sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp

Để giải quyết bài toán này có nhiều phương phápkhác nhau, khi thì dùng trực tiếp các tính chất về tổ hợp, phép biến đổi tươngđương, cũng có khi là sử dụng đạo hàm, tích phân, còn số phức

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 6

(SKKN được xếp loại C cấp tỉnh năm học 2012-2013)

Tác giả: Nguyễn Lạnh Thơm

Giáo viên trường THPT Nguyễn Quán Nho

A Đặt vấn đề:

Trong chương trình phổ thông, bài toán tổ hợp là một phần quan trọng đểphát triển tư duy, tính sáng tạo của các em học sinh Những năm gần đây, cácbài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đạihọc và Cao đẳng khá nhiều Để giải quyết bài toán này có nhiều phương phápkhác nhau, khi thì dùng trực tiếp các tính chất về tổ hợp, phép biến đổi tươngđương, cũng có khi là sử dụng đạo hàm, tích phân, còn số phức thì thật sự cònmới mẻ Song trong nội dung bài viết này tôi trình bày một số bài toán tổ hợp

hay gặp mà cách giải là tổng thể sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và số

phức Đây thực sự là một công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải quyết bài toánnhanh, gọn, chính xác Mong muốn hơn của tôi là cho các em cái nhìn tổng thể

về cách giải quyết bài toán này

Tất nhiên, tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11, cụ thể là ở giữaHKI Còn đạo hàm thì được trình bày ở cuối HKII của lớp 11, tích phân đượchọc ở trong chương trình lớp 12, thậm chí số phức được trình bày ở cuối chươngtrình lớp 12 Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụngđạo hàm, tích phân và số phức để giải các bài toán tổ hợp thì không được trìnhbày nhiều, học sinh không được rèn luyện kỹ năng này trên lớp Do đó, khi gặpbài toán này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, phần lớn các em không làmđược

Nhằm mục đích để cho các em học sinh chuẩn bị bước vào các kỳ thiquan trọng, thấy được tổng thể các phương pháp giải quyết bài toán tổ hợp, từ

đó tạo cho các em niềm tin sẽ làm bài tốt trong các kỳ thi sắp tới Tôi chọn đề tài

“Sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm của mình Đồng

thời áp dụng đề tài ngay cho các em học sinh dang học lớp 12 năm 2013 này

B Giải quyết vấn đề:

I Cơ sở lý luận của vấn đề.

Rõ dàng các bài tập tổ hợp mà ta giải quyết ở chuyên đề này là: Tính tổng,Chứng minh đẳng thức, hay tìm nN* thoả mãn đẳng thức nào đó, tất nhiên làcác dạng này đều chứa k

n

C và đó là những bài toán này liên quan đến những khaitriển nhị thức Newton, mà việc chọn các số hạng trong nhị thức, số mũ của nhịthức có vai trò cực kỳ quan trọng đối với bài toán ta cần giải quyết

c) Giả sử bài toán cần tính tổng của C n k (với k = 0,1,2, n)

Ta Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp(thường ta chọn là x = i) Mặt khác khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉxét các số phức có argument là 6 , 4 , 3 ) Rồi so sánh phần thực vàphần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính Từ đó sẽ tìm được mối liên

hệ cho tổng cần tính

Sau đây tôi sẽ trình bày mỗi phương pháp một ví dụ tương ứng, để làmminh chứng cho cơ sở lý luận của đề tài này Ở phần giải quyết vấn đề tôi cốgắng trình bày các bài toán một cách chi tiết, phân tích và nhận xét cách giảinhằm giúp học sinh thấy được khi nào dùng công cụ đạo hàm, tích phân hay sốphức có hiệu quả cao nhất

Ví dụ 1: (Đề tuyển sinh đại học KA -2005)

Tìm số nguyên dương n sao cho :

Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học KA-2007)

Cho n là số nguyên dương,chứng minh:

1 2

1 2 2

1

6

1 4

1 2

1 2 2

5 2

3 2

1 2

C C

n n

n n

n n

Giải:

Xét các khai triển

1 x 2n C02n C x C x12n  22n 2C x32n 3 C x 2n 2n2n (1)

