phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

14 2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu 21 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không trong không gian Hilbert... Một số phương pháp cơ bản tìm nghiệm của hệp

Số húa bởi Trung tõm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học Khoa học

Nguyễn thị kim thủy

Ph-ơng pháp hiệu chỉnh lặp

giảI hệ ph-ơng trình toán tử đơn điệu

Luận văn thạc sĩ toán học

TháI nguyên – 2014

Số húa bởi Trung tõm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học Khoa học

Nguyễn thị kim thủy

Ph-ơng pháp hiệu chỉnh lặp

giảI hệ ph-ơng trình toán tử đơn điệu

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mục lục

Mở đầu 2

1 Hệ phương trình toán tử đơn điệu 6 1.1 Không gian Banach Không gian Hilbert 6

1.1.1 Không gian Banach 6

1.1.2 Không gian Hilbert 8

1.1.3 Một số tính chất hình học của không gian Banach 8 1.2 Toán tử đơn điệu 9

1.2.1 Toán tử đơn điệu 9

1.2.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 11

1.2.3 Toán tử chiếu 11

1.3 Hệ phương trình toán tử đơn điệu 13

1.3.1 Hệ phương trình toán tử đơn điệu 13

1.3.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu 14

2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu 21 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không trong không gian Hilbert 22

2.1.1 Mô tả phương pháp 22

2.1.2 Sự hội tụ 24

2.2 Một phương pháp lặp hiện giải hệ phương trình toán tử 27 2.2.1 Mô tả phương pháp 28

2.2.2 Sự hội tụ 30

MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán của thực tế dẫn đến việc giải hệ phương trình toántử

ngược là bài toán tìm một đại lượng vật lý chưa biết x thuộc không

trước trong không gian Banach F (xem [7]) Trong thực tế, ta không

tham số Bài toán này được mô tả dưới dạng hệ phương trình toán

Hệ phương trình toán tử (1), nói chung, là một bài toán đặt khôngchỉnh, theo nghĩa tập nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tụcvào dữ kiện ban đầu Một số phương pháp cơ bản tìm nghiệm của hệphương trình toán tử đặt không chỉnh phải kể đến phương pháp kiểuhiệu chỉnh lặp (xem [4] và các tài liệu trích dẫn) hoặc phương pháphiệu chỉnh Tikhonov (xem [9] và các tài liệu trích dẫn) sau khi viết lại

hệ phương trình toán tử (1) dưới dạng phương trình A(x) = f , ở đây

khi số phương trình của hệ N lớn Để khắc phục nhược điểm này,

người ta sử dụng phương pháp lặp xoay vòng kiểu Kaczmarz cho mỗiphương trình của hệ (xem [8] và các tài liệu trích dẫn) Phương phápkiểu Kaczmarz vốn là thuật toán tuần tự, nên khi N lớn thường gâytốn kém trên một bộ xử lý đơn.

Năm 2006, để giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (1),Nguyễn Bường [5] đưa ra một phương pháp hiệu chỉnh kiểu Browder-

chất thế năng Phương pháp của Nguyễn Bường và một số biến thểcủa phương pháp có thể dùng cho việc tính toán song song (xem [3]).Mục đích đề tài luận văn là tìm hiểu và trình bày lại một số kếtquả trong [6], [10] và [11] về phương pháp hiệu chỉnh lặp và phươngpháp lặp hiện giải hệ phương trình toán tử đơn điệu (1)

Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 giớithiệu một số khái niệm và kết quả của không gian Hilbert, không gianBanach, toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu và toán tử chiếu Phầncuối của chương giới thiệu hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt khôngchỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov hiệu chỉnh bàitoán này trong không gian Banach

Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp và phương pháplặp hiện trong không gian Hilbert hiệu chỉnh hệ phương trình toán tửđơn điệu đặt không chỉnh Phần cuối của chương trình bày một ví dụ

số minh họa sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phươngtrình toán tử trong không gian Hilbert

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người Thầy, người hướngdẫn luận văn cao học của mình, PGS TS Đỗ Văn Lưu - Viện Toánhọc và TS Nguyễn Thị Thu Thủy - giảng viên trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên, đã dành nhiều thời gian và tâm huyết đểhướng dẫn và giải quyết những thắc mắc cho tôi trong suốt quá trìnhtôi làm luận văn Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các

thầy cô trong hội đồng chấm luận văn thạc sĩ, các thầy cô giảng dạylớp cao học toán K6C, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạo nhữngđiều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể hoàn thiện khóa học cũng nhưluận văn của mình.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thị Kim Thủy

