Ứng dụng mạng tính toán trong một số bài toán hình học

Ứng dụng mạng tính toán trong một số bài toán hình học

CHƯƠNG IV ỨNG DỤNG MẠNG TÍNH TOÁN

TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC

I.- CÁC TAM GIÁC :

1 tam giác :

Về mặt tính toán, chúng ta có thể xem tam giác là một mạng tính toán (haymột đối tượng tính toán) bao gồm các biến ghi nhận giá trị của các yếu tố trong tamgiác, và các quan hệ là các công thức thể hiện mối liên hệ tính toán giữa các yếu tốđó

Tập các biến trong tam giác gồm :

· a, b, c : 3 cạnh của tam giác (Hình 1.1)

· a, b, g : 3 góc đối diện với 3 cạnh tương ứng trong tam giác (Hình 1.1)

· ha, hb, hc : 3 đường cao tương ứng với 3 cạnh của tam giác (Hình 1.2a)

· ma, mb, mc : 3 đường trung tuyến tương ứng với 3 cạnh của tam giác (Hình

1.2b)

· pa, pb, pc : 3 đường phân giác trong tương ứng với 3 cạnh của tam giác

· S : diện tích tam giác

· p : nửa chu vi của tam giác

· R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

· r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

· ra, rb, rc : các bán kính của các đường tròn bàng tiếp tam giác

Hình 1.1

Các hệ thức cơ bản giữa các yếu tố của tam giác :

· Liên hệ giữa 3 góc :

· Các công thức tính diện tích :

f33 : ra = p - aS

f34 : rb = p - bS

f35 : rc = p - cS

f36 : 4.R = ra + rb + rc - r

Ghi chú : Trong các công thức trên, có một số công thức có thể được suy ra từ các

công thức khác Do đó ta có thể bỏ bớt một số công thức Hơn nữa, chúng

ta có thể nêu lên một thuật toán để làm tối thiểu hóa các công thức (haycác quan hệ) theo một thứ tự ưu tiên nào đó Tuy nhiên, nếu có thể nhớđược trực tiếp nhiều công thức thì việc tính toán sẽ có lợi hơn

2 tam giác cân :

Tam giác cân (không làm mất tính tổng quát, ta giả sử cân tại A) là một tam

giác có các tính chất sau đây:

3 tam giác vuông :

Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử tam giác vuông có cạnh huyền là a.

Như thế, ngoài những hệ thức đã biết trong tam giác nói chung ta còn có :

Tam giác vuông cân (với cạnh đáy tam giác cân là a) là một tam giác có :

Quan hệ f29 đến f31 được thay thế bởi:

f29 : pa = a/2

f30 : pb = a 2 ( 2  1 )

f31 : pc = pb

5 tam giác đều :

Tam giác đều là một tam giác có :

II.- CÁC TỨ GIÁC :

1 tứ giác (lồi) tổng quát :

Về mặt tính toán, chúng ta có thể xem tứ giác là một mạng tính toán (hay mộtđối tượng tính toán) bao gồm các biến ghi nhận giá trị của các yếu tố trong tam giác,và các quan hệ là các công thức thể hiện mối liên hệ tính toán giữa các yếu tố đó

Hình 2.1 Tứ giác ABCD.

Tập các biến thường được xem xét trong tứ giác gồm :

· a, b, c, d : 3 cạnh của tam giác (Hình 2.1)

· A, B, C, D : 4 góc trong của tứ giác

· AC, BD : 2 đường chéo của tứ giác

· S : diện tích tứ giác

· p : chu vi của tứ giác

· R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác (nếu có)

· r : bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác (nếu có)

Các hệ thức cơ bản giữa các yếu tố của tứ giác :

f1 : A + B + C + D = 2p

f2 : p = a+b+c+d

f3 : 2.S = a.d.sinA + b.c.sinC

f4 : 2.S = a.b.sinB + c.d.sinD

Ghi chú : Để có thể giải tứ giác được hiệu quả hơn ta có thể đặt tứ giác trong một

mạng liên hệ với 4 tam giác (ABD, CBD, BAC, DAC) Ký hiệu tứ giác là O1, và kýhiệu 4 tam giác lần lượt là O2, O3, O4, O5 Khi đó mạng tính toán gồm 5 đối tượng O1,

O2, O3, O4, O5 có các quan hệ sau đây :

2 hình thang, thang cân, thang vuông :

a/ Hình thang (với 2 cạnh đáy là AD và BC) là một tứ giác có tính chất sau :

g3 : S = (b + d).ha /2

Trong mối liên hệ với 4 tam giác như đã nói ở nhận xét phía trên ta còn có :

O1.ha = O2.hb

Ghi chú : Trong trường hợp nầy (tứ giác là hình thang cân) thì trong 4 tam giác liên

hệ với tứ giác có 2 tam giác vuông : tam giác ABD và tam giác BAC

Ghi chú : Trong liên kết tứ giác (ký hiệu O1) với 4 tam giác tương ứng (ký hiệu O2,

