một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp trung học phổ thông

Dạy học theo phương pháp trắc nghiệm khách quan đòi hỏi giáo viên không những phải đầu tư theo chiều sâu mà còn phải đầu tư kiến thức theo chiều rộng, người dạy phải nắm được tổng quan c

2

2

2

4

4 Áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và hàm số cosin: 12

16

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Từ năm học 2005- 2006, Bộ GD – ĐT quyết định chuyển từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan đã đem lại sự đổi mới mạnh mẽ trong việc dạy và học của giáo viên và họ sinh

Tuy nhiên, qua thời gian thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy một số vấn đề sau:

1 Việc dạy học và đánh giá thi cử theo hình thức trắc nghiệm khách quan đòi hỏi giáo viên cũng như học sinh phải có sự thay đổi về cách dạy và học Dạy học theo phương pháp trắc nghiệm khách quan đòi hỏi giáo viên không những phải đầu tư theo chiều sâu mà còn phải đầu tư kiến thức theo chiều rộng, người dạy phải nắm được tổng quan chương trình của môn học Điều này gây rất nhiều khó khăn cho giáo viên, đặc biệt là đội ngũ giáo viên trẻ khi chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy

2 Khi chúng ta chuyển sang hình thức dạy học và đánh giá thi cử theo phương pháp trắc nghiệm khách quan thì một số giáo viên mãi mở rộng kiến thức kiến thức theo chiều rộng để đáp ứng cho vấn đề thi theo hình thức trắc nghiệm Vì vậy vấn đề đầu tư cho việc giải bài toán theo phương pháp tự luận

có thể bị mờ nhạt Điều này ảnh hưởng khá lớn đến chất lượng, mức độ hiểu sâu kiến thức về Vật lý của học sinh , đặc biệt là những học sinh khá của trường

Trong vật lý sơ cấp THPT có nhiều bài toán được giải theo phương pháp tính giá trị cực đại, cực tiểu các đại lượng Vật lý Mỗi loại bài toán đều có một số cách giải nhất định Song, để chọn cách giải phù hợp là điều rất khó khăn cho học sinh và một số giáo viên , Bởi lẽ: Chưa có tài liệu nào viết về vấn đề này có tính hệ thống

Để góp phần cải thiện thực trạng trên , tôi quyết định thực hiện đề tài “Một

số cách giải bài toán cực trị trong Vật lý sơ cấp

,

-III

-IV

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

Khi giải các bài tập Vật lý, để tính giá trị cực đại hoặc cực tiểu của các đại lượng Vật lý, ta thường một số công thức, kiến thức của toán học Do đó,

để giải được các bài tập đó cần nắm vững một số kiến thức sau đây:

1 Bất đẳng thức Cô si:

2

a b ab ( a, b dương)

3

3

a b c abc ( a, b, c dương)

- Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau

- Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau

- Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau

Phạm vi ứng dụng: Thường áp dụng cho các bài tập điện hoặc bài toán

va chạm cơ học

2 Bất đẳng thức Bunhiacôpski:

2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2 (a b a b ) (a a ) (b b )

Dấu bằng xảy ra khi 1 1

2 2

a b

a b

Phạm vi ứng dụng: thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ

học

3 Tam thức bậc hai:

( )

y f x ax bx c

+ Nếu a > 0 thì y min tại đỉnh pa rabol

+ Nếu a < 0 thì y max tại đỉnh parabol

Tọa độ đỉnh:

2

b x

a;

4

y

a ( 2

4

b ac)

+ Nếu = 0 thì phương trình : 2

y f x ax bx c có nghiệm kép

+Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

*Phạm vi ứng dụng:Thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học và

bài tập phần điện

4 Giá trị cực đại hàm số sin hoặc cosin:

max

max

90

*Phạm vi ứng dụng: Thường dùng trong các bài toán cơ học, điện xoay chiều

5 Khảo sát hàm số:

- Dùng đạo hàm

- Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu

*Phạm vi ứng dụng: thường áp dụng cho các bài toán điện xoay chiều

+Ngoài ra, trong quá trình giải bài tập chúng ta thường sử dụng một số tính chất của phân thức:

a c a c a c

b d b d b d

II BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

Bài toán 1:

