GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC (Khóa luận tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán năm 2013)

Ma trận được dùng để giải các bài toán về hệ phương trình tuyến tính, phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số là hằng số,.... Định thức được sử dụng để giải và biện luận các hệ

GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN

VỀ MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

(Khóa luận tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán năm 2013)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài khóa luận

Ma trận là khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính, nó được ứng dụng

rộng rãi trong Toán học tính toán,Tin học, Kinh tế và nhiều ngành khoa học

khác Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương trình tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính Trong lý thuyết đồ thị, ma trận thường được sử dụng để biểu diễn đồ thị ( ví dụ như ma trận kề ), lưu trữ trọng

số cho đồ thị có trọng số Trong lập trình, ma trận thường được lưu trữ bằng các mảng hai chiều, dùng để mã hóa làm mật khẩu bảo mật Ma trận là công cụ để nghiên cứu về ánh xạ tuyến tính, các vectơ trong không gian vectơ, mỗi vectơ được coi là một ma trận Ma trận được dùng để giải các bài toán về hệ phương trình tuyến tính, phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số là hằng số,

Định thức, trong đại số tuyến tính được định nghĩa như một hàm cho mỗi

ma trận vuông A, tương ứng với số vô hướng kí hiệu là detA Định thức có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như ngành khoa học khác Định thức được

sử dụng để giải và biện luận các hệ phương trình đại số tuyến tính, chúng được dùng để tìm vectơ riêng của ma trận A qua đa thức đặc trưng A − k I (trong đó

I là ma trận đơn vị có cùng kích thước với ma trận A) Định thức là công cụ hữu ích trong việc tìm ma trận nghịch đảo Ta có thể sử dụng sự tìm kiếm này trong việc giải hệ phương trình tuyến tính cho ma trận hệ số khả nghịch, tìm hạng của

ma trận Ngoài ra, ở phổ thông định thức còn được sử dụng để tính thể tích của hình hộp Ma trận và định thức còn là nội dung được đưa vào các kỳ thi quốc gia như kỳ thi olympic toán học

Các dạng bài tập liên quan đến ma trận và định thức thì vô cùng phong phú, có nhiều dạng bài tập hay và khó Có rất nhiều tác giả viết các tài liệu bài tập về ma trận và định thức Chẳng hạn, Đại số tuyến tính của Nguyễn Duy Thuận là giáo trình viết cho hệ cao đẳng nên nhưng bài tập về ma trận và định

học Đại số tuyến tính và hình học giải tích của tác giả Đoàn Quỳnh ( chủ biên)

ma trận và định thức được nghiên cứu cơ bản về lý thuyết, các bài tập được đưa

ra chủ yếu là các ví dụ mang tính lý thuyết và củng cố kiến thức Cũng viết về

ma trận và định thức tác giả Trần Trọng Huệ đã khái quát những kiến thức cơ bản về lý thuyết, đưa ra các công thức tính cần thiết và giải các bài tập mẫu vận dụng lý thuyết Ngoài ra các tác giả như Nguyễn Duy Thuận, Nguyễn Văn Mậu cũng đưa ra nhiều dạng bài tập về ma trận và định thức Tất cả những dạng bài tâp đưa ra trong giáo trình đều hướng tới người học và nhằm phát huy năng lực tư duy, sáng tạo của người học Tuy nhiên do mục đích sư phạm mà những dạng bài tập này không trình bày chi tiết lời giải, thiếu lời giải khai thác bài toán Vấn đề đặt ra là chúng ta có thể đưa ra những bài toán tương tự hoặc khai thác bài toán thông qua việc khai thác lời giải từ bài toán cụ thể không?

Nhằm mục đích hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức về ma trận

và định thức Phân dạng và giải các bài tập về ma trận và định thức thông qua các dạng toán cụ thể và trả lời một phần câu hỏi trên chúng tôi chọn đề tài khóa

luận “Giải và khai thác một số dạng toán về ma trận và định thức” làm vấn

đề nghiên cứu của khóa luận

2 Mục tiêu khóa luận

Phân loại hệ thống, giải và khai thác một số dạng bài tập về ma trận, định thức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về ma trận và định thức

Phân loại, giải và khai thác một số dạng bài tập về ma trận và định thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Dựa vào các khái niệm, kiến thức về không gian vectơ, hệ sinh, cơ sở, đồng cấu trong khóa luận nêu ra các phương pháp để giải các bài toán về ma trận và định thức:

Dựa vào các phép biến đổi sơ cấp

Các phương pháp tính định thức như:

Khai triển định thức theo các phần tử của hàng hay cột

Khai triển định thức theo định lý Laplace

Đưa định thức về dạng tam giác

Phương pháp quy nạp

Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng hoặc tích các định thức

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: một số dạng toán về ma trận và định thức

Phạm vi nghiên cứu: tập trung nghiên cứu phân dạng và khai thác lời giải bài toán cụ thể, đưa ra bài toán tương tự hoặc tổng quát

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận đã hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức về ma trận và định thức đồng thời phân dạng bài tập cơ bản liên quan đến ma trận, định thức

và giải các bài tập đó Thông qua đó, khai thác lời giải từ những bài toán cụ thể Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên có hứng thú nghiên cứu các dạng bài tập về ma trận và định thức

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần: Mục lục; mở đầu; kết luận; tài liệu tham khảo; khóa luận được chia thành 3 chương

Chương 1: Lý thuyết về ma trận

Chương 2: Lý thuyết về định thức

Chương 3: Giải và khai thác một số dạng toán về ma trận và định thức

n p

A là một ma trận cột (hay ma trận một cột) khi và chỉ khi p= 1

A là một ma trận dòng (hay ma trận một dòng) khi và chỉ khi n= 1

Nếu A ( ) aij 1 ,i j n

≤ ≤

= là ma trận vuông cấp n, các cấp aij(1≤ ≤i n) được gọi là

các phần tử chéo của A và ( a11, , ann) được gọi là đường chéo của A

Khi X =Matβ( )x , ta nói rằng x được biểu diễn bởi X trong cơ sở β, hoặc X

biểu diễn x trong β

f đối với cơ sở β và C được ký hiệu là Matβ,C( )f

2) Giả sử E là một K - không gian vectơ n=dim( )E ,β = ( e e1, , ,2 en) là một cơ sở của E, f ∈L E( ) Ma trận M n( )K xác định bởi:

Khi A=Matβ,C( )f ta nói rằng f được biểu diễn bởi A trong các cơ sở β và C

hoặc A biểu diễn f trong các cơ sở β và C

1.1.3 Không gian vectơ M n p, ( )K

Chúng ta sẽ “ chuyển “ cấu trúc vec tơ của L E F( , ) lên M n p, ( )K bằng song ánh Matβ,C trong đó β = ( e e1, , ,2 en),C ={f1, f n} là những cơ sở cố định tương ứng của ,E F

1

1, , ,

n

i ij i i n

2) Luật ngoài K×M n p, ( )K →M n p, ( )K , thể hiện bằng cách không viết dấu nào

cả ( hoặc bởi một điểm), xác định bởi:

1) (M n p. ( )K , ,+ • là một không gian vectơ )

2) Với mọi K-không gian vectơ (p chiều ) E và (n chiều ) F, và với mọi cơ sở βcủa E và cơ sở C của F, ánh xạ: Matβ,C:L E F( , )→M n p. ( )K là một đẳng cấu K-không gian vectơ f ֏Matβ,C

p

∑ gọi là

Ánh xạ M n p, ( )K ×M p q, ( )K →M n q, ( )K được gọi là phép nhân ma trận

f ∈L E F x∈ ta có: E Mat C(f x( ) )=(Matβ,C( )f ) (Matβ( )x )

Xuất phát từ các tính chất quen thuộc về các phép toán đại số với các ánh xạ tuyến tính ta suy ra các tính chất về các phép toán đị số đối với các ma trận như sau:

v A , được gọi là chỉ số lũy linh của A, và ta có : *,( ( ) k 0)

f →Matβ f là một đẳng cấu từ nhóm (GL E( ), ) lên nhóm(GL K n( ),• )

Định lý 1.1 Giả sửA∈M n( )K , f là một tự đồng cấu biểu diễn bởi A trong một

cơ sở Các tính chất sau tương đương từng đôi một:

Ta nhắc lại A được gọi là:

Chính quy trái khi và chỉ khi ∀B C, ∈(M n( )K )2,(AB= AC⇒ B=C)

Chính quy phải khi và chỉ khi ∀B C, ∈(M n( )K )2,(BA=CA⇒B=C)

Chính quy khi và chỉ khi A chính quy trái và chính quy phải

1

1

, ,

p p

a a

các cột của A thì rank A( )=rank C( 1, ,C P)

