PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I.. Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hằng số: Bài mẫu... Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích: Bài mẫu... Phương trình mũ và phương pháp
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1 Phương trình mũ cơ bản:
( ) ( )
( ) ( )
a a
f x g x
< ≠
=
; [ ( )] ( ) [ ( )] ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 0
A x
A x A x A x
f x g x
=
2 Phương trình mũ đưa về cùng một cơ số:
2.1 Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hằng số:
Bài mẫu GPT: 5x2 −3x2 + 1 =2 5( x2 − 1 −3x2 − 2) (1)
2
x
Bài tập 16 1010 0,125.8 155
− = − ; 3x− 1=18 22x − 2x.3x+ 1 ; 173
5
7 1
9
x x
x x
+
−
+
− = ⋅ ;
2x− −3x =3x− −2x+ ; 3 2 2 3
7 x +9.5 x =5 x+9.7 x; ( )
1 1
5 1 5
2
x
2 1
9x 2x+ 2x+ 3 x−
− = − ; ( 10 3) 31 ( 10 3) 13
1
2 3x x 3 x+ + = ;
+ ⋅ = − ⋅ ; 2x 2x− 1 2x− 2 3x 3x− 2 3x− 1
2.2 Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hàm số:
x =x − (1)
(1) ⇔
1
2 3 2
2
1
2 0
6
x
x x
x
−
=
=
x − x+ − = ; ( ) 2 5 6
4 x x 1
x+ − + = ; 3 2 ( )x
x
x = x
=
x − x+ − = x − x+ ;
x − x + − = x − x + ; (2cos 2) 21 2cos 2
x
+
Trang 23 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3:
2 6 9 3 5 2 6 9
3 x + x− +4.15x + x− =3.5 x + x−
3 3⋅ x + x− +4.15x + x− =15 5⋅ x + x− ⇔ ⋅3 9x + x− +4.15x + x− =15 25⋅ x + x−
2
x
= −
Bài tập 3x+ 2 +9x+ 1= ; 4 4x+ 3 +2x+ 7 −17= ; 0 51 +x2 −51 −x2 =24;
3
5 x −5− x −20 0= ; 4x 41 + x 3.2x+ x
49x −35x =25x ; 125x 50x 23x+ 1
2.49x −9.14x +7.4x = ; 0
1 1 1 1 2 2
25x+ 3.10x 2+x 0 + − = ; 4x+ x2−2 −5.2x− +1 x2−2;
2 5 1 2 5
4x− x − −12.2x− − x − + = ; 8 0
1 1
x x
x
−
−
3 3 2
x
+
3 x+ +45.6x−9.2 x+ = ; 0 2 92x x −2.63x− 1+42x− 1.34x− 2 = ; 80 x +18x =2.27x;
5 2
6
x
x
−
−
1 1 1 2.4x +6x =9x; 4 92 7
x x
= + ; 22x −3.2x+2 +32= ; 0
5 x+9.5x +27 5−x +5−x =64; 23x −6.2x −23 1(−x) +12.2−x = ; 1
+ + − = ; (4+ 15)x +(4− 15)x=62;
(2+ 3)x +(7+4 3)(2− 3)x =4 2( + 3); (7+4 3)x −3 2( − 3)x + = ; 2 0
(5− 21)x +7 5( + 21)x =2x+ 3; (3+ 5)x +16 3( − 5)x =2x+ 3;
(3+ 5)x +(3− 5)x =7.2x; 3( 5+1)x −( 5−1)x =2x+ 1;
1
x x
x
−
x
