Ước lượng và tính xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm (tt)

Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer – Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp

MỞ ĐẦU

Trong những năm gần ñây các công ty bảo hiểm ñược mở ra nhiều nơi nhằm mục ñích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần trách nhiệm cho các chủ thể rủi ro, nhưng ngay chính hoạt ñộng bảo hiểm cũng là một hoạt ñộng ñầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa ñựng sự rủi ro Việc ñánh giá mức ñộ rủi ro và thời ñiểm rủi ro là nhu cầu cấp thiết ñòi hỏi cần ñược nghiên cứu và giải quyết ñể hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) ñã ñược nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần ñây, ñặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, tài chính Một trong những vấn ñề trọng tâm ñược nhiều nhà nghiên cứu quan tâm về lý thuyết này, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với thời gian liên tục và rời rạc Trong công trình của Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ nổi tiếng của ông ở Đại học Uppsala (Thủy ñiển),công trình này ñã ñưa ñến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm Sau ñó, Carmer, H và trường phái Stockholm ñã phát triển các ý tưởng của Lundberg và ñóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học Với các kết quả ñó Cramer ñã ñóng góp một cách ñáng kể vào cả lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý thuyết xác suất

và thống kê toán học Mô hình cơ bản ñầu tiên trong số những ñóng góp ñó là mô hình Cramer – Lunberg

Trong mô hình rủi ro cổ ñiển, bài toán thường ñược nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer – Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp, ñều giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối Có nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học có tên tuổi về vấn ñề này như: Asmussen (2000), Buhlma, H (1970), Embrechts, P (1997), Kluppelberg, C (1998), Grandell, J (1992), Hipp, C (2004), Schmidli, H (2004), Musiela, M (1997), Nyrhinen, H (2001), Paulsel, J (2002), Schmidt,

K D (1995), … Các công trình trên ñều cho ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại có dạng hàm

mũ

Bên cạnh ñó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale ñể chứng minh các công thức ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro mở rộng có tác ñộng của yếu tố lãi suất như: Cai, J (2002), Cai and Dickson, D C M (2003), Gaier, J (2004), Kluppelberg, C and Stadtmuller (1998), Konstantinide, D.G and Tang, Q H and Tsitsiashvili, G S (2002), Sundt, B and Teugels,

J L (1995, 1997), Tang, Q (2004, 2005), Yang, H (1999), Yang, H and Zhang, L H (2003, 2006), …

Tuy nhiên, thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như ñối tượng tham gia bảo hiểm ngày càng lớn và càng phức tạp nên ñòi hỏi các mô hình có cấu trúc phụ thuộc Do ñó, ñể phù hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu ñã và ñang ñược nhiều nhà toán học quan tâm, ñó là các

mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Một loạt các công trình có giá trị của các nhà toán học, xét mô hình bảo hiểm với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov như Arbrecher, H

(1998), Cai, J (2002), Cai, J and Dickson, D C M (2003, 2004), Gerber, H U (1979), Muller, A and Pfug, G (2001), Promisslow, S.D (1991), Valdez, E A (2002), Xu, L and Wang R (2006), Yang, H (1999), Yang, H and Zhang, L H (2003), …

Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng (2008), Nguyễn Huy Hoàng (2009)

ñã xây dựng ñược các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô hình rủi ro với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc

Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác xác suất thiệt hại ñối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế hơn Một số công trình ñã tiếp cận theo hướng này với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dương như Caude Lefèvre (2008), Rullière, D and Loisel, St (2004), De Vylder, F E (1997, 1999), De Vylder and Goovaerts, M J (1998, 1999), Ignatov, Z G and Kaishev, V K (2001, 2004), Pircard, Ph and Lefèvre,Cl (1997)

Công trình của Hong, N.T.T (2013) ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt

hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm:

= + ∑ − ∑ , với dãy tiền thu bảo hiểm

{ } Xi i≥1, dãy tiền chi trả bảo hiểm { } Yi i≥1, thời gian t nhận giá trị nguyên dương Công trình của tác giả Hong, N.T.T (2013) ñã mở ra hướng mới có ý nghĩa quan trọng cả về lý thuyết lẫn thực hành

ñể tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của các mô hình bảo hiểm

Với những lý do trên, chúng tôi xác ñịnh ñối tượng nghiên cứu là của luận án là các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm, cụ thể là các mô hình bảo hiểm rời rạc có tác ñộng của lãi suất Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov, tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả)

Luận án ñã thu ñược các kết quả mới sau ñây:

Sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp Martingale luận án ñã thiết lập ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối

N.T.T (2013), luận án ñã mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập

hữu hạn Các công thức ñược xây dựng cho dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, ñộc lập không cùng phân phối, phụ thuộc Markov

Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng ñược góp phần khiêm tốn vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm

Nội dung của luận án gồm 3 chương

Chương 1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản

Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản và các kết quả về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale

Chương 2 Ước lượng xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov

Trong chương này, chúng tôi ñã sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp Martingale ñể xây dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập

Chương 3 Tính chính xác xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm

Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Hong, N.T.T (2013) cho mô hình bảo hiểm

có tác ñộng của lãi suất hằng, luận án ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu

và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn

Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược báo cáo tại

- Semina “Ứng dụng toán học”, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà nội

- Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương (2010-2014)

- Semina của Phòng xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện KH & CN Việt Nam Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược ñăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7](xem danh mục các công trình của tác giả luận án)

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN

Trong chương 1, chúng tôi ñã giới thiệu một số khái niệm và kết quả ñã có liên quan trực tiếp ñến nội dung, phương pháp chứng minh của luận án như : bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm, một

số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, bất ñẳng thức ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập và mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất với dãy lãi suất là xích Markov rời rạc và thuần nhất Đồng thời, chương 1 của luận án cũng giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản của quá trình Markov, quá trình Martingale

CHƯƠNG 2 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM VỚI

DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV

Trong chương này, chúng tôi xây dựng bất ñẳng thức ñể ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Cụ thể, chúng ta xét các mô hình sau ñây:

- Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với vốn của kỳ trước ñược ñem ñầu tư với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên I={ }I i i≥0 Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau:

Giả thiết 2.1 vốn ban ñầu U o= > u 0

Giả thiết 2.2 Dãy tiền thu bảo hiểm X { }X n n 0

Giả thiết 2.3 Dãy tiền chi trả bảo hiểm Y ={ }Y n n≥0 là xích Markov thuần nhất nhận giá trị không

âm trong E Y ={y y1, 2, ,y K}với Y o= y r∈E Y,

Giả thiết 2.5 X Y I là ñộc lập với nhau , ,

Khi ñó, xác suất thiệt hại của mô hình (2.1) ñến thời kỳ t và thời ñiểm vô hạn với các giả thiết

2.1-2.5 ñược xác ñịnh tương ứng như sau

Xác suất thiệt hại của mô hình (2.2) ñến thời kỳ t và thời ñiểm vô hạn với các giả thiết 2.1-2.5 ñược

xác ñịnh tương ứng như sau

Các kết quả chính của chương 2 gồm.

2.1 Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp ñệ quy

Định lý 2.1 Nếu mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 thì

Để xây dựng ñược bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại, cần sử dụng bổ ñề sau

Bổ ñề 2.1 Cho mô hình (2.1) với các giả thiết 2.1- 2.5 Nếu với mỗi x i∈G X,y r∈G Y , thì

1( , , ) R u o I

Định lý 2.3 Nếu mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 thì

với mỗi t = 1, 2, … ,ta có

ψ của mô hình (2.2) với các giả thiết 2.1 – 2.5

Định lý 2.4 Cho mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1-2.5 và các giả thiết của bổ ñề 2.2 Với

0

u > , x i∈E X và y r∈E Y ta có

1 ( 1 )(1 1 ) ( 2)

Nhận xét 2.2 Xét mô hình (2.1) và (2.2) với giả thiết dãy chi trả bảo hiểm và dãy lãi suất phụ thuộc

Markov còn dãy tiền thu bảo hiểm là ñộc lập cùng phân phối, sử dụng phương pháp Martingale chúng ta cũng xây dựng ñược bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại cho các mô hình ñó Kết quả ñó ñăng tải ở công trình [2] (xem danh mục công trình của tác giả luận án)

Nhận xét 2.3 Xét mô hình (2.1) và (2.2) với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm và dãy lãi suất phụ

thuộc Markov còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là ñộc lập cùng phân phối, sử dụng phương pháp ñệ quy chúng ta cũng xây dựng ñược bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại cho các mô hình ñó Kết quả ñó ñăng tải ở công trình [7] (xem danh mục công trình của tác giả luận án)

2.2 Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp Martingale

Để thiết lập bất ñẳng thức ước lượng cho các xác suất (1)

( , , )