O3, O4, O5), thì đối với hình bình hành ta còn có các quan hệ sau đây :

O2.ma = O1.AC / 2 // trung tuyến tam giác ABD = nửa đường chéo AC

O3.ma = O1.AC / 2 // trung tuyến tam giác CBD = nửa đường chéo AC

O4.ma = O1.BD / 2 // trung tuyến tam giác BAC = nửa đường chéo BD

O5.ma = O1.BD / 2 // trung tuyến tam giác DAC = nửa đường chéo BD

O2.ma = O1.AC / 2 // trung tuyến tam giác ABD = nửa đường chéo AC

O3.ma = O1.AC / 2 // trung tuyến tam giác CBD = nửa đường chéo AC

O4.ma = O1.BD / 2 // trung tuyến tam giác BAC = nửa đường chéo BD

O5.ma = O1.BD / 2 // trung tuyến tam giác DAC = nửa đường chéo BD

Hình thoi còn có một vòng tròn nội tiếp và một đường cao Gọi bán kính vòng trònnội tiếp là r, đường cao là h, ta có các hệ thức :

Hình vuông là một tứ giác có đầy đủ các tính chất của hình thoi và hình chữnhật Như vậy, trong hình vvuông ta chỉ cần có các quan hệ sau đây:

III.- CÁC LUẬT BIẾN ĐỔI :

Giữa các đối tượng hình học trình bày ở trên có một số luật biến đổi mà ta có thể áp dụng trong quá trình tính toán

1 Một số luật liên quan đến tam giác :

L1 : Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân

L2 : Tam giác có 2 góc bằng nhau là tam giác cân

L3 : Tam giác có đường cao và trung tuyến tương ứng bằng nhau là tam

giác cân

L4 : Tam giác có đường cao và đường phân giác trong tương ứng bằng nhau

là tam giác cân

L5 : Tam giác có trung tuyến và đường phân giác trong tương ứng bằng

nhau là tam giác cân

L6 : Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông

L7 : Tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương của hai

cạnh kia là tam giác vuông

L8 : Tam giác có một góc vuông và hai cạnh kề góc vuông bằng nhau là

tam giác vuông cân

L9 : Tam giác vuông có hai cạnh kề góc vuông bằng nhau là tam giác

vuông cân

L10 : Tam giác cân góc đỉnh là góc vuông là tam giác vuông cân

L11 : Tam giác có 3 cạnh bằng nhau là tam giác đều

L12 : Tam giác có 3 góc bằng nhau là tam giác đều

L13 : Tam giác cân có một góc bằng (p / 3) là tam giác đều

2 Một số luật liên quan đến tứ giác :

L1 : Một tứ giác có thể được biến đổi thành một mạng gồm tứ giác đó và 4

tam giác

L2 : Một tứ giác có hai góc kề một cạnh (hay góc liên tiếp) bù nhau là một

hình thang

L3 : Một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là một hình thang cân

L4 : Một hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là một hình

thang cân

L5 : Một hình thang có một góc vuông là một hình thang vuông

L6 : Một tứ giác có các cạnh đối diện bằng nhau từng đôi một là một hình

bình hành

L7 : Một tứ giác có các góc đối diện bằng nhau từng đôi một là một hình

bình hành

L8 : Một tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là một hình thoi

L9 : Một hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau là một hình thoi

L10 : Một hình bình hành có một góc vuông là một hình chữ nhật

L11 : Một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau là một hình vuông

L12 : Một hình thoi có một góc vuông là một hình vuông

IV.- MỘT SỐ BÀI TOÁN CỤ THỂ :

Trong mục nầy chúng ta xét một số bài toán áp dụng lý thuyết mạng tính toánđã trình bày trong chương II và chương III.

1 Giải tam giác :

Như đã nói ở trên, chúng ta xét một tam giác bao gồm 22 yếu tố Giữa cácyếu tố của tam giác có các quan hệ cho phép ta có thể tính ra được các yếu tố cầnthiết trong tam giác từ giả thiết rằng đã biết một số yếu tố nào đó của tam giác Nhờvào lý thuyết về mạng tính toán ta có thể cài đặt một chương trình để giải tam giác

Khi ta cho biết một số yếu tố của tam giác và yêu cầu tính ra một số yếu tốkhác, chương trình sẽ cho chúng ta một lời giải (nếu bài toán là giải được) Trongtrường hợp bài toán không giải được thì chương trình sẽ thông báo để ta cho thêm dữkiện hoặc điều chỉnh lại bài toán

mạng tính toán, mạng tính toán các đối tượng ta có thể cài đặt một chương trình đểgiải tứ giác