1 x 2n C0n  C x C x12n  22n 2 C x32n 3 C x 2n 2n2n (2)Trừ vế theo vế (1) và (2) ta được:

mặt khác,

19 19

Thuận lợi: Năm 2013 tôi đặt mục tiêu là hoàn thành chuyên đề “ Sử dụng

công cụ đạo hàm, tích phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một

số bài toán tổ hợp” thì lại trùng với việc tôi được trực tiếp giảng dạy hai lớp

12, mà số đông trong các em là những học sinh quyết tâm sẽ thi vào các trườngĐại học và cao đẳng Đó là thuận lợi đáng kể để tôi áp dụng đề tài này, và tôi tin

là lớp học sinh được tôi truyền đạt chuyên đề này sẽ đạt kết quả khác biệt so vớilớp học sinh có chất lượng tương tự khi tôi cũng trực tiếp giảng dạy các em năm2010

Khó khăn: Tỷ lệ học sinh làm được loại toán này còn rất thấp

Điều này tôi thu được vì cả hai năm lớp 10, 11 tôi đều trực tiếp dạy các em vàsang năm 2013 này tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng làm bài loại toán nàythông qua một số bài kiểm tra đối với học sinh lớp 12C1 và 12C3

Lớp Sỉ số Đạt diểm dưới 5 Tỉ lệ Đạt diểm trên 5 Tỉ lệ

(Khảo sát chất lượng khi chưa đưa chuyên đề này vào giảng dạy)

Tôi hiểu rằng, việc lĩnh hội kiến thức này và rèn luyện kĩ năng của các em họcsinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian Hiện tại nhận thức của học sinh thểhiện khá rõ đó là:

- Các em còn lúng túng trong việc tìm hướng giải quyết cho một bài toán tổ hợp

- Nhiều học sinh có tâm lí sợ loại bài tập này

Đây là chuyên đề đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em Thực sự là khókhông chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải

kiến thức, lẫn phương pháp tới các em Cụ thể là làm thế nào để các em hiểu khi

nào thì bài toán tổ hợp sử dụng được các công cụ trên

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề :

Trong dạy và học toán nhiệm vụ của thầy và trò là tìm ra một phương phápphù hợp để giải các bài tập là quan trọng nhất Như đã nói ở trên, phần giải

quyết vấn đề này, tôi sẽ cố gắng trình bày các bài toán một cách chi tiết, phântích và nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy được khi nào dùng công cụđạo hàm, tích phân hay số phức có hiệu quả cao, giúp học sinh giải quyết bàitoán nhanh, gọn, và chính xác Từ đó tạo cho các em niềm tin sẽ làm bài tốttrong các kỳ thi sắp tới.

Sau đây tôi xin đi vào từng phần cụ thể

1 SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

1.1 Phương pháp

Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức bắt đầu từ những khai triển Newton và phép lấy đạo hàm các đẳng thức đó

Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 1: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần

hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng k

n

n n

Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm

Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 2: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng

1.2,2.3,…,(n-1)n hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2 (không kể dấu) tức là số

- Lấy đạo hàm trực tiếp hàm số đã cho

- Lấy đạo hàm sau khi đã sử dụng khai triển nhị thức Newton hàm số f (x)

đã chọn (Dĩ nhiên ở đây f (x)có dạng có thể dùng công thức khai triển nhị thứcNewton)

-Với phép lấy đạo hàm, ta lựa chọn một giá trị phù hợp cho x, rồi thay vào haibiểu thức và tính đạo hàm

Như vậy tôi nhấn mạnh cho học sinh thấy khi gặp bài toán có chứa hệ số kiểu

a.n ta chú ý ngay đến cách dùng đạo hàm.

Thay x=1, ta có điều phải chứng minh.

Thay x=1 ta có điều phải chứng minh.

Phân tích: do −1 đi kèm với lũy thừa, giữa các số hạng là dấu + nên ta xem như

tổng không đan dấu, chứa tổ hợp của n, mất 0

n

C Ta sử dụng (−1+x)n, đạo hàmcấp 1

(1+x)n= n n

n n

Phân tích: tương tự như bài trên nhưng độ chênh lệch ở đây là 2 nên ta nhân

thêm x 2 trước khi đạo hàm

n

2 n

1 n

Ở bài toán này tôi muốn rèn luyện kỹ năng lựa chọn hàm số

Bài 2 Chứng minh rằng :

2 2

n n 3

3 n 2

2 n 2

1

1)!