ψ và ψ(1)( , ,u x y i r) bằng phương pháp Martingale, trước hết ta có bổ ñề sau

Bổ ñề 2.3 Giả sử mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1 – 2.5 Nếu với mỗi x i∈G X,y r∈G Y ,

Định lý 2.5 Cho mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1 – 2.5 và các giả thiết của bổ ñề 2.5 Nếu

với mỗi u > , 0 x i∈E X,y r∈E Y , ta có

(1)( , , ) R u o

Bổ ñề 2.4 Giả sử mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1 - 2.5 Nếu với mỗi x i∈G X,y r∈G Y , nếu

≥

= và dãy tiền chi trả bảo hiểm Y { }Y j j 0

≥

= là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất I { }I k k 0

≥

= là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối

Các công trình ñã công bố trước ñây chỉ dừng lại xét các dãy X { }X i i 0

≥

= và Y { }Y i i 0

≥

= là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập hoặc phụ thuộc hồi quy Đây là lần ñầu tiên xây dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng Lundberg tổng quát cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả

thiết dãy tiền thu bảo hiểm X { }X i i 0

≥

= và dãy tiền chi trả bảo hiểm Y { }Y i i 0

≥

= là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối

Các kết quả chính của chương 2 là các ñịnh lý 2.1 ñến ñịnh lý 2.6 Kết quả số minh họa cho ước lượng chặn trên của xác suất thiệt hại cho mô hình tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất cũng ñược ñưa ra trong chương 2

CHƯƠNG 3 TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI

TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM

Trong công trình của Hong, N.T.T (2013), tác giả ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của mô hình

bảo hiểm ở thời kỳ t là:

trong ñó U o = > , u là vốn ban ñầu của hãng bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm u 0 X { }X i i1

Để xây dựng công thức, chúng ta xét các giả thiết sau

Giả thiết 3.1 vốn ban ñầu U o = , thời gian t nhận giá trị nguyên dương u

Giả thiết 3.2 Dãy tiền thu bảo hiểm X { }X i i 1

≥

= nhận giá trị dương trong

{ 1, 2, , }, (0 1 2 ),

G = x x x <x <x < <x X là xích Markov thuần nhất với ma trận xác suất

chuyển sau 1 bước: ij

G = y y y < y < y < < y Y là xích Markov thuần nhất với ma trận xác suất

chuyển sau 1 bước: ij

Giả thiết 3.4 Dãy lãi suất I ={ }I n n≥1 là nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn

Giả thiết 3.5 X Y I là ñộc lập với nhau , ,

Các giả thiết 3.6-3.10 chính là xét các giả thiết 3.1-3.5 trong trường hợp thay dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov bởi dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập không cùng phân phối Còn các giả thiết 3.11-3.15 chính là xét các giả thiết 3.1-3.5 trong trường hợp thay dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov bởi dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập

Khi ñó, xác suất thiệt hại, không thiệt hại của mô hình (3.2) ñến thời ñiểm t lần lượt ñược xác ñịnh như sau

Các kết quả của chương 3 là các Bổ ñề, ñịnh lý và hệ quả sau

Bổ ñề 3.1 Cho số dương u , các dãy số dương{ } { }i t1, i t1

Định lý 3.1 Nếu mô hình (3.2) thỏa mãn các giả thiết 3.1 – 3.5 thì xác suất không thiệt hại ñến thời

Định lý 3.2 Nếu mô hình (3.3) thỏa mãn các giả thiết 3.1- 3.5 thì xác suất không thiệt hại ñến thời

I= I nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn, các dãy X ,Y ,I là ñộc lập Các công thức này

cũng ñược mở rộng ñối với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối hoặc ñộc lập không cùng phân phối, hoặc phụ thuộc Markov Các kết quả số cũng ñược ñưa ra ñể minh họa cho công thức lý thuyết Kết quả của chương 3 của luận án có những ñiểm mới so với các công trình ñã công bố về tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại), thể hiện ở những ñiểm sau ñây:

1) Các mô hình luận án xét gồm mô hình (3.1), (3.2), (3.3) ñều là các mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất tái ñầu tư tín dụng Đây là tình huống thường gặp trong thực tế Các công trình trước ñây ñã công bố chưa xét tới các mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất như mô hình (3.1), (3.2)

và (3.3) Đây cũng là lần ñầu tiên xây dựng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (xác suất không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát (3.1), (3.2), (3.3)

2) Để thiết lập ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho các mô hình (3.2) và (3.3) cần phải sử dụng kết quả của Bổ ñề 3.1 và Bổ ñề 3.2