ỨNG DỤNG CỦA MÔ HÌNH POĂNGCARÊ VÀ ÁNH XẠ XẠ ẢNH PHẲNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

Ở phần này chúng tôi sẽ khai thác các tính chất của ánh xạ xạ ảnh và các phép biến đổi xạ ảnh trên các dạng cấp một và cấp hai vào việc phát hiện nhanh chóng các bài toán hình học sơ cấp

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học xạ ảnh là một trong những học phần chuyên ngành dành cho sinh viên ngành ĐHSP Toán Mục đích của học phần là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về các hình học và mối quan hệ giữa chúng Đồng thời, hình học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông

Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán hình học afin là một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích, yêu cầu quan trọng dành cho các sinh viên khi học môn hình học xạ ảnh để hiểu rõ và vận dụng trong công tác giảng dạy sau này

Hiện nay, trong các giáo trình Hình học xạ ảnh đã đề cập đến mối quan

hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp Tuy nhiên còn ở mức độ khiêm tốn, việc sáng tạo các bài toán mới cũng ít được quan tâm

Nhằm tìm hiểu sâu hơn về hình học xạ ảnh, đồng thời ứng dụng

nó vào chương trình phổ thông, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học là:

“ỨNG DỤNG CỦA MÔ HÌNH POĂNGCARÊ VÀ ÁNH XẠ XẠ ẢNH PHẲNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP” Chúng tôi chọn đề tài này với mục

đích nghiên cứu một số ứng dụng của hình học cao cấp vào việc tìm tòi và giải nhanh chóng nhiều bài tập hình học sơ cấp Trên cơ sở đó hình thành phương pháp phát hiện và giải một lớp bài toán hình học mới hoặc khám phá ra những tính chất thú vị từ những bài toán quen thuộc

Đây là một vấn đề khó và rất rộng, do đó trong khuôn khổ đề tài này,

chúng tôi chỉ dừng lại ở việc trình bày một số ứng dụng của mô hình Poăngcarê và ánh xạ xạ ảnh phẳng trong một số bài toán hình học sơ cấp

Nội dung đề tài đề cập đến hai vấn đề sau đây:

Vấn đề thứ nhất: Đây là nội dung cơ bản của đề tài Ở phần này chúng tôi

sẽ khai thác các tính chất của ánh xạ xạ ảnh và các phép biến đổi xạ ảnh trên các dạng cấp một và cấp hai vào việc phát hiện nhanh chóng các bài toán hình học

sơ cấp Dựa trên nền tảng một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh phẳng, chúng tôi cố gắng thể hiện việc dùng hình học xạ ảnh như một công cụ để phát hiện và cho lời giải sơ cấp thông thường để có thể thấy rõ hơn ứng dụng của hình học cao cấp trong hình học sơ cấp Những bài toán đó được chúng tôi sắp xếp và phân loại theo các chủ đề: chứng minh đại lượng không đổi; chứng minh

sự thẳng hàng của các điểm; chứng minh sự đồng quy của các đường thẳng; một

số bài toán quỹ tích và dựng hình

Vấn đề thứ hai: Chúng tôi khai thác mô hình Poăngcarê (Poincare) của hệ tiên đề Ơclit – Hinbe của hình học phẳng Ơclit nhằm làm sáng tỏ phần nào giá trị của phương pháp tiên đề Qua mô hình này chúng tôi chỉ ra rằng không thể lấy trực giác mà thay thế cho lý luận trong việc chứng minh các định lý hình học cũng như việc giải toán Cũng qua mô hình, ta sẽ thấy rõ hơn rằng nếu gán cho các khái niệm cơ bản một nội dung cụ thể tùy ý (miễn sao hệ tiên đề được thỏa mãn) sau đó dùng một lần lý luận để xây dựng hình học trừu tượng, ta sẽ rút ra được nhiều kết quả mới lạ và thú vị bằng cách thể hiện các kết quả đã biết trong hình học Ơclit thông thường vào mô hình hình học cụ thể được đề cập đến Đó

là một công việc tiết kiệm được công sức lao động trí óc

2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài

a Mục tiêu

Áp dụng các tính chất của ánh xạ xạ ảnh phẳng vào việc phát hiện và giải các bài toán hình học sơ cấp Thể hiện các tính chất của hình học Ơclit thông thường trên mô hình Poăngcarê

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Mô hình Poăngcarê và một số tính chất xạ ảnh của ánh xạ xạ ảnh

- Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của mô hình Poăngcarê và một số tính chất của ánh xạ xạ ảnh và các biến đổi xạ ảnh trong việc giải toán hình học sơ cấp

4 Nội dung nghiên cứu

Chương 2 Ứng dụng của ánh xạ xạ ảnh phẳng trong hình học sơ cấp

2.1 Ứng dụng các tính chất của ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 1 vào việc phát hiện và giải các bài toán chứng minh đại lượng không đổi

2.2 Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại hyperbolic trên một dạng cấp một trong một số bài toán hình học sơ cấp

2.3 Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại parabolic trên một dạng cấp một trong một số bài toán hình học sơ cấp

2.4 Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic trên một dạng cấp một trong một số bài toán hình học sơ cấp

Chương 3 Ứng dụng của mô hình Poăngcarê trong hình học sơ cấp

3.1 Nhắc lại về hệ tiên đề Ơclit – Hinbe

3.2 Xây dựng mô hình Poăngcarê

3.3 Một số kết quả của hình học Ơclit thể hiện trên mô hình

5 Cách tiếp cận, phuơng pháp nghiên cứu

* Cách tiếp cận: Nghiên cứu mô hình Poăngcarê trên mô hình hình học sơ cấp

thông thường, bằng các tính chất của hình học cao cấp tìm cách thể hiện qua hình học sơ cấp để đưa ra những tính chất và kết quả của hình học sơ cấp

Nghiên cứu các tính chất của ánh xạ xạ ảnh và các phép biến đổi xạ ảnh trên các dạng cấp một và cấp hai trong việc phát hiện và giải các bài toán hình học sơ cấp

* Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu những tài liệu liên quan

Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu các kiến thức về ánh xạ xạ ảnh, tổng hợp và giải các bài toán hình học sơ cấp có liên quan đến các phép biến đổi xạ ảnh Tiếp theo, chúng tôi dùng các tính chất của phép nghịch đảo để chứng minh một số kết quả của hình học Ơclit thông thường thể hiện trên mô hình

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp, hệ thống hóa lại các kiến thức, tài liệu liên quan

Tập hợp tất cả các đường thẳng thuộc cùng thuộc một mặt phẳng và cùng

đi qua một điểm được gọi là chùm đường thẳng Điểm này được gọi là tâm hay

giá của chùm Mỗi đường thẳng được gọi là một tia của chùm

Tập hợp tất cả các mặt phẳng cùng thuộc một đường thẳng gọi là một

chùm mặt phẳng Đường thẳng này được gọi là trục hay giá của chùm

1.1.2 Nguyên tắc đối ngẫu trong mặt phẳng xạ ảnh

Đi đôi với mỗi mệnh đề xạ ảnh phát biểu nêu những tương quan giữa các điểm và đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh, ta có một mệnh đề thứ hai tìm ra bằng cách thay vào mệnh đề thứ nhất mọi chữ “điểm” bằng chữ “đường thẳng”

CB DB là tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D theo thứ tự đó

Ký hiệu là: (ABCD) Vậy, (ABCD) CA DA:

CB DB

1.1.3.1 Các tính chất của tỷ số kép

Tính chất 1: Tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D không đổi khi ta

hoán vị cặp điểm đầu và cặp điểm cuối với nhau Như vậy:

(ABCD) (= CDAB)

Tính chất 2: Tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D không đổi khi ta

hoán vị đồng thời hai điểm đầu với nhau, và hai điểm cuối với nhau Như vậy:

(ABCD) (= BADC)

Tính chất 3: Tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D sẽ nghịch đảo nếu

ta hoán vị hoặc hai điểm đầu, hoặc hai điểm cuối với nhau Như vậy:

Nếu tỷ số kép (ABCD)= − thì ta nói rằng bốn điểm A, B, C, D lập thành 1

một thành một hàng điểm điều hòa

Một chùm đường thẳng đi qua bốn điểm của một hàng điểm điều hòa gọi

- Mỗi điểm của hàng điểm nằm trên một tia tương ứng của một chùm

- Mỗi tia tương ứng của chùm đi qua điểm tương ứng của hàng

Thì ta nói rằng: hàng điểm cắt chùm hoặc chùm chiếu hàng hoặc có một ánh xạ phối cảnh giữa hàng điểm và chùm đường thẳng

Ký hiệu: ∧ dùng để chỉ liên hệ phối cảnh

Nhận xét: Liên hệ phối cảnh bảo toàn tỷ số kép

Điều kiện cần và đủ để cho hai hàng điểm xạ ảnh thành phối cảnh là giao điểm hai giá tự ứng

Định lý 2 (Đối ngẫu của Định lý 1)

Điều kiện cần và đủ để cho hai chùm đường thẳng xạ ảnh thành phối cảnh

là đường thẳng nối hai tâm tự ứng

1.2.3 Nghiên cứu ánh xạ ảnh bằng phương pháp tọa độ

Trường hợp c≠ : Gọi '0 J là điểm của hàng s' ứng với điểm xa vô tận

trên hàng s và I là điểm của hàng s ứng với điểm xa vô tận trên hàng ' s , thế thì I

và J'được gọi là hai điểm giới hạn

Bằng cách cho x và x'giá trị “vô cực” trong hệ thức 'x ax b

cx d

+

=+ ta tìm

được tọa độ của I là d

c

− và tọa độ của 'J là a

c

Bây giờ ta lấy I, ' J làm gốc tọa độ theo thứ tự trên trục s và trên trục ' s ,

thực hiện phép biến đổi tọa độ:

d

x X

c a

Trường hợp c = : I và '0 J đều xa vô tận Ta có định lý:

Định lý

Điều kiện cần và đủ để một song ánh xạ ảnh giữa hai đường thẳng trở thành một ánh xạ đồng dạng là hai điểm giới hạn đều xa vô tận

1.2.3.3 Vấn đề xác nhận các song ánh xạ ảnh

Định lý

Nếu từ mỗi điểm M của một hàng điểm s, ta suy ra được một điểm M'của một hàng điểm s' bằng những phép dựng hình sao cho:

- Giữa M và ' M có một song ánh (kể cả phần tử ảo nếu có)

- Các đường và mặt trong phép dựng là những đường và mặt đại số Khi

đó, ta có thể kết luận được rằng hàng ( )M và hàng (M') có liên hệ với nhau bằng một song ánh xạ ảnh, nghĩa là có thể từ hàng này suy ra hàng kia bằng hai hay ba phép chiếu xuyên tâm

1.2.4 Phép biến đổi (điểm xạ ảnh) trên đường thẳng và phép biến đổi (tuyến) xạ ảnh tại một điểm

1.2.4.1 Định nghĩa phần tử kép

Trong một phép biến đổi xạ ảnh giữa hai hàng điểm cùng giá hay giữa hai chùm đường thẳng cùng tâm, nếu có hai phần tử tuơng ứng trùng nhau thì phần

tử đó được gọi là phần tử kép hay phần tử bất động

Một phép biến đổi xạ ảnh giữa hai hàng điểm cùng giá hay giữa hai chùm

đường thẳng cùng tâm được gọi là hyperbolic, parabolic, eliptic nếu nó có hai,

một hay không có điểm kép

Như vậy, theo biến đổi (1) thì trong một phép biến đổi xạ ảnh, tọa độ của điểm kép được xác định bởi phương trình:

ax b x

cx d

+

=+ hay cx2−(a−d x) − =b 0 ( )1' Trong trường hợp c= , theo lý luận ở trên ta có một liên hệ đồng dạng 0

Vì ở đây hai hàng có cùng giá nên điểm xa vô tận trở thành điểm kép Ngược lại, một liên hệ đồng dạng là một liên hệ xạ ảnh có một điểm kép ở vô tận

Nói một cách khác, một biến đổi xạ ảnh giữa hai hàng điểm (hay hai chùm) cùng giá sẽ gọi là có tính chất đối hợp nếu hai hàng (chùm) đó có vai trò như nhau Ta sẽ gọi tắt một biến đổi xạ ảnh có tính chất đối hợp là một biến đổi đối hợp và dùng ký hiệu ∨

∧ để chỉ biến đổi xạ ảnh đối hợp

Chú ý: Một biến đổi xạ ảnh đối hợp hoặc có hai hoặc không có điểm kép 1.2.5.2 Điểm trung tâm và điểm kép

Trong một biến đổi xạ ảnh giữa hai hàng điểm, ứng với điểm xa vô tận có hai điểm tương ứng J I', tùy theo ta xem điểm xa vô tận thuộc hàng thứ nhất

hay hàng thứ hai Trong một liên hệ đối hợp thì I trùng với ' J thành một điểm O

gọi là điểm trung tâm của phép biến đổi Do vậy, trong liên hệ đối hợp ta có

OM OM không đổi

1.2.5.3 Định lý Phơrêgiê

Nếu qua tâm chung của hai chùm đối hợp, ta dựng một đường cong bậc hai ( )C thì các đường thẳng nối từng cặp giao điểm của ( )C với từng cặp tia

tương ứng sẽ đồng quy tại một điểm P, gọi là điểm Phơrêgiê

Đối ngẫu:

Nếu ta dựng một đường bậc hai ( )C tiếp xúc với giá chung của hai hàng điểm đối hợp thì các giao điểm của cặp tiếp tuyến với ( )C xuất phát từ các cặp điểm tương ứng sẽ thẳng hàng

1.2.5.2 Định lý Đơdacgơ thứ hai

Dạng một: Một đường cong bậc hai biến thiên trong một chùm đường cong bậc hai thì vạch lên bất cứ đường thẳng nào hai hàng điểm liên hệ xạ ảnh đối hợp với nhau

Dạng hai: Một đường thẳng ∆ cắt ba cặp cạnh đối diện (ba đường cong suy biến của chùm) (AB CD, ) (; AC BD, ) (; AD BC, ) của một tứ điểm ABCD và

một đường cong bậc hai ngoại tiếp tứ điểm đó theo bốn cặp điểm tương ứng trong một biến đổi xạ ảnh đối hợp

1.2.5.5 Định lý

Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng Ax By Cz xuất phát từ ba đỉnh , ,

của một tam giác ABC đồng quy là các cặp (Ax BC, ) (; By CA, ) (; Cz AB, ) cắt một đường thẳng nào đó theo ba cặp điểm tương ứng trong một phép đối hợp

Đối ngẫu

Điều kiện cần và đủ để ba điểm ', ', 'A B C theo thứ tự lấy trên ba cạnh BC,

CA, AB của một tam giác ABC thẳng hàng là có một điểm S sao cho chùm

( , , ) ( ', ', )

S A B ∨S A B

1.3 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp hai

Trong mục này, ta xét đường cong bậc hai là đường tròn Do đó, ta nhắc lại các định nghĩa và định lý sau:

Quỹ tích những điểm liên hợp với một điểm cố định M (khác O) đối với một đường tròn (O) là một đường thẳng m vuông góc với đường thẳng OM Đường thẳng m như vậy được gọi là đường đối cực của điểm M đối với đường tròn (O)

1.3.1.5 Cách dựng đường đối cực của M đối với đường tròn (O)

- Qua M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD tùy ý

- Gọi: AC∩BD=J AD; ∩BC = I

- Khi đó, IJ là đường đối cực của M đối với (O)

Hình 1.1

C J

* Đặc biệt: - Nếu M nằm ngoài (O) thì qua M vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm) Đường đối cực của M đối với (O) là đường thẳng AB

- Nếu M nằm trên (O) thì tiếp tuyến với (O) tại M chính là đường đối cực của M đối với (O)

Hình 1.2

O

M

- Nếu M nằm trong (O) thì ta xác định đường đối cực của M đối với (O) như sau:

+ Kẻ đường vuông góc với MO tại M, đường thẳng này cắt (O) ở A và B

Từ A, B kẻ tiếp tuyến với (O), các tiếp tuyến này cắt nhau ở H

+ Đường thẳng qua H vuông góc với MO chính là đường đối cực của M đối với (O)

Hình 1.3 B

A

O

H

M

- Nhận xét: Vậy, đường đối cực của một điểm M đối với đường tròn (O; R) cho

trước chính là quỹ tích những điểm M ' sao cho: OM OM '=R2

1.3.1.6 Cách dựng cực của một đường thẳng m cho trước đối với đường tròn (O)

- Trên m lấy hai điểm A, B tùy ý, không thuộc (O)

- Qua điểm A kẻ hai tiếp tuyến AI, AJ với đường tròn (O)

- Qua điểm B kẻ hai tiếp tuyến BH, BK với đường tròn (O)

- Nối IJ cắt HK tại M Khi đó, M chính là cực của đường thẳng m đối với (O)

B

* Đặc biệt:

- Nếu m cắt (O) tại A, B thì qua A, B vẽ 2 tiếp tuyến với (O) chúng cắt nhau tại

M chính là cực của m đối với (O)

- Nếu m tiếp xúc với (O) thì cực của m đối với (O) chính là tiếp điểm

1.3.2 các tính chất của cực và đường đối cực

1.3.2.1 Định lý (Quan hệ liên thuộc)

Nếu một đường thẳng m và một điểm N thuộc nhau thì cực M và đường đối cực n của chúng cũng đối nhau

1.3.2.2 Định nghĩa

Hai đường thẳng m, n đi qua cực của nhau gọi là hai đường thẳng liên hợp với nhau đối với đường tròn (O)

Đối ngẫu: Nếu hai đường thẳng quay quanh một điểm cố định O luôn

luôn liên hợp với một đường tròn (C) thì chúng tạo thành hai chùm đối hợp nhận hai tiếp tuyến của đường tròn (C) xuất phát từ O làm hai tia kép

1.2.3.5 Định lý

a Đường đối cực của nhiều điểm thẳng hàng thì đồng quy

b Cực của nhiều đường thẳng đồng quy thì thẳng hàng

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ XẠ ẢNH PHẲNG TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

2.1 Ứng dụng các tính chất của ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 1 vào việc phát hiện và giải các bài toán chứng minh đại lượng không đổi

2.1.1 Ứng dụng hệ thức 'x ax b

cx d

+

=+ vào việc sáng tạo những bài toán sơ cấp trong đó yêu cầu chứng minh những hệ thức AM AM là hằng số '

Bài toán 1 Cho một hình thoi ngoại tiếp đường tròn (O) Một tiếp tuyến thay

đổi cắt các đường thẳng AB, BC, CD, DA theo thứ tự tại M, N, P, Q Gọi E, F,

G, H theo thứ tự là các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA

a Chứng minh rằng: Những tích sau đây là các đại lượng không đổi:

- Tọa độ của điểm giới hạn I ở trên trục BA là (a), vậy AM = X'

- Tọa độ của điểm giới hạn J’ ở trên trục BC là (a), vậy CN =X

Đổi gốc tọa độ của các điểm giới hạn:

Hoàn toàn tương tự, AQ CP =OA2 không đổi

Chọn hướng thích hợp ta cũng có: BM DQ =BN DP =OB2 không đổi;

- Chuyển gốc tọa độ: Đổi hệ tọa độ mới ( 0)

- Tương tự, AQ CP =OA2 không đổi

Mặt khác, (O) cũng bàng tiếp AQD∆ Vậy, 900

2

P QOD= − =OMP

Hình 2.2

M Q

N R

A

C

B U

E H

- Nối OE, OG, ta có O, E, G thẳng hàng Khi đó:

Bài toán 2 Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng 'x x và 'y y cắt nhau tại điểm

O và một điểm P nằm ngoài hai đường thẳng đó Một đường tròn cố định đi qua

O và P cắt ' x x và 'y y lần lượt ở A và A', một đường tròn thay đổi khác cũng đi

qua O và P cắt x x' và 'y y lần lượt ở M và M' Chứng minh rằng: A M' ' k

AM = không đổi khi hai đường tròn thay đổi

Ta có: tứ giác MPM O' nội tiếp đường tròn nên M PM' +O=1800

Tương tự, tứ giác APA O' nội tiếp đường tròn nên A PA O' + =1800

Từ kết quả (*) có thể suy ra bài toán như sau:

Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O và một điểm P nằm ngoài đường thẳng đó Trên xx' lấy hai điểm cố định A và B Các đường tròn ngoại tiếp tam giác OAP và OBP lần lượt cắt yy' tại 'A và 'B Một

điểm M di động trên xx', đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP cắt yy' tại M'

= không đổi

3 Do đó, nếu M vạch nên một đường thẳng 0 ∆ thì các đường thẳng 0 M M và 0

M M lần lượt song song với các đường thẳng cố định

Ta có thể minh họa bằng một số trường hợp đặc biệt sau:

a Gọi hình chiếu vuông góc của P lên MM' là K Ta sẽ chỉ ra K di

chuyển trên một đường thẳng cố định

xx'

Hình 2.5 F'

Thật vậy, lấy ', 'E F lần lượt là điểm đối xứng của điểm P qua đường

thẳng xx' và yy' Theo tính chất trực tâm tam giác thì đường cao MH cắt đường

tròn tại H'', và đường cao MH' cắt đường tròn tại 'H

Khi đó, ◊PHH E' ' là hình thang cân nên 'H HE'=PH H'

Mặt khác, H'' đối xứng với H qua yy'

Nên HM' đối xứng với ''H M qua yy', HF' đối xứng với ''H P qua yy'Vậy, ta có: M HF' '=PH M'' ' Lại có: PH H' =PH M'' ' (cùng chắn cung '

M P)

Do vậy, M HF' '=H HE' ' nên , ', 'H E F thẳng hàng Do đó, H di chuyển

trên một đường thẳng cố định

2.1.3 Ứng dụng trường hợp ánh xạ xạ ảnh đồng dạng trở thành ánh xạ đẳng cự giữa hai đường thẳng

Bài toán 3 Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại điểm

O và P là điểm cách đều hai đường thẳng đó Một đường tròn cố định đi qua O

và P cắt xx' và yy' lần lượt tại A và ' A Một đường tròn biến thiên đi qua O và

P cắt xx' và yy' lần lượt tại M và M' Chứng minh rằng: AM =A M' '

Lời giải:

Bài toán này thực chất là một trường hợp đặc biệt của Bài toán 2 Từ P kẻ

PH và PH' lần lượt vuông góc với xx' và yy Do P cách đều ' xx' và yy nên '

'

PH =PH

Mặt khác, ta có ∆PMH ∼∆PM H' ' nên 1

PM PH

PM = PH = Theo kết quả Bài toán 2 thì ta có: A M' ' PA' PM' 1

AM = PA = PM = Từ đó: ' '

A

O

P

2.1.4 Một số bài toán khác

Bài toán 4 Cho tam giác đều ABC và một điểm P thay đổi chạy trên đường tròn

ngoại tiếp tam giác đó Các đường thẳng BP và CP theo thứ tự cắt AC và AB ở

Hình 2.7

M N

Bài toán 5 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By

của nửa đường tròn đó Một điểm P chuyển động trên nửa đường tròn Tiếp tuyến tại P của nửa đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại M và N Chứng minh: AM.BN không đổi

Dùng tính chất tiếp tuyến, chỉ ra được OMN∆ là tam giác vuông có

đường cao OP Vậy, AM BN =PM PN =OP2 =R2 Vậy, AM BN không đổi

Nhận xét: Kết quả không thay đổi nếu ta thay nửa đường tròn (O) bằng đường

tròn (O) Tuy nhiên ta khai thác bài toán trên theo hướng AB không là đường kính của (O) Ta có bài toán:

Bài toán 6 Cho đường tròn (O) và hai tiếp tuyến cố định Ax, By (dây AB không

phải là đường kính của (O)) Một điểm P (khác A, B) di động trên đường tròn (O); tiếp tuyến t tại P của đường tròn (O) cắt Ax và By lần lượt ở M và N Tìm mối liên hệ giữa AM và AN

