Bài tập Giải tích số (Có lời giải)

Rất nhiều bài tập môn Giải tích số kèm theo Lời giải chi tiết. Chương 1: Nội suy và xấp xỉ hàm số Chương 2 Tính gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến Chương 3 Các phương pháp trong đại số tuyến tính Chương 4: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

Chương 1

Nội suy và xấp xỉ hàm số

Bài 1: Tìm đa thức nội suy tối ưu bậc ba tốt nhất của hàm f(x) = 2x trên đoạn[-1,1]

(0, 383 − 0.924)(0, 383 + 0, 383)(0, 383 + 0, 924)+ 0.767 (x − 0.924)(x − 0, 383)(x + 0.924)

(−0, 383 − 0.924)(−0, 383 − 0, 383)(−0, 383 + 0, 924)+ 0, 527 (x − 0.924)(x − 0, 383)(x + 0, 383)

(−0, 924 − 0, 924)(−0, 924 − 0, 383)(−0, 924 + 0, 383)

= 0, 86x3+ 0, 25x2+ 0, 58x − 1, 1Bài 2: Hàm f(x) được xấp xỉ bởi đa thức nội suy Lagrange tại ba điểm cách

đều nhau trên đoạn cho trước Hãy tính gần đúng giá trị của hàm tại điểm ξ và

đánh giá sai số

a) f(x) = cos x trên đoạn [0,π

2], ξ = 12πb) f(x) = x cos x trên đoạn [0,π

2], ξ = π6Bài giải

Chọn 3 nút nội suy cách đều {0,π

4,π2}ta có bảng giá trị hàm f(x) như sau:

4

π 2

−

√2

12) |Với

f(x) 0

√

(2)

8 π 0

¸p dông c«ng thøc ®a thøc néi suy Lagrange ta ®­îc:

P2(x) = −

√2

= −2

√2

2+√2x

⇒ P2(π

6) =

√2

9 π = 0, 4936Sai sè t¹i ®iÓm π

6) |≤ 0, 0718VËy ®a thøc néi suy bËc ba tèt nhÊt néi suy hµm sè f(x) = x cos x lµ P2(x) =

ta thu ®­îc:

⇒ Sn = 1 + 8(n − 1) + 19

2 (n − 1)(n − 2) +

183!(n − 1)(n − 2)(n − 3)+ 6

Bµi 6: BiÓu diÔn c¸c ph©n thøc sau thµnh tæng c¸c ph©n thøc tèi gi¶n:

1(x − 4)(x − 6)b) §Æt g(x) = x2+ 6x + 1vµ chän c¸c ®iÓm 1, 2, 3 lµ c¸c nót néi suy ®a thøc g(x).LËp b¶ng tû sai ph©n:

3(x − 3)

Chương 2

Tính gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến f(x) = 0

Bài 1: Tìm khoảng phân li với độ rộng bằng 1, giải phương trình f(x) = 0bằngphương pháp lặp đơn với độ chính xác 0,01 và so sánh số lần lặp ước lượng với sốlần lặp thực tế

λ = −1

−1105

⇒ ϕ(x) = x −x

4− 3x − 20105

Ta sẽ kiểm tra điều kiện của ϕ0(x)

| ϕ0(x) | =| −4x3

105 +

36x

35 |≤ 1ϕ(x) ∈ [2, 3] ∀x ∈ [2, 3]

| 2.23 − 2.2 |< 0, 01 ⇒ n > 7, 34Kết luận: Số lần lặp ước lượng lớn hơn số lần lặp thực sự, nghiệm xấp xỉ là

x∗ = 2, 27 ± 0, 0097

b) Ta có: g(2) = −1 g(3) = 16

Do f(2)f(3) < 0 nên (2,3) là khoảng phân li nghiệm của g(x)

ϕ0(x) = − 3

25x

2+2725

thức đánh giá sai số sau:

λ = −1

−12

⇒ ϕ(x) = x −x + ln x − 2

x − ln 2 + 22

⇒ ϕ0(x) = 1

2 − 12x

Ta sẽ kiểm tra điều kiện của ϕ0(x)

n xn 13 | xn− xn−1 |

0 1, 6

2 1,559 2.10−3 < 10−2Kết luận: Nghiệm xấp xỉ của phương trình là x∗ = 1, 559 ± 2.10−3d) Ta có: h(1

Kết luận: Nghiệm xấp xỉ của phương trình là x∗ = 0, 7878 ± 8, 69.10−3

Bài 2: Tìm nghiệm bằng phương pháp Newton với độ chính xác  = 10−3 củacác phương trình sau:

Do f(2)f(3) < 0 nên (2,3) là khoảng phân li nghiệm của g(x)

Mặt khác: g0(x) = 3x2 g00(x) = 6xkhông bị đổi dấu trong [2,3]

n xn 109 | xn− xn−1 |2

2 2,0946 2, 62.10−5 < 10−3

Kết luận: Nghiệm xấp xỉ của phương trình là x∗ = 2, 0946 ± 2, 62.10−5

b)Ta có:

k(1) = −1 k(2) > 0

Do f(2)f(1) < 0 nên (1,2) là khoảng phân li nghiệm của k(x)

Mặt khác: k0(x) = 1 + 1x k00(x) = −x12 không bị đổi dấu trong [1,2]

n xn 13 | xn− xn−1 |2

1 1,5567 1, 072.10−3

2 1,557 3.10−8 < 10−3Kết luận: Nghiệm xấp xỉ của phương trình là x∗ = 1, 557 ± 3.10−8

c) Ta có h(1

2) = −34h(1) = 1

Khi đó ta có công thức đánh giá sai số

Bài 3: Tính bằng phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton với độ chínhxác 0,001

q = 1 − m

14

Khi đó:

ϕ0(x) = 1 −1

4x

| ϕ0(x) | < 1 ∀x ∈ (3, 4)ϕ(x) ∈ (3, 4) ∀x ∈ (3, 4)Khi đó phương trình có nghiệm xấp xỉ duy nhất x∗ với đánh giá sai số

| xn− x∗ |≤ q

1 − q | xn− xn−1|= 1

3 | xn− xn−1|Chọn x0 = 3, 5, ta có dãy lặp

xn= −(xn−1)2+ 8xn−1+ 13

8Lập bảng tính toán

M2 = max

[3,4] f00(x) = 2; m1 = min

[3,4] f0(x) = 6Công thức đánh giá sai số:

| xn− x∗ |≤ M2

2m1(xn− xn−1)2 = 1

6(xn− xn−1)2Lập bảng tính toán

n xn 16(xn− xn−1)2

1 3, 6105 5, 983.10−3

2 3, 60555 4, 12.10−6

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = (1 − 1, −1, 0)

Bài 2+3: Kiểm tra điều kiện để có thể áp dụng phương pháp lặp Jacobi chomỗi hệ trên trong trường hợp có thể áp dụng hãy xác định số lần lặp n để đạt

đươc nghiệm gần đúng x(n)với sai số k x(n)− x∗ k∞< 10−2, trong đó x∗là nghiệm

đúng của hệ, nếu chọn xấp xỉ ban đầu x = (0, 0, 0)T Dùng đánh giá hậu nghiệm

đối với phương pháp Jacobi , tìm nghiệm gần đúng với sai số 0,01









Suy ra ma trận A có tính chất chéo trội nên phương pháp Jacobi hội tụ Ta có dãylặp sau:









Bài 4: Tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp khử Gauss - Seidel với sai số là0,001.









Ta có công thức đánh giá sai số sau:

Ta sẽ giải bài toán bằng cách nội suy đa thức Newton tiến trên lưới đều với khoảngcách h = 0, 05

Ta sẽ giải bài toán bằng cách nội suy đa thức Newton tiến trên lưới đều với khoảngcách h = 0, 05

sè thùc sù.

a)A =

Z 1 0

dx

Z 1 0

x.e−xdx c)C =

Z π 0

M4 = max

[0,1] f4(x) = max

[0,1]

24(1 + x)5 = 24

| E |≤ M2

24(b − a)h

2 = 3, 34.10−3Sai số thực sự hcn là

| ln 2 − 0, 6919 |= 1, 247.10−3Phương pháp hình thang

| E |≤ M2

12(b − a)h

2 = 6, 67.10−3Sai số thực sự hình thang là | ln 2 − 0, 6956 |= 2, 4528.10−3

Phương pháp Simpson

Sai số ước lượng Simpson là :

| E |≤ M4

2880(b − a)h

4 = 1, 33.10−5Sai số thực sự Simpson là | ln 2 − 0, 69313333 |= 1, 384.10−5

b) Đầu tiên ta sẽ tính tích phân bằng cách tính thông thường :

Đặt f(x) = xe−x B =R01x.e−x = −x.e−x+R01e−x = (−xe−x− e−x) |10

| E |≤ M2

24(b − a)h

2 = 1, 226.10−3

cos3xdx =

Z π 0

IS = 2

3ICN +

1

3IHT = 0