SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG Trường THPT Lạng Giang số 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP Giáo viên thực hiện: THÂN VĂN DỰ Tổ: Toán Nă
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG
Trường THPT Lạng Giang số 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP
Giáo viên thực hiện: THÂN VĂN DỰ Tổ: Toán
Năm học: 2013 - 2014
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP
Giáo viên: THÂN VĂN DỰ Tổ: Toán
Năm học: 2013 - 2014
Trang 3A PHẦN MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây trong các kỳ thi Đại học – Cao đẳng, Tính thể tích khối đa diện là một câu hỏi thường xuyên xuất hiện trong các đề thi
Để tính thể tích khối đa diện ta thường áp dụng hai phương pháp: Phương
pháp thứ nhất là tính trực tiếp thông qua việc tính diện tích đáy và chiều cao của khối đa diện Việc tính thể tích khối đa diện bằng phương trực tiếp đòi hỏi học sinh phải xác định được chiều cao của khối đa diện và tính chiều cao đó Việc này làm cho một số học sinh gặp khá nhiều khó găn do phải vận dụng các kiến thức về đường thằng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc đã học từ lớp 11 Khi việc xác định và tính chiều cao của khối đa diện gặp khó khăn hoặc khối đa diện cần tính không phải những khối đa diện có công thức tính thể tích đã học thì ta sử dung phương pháp thứ hai là phương pháp gián tiếp Để tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp thì học sinh chỉ cần nắm được một số kiến thức cơ bản về thể tích khối chóp, khối lăng trụ và tỷ số thể tích trong khối chóp tam giác Lời giải bài toán tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp thường ngắn gọn, dễ hiểu
2 Mục đích nghiên cứu
- Ngiên cứu, xây dựng phương pháp tính thể tích khối đa diện không thông qua việc áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích
- Rèn luyện cho học sinh tư duy mềm dẻo trong việc suy nghĩ giải quyết một vấn đề
B NỘI DUNG
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Công thức tính thể tích khối chóp
1
V Bh
3
= (B là diện tích đáy, h là chiều cao)
2) Công thức tính thể tích khối lăng trụ
V = Bh (B là diện tích dáy, h là chiều cao)
3) Cho 2 khối đa diện H và H1 có thể tích tương ứng là V và V1 biết
1
V
k
V = và V1 = a ⇒ V = ka
4) Nếu chia khối đa diện H thành các khối đa diện H1, H2 , …Hn khi đó ta
có
V = V + V + + V ( V là thể tích của khối đa diện H, Vi là thể tích của khối
đa diện Hi i = 1, n
5) Cho hình chóp S.ABC, A’, B’, C’ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SA, SB, SC khi đó ta có S.A 'B 'C '
S.ABC
V SA ' SB ' SC '
.
V = SA SB SC
Trang 42
II – PHƯƠNG PHÁP
Nếu tính thể tích khối đa diên H bằng phương pháp trực tiếp khó găn ta
có thể chia khối đa diện H thành các khối đa diện nhỏ H1, H2, …, Hn
mà việc tính thể tích của các khối đa diện Hi ( i = 1, n ) là đơn giản hơn
Khi biết tỉ số thể tích của 2 khối đa diện H và H’, nếu việc tính thể tích khối đa diện H gặp khó khăn ta có thể tính thể tích khối đa diện H’ rôi suy ra thể tích khối đa diện H
III – CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1
Cho khối chóp S.ABC biết ∆ ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, SA ⊥ ( ABC ) , SA = a Gọi I là điểm thuộc cạnh SB sao cho SI 1 SB
3
= Tính thể tích khối tứ diện SAIC
Giải:
ABC
ABC
1
S AB.BC a
2
∆
SA ⊥ ABC ⇒ SA là chiều cao của hình chóp S.ABC
3 S.ABC ABC
V S SA
3 ∆ 3
S.AIC
S.ABC
V SA SI SC 1
.
V = SA SB SC = 3 VS.AIC 1 VS.ABC 1 a 3 a3
3 3 3 9
Ví dụ 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH =
4
AC
Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
Giải:
Trang 5SH ⊥ ABCD ⇒ SH ⊥ AC ⇒△ SAH , △ SHC vuông tại H
4
a
2
SC SH HC a
⇒ = ⇒△ cân tại C mà CM là đường cao tam giác SAC nên M là trung điểm của SA
Ta có .
.
S MBC
S MBC S ABC
S ABC
mà
.
S ABC ABC
Suy ra
3
S MBC S ABC
a
Ví dụ 3
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD
=a 2 SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ O là trung điểm AC Ta có I là trọng tâm của tam giác ABD, do đó
Trang 64
AIMN
ACDN
2
ACDN ACDS
Từ (1) và (2) suy ra 1
12
AIMN ACDS
V
Mà
3
Vậy
3
.