( 5+1)x x− 2 +21+ −x x2 =3( 5−1)x x− 2; 3.25x−2 +(3x−10 5) x−2 + − = ; 3 x 0
9x+2 x−2 3x +2x− = ; 5 0 x2 −(3−2x)x+2 1( −2x)= ; 0
(x+2 4) x−2 +4(x+1 2) x−2 −16= ; 0 8−x.2x +23−x − = ; x 0
GBL: (7+3 5)x +m(7−3 5)x =2x+3;
5+2 6 x + 5 2 6− x =m; ( )tg ( )tg
3+2 2 x + 3−2 2 x =m;
Trang 34 Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích:
Bài mẫu GPT: 2x+ 1+3x =6x +2 (1)
Đặt
2
3
x
x
a
b
=
=
3
0 1
log 2 2
x a
a b ab a b
x b
=
Bài tập 15x −3.5x +3x = ; 3 2x+1 +3.22x= +6 23x ; 2x+1+3x =6x +2;
4x +x.3x+3x+ =2.x 3x +2x+ ; 6 22x2− 5x+ 2 +24x2− 8x+ 3 = +1 26x2− 13x+ 5;
( ) 2
2x − x+ +2x− = +2 2x− ; 34x−3 +3x−2 = +9 35x−7; 53 2− x2 +5x2+ −x 1= +5 51+ −x 2x2;
2.2x 6 12 6 2 2x 2x1
x + x+ = x +x + + ; x3.3x+27x=x.3x+1+9x3;
2.2x1 2x3 2 2.2x 3 4 2x1
x + + − + =x − + + − ;( ) 1 2 2
7 x+ 7x 7x x 7
− + −
5 Phương pháp lôgarit hoá:
Dạng 1: u x( ) log u x( ) log ( ) log
a =m⇔ a = m⇔u x = m (0 < a ≠ 1)
Dạng 2: u x( ) v x( ) log u x( ) log v x( ) ( ) ( ).log
a =b ⇔ a = b ⇔u x =v x b (0 < a, b ≠ 1)
Bài mẫu GPT: 5 8 1 500
x
x x−
= (1) (1) ⇔
( )
3 1
3 2
x
−
3 3
x
x x−
3
log 5 2 log 1
x
x −x
(x 3 log 5) 2 x 3 0 (x 3 log 5)( 2 1) 0
−
Bài tập 3x2 − 4 =325.125x; 83( 2) 36.32
x
x
x+ = + ; 2x2−2x.3x =1, 5; 4 6x x =2.92x; 1
3 8 36
x
x x+ = ;
3
x
x− x+ = ; 4 tg4 16002
x
x = ; 4xtg x =100 ; 7log225(5x)−1 =xlog 7 5
6 Phương trình mũ đơn điệu
Dạng 1: a1u x( ) +a2u x( ) + +a u x n( ) =b u x( ) với 0<a k,b≠ ; 1 Max{a a1, 2, ,a n}< b
Dạng 2: a1u x( )+a2u x( )+ +a u x n( ) =b u x( ) với 0<a k,b≠ ;1 Min{a a1, 2, ,a n}> b
Bài 1 Giải phương trình: 32 1 2
x
x
+ = (1)
x
y y
nên f x( ) giảm, khi đó f x( )= ⇔1 f x( )= f( )2 ⇔x= 2
Trang 4Bài 2 Giải phương trình: (4+ 15)x +(4− 15)x =(2 2)x (1)
f x + −
4 15 1;0 4 15 1
+ > < − <
2 2
x
y +
tăng và
4 15
2 2
x
y −
giảm Xét 2 khả năng sau:
Nếu x≥ thì 0 ( )
0
f x + − +
Nếu x≤ thì 0 ( )
0
f x + − −
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 3 Giải phương trình: 2009sin 2x −2009cos 2x =cos 2x (1)
(1) ⇔ 2009sin2x −2009cos2x =cos2x−sin2x⇔2009sin2x +sin2x=2009cos2x +cos2x
Đặt f u( )=2009u + ⇒ u f u( ) tăng nên (1) ⇔ f (sin2 x)= f(cos2 x)
x= x⇔ x− x= ⇔ x= ⇔ =x π+kπ k
