thiết kế bộ điều khiển có sử dụng giảm bậc mô hình ứng dụng cho bài toán điều khiển cân bằng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP NGUYỄN VĂN CƯỜNG THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN CÓ SỬ DỤNG GIẢM BẬC MÔ HÌNH ỨNG

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

NGUYỄN VĂN CƯỜNG

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN CÓ SỬ DỤNG GIẢM BẬC MÔ HÌNH ỨNG DỤNG CHO BÀI

TOÁN ĐIỀU KHIỂN CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa

Mã số: 60520216

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

Thái Nguyên, 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Nguyễn Văn Cường

Sinh ngày 20 tháng 04 năm 1973

Học viên lớp cao học khoá 14 - 02 Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa - Trường đại học kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên

Hiện đang công tác tại : Trường Cao đẳng Nghề - Bắc Giang

Xin cam đoan luận văn “Thiết kế bộ điều khiển có sử dụng giảm bậc

mô hình ứng dụng cho bài toán điều khiển cân bằng ” do thầy giáo TS Nguyễn Văn Chí hướng dẫn là công trình nghiên cứu của riêng tôi Tất cả

các tài liệu tham khảo đều có nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng

Tôi xin cam đoan tất cả những nội dung trong luận văn được thực hiện đúng như nội dung trong đề cương và yêu cầu của thầy giáo hướng dẫn

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 7 năm 2014

Học viên

Nguyễn Văn Cường

LỜI CẢM ƠN

Sau thời gian nghiên cứu, làm việc khẩn trương và được sự hướng dẫn tận

tình giúp đỡ của thầy giáo TS Nguyễn Văn Chí, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài “Thiết kế bộ điều khiển có sử dụng giảm bậc mô hình ứng dụng

cho bài toán điều khiển cân bằng ”

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới:

Thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Chí đã tận tình chỉ dẫn, giúp đỡ

tôi hoàn thành luận văn

Các thầy cô giáo Trường Đại học kỹ thuật công nghiệp Thái Nguyên và một số đồng nghiệp, đã quan tâm động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình

học tập để hoàn thành luận văn này, đặc biệt là TS Đào Huy Du đã hướng

dẫn rất nhiều về kiến thức, cung cấp tài liệu, tiến hành thực nghiệm

Mặc dù đã cố gắng hết sức, song do điều kiện thời gian và kinh nghiệm thực tế của bản thân còn ít, cho nên đề tài không thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tôi mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn bè đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 7 năm 2014

Học viên

Nguyễn Văn Cường

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ iv

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH 1.1 Lý do cần phải giảm bậc mô hình 3

1.2 Mô tả hệ thống tuyến tính hệ số hằng -LTI 4

1.3 Các công cụ toán học sử dụng trong giảm bậc mô hình 5

1.3.1 Cơ sở toán học 5

1.3.2 Các công cụ giảm bậc mô hình 6

1.3.3 Các phương pháp giảm bậc mô hình 13

1.4 Kết luận chương 1 21

CHƯƠNG 2: THI T B ĐIỀU HI N CHO H TH NG HAI BÁNH T C N B NG 2.1 Mô hình x hai bánh X2T 23

2.2 Mô hình hóa X2T 24

2.3 Thiết kế bộ điều khiển cho X2T 29

2.4 Kết luận chương 34

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH CHO BÀI TOÁN ĐIỀU HI N C N B NG 3.1 Phương pháp MODAL TRUNCATION 35

3.2 Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc cho hệ thống điều khiển cân bằng X2T 41

3.3 Kết quả thực nghiệm điều khiển trên mô hình X2T hai bánh tự cân bằng 42

3.4 Kết luận chương 3 44

T LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRI N 46

TÀI LI U THAM HẢO 48

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình1 1: Phân chia mô hình hệ thống 8