a
Ví dụ 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ABCD, AB = 2a, BC = a SA = SB = SC = SD = a 2 E là điểm thuộc cạnh SC, SE = 2EC , F
là điểm thuộc cạnh SD, SF 1 FD
3
= Tính thể tích khối đa diện SABEF
Giải:
2 ABCD
S = AB.BC = 2a
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABD ta có
BD = AB + AD = a 5
Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD BO 1 AC a 5
Xét tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến ⇒ SO đồng thời là đường cao của ∆ SBD ⇒ SO ⊥ BD
Trang 7Chứng minh tương tự ta có SO ⊥ AC Suy ra SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO là đường cao của hình chóp S.ABCD
SO SB BO a 2
= − = − =
3 2
S.ABCD ABCD
V S SO 2a
3 S.ABE
S.ABE S.ABC S.ABCD S.ABC
V = SA SB SC = 3 ⇒ = 3 = 3 = 3 3 (1)
S.AEF
S.ACD
V SA SE SF 2 1 1
V = SA SC SD = 3 4 = 6 VS.AEF 1 VS.ACD 1 VS.ABCD a3
Từ (1) và (2) ta có
SABEF S.ABE S.AEF
3 3 12 3 12 3
Ví dụ 5
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M là trung điểm của cạnh BB’ Mặt phẳng (A’MD) cắt hình lập phương thành hai khối đa diện Tính tỷ số thể tích của hai khối đã diện trên
Giải:
Gọi N là giao điển của A’M và AB, K là giao điểm của DN và BC
⇒ Mặt phẳng (A’MD) cắt hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối
đa diện A’MKCDAB và khối đa diện A’B’C’D’MKCD
M là trung điểm của BB’ BM a
2
⇒ =
BMN B ' MA '
∆ = ∆ (Vì B = B ' = 90o, BM = B’M, BMN = B MA ' ' ) ⇒ BN = A ' B ' = a
∆ = ∆ (Vì N = D , BN = CD = a, B = = C 90o)
2
a
⇒ = =
3
1
.
B MNK
a
3 '
AA ' .
A A ND
a
Trang 86
A A ND A MKDAB B MNK
3 12 12
A MKDAB A A ND B MNK
Thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng a3
ABCD A B C D A MKDAB A B C D MKCD
3
7 5
12 12
A B C D MKCD ABCD A B C D A MKDDAB
'
' ' ' '
7 5
A MKCDAB
A B C D MKCD
V
V
Ví dụ 6
Cho hình chóp O.ABC có OA, OB,OC đôi một vuông góc với nhau,
OA = a, OB = b, OC = c; OA’, OB’, OC’ lần lượt là đường cao của các tam giác OBC, OAC, OAB Tính thể tích của khối chóp O.A’B’C’
Giải:
Thể tích khối chóp O.ABC là .
1
O ABC
abc
Ta có OA ⊥ OB OA , ⊥ OC OB , ⊥ OC ⇒ các tam giác ∆ OAB , ∆ OAC , ∆ OBC vuông tại
O
Áp dụng định lý Pitago ta có 2 2
AC = a + c , 2 2
AB = a + b , 2 2
BC = b + c
Xét ∆ OBC vuông tại O có OA’ là đường cao
'
.
OA
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông OA’C ( OA C ' = 90o) ta có
' '
+ Chứng minh tương tự, ta có
2
' c
CB
=
+
2
' a
AB
=
+
Trang 92 2
' a
AC
=
+
2
' b
BC
=
+
2
' b
BA
=
+
4 ' ' ' '
' '
O CA B C OA B
O ABC C OBA
4
O CA B O ABC
c
Chứng minh tương tự ta có :
4
O AB C O ABC
a
=
2
O BA C O ABC
b
=
Thể tích khối chóp O.A’B’C’ bằng
O A B C O ABC O CA B O AB C O BA C
V = V − V + V + V
1
3
Bài tập tương tự
Bài 1 (Đề thi ĐH khối D – 2006 )
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các
đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a
Bài 2 (Đề thi ĐH khối B – 2008 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, 0
90
AB = BC = a AD = a SA ⊥ ABCD và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA và SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a
Bài 3
Cho hình nón S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), G là trọng tâm của tam giác SBD, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, mặt phẳng (ABG) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN, biết SA = AB = a, góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng
(ABCD) bằng 30o
Bài 4
Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau,
OA = a, OB = b, OC = c, OA’, OB’, OC’ lần lượt là các đường phân giác
Trang 108
trong của các tam giác OBC, OAC, OAB Tính thể tích của khối chóp
O.A’B’C’
Bài 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a 3 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SD Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại I Tính thể tích của khối chóp S.AHIK
C KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
Việc tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp thể hiện
được ưu điểm là chỉ sử dụng một số kiến thức đơn giản không cần phải vận
dụng các kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng
để dựng đường cao Lời giải ngắn gọn, rõ ràng Qua thực tế giảng dạy lớp 12
một số năm, tôi đã áp dụng dạy cho học sinh phương pháp tính thể tích khối
đa diện bằng phương pháp gián tiếp Tôi thấy học sinh áp dụng vào giải các
bài tập được giao khá tốt Đặc biệt đối với những học sinh trung bình cũng có thể giải được bài toán tính thể tích bằng phương pháp này
Mặc dù đã hết sức cố găng song do kinh nghiệm còn hạn chế sáng kiến kinh nghiệm của tôi chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót Vì vậy tôi mong nhận
được sự đóng góp chân thành từ ban chuyên môn nhà trường và các đồng chí
trong tổ toán
Bắc Giang, tháng 12 năm 2013
Giáo viên THÂN VĂN DỰ
DUYỆT CỦA HỘI ĐỒNG CHUYÊN MÔN NHÀ TRƯỜNG:
Trang 11