Cho mạch điện như hình vẽ:

Cho biết: 12V, r = 4 , R là một biến trở.Tìm giá trị

của R để công suất mạch ngoài đạt giá trị cực đại

BÀI GIẢI

-Dòng điện trong mạch:I

R r

2

2 (R r) R

2

2

R P

2

2

R r

R R

Đặt y ( R r )

R

2 2

P y

Nhận xét: Để P ma x y min

Theo bất đẳng thức Côsi: Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số

R R = r = 4( )thì

max

12 9( )

r r r r

Bài toán 2:

Cho mạch điện như hình vẽ:

Cho biết: u AB 200 2 cos100 ( ).t V

1

( )

L H ,

4 10 ( ).

2

a Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 0

r

R

C L,r

R

b Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 50( )

BÀI GIẢI

a + Cảm kháng Z L L 100( )

+ Dung kháng: Z C 1 200( ).

C

( L C)

Z R Z Z

+ Công suất : P = I 2 R =

2 2 ( L C)

U P

Z Z R

R

Đặt

2 (Z L Z C)

y R

R

2

U P y

+ Nhận xét: Theo bất đẳng thức côsi y min R Z L Z C 100( ), lúc đó

max

200

200(W)

P

Vậy P ma x = 200(W) khi R = 100( )

+ Công suất

2

2

U

R Rr r Z Z =

2

U

R r

R

Đặt 2 r2 (Z L Z C)2

y R r

R

2

U P

y +Nhận xét: Để P max ymin

Theo bất đẳng thức Côsi min r2 (Z L Z C)2

R

( L C)

2

U P

r Z Z

r Z Z

2

U P

U P

2

200

124( ) 2.( 50 (100 200) 50)

Vậy để P max = 124(W) thì 2 2

*Mở rộng: Khi tính P của mạch:

+ Nếu Z L Z C r thì P max khiR Z L Z C r

+Nếu Z L Z C rthì P max khi R = 0

Bài toán 3: Vật m1 chuyển động với vận tốc v1 tại A và đồng thời va chạm với vật m 2 đang nằm yên tại đó Sau va chạm, m 1 có vận tốc '

1

v Hãy xác định tỉ số 1'

1

v

v của m 1 để góc lệch giữa v1 và '

1

v là lớn nhất max Cho m 1 >

m 2, va chạm là đàn hồi và hệ được xem là hệ kín

BÀI GIẢI

* Động lượng của hệ trước va chạm:

1 1 1

T

P P m v

* Động lượng của hệ sau va chạm :

1 2 1 1 2 2

S

P P P m v m v

Vì hệ là kín nên động lượng được bảo toàn :

1

P P P

1 1 1 ( , )v v ( ,P P S).

Ta có: '2 '2 2

2 1 1 2 1 2 cos

Mặt khác, vì va chạm là đàn hồi nên động năng bảo toàn:

1 1 1 1 2 2

m v m v m v 12 12 12 12 22 2'2

m v m v m v

2 '2 '2

2 '2 '2

2 '2 '2 2 1 1

2

1

(

m P P

P

m (2)

Từ(1)và(2) ta suy ra

'

'

(1 m ) P (1 m )P 2 cos

'

'

(1 m ).v (1 m ).v 2cos

s p

1

p

2

p

Đặt 1'

1 0

v

x

v

1 (1 m ).x (1 m ) 2 cos

Để maxthì (cos )min

min

1

Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau

1

1 2

m m x

m m

Vậy khi 1' 1 2

v m m thì góc lệch giữa v1 và '

1

v cực đại

max

1

m

2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:

Bài toán 1:

Hai chuyển động trên AO và BO cùng hướng về O với 1 0

3

v

khoảng cách giữa hai vật cực tiểu là d min thì khoảng cách từ vật một đến O

là '

d cm Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O

BÀI GIẢI

Gọi d 1 , d 2 là khoảng cách từ vật một và vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = 0 )

Áp dụng định lý hàm sin ta có:

2

3

v

v nên ta có:

0

3

d v t d v t d

Áp dụng tính chất của phân thức ta có:

