Sáng kiến kinh nghiệm www.vnmath.com SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP THƯỜNG GẶP : Trang 1... Sáng kiến kinh nghiệm www.vnmath.com Hệ có nghiệm khi và
Trang 1Sáng kiến kinh nghiệm www.vnmath.com
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
THƯỜNG GẶP
:
Trang 1
Trang 2Sáng kiến kinh nghiệm www.vnmath.com
1 CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ :
Bài 1: Cho 4 số thực x1, x2, x3, x4
chứng minh rằng (x12 +y12)(x22 +y22)(x1 x2+ y1 y2)2
Giải:
Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ : a ( , ); x y b1 1 ( , ) x y2 2
Ta có
2 2
2
( )
a b a b a b a b
vậy (x12 +y12) (x22 +y22)(x1 x2+ y1 y2)2
đẳng thức xãy ra a b// x y1 2 x y2 1
Bài 2: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z
Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
( y , ) ; (0, ) ; ( y z ,0)
A x z B y z C
(1) AB + AC > BC
Ta có AB AC BC với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây
3
2 2 3
( , ) ( , )
y
z
Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể xãy ra đẳng thức AB + AC > BC
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh
Bài 3 Giải bất phương trình:
x1 x 3 2(x 3)22x 2(1)
Giải
Điều kiện x 1
Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ:
( 3, 1)
(1,1)
v
Trang 2
Trang 3Sáng kiến kinh nghiệm www.vnmath.com
2
3
v
Suy ra bất phương trình (1) tương đương u v u v
2 2
3
3 5 2 3 5
x
x x x x x
Vậy x=5 là nghiệm duy nhất
Bài 4
Chứng minh rằng: cos4x 1 sin4x 1 cos 2 , x x R
Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ:
2 2
(cos ,1)
(cos 2 ,0) (sin ,1)
Khi đó, từ
cos 1 sin 1 cos 2 ( )
a b a b
Bài 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
( ) cos 2cos 5 cos 4cos 8
y f x x x x x
Giải
Trong mặt phẳng toạ độ xét các véctơ:
(1 cos ,2)
(2 cos ,2)
Trang 3
Trang 4Sáng kiến kinh nghiệm www.vnmath.com
Khi đó :
2 2
(1 cos ) 2 cos 2cos 5 (2 cos ) 2 cos 4cos 8
3 4 5
a b
từ a b a b
<=> y 5
Dấu “=” xảy ra (chẳng hạn) tại 2
3
x
Vậy miny=5
Bài 6 : T ìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2 2 2 2 2 ( )
y x px p x qx q p q
Gi ải
Ta c ó y ( x p )2 p2 ( x q )2 q2
Trên mp toạ độ lấy hai điểm A(p, q) : B(q,q) Bài toán trở thành: Tìm M(x,0) thuộc Ox sao cho (MA +MB) đạt giá trị nhỏ nhất
Xét hai trường hợp:
- Nếu pq <0 thì A hoặc B trùng O, hoặc A,B nằm về hai phía đối với O Khi đó (MA + MB) nhỏ nhất M trùng O, tức là 2 2
min 2 2 2( )
y p q p q đạt được khi x = 0
- Nếu pq >0 thì A, B nằm cùng phía đối với O (đồng thời nằm cùng phía đối với Ox) Lấy A’ đối xứng với A qua Ox ta có A’(p, -p), đồng thời :
MA MB MA MB A B
Đẳng thức xãy ra A’, M, B thẳng hàng
2 2 min
2 2
( ) ' '
( )
2
' ( ) ( ) 2( )
x p k q p
A M k A B
p k q p p
k
p q pq x
p q
y A B p q p q
p q
đạt được khi x = 2pq/(p+q)
Trang 4
A
A
’
B
M O
x y
Trang 5Sáng kiến kinh nghiệm www.vnmath.com
Bài 7 Giải phương trình:
Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ:
( 1,1) (3 2,5)
(2 3, 4)
2 2 2
Suy ra phương trình (1) tương đương:
u v u v
( 0)
1 4 1 4 1
4 1 4
1 4 7 2
u kv k
k k
k
k x
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 7
2
x
Bài 8:Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Trang 5
Trang 6Sáng kiến kinh nghiệm www.vnmath.com
3 x 6 x (3 x )(6 x ) m
Giải
Đặt u 3 x v ; 6 x
Phương trình đã cho trở thành
2 2 2 2
1 10 2 (1)
9 9 (2)
0, 0 0, 0 (3)
u v uv m
- Phương trình (1) biểu thị 1 đường thẳng thay đổi song song với đường phân giác thứ hai, phương trình (2) biểu diễn 1 đường tròn có tâm tại góc toạ độ và bán kính = 3
Trang 6
Trang 7Sáng kiến kinh nghiệm
www.vnmath.com
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểm chung thoả điều kiện (3)
Vậy Pt có nghiệm khi
3 1 10 2 3 2
6 2 9 3 2