Mệnh đề 1.9 Giả sử E, F là các không gian vectơ,β,Ctương ứng là các cơ sở của E, F, f ∈ L E F ( , ) , A = Matβ,C( ) f Ta có rank f ( ) = rank A ( )

1.1.7 Các phép biến đổi sơ cấp

Bao gồm các phép biên đổi sau:

i Đổi chổ hai dòng i và dòng j của ma trận cho nhau

Nếu thay từ dòng bằng từ cột ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột

Ma trận B được gọi là tương đương dòng với ma trận A nếu có một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng biến ma trận A thành ma trận B

thuộc M n p, ( )K , chuyển vị của A là ma

trận thuộc M p n, ( )K ký hiệu là t A xác định bởi:

Định nghĩa 1.11 Với mọi ma trận vuông A=( )a ij ij∈M n( )K ta định nghĩa vết

của A, ký hiệu là tr(A) là: ( )

1

n ii i

=

= ∑ Nói cách khác vết của ma trận A là tổng các phần tử chéo của A

Định nghĩa 1.12 Cho E là không gian vectơ n chiều, , 'β β là hai cơ sở của E

ma trận chuyển cơ sở từ β sang 'β , ký hiệu P sas (β β, ') là ma trận thuộc ( )

n

M K có các cột được tạo bởi các thành phần của các vectơ của 'β biểu thị trên cơ sở β, nghĩa là: P sas (β β, ')=Matβ( )β'

Mệnh đề 1.15 Mọi cơ sở , 'β β của E: P s as ( β β , ' ) = Matβ β', ( IdE)

Mệnh đề 1.16 Giả sử E là một không gian vectơ , ', "β β β là những cơ sở của

1.2.2 Đổi cơ sở đối với một vectơ

Mệnh đề 1.17 Giả sử E là một không gian vectơ , 'β β là hai cơ sở của E,

(tọa độ của x trong 'β , nếu muốn biểu diễn tọa độ nới của x theo tọa độ cũ của

x, ta có công thức X'=P X−1 , nhưng cần phải tính ma trận nghịch đảo của P khi dùng công thức này

1.2.3 Đổi cơ sở đối với một ánh xạ tuyến tính

1.2.3.1 Công thức đổi cơ sở

Mệnh đề 1.19 Giả sử E, F là hai không gian vectơ, , 'β β là hai cơ sở của E,

Mệnh đề 1.20 Quan hệ tđ là một quan hệ tương đương trong M n p, ( )K

Mệnh đề 1.21 Giả sử A∈M n p, ( )K r=rank A( ) Thế thì A tương đương với ma

1.2.4 Đổi cơ sở đối với một tự đồng cấu

Mệnh đề 1.22 Giả sử E là một không gian vectơ n chiều , 'β β là hai cơ sở của

E P=P sas (β β, '), f ∈L E( ),A=Matβ( )f , 'A =Matβ'( )f Thế thì:

1

'

A = P AP−

Định nghĩa 1.14 Cho A B, ∈M n( )K Ta nói A đồng dạng với B, và ký hiệu

A∼B, khi và chỉ khi tồn tại P∈GL K n( ) sao cho: 1

B=P AP−

Mệnh đề 1.23 Quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trong M ( )K

Nhận xét 1.5

1) Hiển nhiên hai ma trận vuông đồng dạng thì chúng tương đương

2) Hai ma trận tương đương có thể không đồng dạng, chẳng hạn, với n=2, các

có hạng bằng 1

Định nghĩa 1.15 Giả sử E là không gian vectơ hữu hạn chiều, f ∈L E( ) Vết

của f ký hiệu là tr f( ) là vết của ma trận bất kỳ biểu diễn tự đồng cấu f

Từ các tính chất vết của ma trận vuông ta suy ra mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.25 Giả sử E là một K không gian vectơ

Mệnh đề 1.29 A K n( ) là một không gian vectơ con của M n( )K

Mệnh đề 1.30 Các không gian S n( )K và A K n( ) bù nhau trong M n( )K

1.3.2 Ma trận tam giác

Định nghĩa 1.18 Cho A∈M n( )K

1) Ta nói A là tam giác trên khi và chỉ khi ∀( ) {i j, ∈ 1, ,n}2, (i > ⇒j a ij =0)

Ta ký hiệu tập hợp các ma trận đối xứng cấp n với hệ tử trong K là T n t, ( )K 2) Ta nói A là tam giác dưới khi và chỉ khi ∀( ) {i j, ∈ 1, ,n}2,

(i< ⇒j a ij =0) Ta ký hiệu tập hợp các ma trận đối xứng cấp n với hệ tử trong K là T n d, ( )K

3) Ta nói A là ma trận tam giác khi và chỉ khi A là ma trận tam giác trên hoặc A

là ma trận tam giác dưới

Mệnh đề 1.31 T n t, ( )K và T n d, ( )K là một không gian vectơ con của M n( )K

Mệnh đề 1.32 T n t, ( )K là một đại số con có đơn vị của đại số có đơn vị

Hơn nữa, nếu A GL K∈ n( ), thì các hạng tử chéo của 1

A− là nghịch đảo của các

hạng tử chéo của A :

1 11 1

1

a A

0, ,

Tồn tại duy nhất một đa thức đơn ( tức là hệ số cao nhất bằng 1 ) có bậc bé nhất nhận A làm nghiệm Hơn nữa mọi đa thức nhận A làm nghiệm đều chia hết cho

đa thức đó Đa thức đó gọi là đa thức cực tiểu của A

CHƯƠNG 2

LÝ THUYẾT VỀ ĐỊNH THỨC 2.1 Định thức của một họ n vectơ trong một cơ sở của một không gian vectơ n chiều

β → ký hiệu ánh xạ xác định bởi: ( ) ( ) ( )1 1 ( )

=

=∑ Phần tử detβ(V1, ,V n) ( của K ) được gọi là định thức của (V1, ,V n) trong cơ

α∈ sao cho: ∀ ∈ϕ A E n( ),ϕ ( f × × f )=αϕ Phần tử α được gọi là định

thức của f và được ký hiệu là det f ( )

Như vậy ta có: ∀ ∈ϕ A E n( ),ϕ ( f × × f )=(det( )f ) ϕ

Mệnh đề 2.5 Giả sử E là một K-không gian vectơ n chiều, f ∈L E( ), β là một

cơ sở của E, A=Matβ( )f Ta có: det( )f =det( )A

cách nói lạm dụng: định thức con của aij trong A) là định thức cấp n-1, ∆ nhận ijđược bằng cách bỏ đi dòng thứ i và cột thức j:

2) Với mỗi ( ) {i j, ∈ 1, ,n}2, phần phụ đại số của vi trí ( ),i j trong A (hoặc theo

cách nói lạm dụng: phần phụ đại số của aij trong A) ký hiệu là Aij, là tích của ( )1 i j+

− với định thức con của vi trí ( ),i j trong A: ij ( )1 i j ij

2.5.1 Khai triển theo hàng hoặc cột

Cơ sở của phương pháp này là định thức Laplace

Định lý 2.3 ( Khai triển Laplace ) Giả sử đã chọn ra k dòng ( tương ứng cột )

trong một định thức cấp n Khi đó định thức đã cho bằng tất cả các định thức con cấp k lấy ra từ k dòng ( tương ứng cột ) đó với những phần bù đại số của chúng

Ví dụ 2.1 Tính định thứ sau

2.5.2 Đưa về ma trận tam giác

Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột đưa ma trận về dạng tam giác trên hay dưới Định thức sau cùng sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính Khi thực hiện các phép biến đổi định thức sẽ thay đổi theo quy tắc sau

Mệnh đề 2.8

i) Định thức đổi dấu khi đổi hai dòng hoặc hai cột cho nhau

ii) Định thức được nhân với α∈Kkhi ta nhân một dòng hay một với α

iii) Định thức không thay đổi khi ta thêm một dòng ( tương ứng cột )một tổ hợp tuyến tính của dòng ( tương ứng cột ) còn lại

Ví dụ 2.2 Tính định thức cấp n với n≥ sau đây: 2

Lấy dòng thứ n – 1 nhân với − rồi cộng với dòng thức n Sau đó lấy dòng thức x1

n – 2 nhân với − rồi cộng vào dòng thức n – 1 , cho đến khi biến đổi xong x1

Chú ý rằng với mỗi phần tử của ma trận vuông A cấp n là một đa thức bậc nhất

đối với biến x nào đó, thì đinh thức A là một đa thức của các biến đó với bậc

không quá n Nếu bằng cách nào đó ta tìm được n đa thức bậc nhất f1, , f n đọc lập tuyến tính với nhau sao cho mỗi f i là ước của A , thì ta có thể kết luận A

và các tích f1 f n sai khác nhau một nhân tử hằng số

Ta thấy D(x) là một đa thức bậc tối đại là n – 1, vì mỗi số hạng trong định nghĩa