1 1 3 2 1 ( 3 2 1 ) ( 1 1 ) 3 2 1

d v t d v t d v t d v t d d

2 1 0

3

d d d

A

O

B

d1’ d

d 2 ’

Mặt khác, tacó:

sin sin(180 ) sin( ) sin(30 )

3 sin 3 sin(30 ) 3(sin 30 cos cos 30 sin ) 3cos 3sin

2 1 0

3

d d d

0

d

3 cos sin

d

y Khoảng cách giữa hai vật d min y max với y = 2

( 3 cos sin )

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:

120

sin120

Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc này là: d 2 ’ = 90(m)

Bài toán 2: Cho cơ hệ như hình vẽ:

Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k 2

Hệ số ma sát giữa M và m là k 1

Tác dụng một lực Flên M theo phương hợp với phương ngang một góc Hãy tìm F min để m thoát khỏi M.tính góc tương ứng?

BÀI GIẢI

+ Xét vật m: P1 N1 F ms21 ma (1)

Chiếu lên Ox: F ms21 = ma 21

1

mn

F a m

Chiếu lên Oy: N 1 – P 1 = 0 N 1 = P 1

F ms21 = k 1 N 1 = k 1 mg

1

k mg

m Khi vật bắt đầu trượt thì thì a 1 = k 1 mg

F

M

m

O y

1

P

F

2

P

ms

F

21

ms

F

12

ms

F

1

N

2

N

x

+ Xét vật M: F P2 P1 N2 F ms12 F ms (M m a) 2

Chiếu lên trục Ox: Fcos F ms12 F ms (M m a) 2 12

2

a

M m

Chiếu lên Oy: Fsin (P1 P2) N2 0 N2 P1 P2 Fsin

Ta có: F ms12 k mg1

F ms k N2 2 k P2( 1 P2 Fsin )

2

F k mg k P P F

a

M m

1

F k mg k P P F

k g

M m

2

k k Mg k k mg k k Mg k k mg

F

Nhận xét: F min y max Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski:

2 max 1 2

2

1

k k Mg k k mg F

k

2

sin

k

tg k

3.Áp dụng tam thức bậc hai:

Bài toán 1: Một con kiến bám vào đầu B của một

thanh cứng mảnh AB có chiều dài L đang dựng đứng

cạnh một bức tường thẳng đứng Vào thời điểm mà đầu

B của thanh bắt đầu chuyển động sang phải với vận tốc

không đổi v theo sàn ngang thì con kiến bắt đầu bò dọc

theo thanh với vận tốc không đổi u đối với thanh Trong

quá trình bò trên thanh , con kiến đạt được độ cao cực đại là bao nhiêu đối với sàn? Cho đầu A của thanh luôn tì lên sàn thẳng đứng

BÀI GIẢI

Khi B di chuyển một đoạn s = v.t thì con kiến đi

được một đoạn l = u.t

Độ cao mà con kiến đạt được:

A

B

h

u

sin sin

2 2 2

L

2 2 2 4

Vói y = 2 2 2 4

.

L t v t Đặt X = t 2 2 2

.

y v X L X Nhận xét: hmax ymax. y là tam thức bậc hai có a = - v 2 < 0 y max tại đỉnh Parabol

4 max 2

4

L y

v tại

2 2

b L X

a v

Vây độ cao mà con kiến đạt được là : max max .

2

Bài toán 2:

Cho mạch điện như hình vẽ:

4

200 2 cos100 ( ).

10

AB

Cuộn dây thuần cảm và có thể thay đổi được độ tự cảm Hãy xác định L

để hiệu điện thế U L đạt cực đại Tính giá trị cực đại đó?

BÀI GIẢI

+ Cảm kháng: Z L L , dung kháng Z C 1 100( )

C

.

L

U I Z

2 2

2

L

U

y

+ Nhận xét: để U Lmax y min , với y là tam thức bậc hai có a = R 2

+Z C 2

> 0 nên

y min tại đỉnh Parabol

'

L

b

Thay số : 1002 1002 2( )

100.100

C

L

R

2 2

L

U R Z

R

Mở rộng: Nếu L = cosnt , tụ C có điện dung thay đổi tìm C để UC cực đại ta làm tương tự như trên và kết quả:

2 2 max

C C

U R Z

U

2 2

L C

L

R Z Z

Z

4 Áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và hàm số cosin:

Bài toán 1:

Hai vật chuyển động từ A và B cùng hướng về điểm O với cùng vận tốc Biết

AO = 20km; BO = 30km; Góc 0

60 Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá chuyển động?