BẢNG KÝ HIỆU

Chương 1

Hệ phương trình toán tử đơn điệu

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản vềkhông gian Banach, không gian Hilbert, toán tử đơn điệu, hệ phươngtrình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnhBrowder-Tikhonov hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu Cáckiến thức của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2],[10] và một số tài liệu trích dẫn trong đó

Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính Etrong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ E ta có một số kxk gọi là chuẩncủa x, thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) kxk > 0 với mọi x 6= 0, kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

(2) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ E; (bất đẳng thức tam giác)(3) kαxk = |α|.kxk với mọi x ∈ E và α ∈ R

Không gian định chuẩn đầy đủ là không gian Banach

tụ mạnh.

Từ định nghĩa trên ta có tính chất sau:

dãy đó

(ii) Giới hạn yếu của một dãy nếu có là duy nhất

1≤n<∞

Chú ý rằng, một số trường hợp từ hội tụ yếu có thể suy ra hội tụ

compact trong E

Định lý 1.1 Nếu E là không gian Banach thì các khẳng định sau làtương đương:

(i) E phản xạ;

liên hợp của E, ϕ : E → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm trên E Phiếmhàm ϕ được gọi là

(i) lồi nếu

(ii) nửa liên tục dưới trên E nếu

lim

(iii) chính thường nếu với mọi x ∈ E, ϕ(x) ≥ −∞ và dom ϕ 6= ∅,trong đó dom ϕ := {x ∈ E : ϕ(x) < +∞}

Định nghĩa 1.5 Cho H là một không gian tuyến tính trên R Mộttích vô hướng trong H là một ánh xạ h., i : H × H → R thỏa mãncác điều kiện sau:

(1) hx, xi > 0 với mọi x 6= 0; hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0;

(2) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H;

(3) hαx, yi = αhx, yi với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R;

(4) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H

Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng h., i được gọi làkhông gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi làkhông gian Hilbert

tích vô hướng được xác định tương ứng là

hx, yi =

n X

i=1

ξiηi, x = (ξ1, ξ2, , ξn), y = (η1, η2, , ηn) ∈ Rn

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H

Định nghĩa 1.7 Không gian Banach E được gọi là không gian

(i) lồi chặt nếu với x, y ∈ SE := {x ∈ E : kxk = 1}, x 6= y thì

Ví dụ 1.3 Mọi không gian Hilbert đều là không gian lồi đều

Định nghĩa 1.8 Không gian Banach phản xạ E được gọi là không

Ví dụ 1.4 Không gian Hilbert là không gian có tính chất E

Định nghĩa 1.9 Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu

Toán tử A được gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng trong bất đẳngthức (1.1) chỉ đạt được khi x = y

Chú ý rằng, nếu A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu tươngđương với tính không âm của toán tử

Ví dụ 1.5 Hàm số f : R → R là đơn điệu nếu nó là hàm số đồngbiến.

với B là một ma trận vuông cấp M , là một toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.10 Toán tử A được gọi là đơn điệu đều nếu tồn tạimột hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và

là đơn điệu mạnh

Nhận xét 1.1 Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì A đơnđiệu mạnh nếu

Ví dụ 1.7 Toán tử A : R → R được cho bởi A(x) = 5x là một toán

tử tuyến tính đơn điệu mạnh

Định nghĩa 1.11 Toán tử A được gọi là toán tử mA-ngược đơn điệumạnh nếu

khi n → ∞

Định nghĩa 1.13 Toán tử A được gọi là toán tử có tính chất bứcnếu

lim

||x||→+∞

hAx, xi

nghĩa bởi

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J tồn tại trong mọi không gian Banach

và nói chung là một ánh xạ đa trị Trong trường hợp đơn trị, khônglàm mất tính tổng quát, ta ký hiệu là J Nếu E := H là một khônggian Hilbert thực thì J = I, với I là ánh xạ đơn vị trong không giantương ứng

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có một số tính chất sau: J (−x) = −J (x)với mọi x ∈ D(J ); J (tx) = tJ (x) với mọi x ∈ D(J ) và t ∈ [0, ∞), và

Nếu E là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ đơn điệu chặt Nếu

hemi-liên tục)

Định nghĩa 1.15 Cho H là một không gian Hilbert thực và T : H →

H là một ánh xạ Ánh xạ T được gọi là liên tục Lipschitz với hằng sốLipschitz L > 0 nếu

Nếu 0 < L < 1 thì T là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T là ánh xạ khônggiãn

Định nghĩa 1.16 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian

Bổ đề 1.1 Giả sử C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert

Mệnh đề 1.1 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không

điều sau thỏa mãn:

(b) Với mọi x, y ∈ H ta có

và

Điều đó kéo theo

Trong mục này chúng tôi giới thiệu về hệ phương trình toán tử đơnđiệu đặt không chỉnh trong không gian Banach thực và phương pháphiệu chỉnh Browder-Tikhonov hiệu chỉnh bài toán này

Ta xét bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử

i = 1, , N

Nhiều bài toán của thực tế được đưa về việc giải hệ phương trìnhtoán tử (1.4) Chẳng hạn, bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng xuất hiệntrong nhiều lĩnh vực: lý thuyết tối ưu, xử lý ảnh chứa đựng việctìm nghiệm chung của các phương trình

ở đây Pi là toán tử chiếu mêtric chiếu H lên tập con lồi đóng Ci củakhông gian Hilbert H, i = 1, , N , θ là phần tử không trong H.

với i = 1, , N

Bài toán ngược (đã nêu ở phần Mở đầu) là bài toán tìm một đại

là không gian Banach trơn đều và lồi đều, và N ≥ 1 (xem [7]) Trongthực tế, dữ kiện đầu vào thường không được biết chính xác, thay vào

có được do đo đạc trực tiếp trên các tham số Bài toán này được miêu

tả bởi hệ phương trình toán tử (1.4)

Chú ý rằng, mỗi phương trình toán tử (1.4), khi không có các điều

hoặc đơn điệu mạnh, nói chung, là một bài toán đặt không chỉnh theonghĩa nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban

một bài toán đặt không chỉnh Để giải bài toán đặt không chỉnh tacần sử dụng những phương pháp giải ổn định

Trong mục này, ta trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không

Ta xét phương trình hiệu chỉnh phụ thuộc tham số

N X

Bổ đề 1.3 Cho E là không gian Banach phản xạ thực có tính chất

i=1

N X

i=1

N X

i=1

N X

i=1

Mặt khác theo định nghĩa ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ta có

Vậy phương trình (1.7) có duy nhất nghiệm

toán (2.1)

Định lý 1.2 Cho E là không gian Banach phản xạ cùng với không

đối ngẫu chuẩn tắc của E Giả sử rằng (1.6) và (1.8) thỏa mãn Khi

Chứng minh Lấy x ∈ S, từ (2.1) và (1.7) ta suy ra

hA1(x) − f1δ0, x − xνβ ≥ hA1(xνβ) − f1δ0, x − xνβi

=

N X

Suy ra ˆx ∈ S1.

hA2(xνβ) − f2δ0, xνβ − xi +

N X

Vì vậy, A2(ˆx) − f2 = A2(˜x) − f2 = 0 Do đó ˆx ∈ S2.

hAj+1(xνβ) − fj+1δ0 , xνβ − xi +

N X

hai vế cho (1 − t) và cho t → 1 ta được

chứng minh xong

Trong Chương 2 chúng ta sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp

và một phương pháp lặp hiện giải hệ phương trình toán tử đơn điệuđặt không chỉnh (1.4)

Chương 2

Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải

hệ phương trình toán tử đơn điệu

Chương này trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không giải

hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh đã được đề cập ởChương 1:

sau

không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu Do đó, bài toán (2.1)nói chung, cũng là bài toán đặt không chỉnh

2.1 Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không trong không gian

Ta xét phương trình toán tử sau

N X

i=1

αλi

tục và ngược đơn điệu mạnh Khi đó

Chứng minh (i) Từ tính chất đơn điệu, bị chặn và hemi-liên tục của

i=1αλi

Do đó phương trình (2.3) có duy nhất nghiệm ký hiệu là xn với mỗi

trong đó K là hằng số dương sao cho K = max

Kết hợp (2.4) và (2.5) và Định lý giá trị trung bình Lagrange cho hàm

Định lý 2.2 Giả sử rằng các dãy {αn} và {βn} trong bài toán (2.2)thỏa mãn các điều kiện sau:

(ii) lim

n→+∞

βnα2 n

Theo Định lý 2.1, số hạng thứ hai của vế phải của đánh giá trên dần

(2.6)

2

2

(2.7)

N X

i=1

αλi

2

=