của đa thức à một tích a1 1π( )a2π( )2 a nπ( )n đều có thừ số thứ nhất là một hằng số Thực ra ta thấy chỉ cá một tích có bậc đúng bằng n, nó tương ứng với tích các phần tử trên đường chéo Do đó bậc đa thức đúng bằng n – 1 và hệ số đầu là 1 Mặt khác lần lượt cho x=1,2, ,n− , ta nhận được định thức có hai dòng bằng 1

nhau nên chúng đều bằng 0, tức là D( )1 =D( )2 = =D n( ) Do đó D x( ) chia hết cho x−1,x−2, ,x− + Suy ra n 1 D x( ) (= x−1)(x−2 ) (x− +n 1)

2.5.4 Phương pháp truy hồi

Tìm một hệ thức liên hệ cấp n và các định thức cấp thấp hơn được định nghĩa tương tự Trường hợp hay gặp nhất là khi ta nhận quan hệ dạng :

D = p −D Nếu q≠ , ta gọi 0 α β, là nghiệm của tam thức bậc hai x2− px− = q 0

CHƯƠNG 3 GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN

VÀ ĐỊNH THỨC 3.1 Một số dạng toán về ma trận

3.1.1 Dạng toán về các phép toán cơ bản của ma trận

Bài toán 1 Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 giao hoán với tất cả ma trận

vuông cùng cấp 2, tức là với mọi B∈M2( )K ta đều có AB BA=

a) Phân tích

Muốn tìm ma trận giao hoán với ma trận vuông cấp 2 cùng cấp ta cho ma trận B

lần lượt ma trận đường chéo 1 0

Khi đó với mọi ma trận B ta có AB=aIB=aBI =B aI( )=BA

Vậy ma trận cấp 2 giao hoán với mọi ma trận cùng cấp có dạng A aI=

c) Khai thác bài toán

Tương tự như vậy bằng cách cho ma trận B lần lượt là các ma trận đường chéo (0, ,0,1,0, 0)

diag Ta có bài toán sau

Bài toán 1.1 Chứng minh rằng một ma trận vuông cấp n giao hoán với mọi ma

trận đường chéo thì nó là ma trận đường chéo

Bài toán 1.2 Chứng minh rằng ma trận vuông cấp 2 giao hoán với mọi ma trận

cùng cấp là ma trận vô hướng, tức là ma trận có dạng aI trong đó a K∈ và I là

( ) ( ) ( )

  khi đó bình phương của ma trận A là ma trận

0 Ta có lời giải sau

0 0

0 0

a +bc= thỏa mãn yêu cầu bài toán

c) Khai thác bài toán

Từ bài toán trên và bằng cách giải tương tự ta có bài toán sau

Bài toán 2.1.Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 mà bình phương của nó bằng

1 02

a b c d

a b c d

3.1.2 Tính lũy thừa của một ma trận vuông

Để tính lũy thừa của một ma trận vuông với số mũ tự nhiên ta sử dụng các phương pháp như: Sử dụng khai triển Niu tơn, sử dụng phép chéo hóa, sử dụng định lý Cayley – Hamlton, sử dụng phương pháp qui nạp, sử dụng số phức và hàm lượng giác

Bài toán 1 Cho ma trận

Viết ma trận vuông A cấp n dưới dạng A B D= + , trong đó B D, ∈Mat n( )ℝ và

BD=DB Sau đó áp dụng công thức ( )

0

k k

k i

A =CB C−

Pp3 : Sử dụng định lý Cayley – Hamilton

Giả sử f x( )=det(A−xI) là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A cấp n có

đủ n nghiệm (cả nghiệm bội) Thế thì và từ thuật toán owcit ta có

c) Khai thác bài toán

Từ bài toán tính lũy thừa với số mũ nguyên ta có thể khát quát thành bài toán tính lũy thừa của ma trận vuông cấp n với cách giải tương tự như bài toán 6

2 1

Từ bài toán 6.1 ta tổng quát với 2 số ,a b∈ ℂ ta có bài toán sau ,

b) Khai thác bài toán

Bằng cách giải tương tự ta tính được lũy thừa của ma trận vuông trên với cấp n

Bài toán 2.1. Cho ma trận A 1 −1

=   Tính n

A

Khi đó ( )2 cos 4 sin 4

sin cos

n n

2 2 22

2 3 23

3 2 32

3 3 33

Cách 3 : Sử dụng tính chất nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Ta có nhận xét sau : Ma trận A thuộc M n( )K khả nghịch khi và chỉ khi :