m m
Bài 9: Chứng minh rằng:
a2 a 1 a2 a 1 2, a R
(Hướng dẫn)
Xét hai vectơ
,
2 2
,
2 2
1 2cos x 1 2sin x m
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
( ) cos 6cos 13 cos 2cos 2
y f x x x x x
trên 2004 , 2006
(Hướng dẫn)
Xét hai vectơ
(3 cos , 2)
(1 cos ,1)
2 CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC :
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, các cạnh góc vuông là bvà c, M là một điểm trên
cạnh BC sao cho góc BAM = Chứng minh rằng:
AM =
bc
Giải
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ Khi đó A(0,0) , B(b,0), C(0,c) , M9x,y)
Từ định nghĩa: x = AM cos , y = AM sin
Nên M(AM cos , AM sin )
Do M thuộc BC CM cùng phương v ới CB
x
y c
M y
Trang 8Sáng kiến kinh nghiệm
www.vnmath.com
cos sin
0 ( cos sin ) cos sin
bc AM
Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài các trung tuyến va độ dài bán kính đường tròn ngoại
tiếp lần lượt làm m m R a, b, c,
2
a b c
R
m m m (Đại học y dược TPHCM năm2000)
Giải
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac ABC.Ta có:
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
3 2 (cos 2 cos 2 cos 2 ) 0
9
4
OA OB OC
Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski:
m a m bm c 3(m a2m b2m c2)
Trang 8
A
O c
a
b
Trang 9Sáng kiến kinh nghiệm
www.vnmath.com
2 2 2
2 2 2 2 2
9
4
9
2
a b c
Dấu”=” xảy ra khi tam giác ABC đều
Bài 3: (SGK HH 10)
Cho tam giác ABC cân tại A Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H trên
AC , M là trung điểm của HD Chứng minh AM vuông góc BD
Giải
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ
Khi đó: H(0,0), A(0,a), B(-c,0), D(x,y)
Ta có :
DH AC
AD cung phuong AC
0
x y c a
x y a
c a
Trang 9
D x O=H
A
C
M B
Y
Trang 10Sáng kiến kinh nghiệm
www.vnmath.com
2
2 2 2
2 2
0 x a c
y
a c
Vậy D( 2a2c 2 , 2c2a 2)
a c a c , M là trung điểm của HD nên:
2 2
2 2 2 2
2 3 2 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 4 4 2 4 2
2 2 2 2
a c
M( , )
2( ) 2( )
2a c a -c 2 ( , )( , )
2( ) 2( ) 2a a -c 2a 0
2( ) 2( )
a c a c
BD AM
a c a c a c a c
Vậy BD Vuông góc AM (đpcm)
Bài 4 (Đề thi HSG toàn quốc – Năm 1979)
Điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC Chứng minh giá trị của
MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí của M
Giải
Gọi I,R là tâm và bán kính của đường tròn (c) ngoại tiếp tam giác đều ABC Dựng hệ trục như hình vẽ, ta có (0,0); ( 3 , 3 ); ( 3 , 3 ); ( ,0)
2 2 2 2
2 2 2 2
( , ) ( )
2
M x y C MI R
MI R x y Rx
Ta có
2
4 4 4 2 2 2 2 2
2
3 3 ( ) ( ) ( )
2 2
3 3 ( ) ( )
2 2
2 2 2 4 3
2 2 2 4 3
(2 ) (3 3 ) (3 3 )
6 6 18 12
6 ( ) 18 12
6 2 18 12 18
Rx R Rx R y R Rx R y
R x R y R R x
R x y R R x
R Rx R R x R
Vậy giá trị MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí M
B ài 5 (Đ ề thi v ô đ ịch Anh - n ăm 1981)
Trang 10
Trang 11Sáng kiến kinh nghiệm
www.vnmath.com
Cho tam giác ABC cân tại A D là trung điểm cạnh AB, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, E là trọng tâm của tam giác ACD Chứng minh IE vuông góc CD
Gi ải
Chọn hệ trục như hình vẽ (O là trung điểm của BC)
Khi đó : O(0,0); A(0,a); B(-c,0); C(c,0); D(-c/2, a/2); E(c/6,a/2),(a,c>0)
Gọi I(x, y)
Giả thiết suy ra
2 2
( , ).( , ) 0
2 2 ( , ).(2 , ) 0 0
2
c a
DI BA x y c a
OI BC x y c o
x
a c y
a
V ậy (0, 2 2)
2
a c I
a
2 3 2 2
( , )( , ) 0
6 2 2 2 4 4 ( )
c c c a c c
IE DC
a
IE DC dpcm
IV CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1 CÁC BÀI ĐẠI SỐ:
Bài 1:Giải hệ phương trình
2 2 2
3 3 3
1 1 1
x y z
x y z
x y z
Giải
0 0 0 0 0 0
( , , ) ; ( , , )
u x y z v x y z
trong đó u( , , )x y z0 0 0
Là nghiệm tuỳ ý (nếu có) của hệ đã cho
0 0 0
u v x y z
0 0 0 0 0 0
1 ; 1 2( 1
u v x y y z z x
Vậy u v . 1 u v .
