viết phương trình đường thẳng trong không gian

---VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN SKKN được xếp loại C cấp tỉnh năm học 2009-2010 Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy cô giáo phải tích cực học tập, k

-VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

(SKKN được xếp loại C cấp tỉnh năm học 2009-2010)

Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy cô giáo phải tích cực học tập, không ngừngnâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác,chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vàothực tế, đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho học sinh

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong việc giải quyết một bàitoán hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhưngtheo tôi, nguyên nhân chủ yếu là khi học hình học toạ độ, học sinh chỉ “giải hình học bằng đại số”,không để ý đến các tính chất hình học

Các phương pháp giải còn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán nào thì chỉ chú trọng tìmcách giải cho riêng bài toán đó mà không có một cách nhìn tổng quát Chính vì vậydẫn đến tình trạng

các em bị lúng túng trước các câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ xoay quanh một vấn đề: Viết

phương trình đường thẳng trong không gian

Với vai trò là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi cùng các thầy côđồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn giản nhất cho một bài toán, làm cho họcsinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ sở đó để sáng tạo Tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của

mình về việc giải quyết bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian đó là :

“Phân dạng và định hướng cách giải cho bài toán viết phương trình đường thẳng

trong không gian”.

Nhưng không phải trong mọi trường hợp, ta đều có thể tìm được một cách dễ dàng hai đại lượng nói trên, và cũng như nhiều vấn đề khác của toán học Bài toán viết phương trình đường thẳng cũng

-chủ yếu có hai dạng: tường minh và không tường

1) Hai điểm mà đường thẳng đi qua

2) Một điểm mà đường thẳng đi qua và véctơ chỉ phương

Dạng không tường minh:

- Các đại lượng để giải quyết bài toán được ẩn dưới một số điều kiện nhất định nào đó, dạng toán này đòi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư duy logíc toán học, vận dụng linh hoạt các điều kiện có trong đề bài

Trong đề tài này tôi xin được bàn về các dạng toán không tường minh, đây cũng là dạng toán chủ yếu xuất hiện trong các kì thi, và học sinh cũng thường găph phải khó khăn trong dạng toán này, trước hết tôi xin được chia nhỏ thành hai bài toán:

Bài toán 1:Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua

Ở bài toán này đề bài chỉ cho biết một điểm đi qua,không cho trực tiếp phương của đường thẳng, buộc học sinh phải xác định phương của đường thẳng dựa vào các điều kiện khác của bài toán

Bài toán 2:Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Ở bài toán này đề bài không cho trực tiếp điểm đi qua và phương của đường thẳng, buộc học sinh phải xác định các đại lượng đó dựa vào các điều kiện của bài toán.

Ngoài việc phân dạng toán, chúng ta cũng cần phải hướng dẫn cho học sinh định hướng cách giai khi đứng trước một bài toán

Trong bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian, người học cần chú ý đến các

điều kiện xác định của đường thẳng trong không gian, tôi đặc biệt chú ý đền hai điều kiện xác định đường thẳng sau:

+) Biết hai điểm đi qua

+) Biết hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm

Và đó cũng là hướng giải quyết chủ yếu cho bài toán mà tôi đưa ra:

Định hướng thứ nhất: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua.

Khi xác định được hai điểm đi qua thì hiển nhiên ta có hai đại lượng cần thiết để hình thành phương trình dạng tham số hoặc dạng chính tắc.

Định hướng thứ hai: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm

Một vấn đề đặt ra ở đây là: phương trình dạng tổng quát của đường thẳng không được trình bày trong sách giáo khoa, vậy nếu học sinh vẫn để dưới dạng tổng quát thì có được chấp nhận hay không? nếu không được chấp nhận thì làm thế nào?

Các khắc phục không có gì khó khăn, các bạn có thể hướng dẫn học sinh chuển về dạng tham số thông qua ví dụ sau:

Suy ra ∆ đi qua M(1; 2;1− ).

+) Đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng nên có một véctơ chỉ phương là tích có hướng của hai mặt phẳng

uuur∆ =n nuur uurα, β= −( 3;3;3)

Vậy ∆ có phương trình dạng tham số: 1 32 3 ( )

nguyên tắc cơ bản để giải bài toán là “ Xác địn điểm đi qua và véctơ chỉ phương” Đa số các em học

sinh từ trung bình trở lên đều có thể tự tin làm được hết các bài tập SGK và bài tập sách bài tập

hình học nâng cao 12 Các em tự đặt câu hỏi: Còn cách giải khác cho bài toán không? Từ đó kích

thích sự tò mò tìm cách giải mới cho mỗi bài toán cụ thể và cũng có nhiều em đã tìm được một số lờigiải khá độc đáo khác cho bài toán Biết kết hợp các kiến thức đã học để giải các bài toán hình học khó hơn

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách giáo khoa Hình học 12 Kiến thức cơ bản về đường thẳng trong không gian lớp 11.Tôi xin được trình bày nội dung

đề tài dưới một số Bài toán cơ bản mà phương pháp giải các bài toán đó được rút ra từ hai định

hướng cớ bản nêu trên.

Bài toán 1:Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua

+) Điểm đi qua đã cho trong đề bài

+) Phương của đường thẳng xác định thông qua các đại lượng, các mối quan hệ

trong bài toán

Ví dụ 1

Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 2;3) và vuông góc với mặt phẳng ( )α : 2x−3y z+ − =2 0

-Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?

1) Đề cho:

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : M(1; 2;3).

+) Mặt phẳng (α) ⇔ có tọa độ các điểm thuộc mặt phẳng và véctơ pháp tuyến:

nuurα(2; 3;1− )

+) Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Các cách giải:

Cách 1:

Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên song song hoặc trùng với giá của véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).Vậy ∆ nhận nuurα(2; 3;1− ) làm véctơ chỉ phương nên có phương trình dạng tham số:

Hệ (I) là phương trình dạng tham số của đường thẳng ∆

(Cách giải thứ 2 được đề xuất từ học sinh)

(P) ⇔ có véctơ pháp tuyến: nuurP(3;1; 5− )

(Q) ⇔ có véctơ pháp tuyến: nuurQ(2; 1;1− )

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ song song với cả hai mặt phẳng, suy ra nó có

phương vuông góc với hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Cách giải:

Từ mối qua hệ giữa đường thẳng ∆ với hai mặt phẳng (P) và (Q) dẫn đến đường thẳng ∆ có một chỉ phương ur=n nuur uurP; Q= − −( 4; 13; 5− )

Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng chính tắc:

: 1 2 5

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : A(−2;1;3)

+) Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M(1; 2; 1− ) và có véctơ chỉ phương uur1(1; 1;1− )

+) Đường thẳng ∆2 đi qua điểm N(−2;3; 1− ) và có véctơ chỉ phương uuur2(−1;2;1)

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng ∆1 và ∆2

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:

Định hướng 1:

+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 nên xác định một mặt phẳng ( )α

+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆2 nên xác định một mặt phẳng ( )β

Vậy đường thẳng ∆ là giao của hai mặt phẳng ( )α và ( )β

Định hướng 2:

+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 tại P.

+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆2 tại Q.

Vậy đường thẳng ∆ cũng là đường thẳng PQ

Từ đó dẫn đến các cách giải

Cách giải:

Cách 1:

• Gọi ( )α là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆ và ∆1.

Vậy ( )α có hai chỉ phương là uuuurAM(3;1; 4− ) và uur1(1; 1;1− ), suy ra pháp tuyến của ( )α :

nuurα =uuuur urAM u; 1= − − −( 3; 7; 4)

• Gọi ( )β là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆ và ∆2.

Vậy ( )β có hai chỉ phương là uuurAN(0; 2; 4− ) và uuur2(−1;2;1), suy ra pháp tuyến của ( )α :

nuurβ =uuur uurAN u; 2=(10; 4; 2)

Suy ra đường thẳng cần tìm có chỉ phương: ur =n nuur uurα; β=(2; 34;58− )

Hay ∆ có phương trình:

2: 1 17

Gọi Q là giao điểm của ∆ và ∆2 Q∈ ∆ ⇒2 Q(− −2 t';3 2 '; 1+ t − +t')

Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đường thẳng ∆ nên thẳng hàng hay:

QA tuuur( '; 2 2 '; 4− − t −t') , uuurPA(− − − +3 t; 1 ; 4t −t)

2'15

Ta có: uuuur urAM u; 1 = − − − ( 3; 7; 4), uuur uurAN u; 2 = (10; 4; 2)

Gọi u a b cr( ; ; ) (a2+ + ≠b2 c2 0) là chỉ phương của đường

thẳng ∆ cần tìm

+) Ba vectơ uuuur ur rAM u u, ,1

đồng phẳng ⇔uuuur ur rAM u u, 1 = ⇔0 3a+7b+4c=0 ( )1

+) Ba vectơ uuur uur rAN u u, ,2

đồng phẳng ⇔uuur uur rAN u, 2.u= ⇔0 10a+4b+2c=0 ( )2

+)Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : A(1; 2;3).

+)Đường thẳng d đi qua điểm 1 M(6;1; 4) và có véctơ chỉ phương uur1(−2; 4; 1− )

A P

+) Đường thẳng d đi qua điểm 2 N(1; 2;3− ) và có véctơ chỉ phương uuur2(2;1; 1− ).

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt d 2

Đường thẳng ∆ vuông góc với d (có thể cắt hoặc không cắt).1

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:

Không thể dựa vào điều kiện ∆ cắt d1 vì mối qua hệ này không chắc chắn xảy ra.

Định hướng 1: (Xác định điểm đi qua)

+)Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d tại P.2

+)Đường thẳng ∆ vuông góc với d nên 1 uuur urAP u⊥ ⇔1 uuur urAP u 1 =0

Suy ra đường thẳng ∆ cũng là đường thẳng PA

Định hướng 2:

+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d nên xác định một mặt phẳng 2 ( )α .

+) Đường thẳng ∆ vuông góc với d nên xác định một mặt phẳng 1 ( )β qua A và

nα =NA u = − −

uur uuur uur

Mặt khác ( )α chứa ∆ nên đi qua A ( )α :x+2z− =7 0

Gọi ( )β là mặt phẳng qua A và vuông góc với d , nên nhận 1 uur1(−2; 4; 1− ) là véctơ pháp tuyến ( )β : 2x−4y z+ + =3 0

Ví ∆ là giao của ( )α và ( )β nên có chỉ phương ur =n nuur uurα, β=(8;3; 4− ) .

Phương trình của đường thẳng ( )

1 8: 2 3

là chỉ phương của đường thẳng ∆ cần tìm a2+ + ≠b2 c2 0

Vì ∆ cắt d nên ba véctơ 2 uuur uurNA u; 2

và ur đồng phẳng:

NA uuuur uur r, 2 = ⇔.u 0 4a+8c= ⇔ = −0 a 2c ( )1

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : A(3; 2; 1− − )

+) Đường thẳng d đi qua điểm M(3; 4; 1− ) và có véctơ chỉ phương ur(1; 5; 2− )

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt d

Đường thẳng ∆ vuông góc với d

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.

Cách giải:

uuuurAM(0;6;0)

Gọi ( )α là mặt phẳng qua A và chứa d nuurα =uuuur rAM u, =(12;0; 6− )

đồng phẳng

Gọi ( )β là mặt phẳng qua A và vuông góc với d nuur rβ =u(1; 5;2− )

Vậy đường thẳng cần tìm có chỉ phương: uur1 =n nuur uurα; β= −( 30; 30; 60− − )

Phương trình của đường thẳng : 3 2 1

Qua các ví dụ trên cho thấy, mỗi bài toán không phải chỉ có một cách giải mà đối với mỗi bài

toán, trong từng trường hợp, học sinh có thể định hướng cho mình nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm của từng bài toán

Có những cách giải thì rất hiệu quả đối với bài toán này nhưng sẽ gặp khó khăn đối với bài toán khác Như ví dụ sau:

Ví dụ 6

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α : 2x y− +2z+17 0= và mặt cầu

( ) ( ) (2 ) (2 )2

S x− + −y + +z = Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với mặt cầu (S) biết tiếp tuyến

đó đi qua M(1;8; 2) và song song với mặt phẳng (α)

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?