Hình1 2: Phân chia mô hình hệ thống thành hệ con trội và hệ con yếu 8

Hình1 3: Tổ chức của mô hình hệ thống 9

Hình 2 1: Mô hình của hệ x hai bánh tự cân bằng 23

Hình 2 2: Mô hình hóa X2T hai bánh 24

Hình 3 1 Đáp ứng h(t) hệ gốc và các hệ giảm bậc 40

Hình 3 2 Sơ đồ mô phỏng hệ thống điều khiển cân bằng X2T dùng bộ điều khiển giảm bậc 3 41

Hình 3 3 Kết quả mô phỏng hệ thống điều khiển cân bằng X2T di động hai bánh sử dụng bộ điều khiển đủ bậc và bộ điều khiển giảm bậc 3 41

Hình 3 4 Đáp ứng của hệ thống x hai bánh từ cân bằng sử dụng bộ điều khiển giảm bậc 3 43

Hình 3 5 Đáp ứng của hệ thống x hai bánh từ cân bằng sử dụng bộ điều khiển giảm bậc 3 khi có nhiễu 43

Hình 3 6 Đáp ứng của hệ thống x hai bánh tự cân bằng sử dụng bộ điều khiển giảm bậc 3 khi thay đổi tải lệch tâm 44

Bảng 3 1 Tham số của các hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái và mô hình hàm truyền 38

LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay vấn đề điều khiển các vật thể chuyển động mà vẫn duy trì được vị trí cân bằng đang là bài toán được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong nhiều l nh vực như điều khiển di chuyển tịnh tiến X2T, điều khiển xe hành trình, điều khiển nòng pháo trong khi x tăng di chuyển v.v Đã có rất nhiều phương pháp khác nhau nhằm thực hiện nhiệm vụ này như dùng bộ

điều khiển Kahanl truyền thống, bộ điều khiển STR (Self Tuning Regulator) Tuy nhiên, bài toán điều khiển di chuyển mà đảm bảo cân

bằng trong thực tế phải đối mặt với rất nhiều khó khăn như: thông số của đối tượng điều khiển thay đổi, tác động xấu của nhiễu đo, tác động của nhiễu hệ thống Do vậy khi các X2T di chuyển làm việc với yêu cầu độ ổn định và

độ chính xác cao thì các bộ điều khiển trên thể hiện các hạn chế, để thực hiện cùng một lúc yêu cầu điều khiển này, bộ điều khiển thiết kế được thường có bậc rất lớn, cùng với các cơ cấu thích nghi để điều khiển hệ sao cho chất lượng đảm bảo các chỉ tiêu đã định Bậc của bộ điều khiển lớn có thể đảm bảo được việc nâng cao chất lượng điều khiển, tuy nhiên có nhược điểm là khả năng thực hiện sẽ khó khăn, máy tính sẽ phải tính toán khối lượng nhiều hơn, tốn tài nguyên của hệ thống và đặc biệt là không đảm bảo tính đáp ứng thời gian thực, khi không đảm bảo tính thời gian thực thì vấn

đề cân bằng của hệ lại không đảm bảo Để giải quyết vấn đề này người ta sử dụng phương pháp giảm bậc bộ điều khiển, có ngh a là từ bộ điều khiển bậc cao người ta sẽ chuyển về bộ điều khiển có bậc thấp hơn mà vẫn giữ được chất lượng chấp nhận được cho hệ thống

Hiện nay xe di chuyển bằng hai bánh đặt dọc tự cân bằng (X2T)

đang được nghiên cứu và ứng dụng để chế tạo các phương tiện di chuyển cá nhân, xe này có đặc điểm là tự cân bằng (không bị đổ) trong tất cả các trường hợp đó là khi đứng yên và khi di chuyển Với mong muốn ứng dụng phương pháp giảm bậc mô hình ứng dụng cho bài toán điều khiển cân bằng cho X2T, để điều khiển đồng thời di chuyển và cân bằng của X2T vì vậy tác

giả lựa chọn đề tài: “Thiết kế bộ điều khiển có sử dụng giảm bậc mô hình cho bài toán điều khiển cân bằng”

Với đề tài trên, tác giả luận văn tập trung nghiên cứu các nội dung sau:

 Nghiên cứu một số phương pháp giảm bậc mô hình, so sánh ưu nhược điểm của các phương pháp đó