A'

N M

I

O A

Do (O) cố định, A, B, I cố định nên ', ' A B cố định và AA'=BB'= không đổi b

Ta có: ∆A MO' ∼∆OMN g g( ) và ∆B ON' ∼∆OMN g g( ) nên :

AM BN + AM + BN =

TH 2: Nếu P ở cung nhỏ AB

Hoàn toàn tương tự, ta có:

2

1

AM BN − AM − BN =

y x

Hình 2.10 N

M

I

O A

B P

Bài toán 7 Cho góc (x Ox y Oy' ; ' ) và một điểm P không nằm trên cạnh nào của

góc Hai đường thẳng ;P P u v quay quanh điểm P sao cho góc định hướng(P P u; v)

luôn bằng góc định hướng (Ox Oy; ) P u cắt đườn thẳng Ox tại M và P v cắt

đường thẳng Oy tại M ' Gọi '

Ta có, :f M ֏ N từ Ox đến Oy là một ánh xạ xạ ảnh và cả hai điểm giới

hạn đều ở xa vô tận nên ánh xạ này là ánh xạ đồng dạng

y

u

v Hình 2.11

M' M

Trong 2.1 ta khai thác tính chất của ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một

mà cụ thể là giữa các hàng điểm không cùng giá

Bây giờ, ta xét trường hợp sau:

Trong mặt phẳng, cho một đường tròn ( )C và một đường thẳng d cố định

Ta nối hai điểm cố định A, B trên ( )C với một điểm P di động trên đường tròn

đó PA, PB cắt đường thẳng ∆ lần lượt tại M và N

Khi đó, :f M ֏ N từ d vào chính nó là một phép biến đổi xạ ảnh giữa

hai hàng điểm cùng giá

Nếu d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt thì f được gọi là phép biến đổi xạ

ảnh loại hyperbolic

Hình 2.12

N M

M N P

A

B

Nếu d không cắt ( )C thì f được gọi là phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic.

d Hình 2.14

M P

2.2.1 Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại hyperbolic trên một dạng cấp một có hai điểm kép ở xa vô tận trong một số bài toán hình học sơ cấp

Bài toán 8 Cho một tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn ( )O Một điểm P

chuyển động trên đường tròn ( )O Hai đường thẳng DP và CP cắt đường thẳng

AB theo thứ tự tại M và N Chứng minh rằng:

a (ABCD) không đổi khi P di động trên ( )O

xạ ảnh loại hyperbolic trên đường thẳng AB

Vậy, theo định lý 1 (1.2.4.4) thì tỷ số kép (ABCD)=k1 không đổi

Hình 2.15

N M

O A

D

C

B P

b Vì (ABCD)=k1 không đổi với mọi M thuộc AB nên khi vẽ các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DNP và CMP và đường thẳng AB cắt các đường trên theo thứ tự ở E và F thì:

Nếu M ≡E thì N là điểm xa vô tận α, khi đó: (ABMN) (= ABEα) Suy ra, MA NA: EA: A EA k1

MB NB EB B EB

αα

1

EA AB

Ta chứng minh kết quả (*) bằng bài toán phụ sau:

Cho một tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn ( )O Một điểm P chuyển

động trên đường tròn ( )O Hai đường thẳng DP và CP cắt đường thẳng AB theo thứ tự tại M và N Đường thẳng AB cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác DNP

và CMP lần lượt tại E và F Hai dây CC' và DD' song song với dây AB của đường tròn (O) Chứng minh rằng: EA BF AD BC.

CD

= = và E là giao điểm của

AB với DC', F là giao điểm của AB với C D'

Hình 2.16 C'

D'

F M

E

N

O A

D

C

B P

Lời giải:

Nối C D' và gọi giao điểm của C D' với AB là E' Ta chứng minh '

DNPE là một tứ giác nội tiếp

Thật vậy, do CPDC' nội tiếp (O) nên: C CP' +C DP' =1800 ⇒E DP' =C CP'