = 1-loga(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạna-1)x+1) : a > 1

Ta có f(P), là một giá trị trong đoạnx) = gg ''(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạnxx))

2

1 = (P), là một giá trị trong đoạna 11)lna (P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạna-1)x+1) là hàm không giảm, vậy t1 ≤

iii) g1(P), là một giá trị trong đoạnx) = 1-loga(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạna-1)x+1) và g2(P), là một giá trị trong đoạnx) = 1 - x : a < 1

Ta có f(P), là một giá trị trong đoạnx) = gg ''(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạnxx))

2

1 = (P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạnaa 11))xlna1

Định nghĩa 2.2.20 [28] Họ Weber

t-chuẩn (P), là một giá trị trong đoạna(P), là một giá trị trong đoạnx+y-1)-(P), là một giá trị trong đoạna-1)xy)  0 : a > 0

phủ định tự nhiên 1a(P), là một giá trị trong đoạna1(P), là một giá trị trong đoạn1x)x) : a > 0, a ≠ 1; 1-x : a = 1

hàm sinh cộng tính loga(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạna-1)(P), là một giá trị trong đoạn1-x)+1) : a > 0, a ≠ 1; 1-x : a = 1

Mệnh đề 2.2.59 Họ t-chuẩn Weber là đơn điệu không tăng theo tham số a

Chứng minh: Xét hai t-chuẩn t1, t2 thuộc họ với hai hàm sinh cộng tính g1(P), là một giá trị trong đoạnx), g2(P), là một giá trị trong đoạnx)tương ứng, ta xét các trường hợp sau:

i) g1(P), là một giá trị trong đoạnx) = loga 1(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạna1-1)(P), là một giá trị trong đoạn1-x)+1) và g2(P), là một giá trị trong đoạnx) = loga 2(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạna2-1)(P), là một giá trị trong đoạn1-x)+1), với a1 > a2 >

Ta có f(P), là một giá trị trong đoạnx) = gg ''(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạnxx))

2

1 =

2 2

1 1

aln)a1(P), là một giá trị trong đoạn

aln)a1(P), là một giá trị trong đoạn





1)x1)(P), là một giá trị trong đoạn1a(P), là một giá trị trong đoạn

1)x1)(P), là một giá trị trong đoạn1a(P), là một giá trị trong đoạn

ii) g1(P), là một giá trị trong đoạnx) = 1-x và g2(P), là một giá trị trong đoạnx) = loga(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạna-1)(P), là một giá trị trong đoạn1-x)+1) : a < 1

Ta có f(P), là một giá trị trong đoạnx) = gg ''(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạnxx))

2

1 = (P), là một giá trị trong đoạna (P), là một giá trị trong đoạna1)(P), là một giá trị trong đoạn11)lnxa) 1

iii) g1(P), là một giá trị trong đoạnx) = loga(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạna-1)(P), là một giá trị trong đoạn1-x)+1) : a > 1 và g2(P), là một giá trị trong đoạnx) = 1 - x

Ta có f(P), là một giá trị trong đoạnx) = gg ''(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạnxx))

2

1 = (P), là một giá trị trong đoạna(P), là một giá trị trong đoạna1)(P), là một giá trị trong đoạn11)lnx)a1 là hàm không giảm, vậy t1 ≤ t2theo mệnh đề 2.2.48

a

1 a a

a x y

: a > 0, a ≠ 1; (P), là một giá trị trong đoạnx+y-1  0), a

= 1

phủ định tự nhiên loga(P), là một giá trị trong đoạna-ax+1)

hàm sinh cộng tính

1-1 a

1

a x





Mệnh đề 2.2.60 Họ t-chuẩn Jane Doe #6 đơn điệu không tăng theo tham số a

g1(P), là một giá trị trong đoạnx) =

1-1 a

1 a

1

x 1





và g2(P), là một giá trị trong đoạnx) =

1-1 a

1 a

2

x 2

x

2

1 2 1

1 2

a

a a ln ) 1 a (P), là một giá trị trong đoạn

a ln ) 1 a (P), là một giá trị trong đoạn

Chứng minh: Giả sử t1 là t-chuẩn Yager với hàm sinh cộng tính g1(P), là một giá trị trong đoạnx) = (P), là một giá trị trong đoạn1-x)a, t2 là

i) f(P), là một giá trị trong đoạnx) = gg ''(P), là một giá trị trong đoạn(P), là một giá trị trong đoạnxx))