 Nghiên cứu xây dựng mô hình toán của X2T

 Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho X2T sử dụng phương pháp

 Cài đặt vào X2T, tiến hành thực nghiệm và thu nhận kết quả Với nội dung trên, luận văn bố cục gồm các phần sau:

Lời nói đầu: Đưa ra vấn đề cần phải giảm bậc mô hình của bộ điều khiển,

Phần cuối là kết luận và các hướng nghiên cứu tiếp

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 7 năm 2014 Học viên

Nguyễn Văn Cường

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN GIẢM BẬC

MÔ HÌNH

1.1 Lý do cần phải giảm bậc mô hình

Đối với các mô hình toán học mô tả những hệ thống vật lý có kích thước lớn, yêu cầu độ chính xác trong thiết kế, dự báo hay mô phỏng hệ thống… và tốc độ hiệu suất hoạt động (như trong các thiết bị điện tử) cho kết quả phức tạp và hệ thống vật lý phức tạp Trong các bài toán lớn, mô hình hệ thống được mô tả bởi các phương trình toán học Với các phần tử hữu hạn, các mô hình toán học do có khoảng 60000 trạng thái thậm chí lớn hơn nữa và đòi hỏi nhiều hơn hai ngày tính toán (trên một máy tính cá nhân) để trả về những kết quả như thế nào với các dữ liệu đầu vào hiện tại Điều này làm cho việc tính toán phức tạp và nhu cầu thời gian(do thiếu khả năng tính toán và lưu trữ của công nghệ hiện tại)

Giả sử có một hệ thống đòi hỏi nhiều trạng thái, trong đó việc mô phỏng một số trạng thái sẽ cho ra hệ có kết quả kéo dài (thời gian mô phỏng thực), tức là đầu ra của hệ dộng học là một phần của đầu vào và do đó sẽ tham gia vào kiểm định toàn bộ hệ động học Sau đó, thời gian và độ phức tạp tính toán trong trường hợp này cần được giảm đáng kể để thực hiện cho việc mô phỏng và thiết kế hệ thống

Giảm mô hình trở nên quan trọng bởi vì các thuật toán giảm mô hình nhằm mục đích để tạo ra các hệ thống thấp chiều mà nắm bắt đặc điểm đáp ứng giống như các hệ thống ban đầu trong khi cho phép cải thiện đáng kể trong thời gian mô phỏng và kết quả là yêu cầu lưu trữ giảm đáng kể Nói cách khác, các kết quả giảm các mô hình thấp chiều biểu diễn các hệ thống ban đầu cho một dung sai lỗi nhất định th o quy định và bảo tồn các tính năng cần thiết

Giảm mô hình cho thấy các ứng dụng của nó trong một loạt các l nh vực như phản ứng hóa học, mô hình mờ, dự báo tăng sóng, xây dựng dân dụng, mô phỏng mạch và rất nhiều các l nh vực khác nữa Đối với đề tài này

đề cập đến hệ thống tuyến tính hệ số hằng, đây là một hệ rất phổ biến trong thực tế

1.2 Mô tả hệ thống tuyến tính hệ số hằng -LTI

Cho hệ tuyến tính hệ số hằng (Linear Time Invariant) có thể biểu

diễn bằng phương trình như sau:

y t là đầu ra của  tại thời điểm t, n là bậc của hệ thống , m là số

lượng đầu vào và p số lượng đầu ra Nếu E = I, hệ LTI (1.1) được mô tả:

Nếu m = p = 1 thì (1.1), (1.2) được gọi là hệ một đầu vào một đầu ra

(SISO) và nếu m > 1 và p> 1, nó là một hệ nhiều đầu vào nhiều đầu ra (MIMO)

Với hệ LTI  (1.1), mối quan hệ giữa đầu vào-đầu ra của nó trong miền tần số được xác định bởi hàm truyền:

Tương tự, hàm truyền của (1.2) là:

1.3 Các công cụ toán học sử dụng trong giảm bậc mô hình

Hầu hết các phương pháp điều khiển đều dựa trên cơ sở mô hình toán

học của đối tượng điều khiển (còn gọi là hệ động học cần điều khiển) Tuy

nhiên trong thực tiễn thường gặp những hệ động học mô tả bởi mô hình toán học phức tạp, có bậc rất cao dẫn tới việc nắm bắt trạng thái hoạt động của hệ phục vụ cho mục tiêu phân tích hệ gặp không ít khó khăn và càng khó khăn khi muốn tổng hợp và điều khiển hệ Những việc đó hiển nhiên sẽ trở nên dễ dàng hơn khi sử dụng một mô hình đơn giản hơn, bậc thấp hơn được chọn sao cho có các đặc điểm quan trọng của mô hình bậc cao Do vậy vấn đề giảm bậc

mô hình được đặt ra là rất cần thiết và rất hữu ích trong việc thiết kế hệ thống điều khiển đối tượng

Trong thực tế, hầu hết các hệ động học có động học là phi tuyến, tuy nhiên đa số các hệ này có thể đưa về dạng mô hình động học tuyến tính với những giả thiết nhất định Vì vậy, hầu hết những công trình liên quan đến giảm bậc mô hình đã được công bố trên các tạp chí khoa học trong nước và quốc tế đều áp dụng cho đối tượng có động học tuyến tính

Ánh xạ M: Rk  Rn: chiếu từ không gian véc tơ Rk

đến không gian véc tơ Rn

– tương ứng sẽ xác định được một ma trận M của ánh xạ M có kích thước là (k x m) hay MRkxm – tập các ma trận số thực có kích thước (k x m)

K r(M) là hạt nhân của ánh xạ M – là tập tất cả các phần tử của Rk

có ảnh là Rn (tập rỗng), k r(M) là không gian con của Rk

Ker(M) := {x  xRk, M(x) = } Im(M) là ảnh của ánh xạ M – là tập tất cả các phần tử của Rn

là ảnh của

ít nhất một phần tử của Rk Im(M) là không gian con của Rn

Im(M) := {y  yRn, xRk, M(x) = y}

MT là ma trận chuyển vị của ma trận M, M chuẩn của một ma trận,

MF : là chuẩn Eculid của ma trận M (hay chuẩn Frobenius), M2 : là phổ tiêu chuẩn – chuẩn bậc 2 của ma trận M, v chuẩn của một véctơ trong không gian Eculid Rn

1.3.2 Các công cụ giảm bậc mô hình

Giảm bậc mô hình bao gồm một sự cân bằng giữa bậc mô hình và mức

độ mà các đặc tính của đối tượng được phản ánh trong mô hình Do tầm quan trọng của các đặc tính của đối tượng phụ thuộc rất nhiều vào ứng dụng của đối tượng, vì thế không thể có thuật toán giảm bậc chung Cách tốt nhất có thể

hy vọng được là cho một bộ công cụ giảm bậc mô hình tốt và một số hướng dẫn sử dụng kèm th o

Trong phần này, chúng ta sẽ minh họa một cách phân tích thành phần chính có thể áp dụng cho bài toán giảm bậc mô hình trong trường hợp mô hình đủ bậc ổn định tiệm cận Mục đích là để thể hiện ý tưởng về giảm bậc

mô hình bằng cách đưa vào phép chiếu (ánh xạ) tín hiệu th o quan điểm lý thuyết thực hiện tối thiểu Các kết quả là khả quan nhưng chưa hoàn thiện; nghiên cứu trọng tương lai sẽ giúp hoàn chỉnh các quan điểm và hoàn thiện các công cụ

Trong phần này một mô hình giảm bậc (AR, BR, CR) sẽ được đánh giá bằng ma trận đáp ứng xung của nó Sai số của ma trận đáp ứng xung

đặc trưng cho sai số Ta sẽ nói rằng một mô hình giảm bậc là “tốt” nếu thành phần chính lớn nhất của He(t) trong khoảng [0,) là “nhỏ” so với thành phần chính nhỏ nhất của C AtB, có ngh a là nếu

1/2 1/2

hệ tọa độ đầu ra có thể được áp dụng như sau:

trong đó hệ thống con (AR ,BR , CR) có ma trận đáp ứng xung giống như mô hình đầy đủ bậc Điều này được minh họa trên hình 1.1

Hình 1 1: Phân chia mô hình hệ thống

Ý tưởng chính của việc giảm bậc mô hình ở đây là loại bỏ bất kỳ hệ con yếu nào ít đóng góp vào ma trận đáp ứng xung Nói cách khác, ta sẽ cố gắng tổ chức lại (sắp xếp lại) mô hình đủ bậc với một phép chuyển đổi tọa độ nội được minh hoạ trên hình 1.1 Điều này mặc nhiên xác định ý ngh a của hệ thống con trội: nó là một trong những hệ thống con có ma trận đáp ứng xung gần (đã được đề cập ở phần đầu của đoạn này) với mô hình đầy đủ bậc

Hình 1 2: Phân chia mô hình hệ thống thành hệ con trội và hệ con yếu

Ở đây chúng ta phải đối diện với lỗ hổng lý thuyết Ta không thể sử dụng định ngh a tính trội này một cách trực tiếp được và thay vào đó, chúng tôi giới thiệu khái niệm tính trội nội, phần đã được trình bày trong phần 2.2.1-2.2.3 Tới cuối phần này, một phỏng đoán sẽ được đưa ra liên quan đến mối quan hệ giữa khái niệm này và tính trội thực tế

Hệ con không đóng góp vào ma trận đáp ứng xung

Mô hình bậc thấp thu được bằng cách cắt đứt các liên kết

Ar, Br, Cr

Hệ con yếu

Hệ con trội

Ar, Br, Cr

Tính trội nội

Hình 1 3: Tổ chức của mô hình hệ thống

Xét tổ chức của (A,B,C) được chỉ ra trong hình 1.3 Nói một cách đơn giản, tính trội nội của (AR ,BR , CR) có ngh a là việc kiểm tra những tín hiệu bơm vào bao gồm d1, x1 nhằm đưa ra các thành phần tín hiệu mạnh hơn nhiều

so với các kiểm tra tương ứng tại tập đầu ra thứ 2 d2, x2

Rõ ràng, nếu tính trội nội liên quan đến tính trội thực tế, thì nó là bất biến dưới tác động của phép chuyển tọa độ của x t1( ) T x t x t1 1( ), ( )2 T x t2 2( ), nhưng các đáp ứng để các kiểm tra lại thì không bất biến khi thực hiện các phép chuyển tọa độ đó Một lần nữa ý tưởng cân bằng có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề này

Trong dạng ma trận, chúng ta có thể biểu diễn mô hình với một biến đổi tùy ý x t1( ) T x t x t1 1( ), ( )2 T x t2 2( ) như sau:

+

+ +

+

+ +

Định nghĩa 1.2: Hệ thống (A R ,B R , C R ) là một hệ thống con có tính con trội nội nếu trong một số hệ tọa độ của mô hình đầy đủ bậc (A, B, C) có thể được

tổ chức để cân bằng đối với X 1 , X 2

i i

1 4 1

là đúng, thì

2 2 1

4 1

4 2

X2 và thoả mãn

F F

2 2 2

) ( ˆ )

(

2

1 2 1

t x

t x P P t x

) ( )

( ˆ

) ( ˆ

2 1 2

1

t x Q

Q t

x

t x

T Q P

1

4 2

do đó, chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng tính trội nội có hệ quả là

F

T F

T

Q P Q

Để xác định mối quan hệ trên, thấy rằng

 1 22

1 ˆ

P

P dt e B B e

T

T t

A T t

Q

Q dt e C C

T t

A T t

2 2

2 2

1

2 1 1

2 1

2 1

ˆ

ˆ

Q Q

P P

Q Q

P P

T T

T T

F F

T

Q P Q

P        

2 2

1 1

Kết quả của định đề 1.3 gợi ý một bước tự nhiên đầu tiên trong giảm bậc mô hình là: tính toán mô hình cân bằng nội và kiểm tra các dạng bậc 2 Nếu điều kiện (1.8) là không thoả mãn thì không có hệ thống con có tính trội nội Nếu điều kiện (1.8) là thoả mãn, thì hệ thống con tương ứng với k biến trạng thái đầu tiên của mô hình là có tính trội nội, cân bằng nội và ổn định tiệm cận Hệ thống con này chính là hệ thống con ta thu được từ việc áp dụng

tính toán th o lý thuyết thực hiện tối thiểu sử dụng (IK 0)T như là cơ sở tính toán cho Xco