Do đó u v u v . .
Trang 11
x
y
I O E A
D
Trang 12Sáng kiến kinh nghiệm www.vnmath.com
Dấu bằng xãy ra
0 0
0 0
0 0
0 0 0
1 1 1
1
x y
y z
z x
x y z
Từ đó suy ra
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 ; 1 ; 0
0 0 1
Thử lại ta được hệ đã cho có 3 nghiệm (1,0,0) ; (0,1,0) : (0,0 ,1)
Bài 2 : Giải bất phương trình:
x 1 2x 3 50 3 x 12
Giải
Điều kiện:
1
50 3
x
x
Trong mặt phẳng Oxy xét các vectơ:
(1,1,1)
u
3
u
Suy ra(1) u v u v
Đẳng thức này luôn đúng
Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là3 50
2 x 3 a2
Bài 3
Giải hệ:
3
3 3 3 3
x y z
Trang 12
Trang 13Sáng kiến kinh nghiệm www.vnmath.com
Giải
Xét trong Không gian Oxyz các vectơ:
( , , ) (1,1,1)
v
2 2 2 3 3
0
1
u
u v x y z
(Thoả (1) Vậy: x=y=z=1 là nghiệm duy nhất của hệ (1)
Bài 4 : Cho a, b là hai số thực tuỳ ý Chứng minh rằng
2 2
1 ( )(1 ) 1
2 (1 )(1 ) 2
a b ab
Giải
Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề - các vuông góc Oxyz, đặt
2 2
2 2
(1, ,0) (1, ,0)
1 cos( , )
1 1 sin( , )
1 1
u a
ab
u v
a b
u v
2(1 )( ) sin 2( , ) 2sin( , ).cos( , ) 1
(1 )(1 )
ab a b
u v u v u v
1 ( 2)(1 2) 1
2 (1 )(1 ) 2
a b ab
3 CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 1
Trang 13
Trang 14Sáng kiến kinh nghiệm
www.vnmath.com
Cho tam diện oxyz A, B, C lần lượt là các điểm di động trên ox, oy, oz sao cho:
1 1 1 1
2005
OA OB OC
Chứng minh rằng: (ABC)luôn luôn đi qua một điểm cố định
Giải
Chọn hệ trục toạ độ vuông góc oxyz (như hình vẽ )
Sao cho: A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(với OA=a,OB=b,OC=c)
Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là:
x y z 1
a b c
Hơn nữa: 1 1 1 1
2005
a b c (Do giả thiết)
M (2005,2005,2005) mp ABC ( )
=>mp(ABC)luôn đi qua điểm cố định
M(2005,2005,2005)
Bài 2:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, AA’ = c.
