Báo cáo môn lịch sử toán về chủ đề Toán cổ Trung Quốc

Họ đã dùng hệ đếm thập phân, về ký hiệu tượng hình và số, về phép tính toán với các số lớn.. Chúng ta nghiên cứu lịch sử toán học của Trung Quốc chủ yếu qua các cuốn sách: Chu Bễ toán ki

báo cáo môn

lịch sử toán Học

Chủ đề: Toán học cổ Trung Quốc

Giỏo viờn hướng dẫn: TS Trần Hồng Nga

Lớp: ĐHSP Toỏn K55

Nhúm thực hiện:

MỤC LỤC

1

LỜI NÓI ĐẦU 3

Phần 1: CHU BỄ TOÁN KINH 4

Phần 2: CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT 5

Chương I: “Phép đo ruộng” 5

Chương II: “Tỉ lệ giữa các loại thóc khác nhau 5

Chương IV: “ Thiếu quãng” 5

Chương V: “ Ước tính các công trình” 6

Chương VI: “ Phân phối tỉ lệ” 6

Chương VII: “Thừa - Thiếu” 6

Chương VIII: “Giải ma trận” 6

Chương IX: Bài toán xác định khoảng cách và chiều cao không tới được 9

Phần 3: TÔN TỬ TOÁN KINH 10

Phần 4: NHỮNG THÀNH TỰU TOÁN HỌC KHÁC Ở TOÁN HỌC CỔ TRUNG QUỐC 13

Số  13

Giải hệ phương trình 14

Tam giác Pascal 14

Phần 5: NHẬN XÉT 15

Tài liệu tham khảo 16

rung Quốc là quốc gia

đến là một trong những nước có nền văn hoá đồ sộ và lâu đời nhất thế giới

và là một cái nôi của nền văn minh nhân loại Vì thế Trung Quốc có đóng góp rất lớn trong sự phát triển khoa học nhân loại

Khoảng 3000 năm trước công nguyên người Trung Hoa đã biết dùng quy (compa) và củ (êke) để vẽ các hình hình học Họ đã dùng hệ đếm thập phân, về ký hiệu tượng hình và số, về phép tính toán với các số lớn Nền toán học cổ Trung Quốc đã đạt được những thành tựu khá cao Sự phát triển toán học cổ xưa ở Trung Quốc có bản sắc riêng biệt Chỉ tiếc là những tài liệu về toán học cổ Trung Quốc lưu lại rất ít ỏi và tản mạn Chúng ta nghiên cứu lịch sử toán học của Trung Quốc chủ yếu qua các cuốn sách: Chu Bễ toán kinh, Cửu chương toán thuật và Tôn tử toán kinh

3

1 Chu Bễ toán kinh:

Người Trung Hoa đã sử dụng hệ đếm thập phân từ rất sớm Thời Tây Hán đã xuất hiện cuốn Chu bễ toán kinh, trong sách đã có nói đến quan niệm về phân số, về quan hệ giữa 3 cạnh trong một tam giác vuông

Thời Đông Hán, đã có cuốn Cửu chương toán thuật, trong sách này đã nói đến khai căn bậc 2, căn bậc 3, phương trình bậc 1, đã có cả khái niệm số âm, số dương

Thời Nam-Bắc triều có một nhà toán học nổi tiếng là Tổ Xung Chi, ông đã tìm ra

số Pi xấp xỉ 3,14159265, đây là một con số cực kì chính xác so với thế giới hồi đó

Đây là cuốn sách toán cổ nhất của Trung Quốc Tuy bị Tần Thủy Hoàng đốt sách vào thế kỷ thứ II TCN nhưng có người đã biên soạn lại Sách toán của Chu Bễ có chép rằng những kiến thức trong sách có từ thời Thượng Chu, tức là khoảng từ thế kỷ XVIII đến thế kỷ thứ III TCN Qua cuốn sách này ta thấy trình độ toán học khá cao của người

cổ Trung Quốc

Từ thế kỷ XV TCN, người trung Quốc đã biết dùng compa (“quy”) và êke (“củ”)

để vẽ các hình học Trên một số đồ gốm đời Thương thế kỷ thứ XVI TCN có vẽ những hình hình học dùng quy và củ

Trung Quốc cổ đã đóng góp nhiều tài liệu về hệ đếm thập phân về kí hiệu tượng hình các số, về tính toán với các số lớn Chẳng hạn, số 6728 được viết như sau (từ phải qua trái):

Cách ghi tượng hình thập phân theo vị trí chỉ để biểu diễn số, không dùng trong tính toán Phép tính được thực hiện trên bàn tính Ở thế kỉ thứ IV TCN, Mặc định (tức Mặc Tử) đã định nghĩa: Đường tròn là hình từ giữa ra đều bằng nhau

Chu Bễ toán kinh trình bày dưới dạng đối

thoại: Nội dung chủ yếu bao gồm một số vấn đề về

thiên văn, một số tính chất của tam giác vuông

(tương tự như định lí Pitago), một số tính chất của

phân số

Trong Chu Bễ toán kinh có chỗ trình bày đối

thoại của một vị Hoàng tử với quan Thượng thư

Quan Thượng thư tâu với vị Hoàng tử rằng tính chất

các số là do hình tròn và hình vuông mà có Hình

vuông tượng trưng cho đất và hình trìn tượng trưng

cho trời Trong sách này có hình vẽ minh họa cho

định lí Pitago Đây là chứng minh cổ nhất của nhân

loại về định lí Pitago (hình 19)

2 Cửu chương toán thuật:

Sách này được viết lại nhiều lần, và mỗi lần đều có bổ sung them do các nhà toán học Cảnh Thọ Xương

(thế kỉ thứ I TCN), Lưu Huy(thế kỉ thứ III SCN), Trương

Lương (thế kỉ thứ VI SCN), Lí Thuần Phong (thế kỉ thứ

VII)… Theo Lưu Huy thì tác giả của Cửu chương toán

thuật là Trần Sanh (mất năm 152 TCN) Từ thế kỉ thứ VII

đến thế kỉ thứ XII, Cửu chương toán thuật được dùng làm

sách giáo khoa và trở thành tác phẩm kinh điển của toán

học cổ Trung Quốc Cửu chương toán thuật cũng là cuốn

từ điển độc đáo cho người đo ruộng, nhà xây dựng, nhà

thiên văn, người thu thuế, v.v… của Trung Quốc xưa kia

Tác phẩm này trình bày rườm rà và có tính chất rập khuôn

Có tất cả 246 bài, bài toán nào cũng nêu giả thiết và lời giải Sau mỗi nhóm bài toán

có nêu thuật tính Thuật tính này gồm các quy tắc chung hoặc các phép tính thực hiện dần dần trên những số liệu cụ thể

Ta hãy lướt qua nội dung của Cửu chương toán thuật.

Chương I: Gọi là “Phép đo ruộng” (phương điền) nêu quy tắc tính diện tích

một số hình phẳng, kể cả hình tròn, có các phép tính số học về phân số Đơn vị đo diện tích là một hình chữ nhật với các cạnh dài 15 và 16 bước (mỗi bước khoảng 133 cm) Diện tích hình vuông, hình chữ nhật được tính hoàn toàn chính xác Khi tính diện tích hình tròn, hình quạt, hình vành khăn người ta lấy   3 Diện tích hình viên phân được coi như diện tích hình thang có đáy lớn trùng với đáy hình viên phân, đáy nhỏ và chiều cao đều bằng chiều cao của viên phân

Chương II: Gọi là “Tỉ lệ giữa các loại thóc khác nhau” Trước hết trình bày

một bản chuẩn để đổi từ loại thóc này sang loại thóc khác Sau đó là 31 bài toán các loại, mỗi loại tuân theo một thuật toán riêng, phản ánh cách thu thuế thời xưa ở Trung Quốc Ở đây người ta thấy những kiến thức toán về quy tắc tam xuất (quy tắc mà nhờ

đó khi biết hai giá trị tương ứng nào đó của hai đại lượng tỉ lệ và một giá trị bất kì của đại lượng này thì tìm được giá trị tương ứng của đại lượng kia) và chia tỉ lệ với số nguyên hay phân

Chương III: Gọi là “ Phép chia theo bậc” (suy phân) gồm những bài toán

chia tỉ lệ, chia tỉ lệ ngược, cũng như quy tắc tam xuất đơn và kép

Chương IV: Gọi là “ Thiếu quãng” có các quy tắc khai căn bậc hai và bậc ba,

viết dưới dạng : xác định cạnh hình chữ nhật biết diện tích và cạnh kia, xác định cạnh hình vuông theo diện tích, xác định cạnh hình lập phương theo thể tích, xác định đường kính hình tròn, hình cầu

5

Chương V: Nội dung là “ Ước tính các công trình” đo thể tích, kích thước

cần thiết khi xây dựng tường thành, đào hào hố, đắp đê đập, xây pháo đài,… với hình thù khác nhau, trong đó có công thức tính thể tích những khối khác nhau

Chương VI: Gọi là “ Phân phối tỉ lệ”( Quân thâu) gồm một loạt bài toán tính

số lượng thóc phải cung cấp cho các huyện theo những điều kiện ngày càng phức tạp Một loạt bài toán khác nhằm tính quãng đường (hoặc thời gian) để hai người đi bộ gặp nhau (đi cùng chiều hoặc ngược chiều) Có bài toán phân phối thu nhập cho các quan lại cấp bậc khác nhau, bài toán tính công của nhiều người có năng suất lao động khác nhau Ngoài ra có một loạt bài toán tính tổng các cấp số cộng khác nhau

Chương VII: Gọi là “Thừa - Thiếu” (doanh một) bao gồm các bài toán từ dễ

đến khó dẫn tới các phương trình tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính Phương pháp giải giống như phương pháp “giả sử hai lần” Tuy nhiên phương pháp giải trình bày chưa được rõ ràng và còn mang nhiều tính chất cá biệt

Ví dụ: Góp tiền mua hàng, mỗi người góp 8 thừa 3, mỗi người góp 7 thiếu 4 Hỏi số người và giá hàng là bao nhiêu

Trong “Cửu chương toán thuật” đã có lời giải chung cho bài toán này Chúng ta

có thể dùng biểu thức đại số như sau: Giả sử mọi người góp a1 thì thừa (hoặc thiếu) b1, mọi người góp a2 thì thừa (hoặc thiếu) b2 Trong đó nếu thừa thì b1,b2>0, nếu thiếu thì

b1,b2<0 Khi đó người p và giá hàng q có thể tính được từ công thức sau:

2 1

2 1

a a

b b

p







2 1

2 1 1 2

a a

b a b a q







Từ đó ta tính được số người p=7(người), giá hàng q=53(đồng)

Chương VIII: Có tên là “Giải ma trận” ( phương trận) Chương này nêu thuật

toán tổng quát để giải hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn, nội dung như sau:

Giả sử cho hệ phương trình tuyến tính:





























n n

nn n

n

n n n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 21 1 1 2 1 2 1 11 Theo cách viết của người Trung Quốc ( theo dòng từ phải sang trái, theo cột từ trên xuống dưới) thì ma trận của hệ là:                 1 2 1 2 12 22 2 11 21 1

.

.

b b b

a a a

a a a

a a a

n

n n nn

n n

Người ta biến đổi ma trận này sao cho mọi số nằm ở phía trên và ở bên trái đường chéo chính có các hệ số đều là các số 0

































1 2

1 2

12 22 11

' '

' '

'

0

0

0

b b

b

a a

a

a a

a

n

n n nn

Phép biến đổi được tiến hành bằng phương pháp thông thường của lí thuyết định thức, thưc hiện đối với các cột Ma trận cuối cùng với các số 0 ứng với hệ phương trình





















n n

nn

n n

n n

b x

a

b x

a x

a

b x

a x

a x

a

' '

' '

.

'

2 2

2 22

1 1

2 12 1

11

Từ đó các nghiệm của hệ PT đã cho được xác định dần dần

Trong quá trình biến đổi ma trận của hệ PT, các nhà bác học Trung Quốc đã gặp “số âm” Để cộng trừ chúng, người ta đã áp dụng một quy tắc đặc biệt Vì rằng mọi phép tính, kể cả phép biến đổi ma trận đều được thực hiện trên bàn tính cho nên để kí hiệu các số âm thì sử dụng các kí hiệu tượng hình màu sắc khác nhau

Cần lưu ý rằng ở Châu Âu việc xây dựng các ma trận, phép tính định thức mãi đến cuối thế kỉ VII, Lép-nit mới nêu ra lần đầu tiên Các số âm ở dạng tường minh xuất hiện sớm hơn một chút, vào cuối thế kỉ XV trong tác phẩm của N.Súc-ke

Bài toán 1 :

Cứ 3 bó lúa của ruộng loại nhất, 2 bó lúa ruộng loại nhì, 1 bó lúa ruộng loại ba thì được 39 đấu thóc Cứ 2 bó lúa của ruộng loại nhất, 3 bó lúa ruộng loại nhì, 1 bó lúa ruộng loại ba thì được 34 đấu thóc Cứ 1 bó lúa của ruộng loại nhất, 2 bó lúa ruộng loại nhì, 3 bó lúa ruộng loại ba thì được 26 đấu thóc Hỏi mỗi bó lúa của mỗi loại ruộng được bao nhiêu đấu thóc?

Bài toán trên đưa đến việc giải một hệ 3 phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận:

Giả sử: Mỗi bó lúa của ruộng lúa loại nhất được x đấu thóc; mỗi bó lúa của ruộng lúa loại nhì được y đấu thóc; mỗi bó lúa của ruộng lúa loại ba được z đấu thóc

Ta có:

Quy tắc giải như sau:

y

Ma trận cuối cùng cho ta hệ phương trình dạng tam giác:

Từ đó suy ra các nghiệm: x=914 , y=414 , z=243

Đáp án trong “Cửu chương toán thuật” giống hoàn toàn với đáp án trên Nếu đã được học định thức ta dễ dàng giải được, nhưng ngày xưa chưa có phương pháp này, chưa biết kí hiệu các ẩn là x,y,z nên người ta đã dựa vào những điều kiện đề bài đã cho để phân ô cố định bằng các que

Bài toán 12: Dẫn đến hệ phương trình 5 ẩn số (diễn đạt bằng kí hiệu thông dụng hiện

nay)

Và cho đáp số x=7; y=4; z=3; u=5; v=6

Chương IX: Gồm những bài toán xác định khoảng cách và chiều cao không tới được nhờ định lí Cao Thương (chính là định lí Pitago – ở Trung Quốc, định lí này

do Cao Thương tìm ra) và nhờ tính chất của tam giác đồng dạng Chương này đặc biệt

có giá trị đối với việc hình thành các quy tắc đại số Một số bài toán dẫn đến phương trình bậc hai mà quy tắc giải chúng tương đương với công thức thường dùng ngày nay Ta xét một số bài toán:

Bài số 11: Nói về việc đo kích thước của cánh cửa, trong đó đã biết đường chéo

và hiệu giữa chiều dài và chiều rộng, dẫn tới hệ hai PT:













k x y

c y

x2 2 2

Hoặc tới phương trình bậc hai đủ: 2x2 + 2kx + k2 – c2 = 0 Nếu viết bằng kí hiệu ngày nay thì quy tắc tìm nghiệm là:

x1,2x=

2 2

2 2

2 2

k

k c

















Quy tắc này không được chứng minh nhưng có lẽ đã được rút ra từ phương pháp sơ cấp sau đây Giả sử x1,2x=xzx x thế thì x12x+xx22x=x2z2x+x2( )2, từ đó: z =

2

2

2

2

2













 k

c

Trong quyển này có phương pháp tìm bộ ba số Pitago, nghĩa là tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 = z2 với đáp số: x = . ; y = ; z =

(Kết quả này người Cổ Ai Cập và Babilon cũng đã biết)

Qua “Cửu chương toán thuật” ta thấy rằng trong nhiều thế kỷ, toán học Trung Quốc

đã phát triển theo hướng tính toán bằng thuật tính và đã tạo nên được những yếu tố cơ bản cho phương pháp giải Đại số Phương pháp đó còn tiếp tục cho mãi đến thế kỷ thứ XIV (sẽ được trình bày ở phần sau)

9

3 Tôn tử toán kinh

Tôn Tử (thế kỷ 3 SCN), Tôn Tử đã viết quyển sách “ Tôn Tử toán kinh”

Trong quyển sách này, những bài toán của lý thuyết số đã xuất hiện như sự mở rộng các bài toán số học Tôn Tử đã giải được bài toán tìm các số khi chia cho: 3, 5, 7 còn

dư 2, 3, 2 Đó là bài toán giải hệ tuyến tính các đồng dư thức với những môđun nguyên tố từng đôi với nhau (Bài toán về đồng dư thức) Ta có định nghĩa: Hai số nguyên a, b được gọi là đồng dư với nhau theo môđun m (với m nguyên dương) nếu a – b chia hết cho m Ký hiệu a ≡ b (mod m) Châu Loan ở thế kỷ VI đã hiệu đính Tôn

Tử toán kinh và gọi đó là bài toán “Hàn Tín điểm binh” Tục truyền rằng, ngày xưa, Hàn Tín danh tướng của Lưu Bang (Hán Cao Tổ) điểm binh theo cách sau đây: bảo lính xếp hàng 3, hàng 5, hàng 7 rồi đếm hàng lẻ cuối cùng Ghi những số lẻ ấy tương ứng sẽ suy ra số lính bằng cách sau đây:

Nhân số lẻ hàng 3 cho 70, số lẻ hàng 5 cho 21, nhân số lẻ hàng 7 cho 15 Cộng các kết quả ấy lại Thêm số đó với một bội số thích hợp của 105 sẽ được số lính

Nếu ký hiệu số lính là S, số lẻ xếp hàng 3, hàng 5, hàng 7 tương ứng là a, b, c

thì S = 70.a + 21.b + 15.c + 105.k

(k là số nguyên chọn thích hợp với số lính của một đại đội, một tiểu đoàn hay trung đoàn )

Bài toán trên được đặt ra như sau: Tìm số S sao cho khi chia S cho 3, cho 5, cho

7 thì số dư tương ứng là a, b, c (a, b, c, S đều là các số tự nhiên, a < 3, b < 5, c < 7)

Hoặc có thể viết:

S = 3A + a

S = 5B + b

S = 7C + c Nhân hai vế đẳng thức đầu với 5.7.m ; được

Nhân hai vế của đẳng thức thứ hai với 3.7.n ; được

21.n.S = 105.n.B + 21.n.b

Nhân hai vế của đẳng thức thứ ba với 3.5.p được

Cộng 3 đẳng thức mới được

(35m + 21n + 15p)S = 105(mA + nB + pC) + 35ma + 21nb + 15pc (1)

Ta sẽ tìm ba số nguyên m, n p nghiệm đẳng thức sau này:

35m + 21n + 15p = 105k + 1 (2)

Ta viết (2) như sau

35m - 1 = 3(35k - 7n - 5p)

Thế tỏ ra vế đầu chia đúng cho 3 Ví dụ m là 2 thì có

35.2 - 1 = 3 23 Trừ hai đẳng thức trên, ta sẽ thấy:

35(m-1) = 3(35k - 7n - 5p)

35.2 - 1 = 3 23

Được: 35(m - 2) = 3D

Vế đầu chia 3 đúng, nhưng 35 không chia cho 3 đúng Vậy m - 2 chia cho 3 đúng

Vậy m = 2 + 3M

21n - 1 = 5.(21k - 7m - 3p)

21 x 1 - 1 = 5.4

21.(n - 1) = 5 E

Được: n = 1 + 5N

Và:

15p - 1 = 7.(15k - 5m - 3m)

15.1 - 1 = 7.2

15.(p - 1) = 7.F

Được: p = 1 + 7P

Làm như thế, ta tìm được vô số m, n, p nghiệm đẳng thức (2)

Cho M = N = P = 0, ta được ba số m = 2, n = 1, p = 1 gọn nhất

Thay nó vào đẳng thức (1) ta sẽ thấy:

(105 + 1) S = 105 (2A + B + C) + 70a + 21b + 15c

Hay là:

S = 105 T + (70a + 21b + 15c)

Vậy số S bằng 70a + 21b + 15c rồi thêm bớt một bội số của 105

Đó là quy tắc “Hàn Tín điểm binh” Quy tắc trên được tóm tắt trong bốn câu thơ của Trình Đại Vỹ đời nhà Minh sau đây:

11

Tam nhân đồng hành thất thập hy

Ngũ thụ mai hoa trấp nhất chi

Thất tử đoàn viên chính bán nguyệt

Trừ bách linh ngũ tiện đắc tri

三 人 同 行 七 十 嬉

五 樹 梅 花 廿 一 枝

七 子 桃 園 秋 半 月

共 除 百 零 五 定 為 其

Dịch

Ba người cùng đi ít bẩy mươi Năm cõi mai hoa hăm mốt cành Bẩy gã xum vầy vừa nửa tháng

Trừ trăm linh năm biết số thành Phương pháp giải bài toán đồng dư được hoàn thiện với Tần Cửu Thiều (thế

kỷ XIII) Cách giải những bài toán như thế, ở châu Âu, mãi đến thế kỷ XIX

Gao-xơ mới phát hiện được (1801)

Câu hỏi thảo luận: Trong bài toán “Hàn Tín điểm binh”, ngoài 3 số 3,5,7 có

thể dùng bộ số nào nữa không?

Trả lời: Có thể dùng 3 số 2, 3, 11 để tính Vì 2, 3, 11 là những số nguyên tố

cùng nhau từng đôi một,do đó qua 3 số này có thể tìm được 4 số tương tự như 70,21,15,105 đó là 33, 22, 12 và 66

Bởi vì 33 là bội chung của 3 và 11, chia cho 2 dư 1

22 là bội chung của 2 và 11, chia cho 3 dư 1

12 là bội chung của 2 và 3, chia cho 11 dư 1

66 là bội chung nhỏ nhất của 2,3,11