2

1 =

1 a

1 a

x 1

1 a

Theo mệnh đề 2.2.47, ta có các kết quả sau

Mệnh đề 2.2.65[39] Xét hai t-chuẩn sau:

t-chuẩn min tm(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = min(P), là một giá trị trong đoạnx,y)

t-chuẩn z tz(P), là một giá trị trong đoạnx,y) = 





 1

) y , x max(P), là một giá trị trong đoạn :

0

1 ) y , x max(P), là một giá trị trong đoạn :

) y , x min(P), là một giá trị trong đoạn

Thế thì, với mọi t-chuẩn, ta luôn có tm(P), là một giá trị trong đoạnx,y) ≥ t(P), là một giá trị trong đoạnx,y) ≥ tz(P), là một giá trị trong đoạnx,y)

3

LUẬT KẾT HỢP MỜ

Chương này tóm tắt lại một số khái niệm cơ bản của bài toán luật kết hợp mờ, khảosát sơ lược một số vấn đề về không gian tìm kiếm, việc sử dụng các toán tử mờ vàtoán tử mờ có ngưỡng trong bài toán tìm luật kết hợp mờ Chúng tôi cũng đưa rathuật toán F-Apriori để giải bài toán tìm luật kết hợp mờ

Sự phát triển của công nghệ thông tin, công nghệ về thu nhận, lưu trữ và phân phối

dữ liệu đã dẫn tới sự bùng nổ về thông tin và dữ liệu Thách thức lớn nhất đối vớicác tổ chức cũng như các cá nhân ngày nay không chỉ là ở việc có ngày càng nhiều

dữ liệu càng tốt mà còn ở việc trích rút từ kho dữ liệu khổng lồ thu nhận được ra cáctri thức hữu ích

Vấn đề này đã tập hợp nhiều nhà nghiên cứu thuộc nhiều lĩnh vực khácnhau như thống kê, máy học, cơ sở dữ liệu, … vào một lĩnh vực nghiên cứu mới, đó

là khai phá dữ liệu (P), là một giá trị trong đoạnData Mining).

Khai phá dữ liệu thường được xét đến như là một khâu trong một quá trình

lớn hơn đó là Phát hiện tri thức trong cơ sở dữ liệu (P), là một giá trị trong đoạnKnowledge discovery in

databases-KDD) [17] Bài toán này bao gồm:

của người sử dụng

hiện công tác chuẩn hoá và chuyển đổi dữ liệu nếu cần

cũng như các tham số có thể có

Quá trình này được tiến hành lặp đi lặp lại do một bước có thể dẫn đếnnhững sửa đổi của bước đã được tiến hành trước đó Quá trình lặp cũng do ngườidùng có thể giới hạn lại khối lượng công việc của hệ thống trong phạm vi mà anh tathực sự quan tâm

Bước khai phá dữ liệu là công việc trích rút các thông tin, một cách tự động

từ dữ liệu Các thông tin này có thể có giá trị đối với người sở hữu kho dữ liệu.Định nghĩa vắn tắt về thao tác này được đưa ra trong [24]:

Khai phá dữ liệu là phân tích tập dữ liệu (P), là một giá trị trong đoạnthường là lớn, thậm chí

rất lớn) thu nhận được nhằm tìm kiếm các mối quan hệ chắc chắn và

tổng hợp dữ liệu theo một hình thức mới để trở nên hiểu được và

hữu dụng đối với chủ của dữ liệu

Để phân tích dữ liệu, một vài dạng công việc khác nhau đã được phân biệt, tươngứng với mục tiêu của quá trình phân tích, và quan trọng hơn là tương ứng với sảnphẩm dự kiến Những công việc này có thể được phân loại như sau [24]