a/ Tính diện tích của tam giác ACD’ theo a, b, c b/ Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC Hãy tính thể tích của tứ diện D’DMN theo a, b, c
Giải
a/ Ta lập hệ trục toạ độ vuông góc có gốc trùng với đỉnh A, các trục có phương trùng với AB AD; ; AA'
Khi đó : A(0,0,0) , C(a,b,0) , D’(0,b,c)
Trang 14
o x
A
B y z
Trang 15Sáng kiến kinh nghiệm
www.vnmath.com
2 2 2 2 2 2
( , ,0); ' (0, , );[ , ] ( , , )
1 [ , ] ' 2
1 2
AC a b AD b c AC AD bc ca ab
S ACD AC AD
b c c a a b
b/ Dễ dàng tính được
3 8
1 '
ab
S DMN
abc
V S DMN DD
Bài 3:Cho hai nửa mp (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến (d) Trên (d)
lấy AB = a (a là độ dài cho trước) Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (d) và ở trong (Q) lấy điểm N sao cho BN = a22
b .
a/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BMN) theo a, b
b/ Tính MN theo a , b Với giá trị nào của b thì MN có độ dài cực tiểu Tính độ dài cực tiểu đó
Giải
a/ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A trùng với gốc toạ độ (A(0,0,0)): B có toạ độ (0,a,0); N có toạ độ (a2, ,0a
b ) Ta có
2
2 2
2 2 2
(0, , ) ( ,0,0)
0 [ , ] ( , , ) (0, , )
0 0 0 0 (0,1, 1)
BM a b
a BN
b
b a b
a b
b b a
Do đó mp(BMN) qua B(0,a,0) và có VTPT là v (0,1, 1)
Phương trình của mặt phẳng này là:
(y – a).1 – (z – 0) = 0 hay y – z - a = 0
Khoảng cách từ A(0,0,0,) đến mặt phẳng đó là :
1 1 2
4
( a , , ) a
Trang 15
D
D’ C’
B’
A’
B
C
b
A
z
x
B
N M
Trang 16Sáng kiến kinh nghiệm
www.vnmath.com
MN a a (bất đẳng thức Côsi)
MN có độ dài cực tiểu
4 2 2
3
3
a
b MinMN a khi b a
Bài 4: Cho một góc tam diện ba mặt vuông góc Oxyz Lấy lần lượt trên Ox, Oy,Oz
các điểm P, Q, R khác điểm O Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm của PQ, QR, RP Chứng minh rằng nếu góc nhị diện cạnh OA của tứ` diện OABC là góc nhị diện vuông thì hai góc
B và C của tam giác ABC thoả hệ thức tgB.tgC = 2
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz sao cho P(2a,0,0) ; Q(0,2b,0) ;R(0,0,2c) Khi đó:
A(a,b,0) ; B(0,b,c) ; C(a,0,c)
Pháp véc tơ của mặt phẳng (OAB) và (OAC) lần lượt là:
1 2
( , , ) ( , , )
n bc ac ab
n bc ac ab
Góc nhị diện cạnh OA vuông khi và chỉ khi:
2 2 2 2 2 2
1. 2 0
n n b c a c a b
Trong tam giác ABC ta có:
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
b c a c a b tgB
a
b c a c a b tgC
b
Vậy tgB tgC b c2 2 a c2 22 2 a b2 2 2 a b2 22 2 2( dpcm )
a b a b
Bài 5: Cho tam giác vuông goc ở A.tìm quỹ tích các điểm M trong không gian thoả mãn :
MB2MC2 MA2
Giải
Trang 16
z
A,O
Trang 17Sáng kiến kinh nghiệm
www.vnmath.com
Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz sao cho A trùng O, B(b,0,.0),C(0,c,0)
( Với AB =b>0,AC=c>0)
Khi đó M(x, y, z) thoả :
MB2MC2MA2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
0 ( , ,0)
x b
y c z
M b c
Vậy quỹ tích cần tìm chỉ có một điểm duy nhất M(b,c,0)
www.vnmath.com
C KẾT LUẬN
Trên đây là một số bài toán đại số và hình học trong mặt phẳng cũng như trong không gian Nếu khéo léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ và toạ độ thì có thể chuyển thành bài toán đại số hoặc giải tích và tìm ra lời giải ngắn gọn, phần nào làm sáng tỏ vấn đề mà tôi đưa ra Trong quá trình viết, do thời gian và kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên chắc không tránh khỏi nhiều thiếu sót, mong các thầy cô góp ý Tôi xin chân thành cảm ơn
Hiệp Hịa, tháng 1 năm 2012
Người viết
Nguyễn Cảnh Phong
Trang 17
Trang 18Sáng kiến kinh nghiệm www.vnmath.com
Trang 18
Trang 19Sáng kiến kinh nghiệm www.vnmath.com
Trang 19