SKKN Một số ứng dụng của phương pháp đồng bậc

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình môn toán ở cấp THPT cũng như trong các đề thi tuyển sinh vào các trường ĐH-CĐ và học sinh giỏi các cấp ta thường gặp các bài toán giải bằng phương ph

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình môn toán ở cấp THPT cũng như trong các đề thi tuyển sinh vào các trường ĐH-CĐ và học sinh giỏi các cấp ta thường gặp các bài toán giải bằng phương pháp đồng bậc Phương pháp đồng bậc (hay còn gọi

là phương pháp đẳng cấp) là một phương pháp thường gặp trong khi giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức Theo phương pháp này,

từ giả thiết ta tìm một hệ thức giữa các ẩn mà ở đó mỗi hạng tử cùng bậc, sau đó đưa hệ thức đó về hệ thức một ẩn, hoặc phân tích thành nhân tử hoặc một hệ thức mới đơn giản hơn

Đối với các em học sinh chuẩn bị thi vào các trường ĐH-CĐ hoặc thi học sinh giỏi các cấp, việc tìm ra một phương pháp ôn tập hợp lí có ý nghĩa rất quan trọng Các em cần có một cái nhìn xuyên suốt về kiến thức và các phương pháp giải toán đã học Nhằm giúp các em học sinh có được một cái nhìn toàn diện về một phương pháp giải toán quan trọng, tôi chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phương pháp đồng bậc”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

- Giúp học sinh có cái nhìn toàn diện về một phương pháp giải toán hiệu quả

- Giúp học sinh tìm ra phương pháp ôn tập hiệu quả thông qua việc ôn luyện theo các phương pháp giải toán

- Giúp bản thân và đồng nghiệp nâng cao trình độ chuyên môn, đổi mới

phương pháp có hiệu quả

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp đồng bậc qua các chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán bậc THPT hiện hành

IV ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các ứng dụng của phương pháp đồng bậc qua các chủ đề: phương trình, hệ phương trình; giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; bất đẳng thức

- Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình toán hiện hành và trong nội dung thi ĐH-CĐ, thi học sinh giỏi các cấp

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Khảo sát ứng dụng của phương pháp đồng bậc qua từng chủ đề

- Phân tích cách nhận dạng, áp dụng phương pháp cho mỗi dạng toán

- Tổng kết, rút kinh nghiệm

VI NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI:

- Giúp học sinh có cách nhìn toàn diện về một phương pháp giải toán hiệu quả, góp phần đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp học tập chủ động, tích cực của học sinh

- Nâng cao chất lượng dạy học của bản thân, của đồng nghiệp

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

Trong nhà trường phổ thông, nhiệm vụ của môn toán không chỉ là trang

bị cho học sinh các kiến thức toán học như các định lý, khái niệm, quy tắc mà quan trọng hơn là phải trang bị cho các em những kiến thức về phương pháp và

tư duy Việc hình thành ở các em các kĩ năng tư duy như khái quát hóa, tổng quát hóa…thông qua việc dạy và học môn toán có vai trò quan trọng trong việc

hình thành phẩm chất của con người lao động có tư duy sang tạo sau này

Việc có được một cái nhìn toàn diện về một phương pháp giải toán hiệu quả qua nhiều dạng toán quan trọng trong chương trình giúp các em học sinh có được năng lực tư duy độc lập, khái quát, tổng kết được những vấn đề đã học Qua đó phần nào hình thành được những kĩ năng tư duy quan trọng

II CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

- Trong chương trình môn toán trung học phổ thông hiện hành, các chủ đề

liên quan đến phương pháp đồng bậc khá nhiều song chưa có một nghiên cứu toàn diện cho vấn đề đó

- Đối với các em học sinh đang chuẩn bị cho kì thi cuối cấp, các em thường lúng túng khi chọn ra phương pháp ôn tập phù hợp Việc ôn tập theo phương pháp giải toán giúp các em có hướng nhìn xuyên suốt vấn đề và tiết kiệm thời gian

- Việc đổi mới phương pháp hướng tới phát tính tích cực của học sinh đòi hỏi giáo viên phải tìm ra những cách thức phù hợp nhằm phát huy năng lực của học sinh

Chương II: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Trong phương trình, bất phương trình và hệ phương trình, việc tạo ra các biểu thức đồng bậc giúp ta dễ dàng đưa cách hệ thức đã cho về dạng 1 ẩn hoặc

có thể phân tích thành nhân tử Từ đó thu được những hệ thức đơn giản hơn Trong chương này ta sẽ xem xét một số ví dụ đặc trưng từ các phương trình lượng giác, phương trình mũ, phương trình vô tỉ, hệ phương trình

Ví dụ 1: Giải phương trình: 4(sin3xcos3x)cosx3sinx (1)

Nhận xét: Đây là dạng phương trình lượng giác đẳng cấp với sin và cos thường

gặp Do sin2xcos2x1nên các biểu thức bậc nhất đối với sin và cos ta có thể coi là bậc ba (nhân thêm sin2xcos2x1)

Lời giải: Ta viết lại phương trình dưới dạng:

2

x

tm x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 5 37

Nhận xét: Việc sử dụng hằng đẳng thức và tách số hạng hợp lí giúp đưa một

phương trình vô tỉ khá khó khăn về một phương trình dạng đẳng cấp đơn giản Đây là dạng phương trình khá thường gặp trong các kì thi Sau đây là một số ví

dụ minh họa cho những kĩ thuật tương tự

Bình phương hai vế và biến đổi ta được:

5 61

4 5

5 9 04

Ví dụ 6(A-2007) Cho phương trình 3 x 1 m x 1 24 x21 (1)

Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Lời giải: Điều kiện : x1

Nhận xét: Đây là hệ đẳng cấp bậc hai quen thuộc, việc làm mất hệ số tự do

nhằm tạo ra một phương trình thuần nhất

Nếu x    y 0 x y, thì (1) không thỏa mãn

Vậy hệ có hai nghiệm        x y;  0;1 , x y;  1;0

1( )

Nhận xét: Dễ nhận thấy (1) là phương trình thuần nhất bậc hai đối với x và

y nên ta có cách biến đổi như trên Ta cũng có thể đặt x=ty hoặc biến đổi (1)

Vậy hệ có hai nghiệm        x y;  0;0 , x y;  1;1

Nhận xét: Mục đích của việc “nhân hai vế của (1) với y rồi trừ theo vế cho (2)”

nhằm tạo ra phương trình thuần nhất với x và y

Ví dụ 11: (HSG Bắc Giang 2010) Giải hệ phương trình:

3

92

y x

x y

Điều kiện 3  x 0;y0 Nhận thấy phương trình đầu của hệ thuần nhất với

x và y Đặt y   tx y t x2 2, khi đó phương trình đầu của hệ trở thành:

x y x y

Lời giải: Đặt x X 5;y Y 7 ta thu được hệ

Nhận xét: -Trong ví dụ trên ta dùng phép tịnh tiến để đưa hệ về đồng bậc

- Bằng phép tịnh tiến như trên ta có thể tạo ra hệ phương trình khá khó khăn xuất phát từ một hệ đơn giản

Điều kiện cần để hệ bất phương trình có nghiệm là 1 0 1

Bài 1: Giải các phương trình

1 4 3 sin cos 4cos2 2sin2 5

2 4sin3x3cos3x3sinxsin2xcosx0 ĐS: ;

8)

5

425

421

Chương III: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC TRONG BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

Ta đã biết đối với biểu thức một biến, đạo hàm là một công cụ khá hữu hiệu để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số Việc lợi dụng sự đồng bậc của các biến trong một số trường hợp có thể giúp đễ dàng đưa các biểu thức nhiều biến về biểu thức một biến Do đó ta thu được bài toán dễ dàng hơn

Ví dụ 1: Cho x2  y2 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của  2

- Bài này cũng có thể làm bằng phương pháp lượng giác hóa

Ví dụ 2: Cho x, y là các số thức thỏa mãn: x2 xyy2 3 Chứng minh rằng:

Ví dụ 3: Cho hai số 0, 1

4

x y thỏa mãn x3 y3 x2 2y2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P x 3y

7 13min



Chương IV: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

1) Thuần nhất hóa bất đẳng thức không đồng bậc

Các bất đẳng thức cổ điển hầu hết đều phát biểu dưới dạng các biến độc lập, do đó chúng đều ở dạng đồng bậc Từ đó đối với các bài toán mà giả thiết cho các biến có sự ràng buộc thì một trong những ý tưởng là sử dụng hợp lí giả thiết để đưa về dạng đồng bậc

29

Nhận xét: Việc bình phương kết luận để tạo ra biểu thức đồng bậc với giả thiết

làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều

Ví dụ 3: Cho a b c là các số dương thỏa mãn a b c, ,   abc Chứng minh rằng:

Nhận xét: Ý tưởng đưa về đồng bậc với bài trên là hoàn toàn tự nhiên và đơn

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: Cho a b c, , 0 Tìm giá trị lớn nhất của

7) Cho a b c là các số dương chứng minh , ,

PHẦN III: KẾT LUẬN

Phương pháp đồng bậc là phương pháp có nhiều ứng dụng trong toán học phổ thông Việc giúp các em học sinh thấy rõ được được ứng dụng của phương pháp trong nhiều vấn đề, làm cho không những nắm chắc kiến thức

đã học mà còn giúp các em có những ý tưởng sáng tạo trong học toán

Sáng kiến kinh nghiệm này đã đề cập tới những ứng dụng của phương pháp đồng bậc trong nhiều chủ đề quan trọng nằm trong nội dung thi tuyển sinh ĐH- CĐ và thi học sinh giỏi các cấp Trong mỗi ví dụ minh họa cho phương pháp ở mỗi chủ đề, tôi đã cố gắng phân tích những ý tưởng, kĩ thuật

để đưa các bài toán về áp dụng phương pháp đồng bậc Những ví dụ phong phú được lấy từ nhiều chủ đề nhằm giúp các em học sinh có cái nhìn xuyên suốt về phương pháp

Chuyên để này đã được sử dụng để ôn thi cho các học sinh đang chuẩn

bị thi vào ĐH-CĐ, thi HSG cấp tỉnh ở trường THPT Lạng Giang số 1 các năm 2012-2013 và 2013-2014 và thu được kết quả tốt Việc đưa ra một hình thức ôn tập mới, tiết kiệm thời gian và công sức làm cho các em học sinh cảm thấy hào hứng, chủ động và có hiệu quả Hi vọng kết quả của SKKN này sẽ góp một phần nhỏ bé vào việc đổi mới phương pháp dạy và học hiện nay Tuy nhiên do năng lực và kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên chuyên đề này chắc chắn còn nhiều thiếu sót, người viết rất mong được sự góp ý từ các đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Lạng Giang, ngày 10/10/2014

Người viết

Ngô Ngọc Hà

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Xuân Liêm “Giải tích 12 Nâng cao”, NXB Giáo dục, 2008

[2] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất

“Giải tích 12 ”, NXB Giáo dục, 2008

[3] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn “Đại số và giải tích 11”, NXB Giáo dục, 2008

[4] Báo toán học và tuổi trẻ