Ta trở lại với vấn đề tính trội và tính trội nội Một hệ thống con có tính trội nội có thể được kiểm tra tính trội bằng cách áp dụng phân tích các thành phần chính của ma trận sai lệch đáp ứng xung He(t) Một câu hỏi khá thú vị là

có thể tồn tại hay không một hệ thống con trội bậc k tương ứng với một hệ thống con có tính trội nội bậc k được hay không ?

1.3.3 Các phương pháp giảm bậc mô hình

1 Giảm bậc mô hình dựa trên các phương pháp Moment-Matching

Trong phần này, công thức toán học của mô hình giảm dựa trên phương pháp moment-matching được giới thiệu Tiếp th o sẽ khảo sát ngắn gọn các

kỹ thuật hiện tại của dạng này Đối với việc nghiên cứu rộng rãi hơn các kỹ thuật, x m trong [1] và các tài liệu tham khảo trong đó

ˆ( ) ˆ( ˆ) 1ˆ ˆ

k

Bây giờ người ta có thể viết ra các bản mở rộng Laur nt của hàm truyền (1.10) và (1.12) về s0 như sau:

b Phương pháp không gian con Krylov hữu tỷ

Ba phương thức không gian con Krylov khác nhau được trình bày đó là: Pad' via Lanczos (PVL), thuật toán PRIMA(Passiv R duc d-Order Int rconn ct Macromod ling Algorithm) và nội suy hữu tỷ đa điểm

Padé via Lanczos (PVL)

PVL đã được đề xuất bởi F ldmann và Fr und [2] vào năm 1995 Với một hệ thống LTI = (E, A, B, C, D), kỹ thuật này sử dụng các thủ tục song trực giao Lanczos để xây dựng hai ma trận chiếu mong muốn như sau:

1 0 1 0

T k

lượng những thời điểm thích ứng giữa các mô hình ban đầu và mô hình giảm

là hai lần kích thước của các mô hình giảm ˆ được chia cho số đầu vào,

ngh a là, l = 2k/m Tuy nhiên, sự ổn định và tính thụ động của hệ thống giảm

không đảm bảo Ngoài ra, từ việc xây dựng các phép chiếu thông qua các thủ tục Lanczos phụ thuộc vào điểm mở rộng quy định trước, phương pháp này là cục bộ trong tự nhiên Do đó, không tồn tại giới hạn lỗi toàn cục Năm 1999, Bai et al [3] đề xuất một số ước tính lỗi cho vấn đề giảm bớt Tuy nhiên, phân tích này là hạn chế đối với hệ thống SISO và ước lượng sai số phụ thuộc nhiều vào các điểm mở rộng và vào các đặc tính hệ thống

Phương pháp PRIMA (PRIMA)

PRIMA (Passive Reduced-Order Interconnect Macromodeling Algorithm) đã được đề xuất bởi Odabasioglu t al [4] vào năm 1998 Với một

hệ thống LTI = (E, A, B, C, D), thuật toán sử dụng một khối giai thừa Arnoldi như là phương pháp cốt lõi của nó để xây dựng các ma trận chiếu mong muốn như sau:

ứng là l=k/m Ngoài ra, hệ giảm được chứng minh là ổn định và thụ động

Tuy nhiên, thuật toán này là chuyên dụng trong đó chỉ ứng dụng kết quả cho các hệ thống LTI từ một dạng phân tích sự biến đổi Ngoài ra, tương tự như PVL, phương pháp này là cục bộ bởi vì việc xây dựng phép chiếu thông qua các thủ tục Arnoldi phụ thuộc vào điểm mở rộng định trước Vì vậy, không tồn tại giới hạn lỗi toàn cục Trong năm 2005, trong luận án tiến s , H r s [5] cung cấp một số x m xét trực quan để kiểm soát lỗi của PRIMA Tuy nhiên, ước lượng sai số phụ thuộc đáng kể trên điểm nội suy

Phương pháp nội suy hữu tỷ

Các thuật toán nội suy hữu tỷ đa điểm (Multipoint Rational Interpolation) để giảm mô hình đã được đề xuất bởi Grimm [6] vào năm

1997 và Skoogh [7] vào năm 1998 Phương pháp này sử dụng phương pháp không gian con Krylov hữu tỷ của Ruh [8], mà là một sự tổng quát của phương pháp Arnoldi tiêu chuẩn Các phương pháp nội suy hữu tỷ đa điểm cung cấp sự linh hoạt trong việc chọn lựa một bộ q điểm nội suy khác nhau (qk m/ ), và do đó làm tăng xấp xỉ hàm truyền trên một dải tần số rộng Hệ

thống giảm phù hợp với toàn bộ thời điểm l=k/m của hệ thống ban đầu tại các

điểm nội suy Tuy nhiên, những hạn chế của phương pháp này là cục bộ, và

do đó không có giới hạn lỗi toàn cục và nó đòi hỏi một sự lựa chọn người dùng quy định các điểm nội suy, mà không tự động Ngoài ra, tính thụ động không được bảo đảm

Tóm lại, các tính năng phổ biến của các phương pháp giảm mô hình dựa trên mom nt matching như sau: Đầu tiên, chúng được thiết kế để đưa ra các mô hình giảm bậc phù hợp với hệ thống ban đầu với một số thời điểm tại các điểm nội suy Thứ hai, họ tận dụng lợi thế của phép lặp Krylov và do đó

là rất hiệu quả về độ phức tạp thời gian tính toán Thứ ba, chúng là cục bộ trong tự nhiên, tùy thuộc vào các điểm nội suy th o quy định của người sử dụng, và do đó không tồn tại giới hạn lỗi toàn cục Trực giác, tính năng này ngụ ý rằng th o toán học thì kết quả xấp xỉ không chắc chắn để nói là tốt

H uristic đã đề xuất trong việc đánh giá lỗi Tuy nhiên, các đề xuất này thường phụ thuộc vào hệ thống và điểm nội suy

Nhìn chung, chỉ một vài kỹ thuật thiết kế tốt đáp ứng được như PRIMA, còn hầu hết các phương pháp không bảo đảm sự ổn định và thụ động trong mô hình giảm

2 Các phương pháp giảm bậc mô hình dựa trên việc phân tích giá trị suy biến (SVD)

 Phương pháp nhiễu suy biến

 Xấp xỉ hoá chuẩn Hank l

Bốn phương pháp này đều sử dụng toán tử suy biến Hank l (được định ngh a dưới đây) của hệ thống được xấp xỉ hoá

Đặt P và Q là nghiệm xác định dương duy nhất của hàm Hermitian để

0 0

của UTL Một chuyển đổi cân bằng được cho bởi

b b

1 b b

Trong trường hợp SISO (1 vào - 1 ra), các Grammian chéo X là nghiệm của phương trình Sylv st r: AX + XA + BC = 0 (1.18) Trong trường hợp này X2 = PQ Trong trường hợp hệ MIMO (nhiều vào

- nhiều ra), biểu thức (1.18) giải được trừ khi m=p Do đó, chúng tôi tiến hành bằng cách đưa hệ  vào hệ ˆ có cùng bậc, là ma trận vuông và đối xứng:

T

T 1

A JC B ˆ

Ưu điểm của phương pháp cân bằng xấp xỉ là nó tính toán tương tác với

1 hệ gần như giảm cân bằng mà không cần tính tới việc trước tiên phải xét sự thực hiện cân bằng hệ thống có bậc đầy đủ, sau đó mới cắt giảm

c Phương pháp xấp xỉ nhiễu suy biến

Từ (1.3) có xấp xỉ nhiễu suy biến sau:

d Xấp xỉ hoá chuẩn Hankel

Đặt  như trong (1.15) khi đó, tồn tại một hệ động học  để hệ 

là thỏa mãn, và   ~  1(  )

L  ~ có các điểm cực ổn định k một cách chính xác Phân tích  thành phần ổn định và phần không ổn

định:      Khi đó là một xấp xỉ hoá chuẩn Hank l tối ưu bậc k của hệ  Chuẩn H của sai số hệ thống thoả mãn (1.17)

e Bảo tồn tính thụ động của mô hình giảm bậc

Như đã được định ngh a, tính thụ động là một thuộc tính ước lượng của các hệ động học LTI trong mô phỏng mạch mà cần phải được bảo đảm trong

mô hình giảm Như vậy, với một hệ thống LTI thụ động ban đầu bậc n định ngh a trong (1.1)

y t C x t Du t

với k<<n, các phương pháp giảm mô hình cần phải đảm bảo rằng các đặc tính

hệ thống đáp ứng như sự ổn định và thụ động được bảo tồn trong mô hình giảm, tức là ˆ phải được thụ động Điều này tương đương với yêu cầu đó, bởi định lý 1.1, hàm truyền G sˆ ( ) của hệ thống giảm  ˆ :

Freund [14,15], Knockaert và Zutter [16], Bai và Freund [17,18], Gugercin và Antoulas [19], Antoulas [20], Sorensen [21], Faßbender và Benner [22] …v.v

Hầu hết các phương pháp là xây dựng các mô hình giảm và sau đó chứng minh mô hình giảm đó đáp ứng ba điều kiện mong muốn trên X m xét PRIMA, thuật toán đề xuất bởi al Odabasioglu và cộng sự [4] Thuật toán này

là một đề án tại thời điểm phù hợp trong đó một số lượng nhất định của những thời điểm của  ban đầu được lưu giữ trong các mô hình giảm như đã đề cập tại mục 1.3

Lưu ý rằng PRIMA được đề xuất để làm việc với các hệ thống mạch điện được tạo ra bởi các phân tích sửa đổi (MNA) xây dựng trên lý thuyết mạch Để duy trì sự ổn định, thay vì sử dụng thuật toán Arnoldi khối cho mô hình giảm như trong mục 1.3, PRIMA rõ ràng làm giảm các thành phần của việc thực hiện không gian trạng thái của hệ thống  ban đầu, được biết đến như là ma trận dẫn và nạp Kết quả là, hệ thống giảm được chứng minh là ổn định và thụ động

Thuật toán là rất hiệu quả trong việc tính toán phức tạp do việc sử dụng một khối thừa Arnoldi và do đó là thích hợp để giảm mô hình của các hệ thống trong thiết lập quy mô lớn Tuy nhiên, như đã đề cập trước đó, là một phương pháp mom nt-matching, PRIMA là cục bộ tự nhiên và do đó không

có giới hạn lỗi toàn cục

1.4 ết luận chương 1

Trong chương 1 tác giả đã phân tích được ý ngh a của giảm bậc mô hình và giới hạn của đề tài cho bài toán là hệ tuyến tính Tác giả cũng đã nghiên cứu về l nh vực giảm bậc mô hình trong và ngoài nước Tác giả đã nghiên cứu các phương pháp giảm bậc mô hình và đã đưa ra các ưu nhược điểm của từng phương pháp Từ đó khi thực hiện với tùy từng đối tượng mà chúng ta có thể lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp (vì các phương pháp này không đồng thời có thể sử dụng cho cùng một đối tượng) Đây cũng là

tiền đề để xây dựng thiết kế bộ điều khiển giảm bậc cho đối tượng là x hai bánh tự cân bằng được thực hiện ở chương 3 Để thiết kế được bộ điều khiển cân bằng cho x hai bánh chúng ta phải xây dựng mô hình toán học cho x hai bánh, việc này sẽ được tác giả thực hiện trong chương 2