(2n )

-n.(C

) 3.(C )

2.(C )

HD : Xét hàm số f(x)= (1+x)n

 Đạo hàm cấp một theo x, hai vế và suy ra x.f’(x) (1)

 Thay x bởi x1, ta được (2)

 Nhân (1) cho (2), ta thu được hệ số của số hạng không chứa x là đẳng thức chứng minh

Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân

Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số 1; ; ; ; ; ; 1 1 1 1

và mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, tanghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp

Bước 2: Lấy tính tích phân cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế

đã khai triển

Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận

Ta sẽ tìm hiểu về phương pháp cơ bản (dùng tích phân hàm đa thức) và các phương pháp bổ sung: Như nhân thêm x,x2, (tất nhiên các phương pháp Truy hồi tích phân hay là Dựa vào tích phân cho trước tôi xin phép sẽ không đề cập ở bài viết này do khuôn khổ của SKKN)

Lưu ý: Khi mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng bk  ak, ta chọn cận từ a đến b, tức

Lưu ý: khi tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng từng tổ hợp một

như trên để tính thì kết quả nhanh hơn

Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều

một đơn vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, ta suy nghĩ hàmlấy tích phân, các cận và số được thay vào cho biến Vì số hạng cuối cùng có hệ

Phương pháp 2: Nhân thêm x,x2, ( Các phương pháp bổ sung).

Thông thường sau khi lấy tích phân hệ số chứa 1

1

k n

C

k  ta phải nhân thêm x trước khi lấy tích phân, còn dạng 1

3

k n

Phân tích: tổng không đan dấu, độ chênh lệch so với dạng cơ bản là 1 nên ta

nhân thêm x trước khi tích phân.

Giải:

n

u n





2 1 0

2

n

u n

1 2 3

3

1

9

1 6

1 3

2 1 0

C

n n

n n

C C

3 3

1

9

1 6

1 3

1 2 1

1 3

1 1

1 3

1 0 3 1

0

3 2

HD: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân.

Tổng không đan dấu, ta sử dụng  

1

n 0

1 x dx

Bài 2 (ĐH Giao thông Vận tải - 1996)

1 2

2

1

8

1 6

1 4

1 2

C C

n

n n

n n n

3 SỬ DỤNG CÔNG CỤ SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

3.1 Phương pháp

Các dấu hiệu nhận biết khi nào thì dùng số phức để tính tổng của các C n k

Đây là vấn đề lớn nhất cần chú ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổngcủa các Ckn khi tổng này có hai đặc điểm:

+ Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau

+ k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một

số dư (trong chương trình phổ thông ta chỉ cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k =3l + 2)

Lưu ý

+ Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường tachọn là x = i) So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong haicách tính

+ Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là

6



 , 4 , 3 ) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phứctrong hai cách tính

+ Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những

số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) Sau đó so sánh phần thực và phần

ảo của cùng một số phức trong hai cách tính

Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựachọn một trong các cách trên Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các C n k trongtổng Để nói chi tiết được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽvượt quá khuôn khổ cho phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi chỉ đưa

ra một số ví dụ minh hoạ cho một vài dạng hay gặp, qua đó người đọc sẽ trả lờiđược câu hỏi cho mình

3 20 C 17 ) 3 ( 1

3 2

1 20 2 3

4π isin 3

3 20 C 3 x) 3 ( 2 20 C 2 x) 3 ( 1 20 x)C

17 20 C 17 3 17.

5 20 C 5 3 5.

3 20 C 3 3 3.

20 C 9 18.3

6 20 C 3 6.3 4

20 C 2 4.3 2

20

π cos 19 2 3 20.

19 i 2

3 2 1 19 2 3 20

i 19 30.2 19

.2 3 10.

i 2

3 2

1 19 2 3 20.