1) Đề cho:

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : M(1;8; 2).

+) Mặt phẳng ( )α có véctơ pháp tuyến nuurα(2; 1;2− )

+) Mặt cầu ( )S có tâm và bán kính I(1;3; 2 ,− ) R=3

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆/ /( )α

Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇔ khoảng cách từ tâm I

đến đường thẳng ∆ bằng R

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.

⇔5a2−2ac−3c2 =0

Như vậy bài toán được giải quyết không mấy khó khăn!nhưng nếu sử dụng cách khácthì vẫn

giải được, tuy nhiên khá phức tạp Ví như ta dùng các xác định hai điểm đi qua:

Đề bài đã cho một điểm nên ta chi cần xác định thêm một điểm Điểm có thể tìm được đó là tiếp điểm.

Cách khác: Gọi K x y z là tọa độ tiếp điểm thì ta vẫn có thể tìm được K nhờ các điều kiện sau: ( ; ; )+) K∈( )S , +) MK nuuuuruur α =0, +) uur uuuurIK MK. =0

Bài toán 2:Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Cả điểm đi qua và phương của đường thẳng được xác định thông qua các đại lượng cho trước và các mối quan hệ hình học.

+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến nuurP(1;1; 1− )

+) Đường thẳng ∆1 đi qua M1(−1;1; 2− ) có chỉ phươnguur1(2;3;1)

+) Đường thẳng ∆2 đi qua M2(2;1;0) có chỉ phươnguur1(3; 1;1− )

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ ⊥( )P

Đường thẳng ∆ cắt cả ∆1 và ∆2.

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Cách giải:

Cách 1: (Xác địng hai điểm đi qua)

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng ∆ với hai đường thẳng ∆1, ∆2

+)M ∈∆ ⇒1 M(2−t;3+t;1 2− t)

Cách 2: (Giao của hai mặt phẳng)

Gọi ( )α là mặt phẳng chứa ∆1 và vuông góc với (P)

nuurα =n uuur urP, 1=(4; 3;1− )

Mặt phẳng ( )α có phương trình 4x−3y z+ + =9 0

Gọi ( )β là mặt phẳng chứa ∆2 và vuông góc với (P)

nuurβ =n uuur uurP, 2=(0; 4; 4− − )

Đường thẳng có phương trình: ( )

321

Vì ∆1và ∆2 chéo nhau nên ∆2cắt (α) tại M

Mặt khác ∆1không vuông góc với (P) nên ∆1 cắt đường

thẳng qua M và vuông góc với (P)

Vây đường thẳng cần tìm ∆ là đường thẳng qua M và

Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:

+)Đường thẳng ∆1 đi qua M1(6;1;10) có chỉ phươnguur1(1;2; 1− )

+)Đường thẳng ∆2 đi qua M2(−4;3; 4) có chỉ phươnguuur2(−7; 2;3)

+)Quan hệ: Đường thẳng ∆ vuông góc và cắt ∆1

Đường thẳng ∆ vuông góc và cắt ∆2.

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Cách giải:

Cách 1: (Xác định hai điểm đi qua)

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng ∆ với ∆1 và ∆2

7 10 7 ' 2 2 2 ' 2 3 6 3 ' 0 0

Cách 2: (Đường thẳng là giao của hai mặt phẳng)

Ta có: u uur uur1; 2 = (8; 4;16) su ra đường vuông góc chung có chỉ phương ur(2;1; 4)

Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi ∆ và ∆1.Vậy (α) đi qua điểm M1(6;1;10) và có véctơ pháp tuyến: nuurα =u ur ur; 1= −( 9;6;3) nên có phương trình:

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?

1) Đề cho:

+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến nuurP(1;3; 5− )

+) Đường thẳng d đi qua M(2;1;7) có chỉ phươnguuurd(1; 2;1)

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ ⊂( )P

Đường thẳng ∆ cắt cả d và d⊥ ∆

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Cách giải:

• Điểm đi qua:

Vì đường thẳng ∆ cắt d và nằm trong mặt phẳng (P) nên đi qu agiao điểm của d va (P).Tọa độ giao

điểm là nghiệm của hệ: