một số kinh nghiệm giải các bài tập hình học phẳng

• Lại có: AC song song với HE Vậy ACEH l hình bình h nh Vì mà à ột tứ giác có các cạnh đối song song với nhau l mà ột hình bình h nhà Bạn Y: • Theo giả thiết AH vuông góc với BC v BE vuô

ầ n I : PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ T I: À

Toán học ra đời gắn liền với con người v là ịch sử phát triển của xã hội,

nó có một ý nghĩa lý luận v thà ực tiễn vô cùng lớn lao v quan trà ọng Trong thời đại hiện nay, công nghiệp hoá, hiện đại hoá nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí ng y c ng à à được nâng cao

Trong giai đoạn hiện nay phải có một chiến lược giáo dục đ o tà ạo nhằm nâng cao dân trí, đ o tà ạo nhân lực v bà ồi dưỡng nhân t i trên mà ọi lĩnh vực khoa học Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng của khoa học toán học Việc dạy toán ở trường phổ thông l mà ột phương tiện rất hiệu quả v không thà ể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình th nh kà ỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học v oà thực tiễn

Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi thấy việc giải các b i tà ập hình học phẳng l mà ột vấn đề khó đối với các em học sinh Trong đề t i n y tôià à mạnh dạn đưa ra kinh nghiệm dạy học giải b i tà ập hình học phẳng thông qua một số tuyến b i tà ập ở cả ba dạng toán: chứng minh , tìm tòi v loà ại toán thực tiễn nhằm nâng cao chất lượng học giải b i tà ập hình học phẳng cho học sinh

II NHI Ệ M V Ụ NGHIÊN C Ứ U:

Tuyến b i tà ập chuẩn bị cho việc chứng minh hình học, tuyến b i tà ập khai thác tính chất của diện tích đa giác, tuyến b i tà ập liên quan đến định lí Pitago, tuyến b i tà ập về diện tích hình tròn

III PH ƯƠ NG PH P NGHIÊN C Á Ứ U:

- Điều tra, khảo sát, theo dõi, thực h nh, và ận dụng

- Nghiên cứu t i lià ệu,

IV

ĐỐ I T ƯỢ NG NGHIÊN C Ứ U:

Học sinh thuộc đối tượng THCS nói chung, học sinh THCS Phúc Thịnh- Ngọc Lặc nói riêng

V PH Ạ M VI NGHIÊN C Ứ U:

Giới hạn giảng dạy ở phần: Giải các b i tà ập hình học phẳng ở ba loại b i tà ập:

chứng minh, tìm tòi v loà ại toán thực tiễn thông qua các ví dụ cụ thể của các tuyến b i tà ập nghiên cứu

ầ n II NỘI DUNG

Ví d ụ 1: Tuyến b i t à ập chuẩn bị cho việc chứng minh hình học

B i t à ập1: Hãy điền v o chà ỗ …để chứng minh định lí:

“Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”

Giả thiết………

Kết luận…………

Các khẳng định Căn cứ của khẳng định

Tương tự hãy chứng minh Ô2=Ô4

B i tà ập2 : Cho định lí:”Nếu hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau tại O v xÔyà vuông thì các góc yÔx’ , x’Ô y’ , y’Ôx đều l góc vuông.à

a)Hãy vẽ hình

b)Viết giả thiết v kà ết luận của định lí

c)Sắp xếp các câu sau một cách hợp lí để có chứng minh định lí trên

1) xÔy + x’Ô y =1800 (vì hai góc n y bù nhau)à

2) x’Ô y’ = xÔy( vì hai góc đối đỉnh)

3)900 + x’Ô y = 1800 (theo giả thiết v cà ăn cứ v o à …… )

4) y’Ôx = x’Ô y (vì hai góc đối đỉnh)

5) x’Ô y = 900 (vì căn cứ v o à …… )

6) x’Ô y’= 900 (vì căn cứ v o à …… )

7) y’Ôx =900 (vì căn cứ v o à …… )

d) Hãy trình b y là ại cách chứng minh trên một cách gọn hơn

B i t à ập3: Cho b i toán “ à ∆AMB v à ∆ANB có MA=MB, NA= NB “ Chứng

a) Ghi giả thiết, kết luận của b i toán.à

b) Hãy sắp xếp các câu sau một cách hợp lí để giải b i toán trênà

1) Do đó: ∆AMN v à ∆BMN ( c.c.c)

2) MN cạnh chung; MA=MB (giả thiết) ; NA=NB (giả thiết)

3) Suy ra ∠AMN = ∠BMN( Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

4) ∆AMN v à ∆BMN có:

B i t à ập 4: Cho b i toán” Cho tam giác ABC, M l trung à à điểm của BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA.Chứng minh rằng AB// CE”

∆ABC

GT MB=MC

AM=ME

KL AB//CE

a) Hãy sắp xếp năm câu sau đây một cách hợp lí để giảI b i toán trên:à

1) MB=MC (giả thiết); ∠AMB= ∠EMC( hai góc đối đỉnh) ; MA=ME (giả thiết) 2) Do đó ∆AMB = ∆EMC (c.g.c)

3) ∠MAB= ∠MEC suy ra AB//CE

4) ∆AMB = ∆EMC suy ra ∠MAB= ∠MEC (Hai góc tương ứng )

5) ∆AMB v à ∆EMC có:

b) Hãy trình b y là ại cách chứng minh trên ngắn gọn hơn

B i t à ập 5: Cho b i toánà

“ Cho tam giác ABC , gọi d l à đường thẳng đi qua A v vuông góc và ới BC, cắt

BC tại H Gọi d’ l à đường thẳng vuông góc với BC tại C Đường thẳng đi qua H

v song song và ới AC cắt d’ tại E Chứng minh rằng ACEH l hình bình h nh”.à à a) Chứng minh b i toán trên.à

b) Sau đây l chà ứng minh của ba bạn X, Y, Z Hãy nêu nhận xét lời giải b ià toán của ba bạn đó

Bạn X:

• Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau Do đó AH//CE

• Lại có: AC song song với HE

Vậy ACEH l hình bình h nh (Vì mà à ột tứ giác có các cạnh đối song song với nhau l mà ột hình bình h nh)à

Bạn Y:

• Theo giả thiết AH vuông góc với BC v BE vuông góc và ới BC

Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.Vậy AH song song với CE

• Theo giả thiết, AC song song với HE

Nếu một tứ giác có các cạnh đối song song với nhau thì tứ giác đó l mà ột hình bình h nh) à Vậy ACEH l hình bình h nh.à à

Bạn Z:

AH ⊥BC CE⊥BC

AH // CE AC // HE

ACEH l mà ột hình bình h nhà

B i t à ập 6: Cho b i toán:à

“Cho EFG l mà ột tam giác vuông tại E Gọi d l à đường thẳng vuông góc với EF tại F Đường thẳng qua E song song với FG cắt d tại H Gọi M l trung à điểm của

FE Chứng minh rằng M l trung à điểm của HG”

a) Vẽ hình v vià ết giả thiết, kết luận

b) Hãy sắp xếp 10 câu sau một cách hợp lí để chứng minh b i toánà trên:

1) Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

2) Trong một hình bình h nh các à đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

3) Nếu một tứ giác có các cạnh đối diện song song với nhau thì đó l mà ột hình bình h nh.à

4) Ta có HE v GF song song và ới nhau (giả thiết)

5) Ta có M l trung à điểm của FE

6) Ta có EG vuông góc với EF (Vì EFG l tam giác vuông tà ại E)

7) Ta có HF vuông góc với EF (giả thiết)

8) Vậy M l trung à điểm của HG

9) Vậy HFGE l hình bình h nh.à à

10) Vậy HF v EG song song và ới nhau

c)Hãy trình b y là ại b i toán trên mà ột cách ngắn gọn hơn

B i t à ập7: Cho b i toán:à

“Cho hình vuông ABCD gọi E l à điểm nằm trên cạnh AB Đường thẳng đi qua

E, song song với AC, cắt BC tại F Chứng minh rằng EF vuông góc với BD” a) Vẽ hình v vià ết giả thiết, kết luận

b) Sắp xếp 6 câu sau một cách hợp lí để có chứng minh b i toán trên.à

1) Vậy EF vuông góc với BD

2) Ta có EF song song với AC

3) Vậy AC vuông góc với BD

4) Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia

5) Ta có ABCD l mà ột hình vuông

6) Trong một hình vuông thì hai đường chéo bằng nhau v vuông góc và ới nhau tại trung điểm của mỗi đường

c)Hãy trình b y là ại cách chứng minh một cách ngắn gọn hơn

B i t à ập 8:

a) Hãy điền v o chà ỗ …để có một chứng minh đầy đủ

*Ta có ABCD l mà ột hình thoi (giả thiết)

Nếu……….Thì………

Vậy AC vuông góc với BD

*Hơn nữa ta có KI song song với AC (giả thiết)

Nếu ………Thì ………

Vậy KI vuông góc với OD

*Hơn nữa, Ta có I l trung à điểm của OD (giả thiết)

Nếu ………Thì ………

Vậy KI l à đường trung trực của OD

*Nếu ……….Thì ………

Vậy KO = KD

c) Hãy viết đề toán ứng với lời giải trên , biết rằng điểm K nằm trên AD và

O l giao à điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD

B i t à ập 9

Hãy đặt một b i toán m trong chà à ứng minh có sử dụng định lí “ Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau”

Gi

ả i thích d ụ ng ý c ủ a các b i t à ậ p trên

Chứng minh hình học l mà ột trong những hoạt động khó khăn đối với học sinh, nhưng sức mạnh của hình học lại l suy luà ận diễn dịch Một cái đích quan trọng của học tập hình học l hà ọc sinh biết lập luận có căn cứ Vì vậy hoạt động chứng minh hình học phải được rèn luyện lâu d i, tà ừng bước nâng cao Học sinh phải biết chứng minh v trình b y chà à ứng minh

Một chứng minh có căn cứ phải được tuân theo lập luận ba giai đoạn

Tiên đề lớn (Tính chất, định lí ……)

Tiên đề nhỏ (Giả thiết, điều đã biết, …….)

Kết luận (Điều được suy ra)

Nhưng cách trình b y chà ứng minh thường ở dạng rút gọn

Vì vậy cách trình b y già ới thiệu ở đây nhằm giúp học sinh l m quen và ới cách chứng minh đầy đủ, cần phải có v cách trình bafychuwsng minh rút gà ọn

B i tà ập 1

trình b y chà ứng minh theo hai cột.Các b i tà ập 2; 3; 4 ;6 ;7 tập cho học sinh từ

cách trình b y à đầy đủ đến cách trình b y ngà ắn gọn.

B i tà ập 7:

Giúp học sinh phê phán cách chứng minh thiếu căn cứ, học cách trình b yà chứng minh có căn cứ v hià ểu sơ đồ của một cách chứng minh

Các b i tà ập 8;9 yêu cầu học sinh sáng tạo đề toán

Mặt khác cũng cần chú ý l : Khà ả năng suy luận (diễn dịch) v chà ứng minh hình học gắn chặt với khả năng phân tích v tà ổng hợp hình Vì vậy ngo i vià ệc cho hình vẽ sẵn, trong một số b i tà ập còn yêu cầu học sinh viết giả thiết, kết luận v và ẽ hình

Giáo viên nên lựa chọn v cho hà ọc sinh sử dụng các b i tà ập trên đây v o thà ời điểm thích hợp Mỗi b i tà ập được coi l mà ột hoạt động

Ví d ụ 2: Tuyến b i t à ập khai thác tính chất của diện tích đa giác.

Kiến thức về diện tích đa giác được khai thác theo 3 hướng:

- áp dụng các công thức tính diện tích

- áp dụng các tính chất của diện tích

- Sử dụng diện tích đa giác như một công cụ để giải b i toán.à Hãy cắt Theo hướng thứ hai ta có các b i tà ập, chẳng hạn:

B i t à ập 1:

một tam giác th nh 3 mà ảnh để ghép lại th nh mà ột hình chữ nhật

Gợi ý:

B i t à ập 2:

Giải thích tại sao diện tích của tam giác trong các hình dưới đây bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng

B i t à ập 3:

Cho hình chữ nhật với hai kích thước l a,b.à

a) Hãy vẽ một tam giác có một cạnh bằng cạnh của hình chữ nhật và

có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật đó

b) Hãy vẽ một hình bình h nh có mà ột cạnh bằng cạnh của hình chữ nhật v có dià ện tích bằng nửa diện tích của hình chữ nhật đó

B i t à ập 4

Trên hình vẽ dưới đây ( AC// BF) hãy tìm tam giác có diện tích bằng diện tích của tứ giác ABCD

B i t à ập 5:

Cho hình thang ABCD (đáy nhỏ AB, đáy lớn CD ) Hãy vẽ một tam giác có một cạnh bằng đáy lớn CD của hình thang v có dià ện tích bằng diện tích của hình thang

Hướng dẫn giải: Vẽ hình thang ABCD (AB//CD; AB < CD).

Vẽ đường chéo AC Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD tại M,

vẽ MC

Ta có: S MAC = S BAC Từ đó S ABCD = S MCD

B i t à ập 6:

Cho một ngũ giác lồi ABCD Hãy vẽ một tam giác có diện tích bằng diện

tích ngũ giác ABCD Nói rõ thứ tự vẽ hình v vì sao là ại vẽ như vậy?.

B i t à ập 7:

Cho hình bình h nh ABCD phân giác cà ủa góc A v góc C cà ắt đường chéo

BD tại E, F Chứng minh rằng hai đa giác ABCFE v ADCFE có dià ện tích

b ng nhau.ằ

B i t p 8 à ậ :

Cho hình ch nh t VELO, g i U l m t i m b t k trên ữ ậ ọ à ộ đ ể ấ ỳ đường chéo VL Qua U k hai ẻ đường th ng AD v NT song song v i c nh hình ch nh t Soẳ à ớ ạ ữ ậ sánh di n tích hai hình ch nh t AUTO v DUNE.ệ ữ ậ à

Ví d 3: ụ Tuy n b i t p liên quan ế à ậ đế đị n nh lí Pitago.

B i t p1: à ậ

V m t tam giác vuông có các c nh góc vuông b ng 3cm v 4cm ẽ ộ ạ ằ à Đ độ à o d i

c nh huy n.ạ ề

B i t p 2: à ậ

C t 4 tam giác vuông b ng nhau b ng gi y tr ng G i ắ ằ ằ ấ ắ ọ độ à d i các c nh gócạ vuông l b v c, à à độ à ạ d i c nh huy n l c C t t m bìa m u hình vuông cóề à ắ ấ à

c nh ạ

b ng b+c ằ Đặt 4 tam giác vuông tr ng lên hình vuông m u, ph n bìa m uắ à ầ à không b che khu t g m hai hình vuông có c nh l b v c Tính di n tíchị ấ ồ ạ à à ệ

ph n không b che khu t theo b v c T ó rút ra quan h gi a aầ ị ấ à ừ đ ệ ữ 2v (bà 2 +c2)

B i t p3: à ậ

Hãy ki m tra l i nh lí Pitago v i các tam giác vuông có ể ạ đị ớ độ à d i 3 c nh nhạ ư sau:

a) a = 5cm b = 4cm c = 3cm

b) a = 2cm b = 1,6cm c = 1,2cm

c) a = 10cm b = 8cm c = 6cm

H ướ ng d n: ẫ M t m t v tam giác có ộ ặ ẽ độ à d i 3 c nh cho trạ ướ ồ đc r i o xem có góc vuông không? M t khác ki m tra xem trong m i trặ ể ỗ ường h p h th c aợ ệ ứ 2 =

b2 + c2 có th a mãn không?.ỏ

B i t p4: à ậ

Phân bi t các cách phát bi u sau v nh lí Pitagoệ ể ề đị

a)Trong tam giác vuông, bình phương c nh huy n b ng t ng bình phạ ề ằ ổ ương

hai c nh góc vuông.ạ

b) N u bình phế ương c nh l n nh t c a m t tam giác không b ng t ng bìnhạ ớ ấ ủ ộ ằ ổ

phương hai c nh còn l i thì tam giác ó không ph i l tam giác vuông.ạ ạ đ ả à

c) Trong moojy tam giác n u bình phế ương c nh l n nh t b ng t ng bìnhạ ớ ấ ằ ổ

phương hai c nh còn l i thì tam giác ó l tam giác vuông v góc vuông ạ ạ đ à à đố i

di n v i c nh l n nh t.ệ ớ ạ ớ ấ

Chú ý: a) L nh lí Pitago (thu n)à đị ậ

b) L nh lí Pitago (ph n à đị ả đảo)

c) L nh lí Pitago ( à đị đảo)

B i t p5 à ậ :

S d ng m i hình v sau ử ụ ỗ ẽ để ch ng minh nh lí Pitago b ng phứ đị ằ ương pháp

di n tích.ệ

(Hình 1) (Hình 2)

B i t p 6 à ậ :

N u ế độ à ủ d i c a tam giác vuông t ng lên 2 l n, 3 l n thì ă ầ ầ độ à ạ d i c nh huy nề thay đổi nh th n o?.ư ế à

M nh ệ đề ổ t ng quát v i n l s t nhiên b t k còn úng không?.ớ à ố ự ấ ỳ đ

Hãy phát bi u tính ch t Pitago b ng ngôn ng s h c.ể ấ ằ ữ ố ọ

Chú ý: B 3 s a, b, c thõa mãn: aộ ố 2 = b2 + c2 được g i l b ba s Pitago.ọ à ộ ố

N u a, b, c l b 3 s Pitago thì : ka, kb, kc c ng l m t b ba s Pitago (k ế à ộ ố ũ à ộ ộ ố ∈

N*)

B i t p 7: à ậ

a) V l i hình dẽ ạ ướ đi ây úng kích thđ ướ đc ã ghi trên hình

b) Tam giác CDB có vuông không? ( oán b ng m t thĐ ằ ắ ường)

d) Ki m tra l i d oán v tam giác CDB.ể ạ ự đ ề

B i t p8: à ậ

Tam giác MNP đượ ẽc v trên gi y k ô vuông.ấ ẻ

Xem c nh ô vuông l ạ à

m t ộ đơn v ị độ à d i H i ỏ tam giác MNP l tam à giác gì?

B i t p 9: à ậ

a) Tam giác ABC vuông t i A AB = 6cm, BC = 1 dm ạ

Ch ng minh r ng di n tích v chu vi c a tam giác ABC ứ ằ ệ à ủ được di n t b i ễ ả ở cùng m t s ộ ố

b) C ng h i nh th v i tam giác RST có ST = 50 mm v SR = 12cm.ũ ỏ ư ế ớ à

B i t p10 à ậ :

Xét ánh gãy cây, ch gãy cách m t đ ỗ ặ đất 2m, nh cây ch m đỉ ạ đất cách g c câyố 7m H i chi u cao c a cây trỏ ề ủ ước khi b xét ánh l bao nhiêu?.ị đ à

(Tính g n úng ầ đ đến 0,1m, cho r ng cây th ng v m c vuông góc v i m t ằ ẳ à ọ ớ ặ t)

đấ

Gi i thích d ng ý c a các b i t p trên, m i b i t p l m t ho t ả ụ ủ à ậ ỗ à ậ à ộ ạ độ ng

Các ho t ạ động v nh lí Pitago ề đị được x p x p theo trình t sau:ắ ế ự

Ti p c n nh lí Pitago: các ho t ế ậ đị ạ động 1,2,3

Phát bi u nh lí Pitago: Ho t ể đị ạ động 4

Ch ng minh nh lí Pitago: Ho t ứ đị ạ động 5.

Khai thác nh lí Pitago v m t s h c: Ho t đị ề ặ ố ọ ạ động 6

V n d ng nh lí Pitago: Ho t ậ ụ đị ạ động 7 đến 10

V n d ng v o th c t g n g i: Ho t ậ ụ à ự ế ầ ũ ạ động 10

Th c hi n các ho t ự ệ ạ động trên h c sinh s :ọ ẽ

- Bi t thêm chút ít v l ch s ế ề ị ử

- Bi t r ng nh lí Pitago l c u n i gi a tam giác v s ế ằ đị à ầ ố ữ à ố

- M t khác m t ý ngh a c a nh lí Pitago l vi c v ặ ộ ĩ ủ đị à ệ ẽ được góc vuông m à không c n eke.ầ

Ví d 4: ụ Tuy n b i t p v di n tích hình tròn ế à ậ ề ệ

D y h c hình h c theo phạ ọ ọ ương pháp đổi m i, ngo i các lo i b i t p v n có ớ à ạ à ậ ố trong SGK ta c n chú tr ng các lo i b i t p i sâu v o khái ni m, ph i h p ầ ọ ạ à ậ đ à ệ ố ợ hình h c v i ọ ớ đạ ối s , liên h v i th c t xung quanh, k t h p v hình v i tínhệ ớ ự ế ế ợ ẽ ớ toán nh m huy … ằ động ki n th c tích h p, k n ng nhi u m t, t duy t ng ế ứ ợ ỹ ă ề ặ ư ổ

h p.ợ

Ch ng h n v i công th c S = ẳ ạ ớ ứ Π.R2 , nên cho h c sinh luy n t p nh ng b i t pọ ệ ậ ữ à ậ sau:

B i t p 1: à ậ

a) i n v o ô tr ng trong b ng sau (S l di n tích hình tròn bán kính R).Đ ề à ố ả à ệ

S

b)V ẽ đồ thi bi u di n di n tích hình tròn theo bán kính c a nó.ể ễ ệ ủ

c) Di n tích hình tròn có t l v i bán kính c a nó không?.ệ ỷ ệ ớ ủ

B i t p 2 à ậ :

a) i n v o ô tr ng trong b ng sau(S l di n tích hình qu t ng v i cung Đ ề à ố ả à ệ ạ ứ ớ

n0)

S

b)V ẽ đồ ị ể th bi u di n di n tích hình qu t theo nễ ệ ạ 0

c) Di n tích hình qu t ng v i cung nệ ạ ứ ớ 0 có t l thu n v i s o ỷ ệ ậ ớ ố đ độ ủ c a cung không?

B i t p 3 à ậ :