3

19π isin 3

19π cos 19

3 15 C 3 x 4 2 15 C 2 x 1 15 xC

6 15 7C 4 15 5C 2

7 15 8C 5 15 6C 3

24 25 23.24C 22

25 21.22C

8 25 7.8C 6

25 5.6C 4

25 3.4C 2

25 2C

25 22.23C

9 25 8.9C 7

25 6.7C 5

25 4.5C 3

25 2.3C

Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i

So sánh phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau

ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214)

2) Tính các tổng sau:

99 100 C 2 99 97 100 C 2 97 95 100 C 2 95

7 100 C 2 7 5 100 C 2 3 100 C 2 1

IV Hiệu quả của SKKN

Như tôi đã nói ở trên, việc áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 12C1 và12C3, đã thu được kết quả như sau (kết thúc học kì 2 năm học 2012-2013).Lớp Sỉ số Đạt diểm dưới 5 Tỉ lệ Đạt diểm trên 5 Tỉ lệ

Như vậy, qua việc áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy, điều không nằmngoài dự đoán của tôi là kết quả của các em học sinh đã được nâng lên đáng kể.Quan trọng hơn học sinh đã cảm thấy tự tin với loại toán này, tạo được niềmtin và sự hứng thú cho các em trong học tập

C Kết luận:

Qua thời gian viết SKKN và vận dụng chuyên đề này vào giảng dạy, tôi nhậnthấy việc làm này đã thu được kết quả đáng kể từ phía các em học sinh Đâythực sự là một công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn vàchính xác Đồng thời các em đã có được cái nhìn tổng thể về cách giải quyết bài

toán này Điều này phần nào tạo cho các em học sinh có được tâm thế tốt khi

sắp bước vào các kỳ thi quan trọng.

Qua việc ứng dụng đề tài này vào giảng dạy cho học sinh, tôi nhận thấy đây làmột chuyên đề có thể tiếp tục áp dụng cho các năm tiếp theo, đặc biệt rất phùhợp với đối tượng là học sinh khá, giỏi Tất nhiên là phải tiếp tục hoàn thiện đềtài này hơn nữa.

Bài học kinh nghiệm được rút ra từ quá trình áp dụng SKKN của tôi là:

Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạyhọc phù hợp

Người Thầy phải nhiệt tình, gương mẫu, làm cho các em thấy được tinh thầnnghiêm túc và hăng say nghiên cứu khoa học của mình, có vậy học sinh mới noigương Thầy quyết tâm và ham mê học tập, từ đó để các em không cảm thấy áplực trong học tập

Triếp theo là, thường xuyên tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích sự tìm tòihọc tập ở học sinh

Loại toán dùng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức còn rất nhiều dạng,nhưng trong tài liệu này tôi chỉ trình bày một phần nhỏ Trong quá trình thựchiện đề tài, tôi đã nhận được những góp ý quý báu của các đồng nghiệp, Song

do thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài, nên đề tài của tôi không tránhkhỏi còn nhiều hạn chế Rất mong tiếp tục nhận được sự đóng góp khác từ phíađồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình tôi có th ho n thi n h n ể tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình àn thiện hơn đề tài của mình ện hơn đề tài của mình ơn đề tài của mình đề tài của mình àn thiện hơn đề tài của mình ủa mình t i c a mình

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày20 tháng 5 năm 2 013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của người

khác

Nguyễn lạnh Thơm

D Tài liệu tham khảo

1 Giải tích 12 nâng cao, NXB giáo dục năm 2008 Nhóm tác giả Đoàn

Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm,Đặng Hùng Thắng

2 Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học, từ năm học 1997-1998 đến

năm học 2004-2005 NXB Đại học Quốc gia HN của tác giả Doãn Minh

Cường

3 Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng toàn quốc, từ năm

học 2002-2003 đến năm học 2009-2010 NXB Hà Nội của nhóm tác giả

Trần Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường

4 Các phương pháp giải toán sơ cấp Giải tích tổ hợp 12, NXB Hà Nội.

của tác giả Phan Huy Khải (2002)

5 Tuyển tập các đề thi Olympic 30 - 4 môn Toán, NXB Giáo dục của

Ban tổ chức kỳ thi Olympic 30-4

6 Tạp chí toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo dục của Bộ giáo dục đào

tạo-Hội toán học Việt Nam (1996- 2007)

7 Phương pháp trắc nghiệm các hình thức tổ hợp, NXB tổng hợp, TP

Hồ Chí Minh Của nhóm tác giả Nguyễn Đức Đồng, Trần Huyên, NguyễnVĩnh Cận (2006)