∈»
Bài tập dành cho bạn đọc tự giải
2
x
x = + ; 3 4 52
x
x − = ; 3x +4x +5x +14=8x; 82 32 2 39
x
2x +3x +6x = 0, 7 x+ ; 15.2x +4.7x =23,5.10x −6.5x −4.3x; 2 5 292
x
x + x = ;
(2− 3)x +(2+ 3)x =4x; (6−4 2)x +(17 12 2− )x +(34−24 2)x = ; 1
( 3− 2)x +( 3+ 2)x =( 5)x; x+xlog 3 2 =xlog 5 2 ;
(6 4 2− )x+(17 12 2− )x +(34 24 2− )x = ; 1 x+xlog 3 2 =xlog 7 2 − ; 2
2 3 2x 2 1 2x 0
x − − x+ − = ; x.2x =x(3−x)+2 2( x −1); 8−x.2x +23−x = ; 0 (x+2 4) x−2 +4(x+1 2) x−2 −16= ; 0 3.25x−2+(3x−10 5) x−2+ − = 3 x 0
1
2x+ −4x = − ; x 1 22x−1+32x +52x+1=2x +3x+1+5x+2;
1 2 2
x
x = ;
Trang 5( )
x + x− x + x− = ;
2x +3x +5x =10x; 5x +(3 3)x +12x =14x; (3+2 2)x =( 2−1)x + ; 3
(2− 3)x+(4− 15)x=2 3( − 5)x; 4log (2 ) 2 x −xlog 6 2 =2.3log 4 2 x2;
2
2x +2− +x =log 15+2x−x ;
3x +3x =2x +4x ;( )sin2 ( )cos2 ( )cos 2 2 cos 2
2
x
tg x+cotg x=2 x; πsin x =cosx; 2 1 ( 1 1)
2 2
1 2 2
x
x = ;
2
1 1
2
x
− = − ;2x−1−2x2−x =(x−1)2; 5x2+2mx+2−52x2+4mx m+ +2=x2+2mx+m
7 Phương trình mũ và phương pháp đánh giá:
7.1 Sử dụng bất đẳng thức Côsi:
x
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có
VT= x − x+ + x − x− + x − x+ − x − x− ≥
x − x+ + x − x− x − x+ − x − x−
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ Dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức
⇔
2
2 2
9
x x
x
x x
=
Trang 67.2 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli: Cho t > 0, khi đó:
α α
+ − α ≥ ∀α ≤ ∨ α ≥
+ − α ≤ ∀ ≤ α ≤
Bài 1 Giải phương trình: 3x +2x =3x+ 2
Giải
Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có:
• Nếu 0≤ ≤ thì x 1 ( )
⇔
3x 2x 3x 2
⇒ + ≤ + Dấu bằng xảy ra ⇔x=0 ; x= 1
• Nếu 0
1
x
x
≤
≥
thì
⇔
3x 2x 3x 2
⇒ + ≥ + Dấu bằng xảy ra ⇔x=0 ; x= 1
Kết luận: Phương trình có đúng hai nghiệm x=0 ; x= 1
Bài 3 Giải phương trình: 3x +5x =6x+ 2
Giải
• Nếu 0≤ ≤ thì x 1 ( )
⇔
5x 3x 6x 2
⇒ + ≤ + Dấu bằng xảy ra ⇔x=0 ; x= 1
• Nếu 0
1
x
x
≤
≥
thì
⇔
5x 3x 6x 2
⇒ + ≥ + Dấu bằng xảy ra ⇔x=0 ; x= 1
Kết luận: Phương trình có đúng hai nghiệm x=0 ; x= 1
Bài tập 4x +5x +6x =12x+ ; 43 x +2x =4x+ ; 2 27x2 =(6x2 −4x+1 9) x
8 Phương trình mũ sử dụng định lý Lagrange:
Định lý Lagrange: Nếu f liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên (a, b) thì tồn
tại x0 ∈ (a, b) sao cho ( )0 ( ) ( )
f b f a
f x
b a
−
−
Bài tập 3.2x+2 −7x=17; 2004x +2007x =2005x +2006x; 3x +11x =4x +10x;
1
5x+ =2.3x; 2x2−x +12x2−x =2.7x2−x
Trang 7II BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1 Bất phương trình mũ cơ bản:
Sử dụng: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )]
0
a a
α β > < < >
2 Bất phương trình mũ đưa về cùng một cơ số:
Bài 1 Giải BPT: 4 11 1 32 1
4
− + ≤ ⋅ −
1 2
x
x
+
−
−
−
+ ≤ ⋅ − = ⇔ − ≤ +
( ) ( )
9 ; 1 9
0
x x
x x
≤ − >
+
≥ ⇔
− + − < ≤
Bài 2 Giải BPT: ( 2 ) 2
4x +2x+1 x −x > (1) 1
(1) ⇔
2
2
2
2
1
1
1 0 0
x
x
x x
x x
x x
x x
+ + > + >
>
< −
< + + < + <
Bài tập 2x+2 −2x+3 −2x+4 >5x+1 −5x+2 ; 2x +2x+1≤3x +3x−1 ;
1
x x
x
−
−
+
1
x x
x
+
− + ≥ − ; ( 10 3) 31 ( 10 3) 13
( )
2 1
3
3
x x
−
2 1 2 1 x x
x − ≤ x − + ; ( 2 1) 31 ( 2 1) 25
2
2 7 3
1 x x 1
x− − + < ; 3x2+2 +3x2 ≤ ⋅2 5x2+1; 372( ) ( )1 1 1
> ; log 3 2 log 3
2 x ⋅5 x<400; ( ) 2 5 6
3 x x 1
x+ − + > ; ( 2 ) 6
8 16 x 1
x − x+ − < ; 3lgx+2 <3lgx2+5 − ; 2 xlgx x−3 lgx+1 >1000; 1
lgx.lg 1
x x< ; x2 lgx ≥10x ; log 2
2
x
1
8x ≥ ⋅6 9x− ; ( ) 6 2 3 1 ( )1
< ; 22x−1 +22x−3 −22x−5 >27−x+25−x −23−x ;
Trang 83 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3:
Bài mẫu Giải BPT: 2 49⋅ x2 − ⋅9 14x2 + ⋅7 4x2 ≥ (1) 0
2
1
u u
x x
u
− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ =
Bài 2 Giải BPT:
5
2−x 2− +2x− 1<3 2x− 2−x
( )
5
1
2 −x 1 2x− 1 3 2x− 2−x
1
1
0
x
x
u v v
−
−
⇒
+ >
= − > −
(1) ⇔
2 2
5
v u uv uv
u v uv
u v u v uv u v uv u v
uv uv uv uv uv
uv v x
Bài tập 252x x− 2+1+92x x− 2+1≥34 15⋅ 2x x− 2 ; 52x−10 3− x−2 − ⋅4 5x−5 <51 3+ x−2 ;
4x − +2 x − >52+4x − ; 3 1 22 1 122 0
x
− − < ; 2 14 7 5 2
3
x
8 3⋅ x+ x +9 + x ≥9 x ; 32x − ⋅8 3x+ x+4 − ⋅9 9 x+4 > ; 0 21 2 1 0
x
− − + ≤
9x −3x +2>3x − ; 9 13x − ≤5 2 13( x +12) − 13x +5 ;
2 5x +4 − 5x − ≤3 5x + ; 3 (26 15 3+ )x +2 7( +4 3)x −2 2( − 3)x < ; 1
4 Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích:
Bài mẫu Giải BPT: 2 2 ( )2
4x +x +2 −x ≥2 x+ + (1) 1 (1) ⇔ 22x2+2x +21−x2 ≥2x2+2x+1 + Đặt 1 a=22x2+2x;b=21−x2 ⇒ab=2x2+2x+1