BÀI GIẢI

Xét tại thời điểm t : Vật A ở A ’

Vật B ở B ’

Khoảng cách d = A ’ B ’

Ta có:

d AO vt BO vt

10

10 sin

d

120

0

0

Nhận xét: d min (sin ) 1

Bài toán 2:

Cho mạch điện như hình vẽ:

Cho biết: L 0.9(H), U MN không đổi,

C thay đổi, R A = 0, R V rất lớn, tần số

của dòng điện f = 50Hz ; r = 90( )

Hãy chứng tỏ rằng khi điều chỉnh C

để hiệu điện thế trên các vôn kế lệch pha nhau một góc

2 thì U C đạt giá trị cực đại

B

B’

C

L,r

M

N

B

V 1

A

V2

BÀI GIÀI

Mạch điện được vẽ lại :

Ta có : Z L L 90( )

đồ véc tơ:

Từ giản đồ véc tơ ta có:

4

r

tg

1

.sin( )

C

U

1

1

sin 4

MN

U

Nhận xét: U C cực đại khi sin( 1 ) 1 1

2=1 Theo bài ra: Hiệu điện thế trên các vôn

kế lệch pha nhau

2 (U BM,U MN) 2 1 2 2 Điều phải chứng minh

5 Dùng phương pháp đạo hàm:

Bài toán 1:

Cho mạch điện như hình vẽ:

4

200 2 cos100 ( ).

10

2

AB

Cuộn dây thuần cảm và có độ tự cảm L thay đổi được

Tìm L để U AM đạt giá trị cực đại Tìm giá trị cực đại đó

BÀI GIẢI

Dung kháng:

1 200( )

C

Z

C

C L,r

M

V1

A

V2

1

2

C

U

L

U

r

U

BM

U

MN

U

o

M

C

L

R

Ta có : U AM I Z. AM U.Z AM

1

AM

U

Đăt y = 1 C22 2 C2 L

L

Z Z Z

R Z

Nhận xét: U AM cực đại y ymin

'

2 2 2

L

Z Z Z Z R

y

4 241( ) 2

L

Z hoặc

4 0 2

L

Bảng biến thiên:

Z L 0 241 +

y’ - 0 +

y

y min

Vậy, khi Z L = 241( ) L = 0,767(H) thì y min U AM cực đại

2 2 max

482( ).

2

AM

U

R

Bài toán 2:

Cho mạch điện như hình vẽ:

2 cos

AB

u U t

R không đổi, cuộn dây thuần cảm có L không đổi Tụ C có điện dung thay đổi Tìm C để U AM cực đại? Tính giá trị cực đại đó?

BÀI GIẢI

.

AM

U Z

U I Z

R Z Z

2

2 1

AM

C

U

y

Z Z Z

R Z

U AM cực đại khi y = y min

M

R

Tương tự như bài toán 1, ta tìm được : Khi 4 2 2

2

C

U AM cực đại

2 2 max

2

AM

U

2 2

2

C

C KẾT LUẬN

Bằng thực tế giảng dạy ở trường THPT, tôi nhận thấy “các cách giải bài toán

Vật lý ” tìm giá trị cực đại, cực tiểu của các đại lượng vật lý được nêu trên đã phát huy được những ưu điển , đã cũng

cố được cách làm bài tập Vật lý cho học sinh

Đây là một đề tài được áp dụng để giải các bài toán tương đối khó trong Vật

quá rộng nên bài viết còn những sai sót nhất định Tha thiết kính mong quý

đồng nghiệp trao đổi, góp ý chân thành để đề tài được , hoàn thiện và có tác dụng hữu hiệu hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Người thực hiện

-4.

:Lê Nguyên Long

.………

………

… ………

…… ………

……… ………

………… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… …………

……… ………

……… ……

……… …

………

……….

.………

… ………