Bài tập lớn cơ học lượng tử cách giải bài tập chương 3,4,5,6,7

Cơ học lượng tử là sự kết hợp chặt chẽ của ít nhất ba loại hiện tượng mà cơ học cổ điển không tính đến, đó là: a sự lượng tử hoá một số đại lượng vật lý, b lưỡng tính sóng hạt, c nguyên

Đề bài: Cách giải bài tập chương 3,4,5,6,7

Sinh viên : Nguyễn Quang Thịnh GVHD: Th.S Hoàng Công Phương

MSSV: 111030144 Lớp: Đại học Vật lý A_K1

Lời nói đầu

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của Vật lý học Cơ học lượng tử

là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton( còn gọi là cơ học cổ điển) Nó là cơ

sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý như vật lý chất rắn, vật lý hạt Khái niệm lượng tử để chỉ một đại lượng vật lý không liên tục mà rời rạc Cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được các tiên đoán của cơ học lượng tử chưa bao giờ bị thực nghiệm chứng minh là sai sau một thế

kỷ Cơ học lượng tử là sự kết hợp chặt chẽ của ít nhất ba loại hiện tượng mà cơ học cổ điển không tính đến, đó là: (a) sự lượng tử hoá một số đại lượng vật lý, (b) lưỡng tính sóng hạt, (c) nguyên lý bất định Trong các trường hợp nhất định, các định luật của cơ học lượng tử chính là các định luật của cơ học cổ điển ở mức độ chính xác cao hơn Việc cơ học lượng tử được rút về cơ học cổ điển nhờ nguyên lý gọi là nguyên lý tương ứng Như vậy, cơ học lượng tử có tầm quan trọng rất lớn nên việc nghiên cứu môn cơ học lượng tử là rất quan trọng đối với sinh viên vật lý Ngoài việc cũng cố niềm tin vào khoa học cho sinh viên cơ học lượng tử còn giúp cho sinh viên có cơ sở để nghiên cứu các chuyên ngành khác của vật lý

Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho các sinh viên trong quá trình nghiên cứu môn cơ học lượng tử, tôi xin làm bài tập lớn về nội dung và bài tập của cơ học lượng tử Nội dung

được trình bày theo Giáo trình Cơ học lượng tử của tác giả Lê Đình - Trần Công

Phong trường Đại học sư phạm Huế tháng 8 năm 2011 Nội dung bao gồm phần:

I Phần tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập các chương 3,4,5,6,7

II Giải bài tập các chương 3,4,5,6,7

Hi vọng rằng với nội dung này sinh viên có thể dễ dàng hơn trong việc nghiên cứu cơ lượng tử

Xin cám ơn Th.s Hoàng Công Phương đã tận tâm giúp đỡ em trong quá trình làm bài

Trong quá trình làm bài tập chắc chắn sẽ có những sai sót nên rất mong sự góp ý xây dựng để bài tập trở nên hoàn thiện hơn

Mục lục

Chương 3: Các tiên đề của cơ học lượng tử 1

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập 1

II Bài tập 2

Chương 4: P hương trình Schrodinger 11

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập 11

II Bài tập 13

Chương 5: Sự thay đổi các đại lượng động lực theo thời gian 23

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập 23

II Bài tập 24

Chương 6: Chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm 30

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập 30

II Bài tập 32

Chương 7: Lý thuyết biểu diễn 41

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập 41

II Bài tập 41

Tài liệu tham khảo 55

CHƯƠNG 3:

CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập:

1 Nội dung các tiên đề:

a Tiên đề I:Trạng thái của một hạt hay một hệ hạt lượng tử được xác định bởi một

hàm chuẩn hoá của toạ độ không giang và thời gian Hàm này chứa toàn bôh thông tin

về hạt

b Tiên đề II: Tương úng với mỗi đại lượng động lực A là một toán tử tuyến tính và

Hermite ̂ tác dụng trong không gian Hilbert các hàm trạng thái.Các kết quả đo được

về đại lượng A chỉ có thể là các trị riêng của toán tử ̂

c Tiên đề III: Tính chất thống kê trong cơ học lượng tử

d tiên đề IV: Sự thay đổi trạng thái theo thời gian( Chương 4)

2 Kiến thức cần có để giải bài tập:

a Xác suất đo đại lượng động lực:

Trong đó là hệ số trong khai triển hàm sóng theo hàm riêng của toán tử ̂ ∑

b Mật độ xác suất để trong phép đo đại lượng động lực A ở trạng thái được giá trị

a là

Với là hệ số trong khai triển hàm trạng thái theo hàm riêng của toán tử ̂

c Trị trung bình trong phép đo một đại lượng động lưc:

∫ ( ) ( ) |

+ Sử dụng điều kiện chuẩn hoá xác định A:

+ Sử dụng điều kiện chuẩn hoá xác định A:

+ Tính ̅̅̅:

̅̅̅ ∫

( ) ∫ ∫

+ xác định A bằng điều kiện chuẩn hoá:

√ √ √

Giá trị khả dĩ của m

{

Xác suất tương ứng với giá trị

{

| |

| | | |

Tương tự đối với ̅̅̅

a) Các giá trị năng lượng khả dĩ là:

Các xác suất tương ứng với giá trị năg lượng này là:

( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩|

c) Phép đo năg lượng cho giá trị nghĩa là hệ đang ở trạng thái Vì vậy nếu

ta đo đại lượng động lực A liền sau đó thì ta sẽ nhận được giá trị

Chương IV

PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập:

1 Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian

Tiên đề IV: Sự thay đổi theo thời gian của hàm trạng thái của một hạt (hệ hạt) lượng

tử được cho bởi phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian, có dạng:

( ⃗ ) ̂ ( ⃗ ) Trong đó: ̂ ̂ ̂

( ⃗ ) là hàm Hamilton của hệ

2 Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian

Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng:

̂ ( ⃗ ) ( ⃗ ) Nghiệm của phương trình có dạng:

( ⃗ ) ∫ ( ⃗) ∫ ( ) ( ⃗) Trong đó:

( )

( ) Các điều kiện:

Trong miền I và III: ( )

Điều kiện biên: ( ) ( )

Năng lượng của hạt ở trạng thái thứ n:

Hàm sóng ứng với hạt có năng lượng En:

( ) √

4 Dao động điều hòa lượng tử

Thế năng có dạng:

( ) Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng:

( )

( ) ( ) Biểu thức của năng lượng:

( * Năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn Năng lượng thấp nhất của dao động tử là:

Hàm sóng ứng với một số mức năng lượng khác nhau:

II Bài tập:

Bài giải:

+ hạt ở trạng thái thứ n có hàm trạng thái là √

Như vậy xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái thư n là: ∫ ∫ ( *

(

* |

Bài giải: + Dùng điều kiện chuẩn hóa xác định A ∫ ( )

∫ ( *

∫ ( *

∫ ( * ∫ ( *

( * | (

* |

√

+ Xác suất đo năng lượng ở trạng thái cơ bản

( ) | | |

√ |

+ Phân bố xác suất của năng lượng:

| | |⟨ | ⟩|

⟨ | ⟩ ∫ Với √

̅ ∫ ̂ ∫ ( ) (

( ( ))+

∫ ( )

+ Động năng bình phương trung bình:

̅̅̅̅ ∫ ̂ ∫ ̂ ̂

∫ ( ( ))

( ( ))

Đặt ,

( ) ,

( ) Suy ra

(

* |

∫ ( * Vậy

̅ Tính ̅̅̅

Ta có

̅̅̅ ∫ ̂

∫ √ √ ∫ ( )

̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ( ̅)

( ) ( ( ) *

Xác suất phân bố của xung lượng của một hạt trong giêng thế 1 chiều sâu vô hạn (n=1)

( ) | |Với ⟨ ( )| ( )⟩

( )

( )

( ) ] |

√ [

( )

( )

( )

( )]

√ *

( ) ( ) + Với

* ( ) ( ) +

√ *

( ) ( )

( ) ( ) + √

( ) ( ) (

* Vậy:

( ) | |

(( ) ( ) ) (

* ( *

(( ) ( ) ) [

]

(( ) ( ) ) (

)

(( ) ( ) ) (

)

Sử dụng tính chất:

( )

Ta được:

( )

(( ) ( ) ) * ( (

))+

(( ) ( ) ) ( (

)) (( ) ( ) ) (

)

Ta biến đổi phương trình trên ta được:

( )

( ) ( )

( )

( * ( ) ( ) ( ) Nếu ta đặt ⁄ thì:

(

) (

)

(

(

) *

( )

Thay vào ( ) ta được:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Phương trình trên ta đã khảo sát ta được:

+ Dùng điều kiện chuẩn hoá xác định A:

Chương V:

SỰ THAY ĐỔI CÁC ĐẠI LƢỢNG

ĐỘNG LỰC THEO THỜI GIAN

I Tóm tắt l ý thuyết cần để giải bài tập:

1 Đạo hàm của toán tử theo thời gian

Đạo hàm của trị trung bình của đại lượng động lực A bằng trung bình của đạo hàm của đại lượng động lực A theo thời gian,

̅

̅̅̅̅

Biểu thức đạo hàm theo thời gian của toán tử A:

̂

̂ [ ̂ ̂]

Phương trình trên còn được gọi là phương trình chuyển động Heisenberg

Đối với số hạng thứ hai ta kí hiệu như sau:

[ ̂ ̂] { ̂ ̂}

Trong trường hợp đại lượng động lực A không phụ thuộc tường minh vào thời gian, thì

đạo hàm của toán tử A theo thời gian:

̂ [ ̂ ̂] { ̂ ̂}

2 Tích phân chuyển động

Theo phương trình chuyển động Heisenberg ta thấy rằng A là một tích phân chuyển động khi:

̂ [ ̂ ̂]

̂ [ ̂ ̂]

Điều kiện để một đại lượng động lực là tích phân chuyển động là đại lượng động lực

đó không phụ thuộc tường minh vào thời gian và toán tử tương ứng giao hoán với toán

tử Hamilton

[ ̂ ̂]) ( ̂

[ ̂ ̂]) ̂

̂ Như vậy đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm

Chứng minh:

( ̂ ̂) ̂

̂ ̂

̂

[ ̂ ̂]) ̂ ̂ ( ̂

[ ̂ ̂]) ̂

̂ ̂

̂ Như vậy đạo hàm của tích hai toán tử cũng có quy tắc lấy đạo hàm như lấy đạo hàm của hàm số

a

̂

̂ ̂ ( )

̂ Chú ý: Đề có chút sai sót về dấu

c

( ̂ ̂ ) ̂

̂ ( ̂ ) ̂ ̂ ( )

( ) ̂ ( ̂

( )

( ) ̂ )

Vì ̂ không phụ thuộc tường minh vào thời gian Suy ra:

giả sử A là đại lượng vật lý đang xét

Do đó: [ ̂ ̂ ] ([ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ])

Vậy: Momen toàn phần không phải là tích phân chuyển động

⃗( ( ⃗) ⃗

⃗ ( ⃗)+

⃗ ( ( ⃗) ⃗

⃗ ( ⃗)+

⃗ ⃗ ( ⃗) ⃗ ⃗

⃗ ( ⃗)

⃗ ( ⃗)

( ⃗ ( ⃗) ⃗ ⃗ ( ⃗)+

⃗ ( ( ⃗) ⃗

⃗ ( ⃗)+

⃗ ⃗ ( ⃗)

⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗)

⃗ ( ⃗)

⃗ ( ⃗) Vậy:

[ ̂ ̂]

⃗

⃗

̂ ⃗

( ⃗ ̂) Suy ra:

̂ [ ̂ ̂] ( ⃗ ̂) ( ̂ ⃗)

Chương VI CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG

2 Bài toán nguyên tử Hidro và các ion tương tự:

Về nguyên tắc đây là bài toán hệ 2 hạt ( electron và hạt nhân) Vì khối lượng của hạt nhân rất lớn nên bài toán này có thể quy về bài toán một hạt Đó là chuyển động của electron trong trường Culoumb của hạt nhân

Kết luận:

a sự lượng tử hoá năng lương:

Vì n có giá trị khả dĩ nên năng lượng có giá trị gián đoạn hay bị lượng tử hoá

b Sự suy biến của năng lượng: nghĩa là ứng với một giá trị năng lượng sẽ có 1 số hàm sóng thoả mãn năng lượng đó

3 Sự phân bố electron trong nguyên tử Hidro và các ion tương tự:

Mật độ xác suất tìm electron chung quanh hạt nhân nguyên tử tại một điểm

với dΩ = sin θdθdϕ là phần tử góc khối

Lưu ý: Nếu tìm xác suất theo bán kính thì thành phần tích phân theo góc khối sẽ là đơn vị và ngược lại

Các kiến thức cần có khi giải bài tập chương 6:

+ dạng của toán tử nâng và toán tử hạ

+ Phương trình trị riêng và hàm riêng:

̂ + Công thức tính trị trung bình:

̅ ⟨ | ̂ ⟩ + Tích phân Poison:

∫ + Các hàm sóng đều có 1 năng lượng

+ Công thức khai triển Maclaurin:

II Bài tập:

Ta có phương trình trị riêng của toán tử ̂ là:

̂ ( ) ( ) Với dạng toán tử của ̂

)

( ) ( )

( )

( )

( )

( ( ) ) Vậy:

̅ ∫

( ( ) ) ∫ ( ( ) )

∫ ( ) ∫

∫ ∫ Tính lần lượt các tích phân:

∫ ( )

∫

∫

Như vậy:

̅ ( *

a Sử dụng điều kiện chuẩn hoá hàm sóng trong hệ toạ độ cầu:

a Trị trung bình của năng lượng:

̅

( )

b Tìm xác suất tìm electron theo bán kính:

c Trị trung bình của thế năng:

+ Trị trung bình của động năng:

CHƯƠNG VII

LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN

I.KIẾN THỨC CẦN ĐỂ GIẢI BÀI TẬP:

1 Biểu thức phần tử ma trận của toán tử:

⟨ | ̂ ⟩

2 Cách tìm hàm sóng trong 1 biểu diễn bất kỳ: (F-biểu diễn)

Bước 1: Khai triển hàm sóng theo hàm riêng của toán tử F

Bước 2: xác định hàm sóng trong F-biểu diễn:

5 Cách tìm trị riêng và hàm riêng dưới dạng ma trận:

Ta lấy liên hợp phức hai vế biểu thức trên ta được:

( ) (

( )

)

( ) (

( )

) Vậy:

( )+ khi m=n

∫ ( ) ∫ ( ( **

Trong E-biểu diễn, các phần tử ma trận của xung lượng có dạng:

⟨ ( )| ̂ ( )⟩

∫

( ) ∫

∫ ( ( )

( )

)

∫

( )

∫

( ) ⟨ ( )| ( )⟩

√ ∫

⁄ ⁄

( )

√ ∫ (

)

⁄ ⁄

( ) √

(

( ) )

+ Sử dụng điều kiện chuẩn hoá tìm A:

( ) tìm được nhờ điều kiện trực chuẩn của hàm riêng:

[

( )] ( )

Thay vào biểu thức ( ) ta có:

Đặt

( ) Suy ra:

( )

√

( ) ∫

√ √

( )

√ √

√ ( )

( )

√ √

√ ( )

√

( )

Đặt

( √ )

⁄

Suy ra hàm ( )

Khai triển hàm sóng ( ) theo hàm riêng của toán tử xung lượng ( ) √ :

Vì trị riêng của toán tử xung lượng có giá trị liên tục nên

( ) ∫ ( ) Trong đó, ( ) chính là hàm sóng trong biểu diễn xung lượng (p-biểu diễn) ( ) tìm được nhờ điều kiện trực chuẩn của hàm riêng:

( )

√

( ) ∑ ( )

Trong đó, ( ) chính là hàm sóng trong -biểu diễn

( ) tìm được nhờ điều kiện trực chuẩn của hàm riêng:

̂ ̂ ̂ ̂ Trong đó :

Trong p- biểu diễn, phương trình Schrodinger có dạng:

̂ ( ) ( ) *

Tìm C bằng điều kiện chuẩn hoá:

) ( ) ( ) Đặt

Ta tính tích phân trong toạ độ cầu và chọn phương của xung lượng như hình vẽ:

( )

√ ( )

∫ ⁄ ( *

Phương trình hàm riêng viết dưới dạng ma trận:

( √ )

Vậy trị riêng của toán tử A là 7 và √

+ khi trị riêng thì hàm riêng là ma trận cột có dạng

Tài liệu tham khảo

[ ] Lê Đình - Trần Công Phong, Giáo trình cơ học lượng tử, Đại học sư phạm Huế, tháng 8 năm 2011

[ ] Nguyễn Đình Trí - Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp - tập 1, NXB Giáo dục, 2011