ab a b a b
Trang 9Bài tập 4x2 + ⋅x 3 x +31+ x <2x2⋅3 x +2x+ ; 6
4x+8 2−x > +4 x −x 2x + ⋅x 2x+ 2−x ;
2−5x−3x +2x>2x⋅3x 2−5x−3x +4x ⋅3x;
2 22x 9 2 2x 8 2 2 22x 9 2 2x 8 16
x ⋅ + x+ ⋅ + x ≤ x+ + x ⋅ + x+ ;
5 Bất phương trình mũ đơn điệu
Bài 1 Giải BPT: 2x+1+3x+1 <6x − (1) 1
(1) ⇔ f x( )= ( ) ( )1 2 1 3( )1 1 ( )2
f
+ + < = ⇔ x>2 (do f x( ) giảm)
Bài 2 Giải BPT: ( ) ( )5 2 1 29
x
x
+ > (1)
Nếu x< thì 10
x giảm trên (−∞; 0) nên ( )2 1
5
x
y= tăng trên (−∞; 0), khi đó:
( ) ( ) ( )5 2 1
x
x
f x = + tăng trên (−∞; 0) và (1) ⇔ ( ) ( 1) 29 1 0
10
f x > f − = ⇔ − < < x
Nếu x> thì 10
x giảm trên (0;+∞ nên ) ( )2 1
5
x
y= tăng trên (0;+∞ , khi đó: )
( ) ( ) ( )5 2 1
x
x
f x = + tăng trên (0;+∞ và (1) ⇔ ) ( ) ( )1 29 1
10
f x > f = ⇔x>
Bài 3 Tìm nghiệm x> của BPT: 0 6 3 1 10
x
x x
+
− >
− (1)
Nếu 1 3
2< ≤ thì x ( ) 2 6 0 3 1
x
x
f x
x
+
−
= ≤ <
− nên (1) vô nghiệm
Nếu 0 1
2
x
< < thì dễ thấy f x( ),g x( ) tăng trên ( )0;1
2 , khi đó ta có:
( ) ( )0 6 3 3 ( )1 ( )
2
f x > f = > =g >g x ⇒ Nghiệm của (1) là 0 1
2
x
< <
Nếu x> thì dễ thấy 3 f x( ),g x( ) tăng trên (3;+∞ , khi đó ta có: )
x
−
= = − < < = <
Trang 10Bài tập
1
x
x
x
−
2
x x
x
−
1 1
+ +
− ⋅ <
− ; 8 3 2 1 ( )2
3
x x
−
⋅ > +
4x + ⋅x 2 +x + ⋅3 2x >x ⋅2x +8x+12 ;
2
2a x − x+ + 1−a x − x+ ≥ 1+a x − x+ 0< <a 1 ;
6 Bất phương trình mũ chứa tham số
Bài 1 Tìm m để BPT sau có nghiệm: 2sin2x +3cos2x ≥m⋅3sin2x (1)
(1) ⇔ ( )sin2 2 ( )sin2 ( )sin2
1 2 sin 6
x
x
−
sin 0;1
u= x∈ , ycbt ⇔ ( ) ( ) ( )6 3 1
f u = + ≥m có nghiệm u∈[0;1]
⇔
0;1
Bài 2 Tìm m để BPT sau đúng ∀x ∈ »: m⋅4x +(m−1 2) x+2 +(m−1)> (1) 0
Đặt u=2x > , khi đó: (1) ⇔ 0 mu2 +4(m−1)u+(m−1)> 0
m u + u+ > u+ ⇔ ( )
2
u
u u
+
+ + Ta có
( )
2 2 2
u u
f u
u u
u
∀ ∈ +∞ ⇒ f u( ) giảm trên [0;+∞ )
ycbt ⇔ ( )
2
u
u u
+
= < ∀ >
( ) ( ) 0
> = = ≤
Bài tập
Tìm m để BPT sau có nghiệm: 49 x − ⋅5 7x +m≤ ; 0 4x 2x ( 3) 0
− ⋅ + + ≤ ;
Tìm m để bất phương trình sau đúng ∀x > 0: (3 1 12) x (2 )6x 3x 0
m+ + −m + <
Tìm m để BPT sau đúng ∀x ≤ 0: 1 ( )( ) ( )
x
Tìm m để BPT sau đúng 1
2
x
9 x x 2 1 6 x x 4 x x 0
m⋅ − − m+ − +m⋅ − ≤