Với các quan hệ chung mà ta đã biết giữa các yếu tố trong tứ giác (f1, f2, f3, f4)chưa đủ để giải tứ giác Ví dụ : cho tứ giác có 4 cạnh và một góc đã biết trước, hãytính diện tích của tứ giác Nếu chỉ sử dụng 4 quan hệ đã nêu trong mục II.1 thì takhông thể tìm được lời giải cho bài toán nầy

Do đó để giải tứ giác, ngoài tri thức tính toán của bản thân tứ giác (4 quan hệ)

ta cần sử dụng thêm tri thức về sự liên hệ giữa tứ giác và các tam giác Về mặt nầy

ta có thể xem xét tứ giác trong mối liên hệ với 4 tam giác tương ứng của tứ giác (mỗitam giác trong 4 tam giác nầy có 3 đỉnh trùng với 3 đỉnh của tứ giác Từ đó ta cóthêm kiến thức để giải tứ giác

Về mặt cài đặt, chương trình giải tứ giác sẽ xử lý tính toán trên một mạnggồm 1 tứ giác và 4 tam giác Khi ta cho biết một số yếu tố của tứ giác và yêu cầutính ra một số yếu tố khác, chương trình sẽ cho chúng ta một lời giải dạng gọn (nếubài toán là giải được) Trong trường hợp bài toán không giải được thì chương trình sẽthông báo để ta cho thêm dữ kiện hoặc điều chỉnh lại bài toán

O4 : tam giác BAC,

O5 : tam giác DAC

Ta có mạng tính toán gồm 5 đối tượng O1, O2, O3, O4, O5 Trong O1 ta có 4quan hệ O1.f1, O1.f2, O1.f3, O1.f4 Về mối liên hệ giữa các đối tượng trên ta có cácquan hệ sau đây :

Như thế trong mô hình mạng tính toán các đối tượng của bài toán đặt ra ta có :

1/ tập các đối tượng :

O = { O1, O2, O3, O4, O5}

2/ tập các quan hệ (giữa các đối tượng) :

F = { f1, f2, , f21, f22}

3/ tập các biến được xem xét :

M = { O1.a, O1.b, O1.c, O1.d, O1.A, O1.B, O1.C, O1.D, O1.S, O1.BD, O1.AC,

O2.a, O2.b, O2.c, O2.a, O2.b, O2.g, O2.S,

O3.a, O3.b, O3.c, O3.a, O3.b, O3.g, O3.S,

O4.a, O4.b, O4.c, O4.a, O4.b, O4.g, O4.S,

O5.a, O5.b, O5.c, O5.a, O5.b, O5.g, O5.S}

4/ Giả thiết (tập biến đã biết):

Giả thiết : { O1.a, O1.b, O1.c, O1.d, O1.A }

Lần lượt thử áp dụng các quan hệ giữa các đối tượng ta tính được :

O5 c, nhờ áp dụng f15

Lần lượt xét các đối tượng theo thứ tự O1, O2, O3, O4, O5 ta tính được :

O2.a, O2.b, O2.g, O2.S, nhờ áp dụng O2

Lại xét các quan hệ giữa các đối tượng ta tính được :

Lại xét các đối tượng theo thứ tự O1, O2, O3, O4, O5 ta tính được :

O3.a, O3.b, O3.g, O3.S, nhờ áp dụng O3

Lại xét các quan hệ giữa các đối tượng ta tính được :

Đến đây ta đã đạt được mục tiêu cần tính toán, và có một lời giải như sau :

{ f2, f3, f4, f6, f7, f10, f11, f14, f15, O2, f1, f5, O3, f8, f20, f21 }

Aùp dụng thuật toán 3.3 chúng ta rút ra được một lời giải tốt như sau :

{ f2, f3, f4, f6, f7, O2, f1, f5, O3, f21 }

Theo lời giải nầy, quá trình tính toán diện tích S của tứ giác như sau :

Tính O3.c, (cạnh CB) áp dụng f7

Tính O2.a,O2.S, (cạnh BD,diện tích tam giác ABD) áp dụng O2

Tính O1.BD, (đường chéo BD của tứ giác) áp dụng f1

Tính O3.a, (cạnh BD của tam giác CBD) áp dụng f5

Tính O3.S, (diện tích tam giác CBD) áp dụng O3

Tính O1.S, (diện tích tứ giác ACBD) áp dụng f21 

Tương tự như trong ví dụ 1 ở trên chúng ta còn có thể giải được nhiều trườnghợp khác của tứ giác, chẳng hạn như các ví dụ sau đây :

Ví dụ 2 :

Trong tứ giác ABCD, giả sử đã biết các cạnh AB, DA, các góc A, B, D Hãytính độ dài các đường chéo AC, BD

Ví dụ 3 :

Trong tứ giác ABCD, giả sử đã biết các cạnh AB, BC, CD, và 2 đường chéo

AC, BD Hãy tính chu vi và diện tích của tứ giác